(共12张PPT)
练素养
平行线分线段成比例常见应用的六种技巧
集训课堂
第四章图形的相似
北师版
九年级上
1
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6
答
案
呈
现
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1
【点拨】证明比例式时用等线段去代换是常用的方法．
2
3
4
证明：∵△ABC与△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°.
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.∴△ACE≌△BCD(SAS)．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥BA交DE的延长线于点F.求证：DE＝EF.
5
6
E
B
D
返回
E
B
M
D
D
E
B
A
B
EC
B
E
E
B
D
E
B(共17张PPT)
4.4.4
黄金分割
第四章图形的相似
北师版
九年级上
C
C
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C
答
案
呈
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A
A
已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式成立的是( )
A．AB2＝AC·CB
B．CB2＝AC·AB
C．AC2＝BC·AB
D．AC2＝2BC·AB
1
C
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A
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A
6
(2)如图②，用边长为20
cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B的对应点为H，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点．
(3)如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取一点E(AE＞DE)，连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，连接EF，延长EF，CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E，F恰好分别是AD，AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
解：当BP＝BC时，满足题意．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，AD∥BC.
∵BE⊥CF，∴∠ABE＋∠BFC＝90°.
又∵∠BCF＋∠BFC＝90°，∴∠BCF＝∠ABE.
∴△ABE≌△BCF(ASA)．∴BF＝AE.
∵AD∥CP，∴∠AEF＝∠P.(共12张PPT)
平行线分线段成比例
4.2
第四章图形的相似
北师版
九年级上
C
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A
答
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4 (1)6 (2)4
C
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C
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如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，下列比例式中，不正确的是( )
C
易错警示：运用平行线分线段成比例的基本事实的推论时，一定要找准线段的对应关系．
6
如图，E为?ABCD的边CD的延长线上一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F.
求证：BO2＝OF·OE.
7
返回
A/\D
B
B
D
E
F
A
B
D
C
A
B
63
E
l3
①
B
C
O
E
B
C
E
D
B
B
D
E
B
D(共13张PPT)
成比例线段
目标二 比例的基本性质
4.1.1
第四章图形的相似
北师版
九年级上
B
B
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A
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A
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D
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D
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8
数学课上，李老师准备了四张背面看上去无差别的卡片A，B，C，D，每张卡片(如图)的正面都标有字母a，b，c，d，它们表示四条线段，把四张卡片背面朝上放在桌面上，李老师从这
四张卡片中随机抽取两张．
(1)卡片上的四条线段是成比例线段的卡片是________；(填代表卡片的大写字母)
C，D
(2)画树状图或者列表表示出所有可能出现的结果，并求抽取的两张卡片中每张卡片上的四条线段都是成比例线段的概率．
返回
E
B
C
b=4
2√3
d=10
d=6
开始
第一张
C
D
D(共33张PPT)
测素质
相似三角形的性质及应用
集训课堂
第四章图形的相似
北师版
九年级上
1
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答
案
呈
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C
C
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C
C
D
B
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案
呈
现
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如图，在平行四边形ABCD中，点E在CD上，若DE：CE＝1：2，则△CEF与△ABF的周长比为( )
A．1:2
B．1:3
C．2:3
D．4:9
1
C
2
如图，点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA：OA1＝1：3，则C1D1：CD等于( )
A．1：2
B．1：3
C．3：1
D．4：1
C
3
【中考·临沂】如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.2
m，测得AB＝1.6
m，BC＝12.4
m，则建筑物CD的高是( )
A．9.3
m
B．10.5
m
C．12.4
m
D．14
m
B
4
【2019·巴中】如图，在?ABCD中，F为BC的中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝( )
A．2：3
B．3：2
C．9：4
D．4：9
D
5
如图所示，已知点E(－4，2)，F(－1，－1)，以点O为位似中心，按1：2的比例把△EFO缩小，则点E的对应点的坐标为( )
A．(－2，1)
B．(2，－1)
C．(2，－1)或(－2，－1)
D．(－2，1)或(2，－1)
D
6
学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5
m，OA的长为3
m，C点到AB的距离为0.3
m，支柱OE的高为0.6
m，则栏杆D端离地面的距离为( )
A．1.2
m
B．1.8
m
C．2.4
m
D．3
m
C
7
如图，一张等腰三角形纸片，底边长为18
cm，底边上的高为18
cm，现沿底边依次由下往上裁剪宽度均为3
cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )
A．第3张
B．第4张
C．第5张
D．第6张
C
8
B
∴∠DAF＝∠FOE，∠ADF＝∠OEF，
∴△OEF∽△ADF，
∴S△ADF＝4S△OEF，且AF＝2OF，
∴S△AEF＝2S△OEF，
∴S△ADE＝6S△OFE，故④错误．故选B.
9
10
如果两个相似三角形的最长边分别是35厘米和14厘米，它们的周长之差为60厘米，那么这两个三角形的周长分别是___________________．
100厘米和40厘米
11
1:16
【中考·菏泽】如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3:4，∠OCD＝90°，∠AOB＝60°，若点B的坐标是(6，0)，则点C的坐标是________．
12
13
小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图所示的装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20
cm，光屏在距小孔30
cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2
cm，则光屏上火焰所成像的高度为________cm.
