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课题：3.5
确定圆的条件
课型：新授课
年级：九年级
教学目标：
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．
2．了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念，进一步体会解决数学问题的策略．
3．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
教学重点与难点：
重点：经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，会作三角形的外接圆．
难点：“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”的探索过程．
课前准备：教师制作多媒体课件.
教学过程：
一、创设情境，引入新课
【多媒体出示问题1、2、3】
问题1
小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A、第①块
B、第②块
C、第③块
D、第④块
（学生各抒己见，讨论热烈，学习热情高涨。）
问题2
玻璃店里的师傅，要划出一块与原来大小一样的圆形玻璃，他只要知道圆的什么就可以了？为什么？
（半径）
问题3
作圆的关键是什么？
（作圆的关键是确定圆心和半径）
[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆?经过两点、三点……呢?本节课我们将进行有关探索．
〖教师板书课题：3.5
确定圆的条件〗
【设计意图】在实际背景“四块玻璃碎片拿哪块可复制圆”
中创设情境，，激发学生学习的兴趣和探究欲望，学生回想圆的定义，得出作圆的关键是确定圆心和半径，为本节课
“确定圆的条件”的探究做好铺垫.
【预期效果】学生在一个宽松的气氛下展开对问题的探究，吸引学生的注意力，激发他们的好奇心和学习兴趣.
二、师生互动，探求新知
探究1：作圆，使它经过已知点A．
你能作出几个这样的圆?（学生自己动手尝试画图）
（课堂上，可能有的同学以点A为圆心画很多同心圆，没有明白点A不是圆心，而是在圆上．）从而引发以下的探究：
1、已知作圆的关键是确定圆心和半径，过已知点A的圆的圆心能是点A吗？为什么？
[生]不能是，因为点A在圆上．
2、
过已知点A的圆的圆心怎么确定？半径呢？
[生]以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．
3、同学们按照：先找到圆心，再确定半径，最后画圆的方法，并尝试能作出多少个圆？
[生]由于圆心是任意的．因此这样的圆心有无数个，从而过已知点A能作无数个圆．如图所示：（多媒体动画演示画圆）
探究2：作圆，使它经过已知点A、B.
（学生自己动手尝试画图）
（课堂上，可能有的同学尝试找圆心找不到；有的同学取线段AB的中点为圆心，作出一个圆；有的同学作线段AB的垂直平分线，作出两个圆．）从而引发以下的探究：
1、你是如何作的?
[生]我取线段AB的中点为圆心，线段AB的一半的长为半径作圆经过已知点A、B.
2、除此以外还有符合条件的圆吗？你能作出几个这样的圆?
[生]有，我作出了3个圆、4个圆…
3、你作出的圆的圆心的分布有什么特点?
与线段AB有什么位置关系?为什么?
[生]
圆心到A、B的距离相等．
[生]圆心在线段AB的垂直平分线上．
[生]在线段AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在线段AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．
4、线段AB的垂直平分线上有多少个点？这些点都可以作为圆心吗？
[生]线段AB的垂直平分线上有无数点，这些点都可以作为圆心，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图所示：（多媒体动画演示画圆）
探究3：作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的?你能作出几个这样的圆?（学生自己动手尝试画图）
（课堂上，可能有好多同学不知如何下手）
从而引发以下的探究：
1、要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点A、B、C的距离有何关系？
[生]相等．
2、以前我们学过：“到三角形三个顶点距离相等的点”是它们三边什么线的交点？
[生]
三边的垂直平分线的交点，它就是圆心．
3、这个交点就是圆心的理由是什么？
[生]
这个交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．
4、究竟应该怎样找圆心呢?
