圆的方程 全章学案+练习（新课标A版）

4.1.1 圆的标准方程
●学习目标
1、知识与技能：（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
（2）会用待定系数法求圆的标准方程。
2、过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
3、情态与价值：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
●学习重点：圆的标准方程
●学习难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
一、自学导航
●知识回顾：1、确定直线的条件： 。
2、平几学习中圆的定义： 。
●预习教材：第118页——第121页的内容。
●自主梳理：1、圆定义的点集表示： 。
2、圆的标准方程： 、圆心 、半径 。
●预习检测：
1．圆的圆心和半径分别是（ ）.
A．，1 B．，3 C．， D．，
2．过两点P(2,2),Q(4,2) 且圆心在直线上的圆的标准方程是（ ）.
A． B.
C. D.
3．已知圆，一束光线从点经轴反射到圆周的最短路程是（ ）.
A. B. 8 C. D. 10
4．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为 .
5．以点为圆心，与直线相切的圆的方程是 .
●问题与困惑：
二、互动探究
●情境引入：
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？
●问题探究：
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）
设M(x,y)为这个圆上任意一点，
那么点M满足的条件是：（写出点的集合） 。
由两点间的距离公式写出点M适合的条件：
（坐标化条件） ①
化简可得： ②
证明： 为圆的方程，
结论：方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
●典例导析：
例1 写出圆心为半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点与圆的关系的判断方法：
（1）>，点在圆外
（2）=，点在圆上
（3）<，点在圆内
变式： 求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程.
例2 的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程
分析：从圆的标准方程 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数.
变式： 求与x轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长等于的圆的方程.
例3 已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程.
分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为的圆经过点和,由于圆心与A,B两点的距离相等，所以圆心在险段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上，因此圆心是直线与直线m的交点，半径长等于或。
总结归纳：比较例2、例3可得出外接圆的标准方程的两种求法：
①根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到得值，写出圆的标准方程.
②根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.
变式：设A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.
●课堂练习：课本第1、2、3、4题
●反思总结：
⑴这节课你学到了哪些知识和解题技能？
⑵这节课你学到了哪些数学思想方法？
⑶你还有哪些收获？
三、巩固拓展
●必做：教材第124页， 习题4.1 A组 2、5、6题；
教材第144页 复习参考题 A组1、2； B组 1、2、5题
●选作：
1、 点与圆的位置关系是（　　）
Ａ．在圆外 Ｂ．在圆内 Ｃ．在圆上 Ｄ．不确定
2、 已知动点到定点的距离等于到的距离的倍，那么点的轨迹方程是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3、 已知圆心在轴上，半径是且以为中点的弦长是，则这个圆的方程是　　　　　　．
4、已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的方程．
5、一个动点在圆上移动时，它与定点连线中点的轨迹方程是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6、若圆与圆关于原点对称，则圆的方程是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
7、如果实数，满足，那么的最大值是　　　　　　．
8、的顶点，的坐标分别是，，顶点在圆上运动，求的重心的轨迹方程．
延展思考：
1、点在圆的内部，则的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ．或 Ｄ．
2、已知圆，为圆上任意一点，
求（1）的最值； （2）的最值．
4.1.2圆的一般方程
●学习目标
1、知识与技能：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件。(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
2、过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
3、情态与价值：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。
●学习重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．
●学习难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用。
一、自学导航
●知识回顾：1、圆的标准方程： 。
2、求圆的标准方程的方法：
3、点与圆的位置及判断：
●预习教材：第121页——第123页的内容。
●自主梳理：
1、圆的一般方程形式： 。
2、方程成为圆的条件： 。
圆心 ，半径 。
3、待定系数法求圆方程的步骤：
●预习检测：
1．方程表示圆的条件是（ ）.
A. B. C. D.
2．M（3，0）是圆内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是（ ）.
A. B. C. D.
3．曲线x2+y2+2x－2y=0关于（ ）.
A. 直线x=轴对称 B. 直线y=－x轴对称
C. 点（－2，）中心对称 D. 点（－，0）中心对称
4．若实数满足，则的最大值是（ ）.
A. B. C. D.
5．设圆x2+y2－4x－5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是 .
●问题与困惑：
二、互动探究
●情境引入：
问题：方程，分别表示什么图形？
●问题探究： 请同学们写出圆的标准方程： ，圆心 ，半径r．
　　把圆的标准方程展开，并整理：
取得 ①
这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如的方程，它表示的曲线一定是圆吗？
把配方得 ②
这个方程是不是表示圆？
表示（1）当时，方程②表示以，为圆心,为半径的圆；
（2）当时，方程只有实数解，即只表示一个点
（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形
综上所述，方程表示的曲线不一定是圆
只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程
圆的一般方程的特点：
(1) ①和的系数相同，不等于0．　②没有这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，
圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
●典例导析：
例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。
分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于来说，
这里的.
例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程
解：
相互讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：
根据提议，选择标准方程或一般方程；
根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。
变式： 求经过三点、、的圆的方程.