3
14
如图，△ABC是一块正三角形余料，边长为120
mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在边BC上，其余两个顶点P、N分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长是_____________mm.
【点拨】如图，作△ABC的
高AD，交PN于点E.
15
(10分)如图，用曲尺测量大坝的高度h，使OA，OB分别顶住地面和大坝的斜面CD，且OA与地面垂直，现量出OA＝40
cm，OB＝60
cm，AD＝30
cm，CD＝5
m，试求大坝的高度h.
16
(10分)【中考·眉山】如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)．(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度)
(1)画出△ABC向上平移6个单位长
度后得到的△A1B1C1；
解：如图，△A1B1C1就是所要画的三角形．
(2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C，使△A2B2C与△ABC位似，且△A2B2C与△ABC的相似比为2:1，并直接写出点A2的坐标．
解：如图，△A2B2C就是所要画的三角形，点A2的坐标为(－2，－2)．
17
(12分)【2019·荆门】如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(点O，A，B，C，D在同一条直线上)，测得AC＝2
m，BD＝2.1
m．如果小
明眼睛距地面高度BF，DG为1.6
m，
试确定楼的高度OE.
18
(12分)【中考·德阳】如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连结AM交对角线BD于点G，并且∠ABC＝2∠BAM.
(1)求证：AG＝BG.
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴BD平分∠ABC.∴∠ABC＝2∠ABG.
又∵∠ABC＝2∠BAM，∴∠BAG＝∠ABG.
∴AG＝BG.
(2)若M为BC的中点，同时S△BGM＝1，求△ADG的面积．(共25张PPT)
4.8.2
平面直角坐标系中的位似变换
第四章图形的相似
北师版
九年级上
C
A
1
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7
8
A
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案
呈
现
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B
9
D
(－1，2)
或(1，－2)
10
11
12
B
【中考·辽阳】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为( )
A．(0，0)
B．(0，1)
C．(－3，2) D．(3，－2)
1
C
2
A
3
A
4
B
5
(－1，2)或(1，－2)
【点拨】以原点O为位似中心，考虑位似图形是在原点的同侧和异侧两种情况，本题易丢掉其中一种情况而致错．
6
【2020·重庆】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，2)，B(1，1)，C(3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且位似比为2:1，则线段DF的长度为( )
7
D
8
B
【点拨】点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的2倍，则点P的对应点的坐标为(m×2，n×2)或(m×(－2)，n×(－2))，即(2m，2n)或(－2m，－2n)．故选B.
易错总结：本题易忽略其中一种情况，应考虑全面．
9
【2020·朝阳】如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－3，2)，B(－1，3)，C(－1，1)，请按如下要求画图：
(1)以坐标原点O为旋转中心，
将△ABC顺时针旋转90°，
得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
解：如图，△A1B1C1即为所求．
(2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2:1.
解：如图，△A2B2C2即为所求．
【2020·宁夏】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(4，1)，C(1，1)．
(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
10
(2)画出△ABC以点O为位似中心，
位似比为2的△A2B2C2.
解：如图所示．
【2019·巴中】△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．
(1)以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其相似比为1∶2，
且△A1B1C位于点C的异侧，
并表示出A1的坐标；
11
解：如图，△A1B1C就是所要画的三角形，点A1的坐标为(3，－3)．
(2)作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C；
解：如图，△A2B2C就是所要画的三角形．
(3)在(2)的条件下求出点B经过的路径长．
12
【中考·盐城】如果两个一次函数y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2满足k1＝k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．如图，已知函数y＝－2x＋4的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，一次函数y＝kx＋b与y＝－2x＋4是“平行一次函数”．
(1)若函数y＝kx＋b的图象过点(3，1)，
求b的值；
解：由已知得k＝－2，
把点(3，1)的坐标和k＝－2代入y＝kx＋b，得1＝－2×3＋b，
∴b＝7.
(2)若函数y＝kx＋b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，相似比为1:2，求函数y＝kx＋b的表达式．
【点拨】本题考查了一次函数的应用，根据数形结合思想利用待定系数法进行分类讨论，即可求出函数表达式．
解：如图，根据相似比为1∶2得函数y＝kx＋b的图象有两种情况：
①不经过第三象限时，过点(1，0)
和(0，2)，这时函数表达式为y＝－2x＋2；
②不经过第一象限时，过点(－1，
0)和(0，－2)，这时函数表达式
为y＝－2x－2.(共12张PPT)
练素养
1．巧用位似解三角形中的内接多边形问题
集训课堂
第四章图形的相似
北师版
九年级上
1
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4
答
案
呈
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1
如图，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题．
画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连结OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；③连结C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．
求证：△C′D′E′是等边三角形．
∵E′C′∥EC，E′D′∥ED，
∴∠OEC＝∠OE′C′，∠OED＝∠OE′D′，
∴∠OEC＋∠OED＝∠OE′C′＋∠OE′D′，
即∠CED＝∠C′E′D′.∴△CDE∽△C′D′E′.
又∵△CDE是等边三角形，
∴△C′D′E′是等边三角形．
2
如图，求作：内接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，并且有DE：EF＝1：2.