[生]
我会做了．我先作线段AB的垂直平分线，找到过A、B两点的圆的圆心；再作线段CB的垂直平分线找到过C、B两点的圆的圆心，它们的交点就是要找的圆心．
作法
图示
1．连接AB、BC
2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O
3．以O为圆心，OA为半径作圆⊙O就是所要求作的圆
5、他作的圆符合要求吗?与同伴交流．
[生]符合要求．
因为连接AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等，连接BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等．ED与FG的交点O满足OA=OB=OC，因此这样的画法满足条件．
[生]因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．
归纳发现：过已知一点可作无数个圆，过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．
定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
(引导学生发现)：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle
of
triangle)．这个三角形叫这个圆的内接三角形．
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)．
探究4：如果A、B、C三点不在同一条直线上，你还能作出过A、B、C三点的圆吗？为什么？（学生动手作图）
[生]不能，找不到圆心．原因是：线段AB的垂直平分线和线段BC的垂直平分线平行，没有交点．
强调：“不在同一条直线上”这个条件的重要性．现在，你能判断小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第几块？
[生]学生齐声回答：第②块，理由是不在同一直线上的三个点确定一个圆.
【设计意图】学生亲自动手画图：体会过已知一点可作无数个圆；过已知两点也可作无数个圆；不在同一直线上的三个点确定一个圆.学生参与知识的探索过程，享受发现知识的快乐.通过本节课的学习解决情境中的实际问题，首尾呼应，浑然一体，学生情绪高涨，学习效率高..
【预期效果】学生对问题①、②中有多少个符合条件的圆能很快地回答出来，但学生对问题①中“为什么”的回答未能抓住画圆的本质（定圆心、定半径）来回答；对问题③的探究用时比较长，对“为什么”的回答也未能抓住交点的唯一性及半径随着点的确定而确定进行回答，建议教师循序渐进的对学生进行引导.
三、课堂练习，巩固提高
1、已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆．它们外心的位置有怎样的特点?
解：如下图：
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
O为外接圆的圆心，即外心．
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．
变式一：边长为3，4，5的三角形的外接圆的半径是多少？
引导学生发现：直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半．
变式二：边长为6的正三角形的外接圆的半径是多少？
引导学生画出草图，从而发现可用垂径定理解决问题．
2、如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心?
引导学生发现：最少用2次.具体给我们讲讲你的做法吗？
[生]
如上图，因为A、B两点在圆上，所以圆心到A、B两点的距离相等，又因为到一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在MN所在的直线上．因此使A、B两点在圆上，将这个工具摆放两次，直线MN的交点就是圆心.
3．经过不在同一直线上的四个点是否一定能作一个圆？举例说明．
不一定，过矩形的四个顶点能作圆；过菱形四个顶点不能作圆．
【设计意图】通过练习1一方面使学生熟练“过不在同一直线上的三个点作圆的作法，另一方面感知三角形的外心和三角形的位置关系，并能求出特殊三角形的外接圆的半径；练习2解释方法多样，锻炼学生综合应用知识的能力；练习3进一步巩固确定圆的条件．
【预期效果】学生积极思考问题，在“用”知识的过程中再次“感悟”了知识，展现思维的丰富性，在交流合作中让学生建立良好的探究观念.
四、系统小结，反思提升
师：今天我们学习了哪些数学知识？
我最大的收获是……
我表现不足的地方是……
我想进一步研究的问题是……
（学生畅谈收获．）
(生1、生2、生3自发站起来谈学习收获，教师做出点评、补充．)
【设计意图】这一环节有利于有利于学生总结问题，理清思路，培养学习后自我反思的良好习惯．
【预期效果】学生总结本节课的收获及得到的启示，反思在学习中存在的问题教师指导学生总结本节的收获，并解决学生存在的问题．
五、当堂达标，反馈矫正
温馨提示：你将有10分钟的时间完成下列各题，请同学们仔细审题，认真规范解答，期待着你们的出色表现！
1．下列命题不正确的是（
）
A、过一点能作无数个圆
B、过两点能作无数个圆
C、直径是圆中最长的弦
D、过已知三点一定能作圆
2．若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是（
）
A、等边三角形
B、锐角三角形
C、直角三角形
D、钝角三角形
3．过下列四边形的三个顶点作圆，第四个顶点也一定落在这个圆上的是（
）
A、任意四边形
B、矩形
C、平行四边形
D、菱形
4．在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，则这个三角形的外接圆直径是（
）
A、5
B、10
C、5或4
D、10或8
5．如图，△ABC的外接圆的圆心的坐标是
.