例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。
解：
变式：1、一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程.
2、 如图，过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线AT，M为AT上任一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，求△MAQ垂心P的轨迹方程.
●课堂练习：教材第123页，第1、2、3题
●反思总结：
⑴这节课你学到了哪些知识和解题技能？
⑵这节课你学到了哪些数学思想方法？
⑶你还有哪些收获？
1．对方程的讨论(什么时候可以表示圆)
2．与标准方程的互化
3．用待定系数法求圆的方程
4．求与圆有关的点的轨迹。
三、巩固拓展
●必做：教材第124页，习题4.1 B组 第1、2、3、题
教材第144页，复习参考题 A组 4、6、8题； B组 3、4、6题
选作：
1、 方程表示的图形是（　　）
Ａ．以为圆心，为半径的圆 Ｂ．以为圆心，为半径的圆
Ｃ．以为圆心，为半径的圆 Ｄ．以为圆心，为半径的圆
2、在方程中，若，则圆的位置满足（　　）
Ａ．截两坐标轴所得弦的长度相等 Ｂ．与两坐标轴都相切
Ｃ．与两坐标轴相离 Ｄ．上述情况都有可能
3、 圆的弦长为，则弦的中点的轨迹方程是　　　　　　．
4、求经过，两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为的圆的方程．
5、圆的直径端点为，，则此圆的方程为　　　　　　　．
6、若圆与圆关于原点对称，则圆的方程是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
7、设直线与轴交点为，点把圆的直径分为两段，则其长度之比为（　　）
Ａ．或 Ｂ．或 Ｃ．或 Ｄ．或
8、 圆心在直线上且与直线切于点的圆的方程是　　　　　　．
延展思考
1、 动圆的圆心的轨迹方程是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2、若表示圆，则的取值范围是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．R
4.3直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
一、自学导航
●学习目标
1．知识与技能：理解直线与圆的位置的种类；利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
2．过程与方法：通过观察生活中的问题情境，将其转化归纳为探究直线与圆的位置关系问题，进一步体验用代数方法处理几何问题的思想。
3. 情感态度与价值观：通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，体会数形结合的思想．逐步养成问问题的习惯，培养用于发现、主动探索的精神。
●学习重点：
直线与圆的位置关系的判断方法．
●学习难点：
直线与圆的位置关系判断方法的选择及应用．
●知识回顾：
1、在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？
2、直线与抛物线有几个公共点？理由是什么？
●预习教材第126页——第128页的内容。
●自主梳理：
1、设直线：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
⑴当时，直线与圆 ；
⑵当 时，直线与圆相切；
⑶当 时，直线与圆 ；
2、设直线：，圆：，联立直线与圆的方程消去（也可消去）得到关于的一元二次方程，设此方程的根的判别式为，则
⑴当时，直线与圆 ；
⑵当 时，直线与圆相切；
⑶当 时，直线与圆 ；
●预习检测：教材第128页，第1、2题；
补充：
判断直线与圆的位置关系，若相交，求出交点坐标。
●问题与困惑：
二、互动探究
●情境引入：详见教材P126“问题”（轮船是否有触礁的危险？）。
●问题探究：
问题1：如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系？
问题2：判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？
●典例导析：
例1当为何值时，圆与直线没有公共点，恰有1个公共点，有2个公共点？
变式1：设圆上动点到直线的距离等于，求的取值范围；
变式2（选用）：已知直线过点，且与圆有公共点，求直线的倾斜角的取值范围；
变式3（选用）：设圆上到直线的距离等于1的点个数为，求函数的解析式；
例2已知直线与圆相切。⑴若直线过点，求的方程；
⑵若直线过点，求的方程； ⑶（选用）若直线过点，求切线长；
例3已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。（P127EG1）
变式：已知直线和圆.
⑴（选用）求证：直线与圆恒有两个公共点A,B；
⑵当弦长时，求直线的方程；⑶（选用）当弦长最短时，求直线的方程；
例4若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
变式1：若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
变式2：若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
变式3（选用）：若关于的不等式的解集为R，求的取值范围；
变式4（选用）：
若关于的不等式的解集为，且，求的取值范围；
●课堂练习：教材P128练习第3、4题；
补充：
已知直线与圆交于A,B两点，求弦长.
●反思总结：
⑴判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？
⑵如何求出直线与圆的相交弦长？
⑶经过一点如何求圆的切线方程？
三、巩固拓展
●必做：教材第132页，习题4.2A组第1、2、3、5、6题；
●选作：教材第133页，习题4.2B组第4、5题；
补充：
1、已知直线与圆相切，且经过圆上一点,
求证：的方程为。
变式： 已知直线与圆相切，且经过圆上一点,
求证：的方程为。
2、已知直线过点，且与圆交于A,B两点，若为坐标原点，且，求直线的斜率.