解：如图，在AB边上任取一点D′，过点D′作D′E′⊥BC于点E′，在BC上截取E′F′，使E′F′＝2D′E′，过点F′作F′G′⊥BC，过点D′作D′G′∥BC交F′G′于点G′，作射线BG′交AC于点G，过点G作GF∥G′F′，DG∥D′G′，GF交BC于点F，DG交AB于点D，过点D作DE∥D′E′交BC于点E，则四边形DEFG为△ABC的内接矩形，
且DE:EF＝1:2.
3
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120
mm，高AD＝80
mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少？
4
【教材P122复习题T21变式】现有一块直角三角形木板，它的两条直角边BC，AC分别为3
m和4
m，要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人的加工方法分别如图①和图②所示，请运用所学知识说明谁的
加工方法符合要求．(共14张PPT)
利用相似三角形测高
目标二 测量的应用
4.6
第四章图形的相似
北师版
九年级上
1
2
3
答
案
呈
现
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在公园里有两个垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两个圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为120
cm.敏敏观察到高度90
cm的矮圆柱的影子落在地面上，其影长为60
cm；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．
已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直，
并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与
影子宽度的情况下，请回答下列问题：
1
(1)若敏敏的身高为150
cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少厘米？
(2)若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为150
cm，则高圆柱的高度为多少厘米？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．
【2020·内江】为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
(1)求B处到灯塔P的距离；
2
解：由题意得∠PAB＝30°，
∠ABP＝120°，
∴∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝30°.
∴PB＝AB＝60海里．
(2)已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？
阅读下面材料，完成学习任务．
数学活动：测量树的高度．
在物理学中我们学过光的反射定律，数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB，测量和计算的部分步骤如下：
①如图，在地面上的点C处放置了
一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
3
②将平面镜从点C沿BC的延长线移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB：设AB＝x米，BC＝y米．
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．(共17张PPT)
4.7.1
相似三角形对应线段的性质
第四章图形的相似
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九年级上
A
C
1
2
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7
8
A
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C
B
A
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9
1
A
【教材P107随堂练习T1变式】已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是两个三角形对应角的平分线，且AC：A′C′＝2：3，若BD＝4
cm，则B′D′的长是( )
A．3
cm
B．4
cm
C．6
cm
D．8
cm
2
C
【中考·重庆A卷】若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为( )
A．3∶2
B．3∶5
C．9∶4
D．4∶9
3
A
4
C
【点拨】∵两个相似三角形对应高线之比为3:1，∴两个相似三角形的相似比为3:1，∴它们对应角平分线之比为3:1，故选C.
5
【2020·广西】如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH的一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为( )
A．15
B．20
C．25
D．30
B
【点拨】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC.
∴△AEF∽△ABC.
∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°.
∴四边形EHDN是矩形．∴DN＝EH＝x，AN⊥EF.
【2020·淄博】如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列表达式中成立的是( )
A．a2＋b2＝5c2
B．a2＋b2＝4c2
C．a2＋b2＝3c2
D．a2＋b2＝2c2
6
A
7
C
8
【2021·合肥45中月考】如图，△ABC∽△A′B′C′，AB＝15
cm，A′B′＝10
cm，AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线．AD与A′D′的和为15
cm，求AD和A′D′的长．
9
如图，有一批呈直角三角形、大小相同的不锈钢片，已知∠C＝90°，AC＝12
cm，BC＝5
cm，要用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，请你设计方案，并求出正方形不锈钢片的边长．
【点拨】要求面积最大的正方形，则正方形的顶点应落在△ABC的边上，而顶点落在边上时有如图①和图②两种情况，应分类讨论求解．(共16张PPT)
4.7.2
相似三角形对应周长、面积的性质
第四章图形的相似
北师版
九年级上
A
C
1
2
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7
8
A
答
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B
C
B
D
9
1
A
【2020·铜仁】已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为( )
A．3
B．2
C．4
D．5
【2019·沈阳】已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是( )
A．3:5
B．9:25
C．5:3
D．25:9
2
C
【点拨】∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，AD＝10，A′D′＝6，∴△ABC与△A′B′C′的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3.故选C.
【2020·海南】如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为( )
A．16
B．17
C．24
D．25
3
A
4
B
5
C
6
B
【2019·常德】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，图中所有的三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积为( )
A．20
B．22
C．24
D．26
7
D
易错警示：本题易忽略相似三角形性质的适用条件而致错．
8
【2020·杭州】如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB.
(1)求证：△BDE∽△EFC.
证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE.
∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC.
∴△BDE∽△EFC.
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
9
某社区拟筹资金2
000元，计划在一块上、下底分别是10米，20米的梯形空地上种植花木(如图)，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为20元/平方米的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由．(共14张PPT)
4.4.1
用角的关系判定两三角形相似
第四章图形的相似
北师版
九年级上
B
B
1
2
3
4
5
6
7
8
A
答
案
呈
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B
A
C
如图，已知△ADE∽△ACB，且∠ADE＝∠C，则AD?AC等于( )
A．AE：AC
B．DE：BC
C．AE
：
BC
D．DE
：
AB
1
B
2
B
如图，已知三个三角形，相似的是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
3
A
【2020·牡丹江】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F.若DF＝6，则线段EF的长为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
4
B
5
C
6
A
错解：D
诊断：不能准确找出相似三角形的对应边，从而不能准确写出对应线段所成的比例式．
7
【2020·苏州】如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F.