【设计意图】为了能及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，分层设置一组课堂反馈训练题，要求学生完成必做题后，可以有选择的去做选做题，有助于学生开拓思维，提高能力．
【预期效果】学生基本上都能利用所学知识，解决练习中碰到的问题，收到了较好的教学效果．
六、布置作业，课堂延伸
必做题：《数学助学》
第
248页
自主评价.
拓展题：完成课后探究记录卡
问题：平面上的四个点能不能确定一个圆？
探索过程：
验证过程：
收获与发现：
【设计意图】复习巩固、检测本节知识，拓展题供有兴趣学生尝试操作，拓宽学生的知识面，培养学生的创新探究能力.
板书设计:
3.5
确定圆的条件
一、过已知点A作圆二、过已知点A、B作圆
三、过不在同一直线上已知点A、B、C作圆
投
影
区
学生板演处
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"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共16张PPT)
北师大版
九年级下册
3.5
确定圆的条件
小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A、第①块
B、第②块
C、第③块
D、第④块
一、创境感知
二、探究新知
同学们，我们知道“过一点可以作无数条直线”、“两点确定一条直线”，那么，过几点可以确定一个圆呢？
●
A
●
●
A
B
二、探究新知
1.经过一个已知点A能确定一个圆吗?
A
经过一点可作无数个圆.
二、探究新知
2.经过两个已知点A，B能确定一个圆吗?
A
B
经过两个已知点A，B能作无数个圆.
经过两个已知点A、B所作的圆的圆心在怎样的一条直线上?
它们的圆心都在线段AB的垂直平分线上.
二、探究新知
已知：不在同一直线上的三点A、B、C.
求作：⊙O，使它经过点A、B、C.
O
N
M
F
E
A
B
C
作法：1.连接AB，作线段AB的垂直平分线MN.
2.连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O.
3.以O为圆心，OB为半径作圆.
⊙O就是所求作的圆.
二、探究新知
定理
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
现在，你能判断小明带到商店去的一块玻璃
碎片应该是第几块？
三、归纳升华
定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.
C
A
B
O
如图，⊙O是△ABC的外接圆，
△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心
外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.
1.用直尺和圆规作△ABC的外接圆.
Ａ
Ｂ
Ｃ
A
B
C
C
A
B
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
四、练习提高
三、归纳升华
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
锐角三角形的外心位于三角形内.
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点.
钝角三角形的外心位于三角形外.
A
2.图中工具的CD边所在直线恰好垂直平分AB边，怎样用这个工具找出一个圆的圆心？最少几次？
四、练习提高
C
A
B
D
·圆心
五、小结反思
1.通过本课的学习，你有什么收获？还有什么问题？
2.确定圆的条件——
不在同一直线上的三点
圆心、半径
3.
锐角三角形
在三角形的内部
直角三角形
--外心的位置---
在斜边上
钝角三角形
在三角形的外部
1．下列命题不正确的是（
）
A、过一点能作无数个圆
B、过两点能作无数个圆
C、直径是圆中最长的弦
D、过已知三点一定能作圆
2．若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是（
）
A、等边三角形
B、锐角三角形
C、直角三角形
D、钝角三角形
3．过下列四边形的三个顶点作圆，第四个顶点也一定落在这个圆上的是（
）
A、任意四边形
B、矩形
C、平行四边形
D、菱形
4．在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，则这个三角形的外接圆直径是（
）
A、5
B、10
C、5或4
D、10或8
六、达标检测
5．如图，△ABC的外接圆的圆心的坐标是
.
六、达标检测
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