3、已知直线与圆交于A,B两点，求弦AB中点M的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形？
变式1：已知直线与圆交于A,B两点，求弦AB中点M的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形？
变式2：已知直线与圆交于A,B两点，求弦AB中点M的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形？
4.2.2 圆与圆的位置关系
一、自学导航
●学习目标
1、知识与技能：理解圆与圆的位置的种类；能根据给定的两圆的方程，判断它们的位置关系．
2、过程与方法：经历用代数方法刻画两圆位置关系的过程；通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，体会数形结合的思想
3、情感态度与价值观：通过具体的探索活动，体验成功的喜悦，增强学习数学的信心．
●学习重点：
两圆位置关系的判断.
●学习难点：
通过两圆方程联立方程组的解来研究两圆位置关系.
●知识回顾：
在初中，我们怎样判断两个圆的位置关系？
●预习教材第129页——第130页的内容。
●自主梳理：
1、设圆的半径为，圆的半径为，圆心与的距离，则判别这两个圆的位置关系的依据有以下几点：
⑴当 时，圆与圆相离；
⑵当 时，圆与圆外切；
⑶当 时，圆与圆相交；
⑷当 时，圆与圆内切；
⑸当 时，圆与圆内含；
2、设圆和，联立两圆的方程消去（也可消去）得到关于的一元二次方程，设此方程的根的判别式为，则：⑴当时，两圆 ；
⑵当时，两圆 ；
⑶当时，两圆 ；
●预习检测：
判断下列各组中的圆与的位置关系.
⑴圆和；
⑵圆和；
⑶圆和；
●问题与困惑：
二、互动探究
●典例导析：
例1.求过点且与圆切于原点的圆的方程。
例2已知圆，圆，判断两圆的位置关系。
变式1：设圆与交于A,B两点，求直线AB的方程；
变式2：设圆与交于A,B两点，弦长；
变式3：求经过圆与的交点以及点的圆的方程；
变式4（选用）：求经过圆与的外公切线长.
●课堂练习：
已知圆，圆.
⑴当 时，两圆外离，当 时，两圆外切，
当 时，两圆相交，当 时，两圆内切，当 时，两圆内含，；
⑵当时，求经过圆与的交点以及点的圆的方程；
⑶当时，求圆与的内公切线长；
●反思总结：
⑴这节课你学到了哪些知识和解题技能？
⑵这节课你学到了哪些数学思想方法？
⑶你还有哪些收获？
三、巩固拓展
●必做：教材第132页，习题4.2A组，第4、9、10、11题；
●选作：
1、在坐标平面内，与点的距离为1，且与点的距离为2的直线共有 条.
2、过点，作圆的两条切线，设切点分别为A,B，求直线AB的方程。
3、已知直线：，：交于点P，求点P的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形.
4.2.3 直线与圆的方程的应用
一、自学导航
●学习目标
1、知识与技能：理解直线与圆的位置关系的几何性质；利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系．
2、过程与方法：会用“数形结合”的数学思想解决问题；结合具体实际问题，经历解答应用题的基本方法、步骤和过程.
3、情感态度与价值观：通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，提高分析问题与解决问题的能力．
●学习重点：
直线和圆的方程在实际问题和平面几何等问题中的应用.
●学习难点：
用坐标法解决具体问题.
●知识回顾：
1、圆的标准方程和一般方程分别是什么？
2、怎样判断直线和圆的位置关系？
3、怎么判断两圆的位置关系？
●预习教材第130页——第132页的内容。
●自主梳理：
用坐标法解决实际问题（或几何问题）的步骤：
第一步：建立适当的 ，用坐标和方程表示问题中的要素（或几何元素），将实际问题（或平面几何问题）转化为代数问题；
第二步：通过代数 ，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成实际结论（或几何结论）．
●预习检测：教材第132页，练习第1题；
补充：某圆拱桥的圆拱跨度为16m，拱高4m，建造时每隔4m需要用一根支柱支撑，求靠边的一根支柱的高度（精确到0.1m，）。
●问题与困惑：
二、互动探究
●典例导析：
例1已知某圆拱桥的水面跨度为20m，拱高4m，现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？
例2已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半。
●课堂练习：教材第132页，练习第2题；习题4.2A组第8题；
●反思总结：
⑴这节课你学到了哪些知识和解题技能？
⑵这节课你学到了哪些数学思想方法？
⑶你还有哪些收获？
三、巩固拓展
●必做：教材第132页，练习第4题；习题4.2A组第7题；B组第2题；
●选作：
1、求通过直线与圆的交点，且面积最小的圆的方程。
2、已知是实数，且，求下列各式的最大值和最小值：
⑴；⑵；⑶。
3、某种体育比赛的规则是：进攻队员与防守队员均在安全线的垂线AC上（C为垂足），且距C分别为的点A和B，进攻队员沿直线AD向安全线跑动，防守队员沿直线沿直线方向向前拦截，设AD和BM交于M，若在M点，防守队员比进攻队员先到或同时到，则进攻队员失败，已知进攻队员的速度是防守队员速度的两倍，且他们双方速度不同，问进攻队员的路线AD应为什么方向才能取胜？
4、有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍，已知A、B两地相距10，居民选择A或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低。求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点。