(1)求证：△ABE∽△DFA；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°.
∴∠AEB＝∠DAF.
∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°＝∠B.
∴△ABE∽△DFA.
(2)若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
8
【2020·济宁】如图，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上．
(1)求作：△PCD，使点D在AC上，且△PCD∽△ABP(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
解：如图，作出∠APD＝∠ABP，即可得到△PCD∽△ABP.
(2)在(1)的条件下，若∠APC＝2∠ABC，求证：PD∥AB.
证明：∵∠APC＝2∠ABC，∠APD＝∠ABC，
∴∠APC＝2∠APD.∴∠APD＝∠DPC.
∴∠DPC＝∠ABC.
∴PD∥AB.(共22张PPT)
4.5
相似三角形判定定理的证明
第四章图形的相似
北师版
九年级上
1
2
3
4
答
案
呈
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1
(2)连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点．
②求λ的值．
2
【中考·黄石】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2∠DAE＝2α.
(1)如图①，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC.
(2)如图②，在(1)的条件下，若α＝45°，求证：DE2＝BD2＋CE2.
证明：∵∠DAF＝2α＝∠BAC，∴∠DAF－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即∠BAD＝∠CAF.又∵AB＝AC，AD＝AF，∴△BAD≌△CAF.∴BD＝CF，∠ACF＝∠ABD.
∵∠BAC＝2α＝2×45°＝90°，AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACB＝45°.∴∠ACF＝45°.
∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝90°.∴EF2＝CF2＋CE2.
∵点D与点F关于直线AE对称，∴DE＝EF.
∴DE2＝BD2＋CE2.
(3)如图③，若α＝45°，点E在BC的延长线上，则等式DE2＝BD2＋CE2还能成立吗？请说明理由．
解：还能成立．
理由如下：如图，作点D关于直线AE的
对称点F，连接AF，EF，CF，
∴AD＝AF，DE＝EF，
∠FAE＝∠DAE＝α.
∴∠DAF＝2α＝∠BAC.∴∠DAF－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即∠CAF＝∠BAD.又∵AB＝AC，AD＝AF，
∴△BAD≌△CAF.∴BD＝CF，∠ACF＝∠ABD.
∵∠BAC＝2α＝2×45°＝90°，AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACB＝45°.∴∠ACF＝45°.
∴∠ECF＝180°－∠ACB－∠ACF＝90°.
∴EF2＝CF2＋CE2.
∵EF＝DE，CF＝BD，∴DE2＝BD2＋CE2.
3
4
【2020·泰安】小明将两个直角三角形纸片如图①那样拼放在同一平面上，抽象出如图②的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．
探究发现：(1)当点F为线段CE的中
点时，连接DF(如图②)，小明经
过探究，得到结论：BD⊥DF.你
认为此结论是否成立？________.(填“是”或“否”)
是
拓展延伸：(2)将(1)中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
结论成立：
证明：∵BD⊥DF，ED⊥AD，
∴∠BDC＋∠CDF＝90°，∠EDF＋∠CDF＝90°.
∴∠BDC＝∠EDF.
∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDC.∴∠A＝∠EDF.
∵∠A＋∠ACB＝90°，∠E＋∠ECD＝90°，
∠ACB＝∠ECD， ∴∠A＝∠E.∴∠E＝∠EDF.∴EF＝FD.
∵∠E＋∠ECD＝90°，∠EDF＋∠FDC＝90°，
∴∠FCD＝∠FDC.∴FD＝FC.∴EF＝FC.
∴点F是EC的中点．
问题解决：(3)若AB＝6，CE＝9，求AD的长．(共29张PPT)
4.8.1
图形的位似
第四章图形的相似
北师版
九年级上
D
C
1
2
3
4
5
6
7
8
A
答
案
呈
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5
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9
D
C
10
11
12
C
13
答
案
呈
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如图所示的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )
A．点M
B．点N
C．点O
D．点P
1
D
如图所示的四组图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的组数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2
C
【2020·河北】在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是( )
A．四边形NPMQ
B．四边形NPMR
C．四边形NHMQ
D．四边形NHMR
3
A
【2020·兰州】如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点O，OC＝6，CC′＝4，AB＝3，则A′B′＝________.
4
5
5
【2020·重庆】如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA:OD＝1:2，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A．1:2
B．1:3
C．1:4
D．1:5
C
【2019·邵阳】如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是( )
A．△ABC∽△A′B′C′
B．C，O，C′三点在同一直线上
C．AO:AA′＝1:2
D．AB∥A′B′
6
C
【2021·烟台莱山区模拟】如图是与△ABC位似的图形的几种画法，其中正确的有( )
?
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7
D
8
如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F顺次连结，得到△DEF.下列结论：①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC
与△DEF的周长比为1:2；④△ABC与
△DEF的面积比为4:1.其中结论正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C
【点拨】△ABC与△DEF的周长比是2:1，只有③错误．
9
如图，正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点D为位似中心将其放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2:1，画出符合条件的所有图形．(不要求写作法)
解：如图．
易错总结：此题易忽略其中一种情况，当题中对位似图形的位置没有限制条件时，一定要考虑全面．
如图，F在BD上，BC，AD相交于点E，且AB∥CD∥EF.
