均值不等式及其运用
图片预览
文档简介
均值不等式及其运用
学习目标： 1. 了解基本不等式的证明过程，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等
号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
重点： 会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题
难点： 基本不等式等号成立条件，利用基本不等式求最大值、最小值。
知识点一：2个重要不等式
1．重要不等式：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.
2．基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.
注意：和两者的异同：
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。
（3）可以变形为：，可以变形为：.
知识点二：基本不等式的证明
1. 几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有。
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）
2. 代数法
∵，当时，；当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.
知识点三：基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
注意：
1．在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙
述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2．如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以
叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
知识点四：用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
一正：函数的解析式中，各项均为正数；
二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。
知识点五：几个常见的不等式
1），当且仅当a=b时取“=”号。
2），当且仅当a=b 时取“=”号。
3）；特别地：；
4）
5）；
6）；
7）
规律方法指导
1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要
求a，b都是正数。如是成立的，而是不成立的。
2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取
“=”号这句话的含义要有正确的理解。
当a=b取等号，其含义是；
仅当a=b取等号，其含义是。
综合上述两条，a=b是的充要条件。
3．基本不等式的功能在于“和积互化”。若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值则“积”有最大值。
4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值。
5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案.
类型一：基本不等式的理解
1．给出下面四个推导过程：
① ∵，∴；
② ∵，∴；
③ ∵，，∴ ；
④ ∵，，∴.
其中正确的推导为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
思路点拨：在应用基本不等式时，逐一检验是否具备三个条件：一正二定三取等。
解析：
①∵，∴，符合基本不等式的条件，故①推导正确.
②虽然，但当或时，是负数，∴②的推导是错误的.
③由不符合基本不等式的条件，∴是错误的.
④由得均为负数，但在推导过程中，将整体提出负号后，均变为正
数，符合基本不等式的条件，故④正确.选D.
总结升华：
在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可.
举一反三：
【变式1】，，给出下列推导，其中正确的有__________（填序号）.
（1）的最小值为； （2）的最小值为；（3）的最小值为.
【答案】（1）；（2）
（1）∵，，∴（当且仅当时取等号）.
（2）∵，，∴（当且仅当时取等号）.
（3）∵，∴，
（当且仅当即时取等号）
∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即
【变式2】下列命题正确的是（ ）
A．函数的最小值为2. B．函数的最小值为2
C．函数最大值为 D．函数 的最小值为2
【答案】C
解析：A选项中，∵，∴当时由基本不等式；
当时.∴选项A错误.
B选项中，∵的最小值为2
（当且仅当时，成立）
但是，∴这是不可能的. ∴选项B错误.
C选项中，∵，∴，故选项C正确。
类型二：利用基本不等式求最值
2．若,求的最小值。
思路点拨：和是应用基本不等式的两个前提条件；
解析：因为，由基本不等式得
（当且仅当即时，取等号）
故当时, 取最小值.
总结升华：1. 形如（，，）的函数的最值可以用基本不等式求最值；
2. 利用基本不等式求最值时,每一项都必须为正数,若为负数,则添负号变正.
举一反三：
【变式1】若,求的最大值.
【答案】因为,所以, 由基本不等式得:
,
（当且仅当即时, 取等号）故当时,取得最大值.
【变式2】已知，当取什么值时，函数的值最小？最小值是多少？
【答案】∵，∴，∴
（当且仅当即时，取等号）故当时，的值最小为18.
【变式3】求函数()的最小值.
【答案】∵，∴
∴
（当且仅当即时，取等号）
故当时，函数()的最小值为32.
【变式4】已知，求的最大值.
【答案】∵，∴，
∴（当且仅当，即时，等号成立）
∴（当且仅当，即时，等号成立)
故当时，的最大值为4.
3．已知，
（1）若,求的最小值； （2）若,求的最大值。
解析：
方法一：∵且,
∴，即（当且仅当时取等号）
∴，的最小值为4.
方法二：∵且,
∴，即（当且仅当时取等号）
∴，的最小值为4.
方法一：∵，∴，即（当且仅当时取等号）
∴，的最大值为4.
方法二：∵，∴，（当且仅当时取等号）
∴，的最大值为4.
方法三：∵，，
∴（当且仅当时取等号）
∴，的最大值为4.
总结升华：
1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若，且，为定值，则
，等号当且仅当时成立.
2. 两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若，且，为定值，则
，等号当且仅当时成立.
举一反三：
【变式1】已知，，，求的最小值.
【答案】∵，，，∴由（等号当且仅当时成立）
故当时，的最小值为6.
【变式2】已知，，，求的最大值.
【答案】
解法一：∵，，，∴（当且仅当即时，等号成立）故当时，的最大值为16.
解法二：∵，，，
即，可得，（当且仅当时，等号成立）
故当时，的最大值为16.
【变式3】若实数满足则的最小值是__________.
【答案】，即的最小值是6.
4. 已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值。
思路点拨：巧用中的“1”，为应用基本不等式创造条件。
解析：
方法一：∵，∴
∵x＞0，y＞0，∴
（当且仅当，即y=3x时，取等号）
又，∴x=4，y=12
∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16。
方法二：由，得
∵x＞0，y＞0，∴y＞9
∵y＞9，∴y－9＞0，
∴
（当且仅当，即y=12时，取等号，此时x=4）
∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16。
举一反三：
【变式1】若,,且,求的最小值 .
