人教A版选修2-3高二数学：2.1.2.2 离散型随机变量的分布列2 同步练习

选修2-3 2.1.2.第二课时 离散型随机变量的分布列2
一、选择题
1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是(　　)
A.
ξ 1 0 1
P
B.
ξ 0 1 2
P －
C.
ξ 0 1 2
P
D.
ξ －1 0 1
P
[答案]　D
[解析]　本题考查分布列的概念与性质．
即ξ的取值应互不相同且P(ξi)≥0，i＝1,2，…，n，
(ξi)＝1.
A中ξ的取值出现了重复性；B中P(ξ＝0)＝－<0，
C中(ξi)＝＋＋＝>1.
2．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为ξ，则下列概率中等于的是(　　)
A．P(ξ＝0)　　　 B．P(ξ≤2)
C．P(ξ＝1) D．P(ξ＝2)
[答案]　C
[解析]　即取出白球个数为1的概率．
3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1、2、…，则P(2＜X≤4)＝(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)
＝＋＝.
4．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3,4，其中c是常数，则P则值为(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
[答案]　D
[解析]　＋＋＋
＝c
＝c＝1.∴c＝.
∴P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)
＝＝.
5．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是(　　)
A．①② B．③④
C．①②④ D．①②③④
[答案]　B
[解析]　依据超几何分布的数学模型及计算公式，或用排除法．
6．(2010·东营)已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(ξ＝2)＝(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　由离散型随机变量分布列的性质知＋＋＝1，∴＝1，即a＝3，
∴P(ξ＝2)＝＝.
7．袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　P＝＝.
8．用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，这些数能被2整除的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　P＝＝.
二、填空题
9．从装有3个红球、3个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为：
ξ 0 1 2
P
[答案]　　　
10．随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3 4 5
P
则ξ为奇数的概率为________．
[答案]　
11．(2010·常州)从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，则在选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率是______．
[答案]　
12．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量ξ，则P(ξ＞1)＝________.
[答案]　
[解析]　依题意，P(ξ＝1)＝2P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)，由分布列性质得
1＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)
4P(ξ＝2)＝1，∴P(ξ＝2)＝.P(ξ＝3)＝.
∴P(ξ＞1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝.
三、解答题
13．箱中装有50个苹果，其中有40个合格品，10个是次品，从箱子中任意抽取10个苹果，其中的次品数为随机变量ξ，求ξ的分布列．
[解析]　ξ可能取的值为0、1、2、…、10.由题意知P(ξ＝m)
＝(m＝0、1、2、…、10)，∴ξ的分布列为
ξ 0 1 … k … 10
P … …
14.设随机变量X的分布列P＝ak，(k＝1、2、3、4、5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P(X)≥；
(3)求P.
[分析]　分布列有两条重要的性质：Pi≥0，i＝1、2、…；P1＋P2＋…＋Pn＝1利用这两条性质可求a的值．(2)(3)由于X的可能取值为、、、、1.所以满足X≥或[解析]　(1)由a·1＋a·2＋a·3＋a·4＋a·5＝1，得a＝.
(2)因为分布列为P＝k (k＝1、2、3、4、5)
解法一：P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝；
解法二：P＝1－
＝1－＝.
(3)因为＜X＜，只有X＝、、时满足，故
P＝P＋P＋P
＝＋＋＝.
15．(2009·福建)盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：
(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量ξ的概率分布．
[解析]　(1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A，则P(A)＝＝.
(2)由题意ξ可能的取值为2,3,4,5，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝.
所以随机变量ξ的概率分布为：
ξ 2 3 4 5
P
16.(2010·福建理，16)设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．
[解析]　本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．
解题思路是先解一元二次不等式，再在此条件下求出所有的整数解．解的组数即为基本事件个数，按照古典概型求概率分布列，注意随机变量的转换．
(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，
即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为：
(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9.
且有P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝.
故ξ的分布列为：
ξ 0 1 4 9
P