(1)图中有哪几对位似三角形？选其中一对加以证明；
10
解：△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似三角形．比如选△DFE与△DBA证明：
∵EF∥AB，∴△DFE∽△DBA.
又∵对应点A，E与对应点B，F所在的直线相交于点D，
∴△DFE与△DBA是位似三角形．
(2)若AB＝2，CD＝3，求EF的长．
如图，已知△DEO与△ABO是位似图形，△OEF与△OBC是位似图形．
求证：OD·OC＝OF·OA.
11
12
解：如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．
(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
(3)如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE，EF在边AB上，点P，N分别在边CB，CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．
如图是9×16的边长为1的方格，在方格中有△ABC.
(1)以O为位似中心作△ABC的位似图形△A1B1C1，使作出的边长A1B1＝2AB，并保留作图痕迹；
13
解：如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)将△ABC绕点A顺时针方向旋转45°，在旋转的过程中，△ABC形状保持不变，面积逐渐增大，旋转到45°时停止，此时得到△AC′B′的面积是原来△ABC的面积的8倍，请你计算AC′，C′B′的长，并作出旋转后的图形．(共31张PPT)
测素质
平行线分线段成比例
集训课堂
第四章图形的相似
北师版
九年级上
10
1
2
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5
6
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答
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D
C
C
A
C
D
C
D
C
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答
案
呈
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2:1
19
1
D
下列四组长度的线段中，是成比例线段的是( )
A．4
cm，5
cm，6
cm，7
cm
B．3
cm，4
cm，5
cm，8
cm
C．5
cm，15
cm，3
cm，9
cm
D．8
cm，4
cm，1
cm，3
cm
2
C
3
C
4
C
5
A
【2019·内江】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
6
C
7
D
8
D
9
C
10
【2019·凉山州】如图，在△ABC中，D在AC边上，AD:DC＝1:2，O是BD的中点，连结AO并延长交BC于E，则BE:EC＝( )
A．1:2
B．1:3
C．1:4
D．2:3
B
【点拨】过O作OG∥BC，交AC于G.
∵O是BD的中点，∴G是DC的中点．
又∵AD:DC＝1:2，∴AD＝DG＝GC.
∴AG:GC＝2:1，∴AO:OE＝2:1.∴S△AOB:S△BOE＝2:1.
设S△BOE＝S，则S△AOB＝2S，
又∵BO＝OD，∴S△AOD＝2S，∴S△ABD＝4S.
∵AD:DC＝1:2，∴S△BDC＝2S△ABD＝8S，
∴S四边形CDOE＝7S.∴S△AEC＝9S，又∵S△ABE＝3S，
∴BE:EC＝S△ABE:S△AEC＝3S:9S＝1:3.
11
12
10
13
2
14
如图，已知AD:DB＝2:1，CE:EA＝2:3，则CF:DF＝________.
2:1
15
16
解：∵32＋42＝52，即b2＋c2＝a2，
∴△ABC是直角三角形．
(2)判断△ABC的形状．
17
(10分)如图，a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F.
(1)若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长；
(2)若AB:BC＝2:5，DF＝10，求EF的长．
18
(2)在这些矩形中，有成比例的线段吗？若有，请写出一组．
解：有成比例的线段，如线段AB：AD＝BC：BE.
19
(12分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N.
证明：如图，过点D作DE∥BN，
交AC于点E.(共11张PPT)
利用相似三角形测高
目标一 测量方法
4.6
第四章图形的相似
北师版
九年级上
D
B
1
2
3
4
5
6
7
C
答
案
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5.5
A
A
8
m
【2020·山西】泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的( )
A．图形的平移
B．图形的旋转
C．图形的轴对称
D．图形的相似
1
D
【中考·长春】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意思是：如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的标杆，它的影子长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为( )
A．五丈
B．四丈五尺
C．一丈
D．五尺
2
B
【2021·长沙开福区模拟】如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时她测得一根长为1
m的竹竿的影长是0.8
m．但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高为1.2
m，又测得地面上的影长为2.6
m．
请你帮她算一下，树高是( )
A．3.25
m
B．4.25
m
C．4.45
m
D．4.75
m
3
C
如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40
cm，EF＝20
cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5
m，CD＝8
m，则树高AB＝________m．
4
5.5
【2020·天水】如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5
m，测得AB＝1.2
m，BC＝12.8
m，则建筑物CD的高是( )
A．17.5
m
B．17
m
C．16.5
m
D．18
m
5
A
【中考·天水】如图是一名同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2
m，BP＝3
m，PD＝12
m，那么该古城墙CD的高度是________．
6
8
m
【中考·兰州】如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.5
m，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝15
m．然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3
m，小明身高EF＝1.6
m，则凉亭的高度AB约为( )
A．8.5
m
B．9
m
C．9.5
m
D．10
m
7
A(共35张PPT)
测素质
相似三角形的判定
集训课堂
第四章图形的相似
北师版
九年级上
1
2
3
4
5
6
7
8
答
案
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9
10
11
12
D
C
B
B
C
C
B
C
DF∥AC
(答案不唯一)
4
3.75
cm2
13
14
15
16
17
18
答
案
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1或2.5
19
下列四组图形中，一定相似的是( )
A．正方形与矩形
B．正方形与菱形
C．菱形与菱形
D．正五边形与正五边形
1
D
2
C
3
B
【2019·雅安】如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是( )
4
B
如图，已知C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC.若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为( )
A．S1＞S2
B．S1＝S2
C．S1＜S2
D．不能确定
5
B
6
一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边的长是21，则其他两边长的和是( )
A．19
B．17
C．24
D．21
C
7
C
如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为( )
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
【2019·广东】如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连结AM，AF，H为AD的中点，连结FH分别与AB，AM交于点N，K，则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN:S△ADM＝1:4.其中正确的结论有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8
C
9
DF∥AC(答案不唯一)
【中考·潍坊】如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：____________________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)
10
如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE＝BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为________．
11
如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠B＝∠DAC，AC＝8，BC＝16，那么CD＝________.