【答案】∵,，∴（当且仅当即，时，等号成立）
∴（当且仅当，时，等号成立）故当，时，的最小值为64.
【变式2】（2011 重庆）已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝的最小值是
【答案】 ∵,，∴
类型三：利用基本不等式证明不等式
5．已知,求证。
思路点拨：因为,所以可把和分别看作基本不等式中的和,直接利用基本不等式。
解析：因为,所以，（当且仅当，即时，取等号）
总结升华：前提条件：和=144（定值）.
举一反三： 【变式1】已知，求证:
答案】（当且仅当即,等号成立）.
【变式2】已知、都是正数，求证：。
【答案】∵、都是正数 ，∴，，
∴（当且仅当即时,等号成立） 故.
6．已知、、都是正数，求证：
思路点拨：选择（，）灵活变形，可求得结果.
解析：∵、、都是正数
∴ （当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
∴（当且仅当时，取等号）
即.
总结升华：1. 在运用时，注意条件、均为正数，结合不等式的性质，进行变形.
2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.
3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当 的数、式，以便于利用基本不等式。
举一反三【变式1】证明：
【答案】
方法一：∵，（当且仅当，时，取等号）
∴（当且仅当时，取等号）；
方法二：∵
（当且仅当，时，取等号）
∴.
【变式2】已知、都是正数，求证：.
【答案】∵、都是正数，∴，，，，，
（当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
∴（当且仅当时，取等号）
即.
类型四：基本不等式在实际问题中的应用
7．某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为、(单位：)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为. 问、分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省
解析：由题意可得，∴。
于是，框架用料长度为 。
当，即时等号成立。
此时，，。
故当约为2.343 m，约为2.828 m时用料最省。
总结升华：
用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
举一反三：
【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元.要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？
【答案】设购买x张游泳卡，活动开支为y元，
则（当且仅当x=8时取“=”）
此时每人最少交80元.
【变式2】某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为，预计（1）修复旧墙的费用是建造新墙费用的 ，（2）拆去旧墙用以改造建成新墙的费用是建新墙的，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出的空缺。
试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？
【答案】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。 设修复成新墙的旧墙为 ,则拆改成新墙的旧墙为， 于是还需要建造新墙的长为
设建造新墙需用元，建造围墙的总造价为元，
则
（当且仅当即时，等号成立）
故拆除改造旧墙约为米时，总造价最小.
学习目标： 1. 了解基本不等式的证明过程，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等
号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
重点： 会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题
难点： 基本不等式等号成立条件，利用基本不等式求最大值、最小值。
知识点一：2个重要不等式
1．重要不等式：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.
2．基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.
注意：和两者的异同：
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。
（3）可以变形为：，可以变形为：.
知识点二：基本不等式的证明
1. 几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有。
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）
2. 代数法
∵，当时，；当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.
知识点三：基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
注意：
1．在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙
述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2．如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以
叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
知识点四：用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
一正：函数的解析式中，各项均为正数；
二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。
知识点五：几个常见的不等式
1），当且仅当a=b时取“=”号。
2），当且仅当a=b 时取“=”号。
3）；特别地：；
4）
5）；
6）；
7）
规律方法指导
1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要
求a，b都是正数。如是成立的，而是不成立的。
2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取
“=”号这句话的含义要有正确的理解。
当a=b取等号，其含义是；
仅当a=b取等号，其含义是。
综合上述两条，a=b是的充要条件。
3．基本不等式的功能在于“和积互化”。若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值则“积”有最大值。
4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值。
5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案.
类型一：基本不等式的理解
1．给出下面四个推导过程：
① ∵，∴；
② ∵，∴；
③ ∵，，∴ ；
④ ∵，，∴.
其中正确的推导为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
思路点拨：在应用基本不等式时，逐一检验是否具备三个条件：一正二定三取等。
解析：
①∵，∴，符合基本不等式的条件，故①推导正确.
②虽然，但当或时，是负数，∴②的推导是错误的.
③由不符合基本不等式的条件，∴是错误的.
④由得均为负数，但在推导过程中，将整体提出负号后，均变为正
数，符合基本不等式的条件，故④正确.选D.
总结升华：
在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可.
举一反三：
【变式1】，，给出下列推导，其中正确的有__________（填序号）.
（1）的最小值为； （2）的最小值为；（3）的最小值为.
【答案】（1）；（2）
（1）∵，，∴（当且仅当时取等号）.
（2）∵，，∴（当且仅当时取等号）.
（3）∵，∴，
（当且仅当即时取等号）
∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即
【变式2】下列命题正确的是（ ）
A．函数的最小值为2. B．函数的最小值为2
C．函数最大值为 D．函数 的最小值为2
【答案】C
解析：A选项中，∵，∴当时由基本不等式；
当时.∴选项A错误.
B选项中，∵的最小值为2
（当且仅当时，成立）
但是，∴这是不可能的. ∴选项B错误.