4
如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB.若AD＝2，BD＝3，则AC的长为________．
12
13
已知三个边长分别为2
cm，3
cm，5
cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为________．
3.75
cm2
14
如图，在△ABC中，AB＝10
cm，BC＝20
cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2
cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4
cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问经过________s时，△PBQ与△ABC相似．
1或2.5
15
(6分)如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝62°，∠B＝70°，∠H＝140°，AD＝18，EF＝15，FG＝14，EH＝12，求∠G的度数及AB，BC的长．
16
(8分)【2019·张家界】如图，在平行四边形ABCD中，连结对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连结DE，分别交BC，AC于点F，G.
(1)求证：BF＝CF.
(2)若BC＝6，DG＝4，求FG的长．
17
18
(10分)【中考·菏泽】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)试证明△ABC为直角三角形；
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似(不写作法与证明)．
解：如图，△P2P4P5符合要求．
19
(12分)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6
cm，BC＝8
cm.如图①，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5
cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4
cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t
s(0＜t＜2)，连结PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
(2)如图②，连结AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
解:过点P作PM⊥BC于点M，则PM∥AC，设AQ，CP交于点N，如图所示．(共14张PPT)
4.3
相似多边形
第四章图形的相似
北师版
九年级上
D
B
1
2
3
4
5
6
7
8
B
答
案
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C
C
A
下列说法中正确的是( )
A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形
B．各边成比例的两个多边形是相似多边形
C．边数相同的两个多边形是相似多边形
D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形
1
D
两个等边三角形、两个矩形、两个正方形、两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不一定相似的一组是( )
2
B
如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB:FG＝2:3，则下列结论正确的是( )
A．2DE＝3MN
B．3DE＝2MN
C．3∠A＝2∠F
D．2∠A＝3∠F
3
B
【中考·重庆】制作一块3
m×2
m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是( )
A．360元
B．720元
C．1
080元
D．2
160元
4
C
5
C
四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为2:3，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为5:4，则四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似且相似比为( )
A．5:6
B．6:5
C．5:6或6:5
D．8:15
6
A
7
【2021·石家庄桥西区模拟】如图，多边形ABCDEF与多边形A1B1C1D1E1F1相似，其中A，B，C，D，E，F的对应点分别为A1，B1，C1，D1，E1，F1，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°.
(1)求∠F的度数；
解：∵多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1相似，且∠C和∠C1，∠D和∠D1，∠E和∠E1是对应角，∠D1＝135°，∠E1＝120°，∠C1＝95°，
∴∠C＝95°，∠D＝135°，∠E＝120°.
由多边形内角和定理，知六边形的内角和为720°，∴∠F＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°.
解：∵多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1∶1.5，且CD＝15
cm，
∴C1D1＝15×1.5＝22.5(cm)．
(2)如果多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1:1.5，且CD＝15
cm，求C1D1的长度．
8
如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形
AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD.
(1)求证：EB＝GD；
证明：∵四边形AEFG和四边形ABCD都为菱形，
∴AE＝AG，AB＝AD.
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG＋∠GAB＝∠BAD＋∠GAB，
即∠EAB＝∠GAD.
又∵AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD，∴EB＝GD.(共33张PPT)
全章热门考点整合应用
第四章图形的相似
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20
10
11
C
1
下列各组线段，是成比例线段的是( )
A．3
cm，6
cm，7
cm，9
cm
B．2
cm，5
cm，0.6
dm，8
cm
C．3
cm，9
cm，6
cm，1.8
dm
D．1
cm，2
cm，3
cm，4
cm
C
2
有一块三角形的草地，它的一条边长为25
m，在图纸上，这条边的长为5
cm，其他两条边的长都为4
cm，则其他两条边的实际长度都是________m.
20
3
如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，试判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．
4
如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的图形是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．
解：如图，过点B作BM⊥x轴于点M，过点B′作B′N⊥x轴于点N，
5
【2020·上海】已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.
(1)求证：△BEC∽△BCH；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB.
∵DF＝BE，∴△CDF≌CBE(SAS)，
∴∠DCF＝∠BCE.
∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF，
∴∠BCE＝∠H.
∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH.
(2)如果BE2＝AB·AE，求证：AG＝DF.
6
如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于点F.
(1)求证：△ABC∽△FCD；
证明：∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC，∴∠B＝∠1.
又∵AD＝AC，∴∠ACB＝∠2.
∴△ABC∽△FCD.
(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．
解：如图，过点A作AM⊥CB于点M.
∵D是BC边上的中点，
∴BC＝2CD.
7
解：如图①，取DE的中点M，连接PM.
(2)如图②，若E是AB的中点，EP的延长线
交BC于点F，求BF的长．
8
如图，在离某建筑物CE
4
m处有一棵树AB，在某时刻，1.2
m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2
m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2
m，那么这棵树的高度是多少？
9
如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6
m有一棵树，在河的对岸每隔60
m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30
m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，
求河的宽度．
解：如图，过点A作AF⊥DE，垂足为F，并延长交BC于点G.
10
【教材P113例1变式】如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC
的位似图形．
【点拨】抓住位似图形的性质，根据位似中心与三角形对应点的关系及相似比的大小确定所画位似图形的对应点，再画出图形．
解：画出图形，如图中的△A′B′C′即为所求作的图形．
11
如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q.
(1)求∠PAQ的度数．
(2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.
【点拨】本题运用了转化思想，在证明等积式时，常把它转化成比例式，寻找相似三角形进行求解．
(1)求∠PAQ的度数．
思路导引：由角平分线的定义及∠BAD为平角直接可得．
(2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.
思路导引：由于线段PM，CM，BM在同一条直线上，所以必须把某条线段转化为另一相等的线段，构造相似三角形，因此可证PM＝AM，从而证明△ACM与△ABM相似即可．(共16张PPT)
4.4.2
用边角关系判定两三角形相似
第四章图形的相似
北师版
九年级上
B
D
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8
B
答
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B
1
B
2
D
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且AD:AC＝1:3，AE＝BE，则有( )
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
3
B
4
B
5
【2021·重庆一中月考】如图，直线EF分别交△ABC的边AC，AB于点E，F，交边BC的延长线于点D，且AB·BF＝BC·BD.求证：AE·EC＝EF·ED.
【中考·随州】在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝______时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
6
7
【2020·邯郸育华中学期末】已知：如图，在△ABC中，点D，G分别在边AB，BC上，∠ACD＝∠B，AG与CD相交于点F.
(1)求证：AC2＝AD·AB；
8
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若正方形的边长为4，求BG的长．
返回
B
D
A
E
B
C
E
B
B
G
C
E
D
B(共17张PPT)
4.4.3
用三边关系判定两三角形相似
第四章图形的相似
北师版
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C
B
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3
4
5
6
7
8
B
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案
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C
C
A
已知△ABC的三边长分别为6
cm，7.5
cm，9
cm，△DEF的一边长为4
cm，当△DEF的另两边长是下列( )组时，这两个三角形相似．
A．2
cm，3
cm
B．4
cm，5
cm
C．5
cm，6
cm
D．6
cm，7
cm
1
C
2
B
【2020·玉林】一个三角形木架三边长分别是75
cm，100
cm，120
cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60
cm和120
cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有( )
A．一种
B．两种
C．三种
D．四种
3
B
【教材P95习题T2变式】如图，在4×4的正方形网格中，是相似三角形的是( )
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．②和④
4
C
5
【2020·昆明】在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫作格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有( )
A．4个B．5个
C．6个D．7个
C
【点拨】如图，
使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个．
6
A
7
(1)根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由；
AB＝4
cm，BC＝6
cm，AC＝8
cm.
A′B′＝12
cm，B′C′＝18
cm，A′C′＝21
cm.
(2)若(1)中两三角形不相似，那么要使它们相似，不改变AC的长，A′C′的长应改为多少？
解：当A′C′＝24
cm时，两三角形相似．
8
【2021·宜昌夷陵区模拟】如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是边长相等的正方形．
(1)△ACF与△GCA相似吗？说说你的理由．
(2)求∠1＋∠2的度数．
解：∵△ACF∽△GCA，∴∠1＝∠CAF.
∴∠1＋∠2＝∠CAF＋∠2＝∠ACB＝45°.(共14张PPT)
成比例线段
目标一 成比例线段
4.1.1
第四章图形的相似
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D
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4
5
6
7
8
A
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C
D
9
A
D
1
在1：1
000
000的地图上，A，B两地之间的距离是5
cm，则A，B两地之间的实际距离是( )
A．5
km
B．50
km
C．500
km
D．5
000
km
B
2
D
3
已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB的比为( )
A．3：4
B．2：3
C．3：5
D．1：2
A
下列四组线段中，是成比例线段的是( )
A．3
cm，4
cm，5
cm，6
cm
B．4
cm，8
cm，3
cm，5
cm
C．5
cm，15
cm，2
cm，6
cm
D．8
cm，4
cm，1
cm，3
cm
4
C
【2020·金昌】生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2
m，则a约为( )
A．1.24
m
B．1.38
m
C．1.42
m
D．1.62
m
5
A
6
如果线段a＝2
cm，b＝18
cm，线段c是线段a，b的比例中项，那么线段c＝( )
A．3
cm
B．4
cm
C．±6
cm
D．6
cm
D
7
D
【点拨】本题易忽略线段成比例的顺序性而漏解．
8
(2)线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段吗？
9
【2020·昆明八中期末】如图，在?ABCD中，DE⊥AB于点E，BF⊥AD，交AD的延长线于点F.