C选项中，∵，∴，故选项C正确。
类型二：利用基本不等式求最值
2．若,求的最小值。
思路点拨：和是应用基本不等式的两个前提条件；
解析：因为，由基本不等式得
（当且仅当即时，取等号）
故当时, 取最小值.
总结升华：1. 形如（，，）的函数的最值可以用基本不等式求最值；
2. 利用基本不等式求最值时,每一项都必须为正数,若为负数,则添负号变正.
举一反三：
【变式1】若,求的最大值.
【答案】因为,所以, 由基本不等式得:
,
（当且仅当即时, 取等号）故当时,取得最大值.
【变式2】已知，当取什么值时，函数的值最小？最小值是多少？
【答案】∵，∴，∴
（当且仅当即时，取等号）故当时，的值最小为18.
【变式3】求函数()的最小值.
【答案】∵，∴
∴
（当且仅当即时，取等号）
故当时，函数()的最小值为32.
【变式4】已知，求的最大值.
【答案】∵，∴，
∴（当且仅当，即时，等号成立）
∴（当且仅当，即时，等号成立)
故当时，的最大值为4.
3．已知，
（1）若,求的最小值； （2）若,求的最大值。
解析：
方法一：∵且,
∴，即（当且仅当时取等号）
∴，的最小值为4.
方法二：∵且,
∴，即（当且仅当时取等号）
∴，的最小值为4.
方法一：∵，∴，即（当且仅当时取等号）
∴，的最大值为4.
方法二：∵，∴，（当且仅当时取等号）
∴，的最大值为4.
方法三：∵，，
∴（当且仅当时取等号）
∴，的最大值为4.
总结升华：
1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若，且，为定值，则
，等号当且仅当时成立.
2. 两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若，且，为定值，则
，等号当且仅当时成立.
举一反三：
【变式1】已知，，，求的最小值.
【答案】∵，，，∴由（等号当且仅当时成立）
故当时，的最小值为6.
【变式2】已知，，，求的最大值.
【答案】
解法一：∵，，，∴（当且仅当即时，等号成立）故当时，的最大值为16.
解法二：∵，，，
即，可得，（当且仅当时，等号成立）
故当时，的最大值为16.
【变式3】若实数满足则的最小值是__________.
【答案】，即的最小值是6.
4. 已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值。
思路点拨：巧用中的“1”，为应用基本不等式创造条件。
解析：
方法一：∵，∴
∵x＞0，y＞0，∴
（当且仅当，即y=3x时，取等号）
又，∴x=4，y=12
∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16。
方法二：由，得
∵x＞0，y＞0，∴y＞9
∵y＞9，∴y－9＞0，
∴
（当且仅当，即y=12时，取等号，此时x=4）
∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16。
举一反三：
【变式1】若,,且,求的最小值 .
【答案】∵,，∴（当且仅当即，时，等号成立）
∴（当且仅当，时，等号成立）故当，时，的最小值为64.
【变式2】（2011 重庆）已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝的最小值是
【答案】 ∵,，∴
类型三：利用基本不等式证明不等式
5．已知,求证。
思路点拨：因为,所以可把和分别看作基本不等式中的和,直接利用基本不等式。
解析：因为,所以，（当且仅当，即时，取等号）
总结升华：前提条件：和=144（定值）.
举一反三： 【变式1】已知，求证:
答案】（当且仅当即,等号成立）.
【变式2】已知、都是正数，求证：。
【答案】∵、都是正数 ，∴，，
∴（当且仅当即时,等号成立） 故.
6．已知、、都是正数，求证：
思路点拨：选择（，）灵活变形，可求得结果.
解析：∵、、都是正数
∴ （当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
∴（当且仅当时，取等号）
即.
总结升华：1. 在运用时，注意条件、均为正数，结合不等式的性质，进行变形.
2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.
3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当 的数、式，以便于利用基本不等式。
举一反三【变式1】证明：
【答案】
方法一：∵，（当且仅当，时，取等号）
∴（当且仅当时，取等号）；
方法二：∵
（当且仅当，时，取等号）
∴.
【变式2】已知、都是正数，求证：.
【答案】∵、都是正数，∴，，，，，
（当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
∴（当且仅当时，取等号）
即.
类型四：基本不等式在实际问题中的应用
7．某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为、(单位：)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为. 问、分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省
解析：由题意可得，∴。
于是，框架用料长度为 。
当，即时等号成立。
此时，，。
故当约为2.343 m，约为2.828 m时用料最省。
总结升华：
用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
举一反三：
【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元.要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？
【答案】设购买x张游泳卡，活动开支为y元，
则（当且仅当x=8时取“=”）
此时每人最少交80元.
【变式2】某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为，预计（1）修复旧墙的费用是建造新墙费用的 ，（2）拆去旧墙用以改造建成新墙的费用是建新墙的，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出的空缺。
试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？
【答案】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。 设修复成新墙的旧墙为 ,则拆改成新墙的旧墙为， 于是还需要建造新墙的长为
设建造新墙需用元，建造围墙的总造价为元，
则
（当且仅当即时，等号成立）
故拆除改造旧墙约为米时，总造价最小.