(1)AB，BC，BF，DE这四条线段是否成比例？如果不是，请说明理由；如果是，请写出比例式．
(2)若AB＝10，DE＝2.5，BF＝5，求BC的长．
【点拨】在平行四边形中，根据面积为定值，
用不同的边为底边和对应的高表示面积，可以
得到不同的底和高之间数量的相等关系，从而解决问题．
(1)AB，BC，BF，DE这四条线段是不是成比例线段？如果不是，请说明理由；如果是，请写出比例式．
(2)若AB＝10，DE＝2.5，BF＝5，求BC的长．
解：∵AB·DE＝BC·BF，
∴10×2.5＝5BC，解得BC＝5.(共27张PPT)
练素养
巧用“基本图形”探索相似条件
集训课堂
第四章图形的相似
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九年级上
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6
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【2019·雅安】如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，分别交AB，CD于点E，F，FE的延长线交CB的延长线于点M.
(1)求证：OE＝OF；
1
(2)若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．
2
【教材P102习题T4变式】如图，AB＝16
cm，AC＝12
cm，动点P，Q分别以每秒2
cm和1
cm的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移到点A为止(点P到达点C后，点Q继续运动)．设运动时间为t秒．
(1)请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的
长，并写出取值范围；
解：由题意得AP＝2t
cm(0≤t≤6)，
AQ＝(16－t)cm(0≤t≤16)．
(2)当t等于何值时，△APQ与△ABC相似？
3
如图，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°.AE，AF分别交BC，CD于点E，F，交BD于点H，G.求证：
(1)AD2＝BG·DH.
4
【点拨】当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AE·AB＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB＝AD2，AF·AC＝AD2，
∴AE·AB＝AF·AC.
5
如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C.
(1)求证：△ABF∽△EAD；
证明：∵AD∥BC，∴∠C＋∠ADE＝180°.
∵∠AFB＋∠BFE＝180°，∠BFE＝∠C，
∴∠AFB＝∠EDA.∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠AED，
∴△ABF∽△EAD.
(2)若AB＝4，∠BAE＝30°，AD＝3，求AE和BF的长．
6
如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.
求证：(1)△ADE∽△ABC.
证明：∵∠DAB＝∠EAC，
∴∠DAE＝∠BAC.
又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC.
7
(1)尝试：如图①，已知A，E，B三点在同一直线上，且∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，求证：△ADE∽△BEC.
证明：∵∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，
∴∠DEA＋∠CEB＝90°，∠DEA＋∠D＝90°，∴∠D＝∠CEB，
∴△ADE∽△BEC.
(2)一名同学做完上题后还发现：如图②③，只要A，E，B三点在同一直线上，且∠A＝∠B＝∠DEC，则(1)中的结论总成立．你同意吗？
请选择其中之一说明理由．
解：同意，选择图②(或图③)说明理由：
∵∠A＝∠B＝∠DEC，∠A＋∠D＝∠DEC＋∠CEB，
∴∠D＝∠CEB，∴△ADE∽△BEC.
8
如图，已知OA⊥OB，OA＝4，OB＝3，以AB为边作矩形ABCD，使AD＝a，过点D作DE垂直于OA的延长线于点E.
(1)求证：△OAB∽△EDA.
证明：如图所示，
∵OA⊥OB，∴∠1＋∠2＝90°.
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3.
∵OA⊥OB，DE⊥OA，∴∠BOA＝∠DEA＝90°，
∴△OAB∽△EDA.
(2)当a为何值时，△OAB与△EDA全等？请说明理由，并求出此时点C到OE的距离．
则CH的长就是点C到OE的距离，过点B作BF⊥CH于F，
则∠4与∠5互余，∠1与∠5互余，∴∠1＝∠4.
又∵∠BFC＝∠BOA，CB＝AB，
∴△OAB≌△FCB(AAS)，
∴CF＝OA＝4，BO＝BF，
∴四边形OHFB为正方形，∴HF＝OB＝3，
∴点C到OE的距离CH＝CF＋HF＝4＋3＝7.(共15张PPT)
比例的合比、等比性质
4.1.2
第四章图形的相似
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9
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C
【2019·雅安】若a:b＝3:4，且a＋b＝14，则2a－b的值是( )
A．4
B．2
C．20
D．14
2
A
3
C
4
B
5
6
A
7
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8
(2)若△ABC的周长为90，求各边的长．
(2)若△ABC的周长为90，求各边的长．
解:∵△ABC的周长为90，
∴a＋b＋c＝90，
即5k＋4k＋6k＝90.解得k＝6，
∴a＝30，b＝24，c＝36.
9
(3)比较(1)，(2)的结论，你发现了什么规律？
返回(共10张PPT)
练素养
2．证明比例(等积)式的四种常用方法
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如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.
求证：(1)△ADE∽△ABC；
(2)DF·BF＝EF·CF.
2
【中考·泰安】在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．若PE⊥EC，如图，求证：AE·AB＝DE·AP.
3
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【2020·常州第二十四中学期末】如图，AD是△ABC的高，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：AE·AB＝AF·AC.
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