(共14张PPT)
北师大版
九年级下册
3.9
弧长及扇形的面积
一、创设情境，引入新课：
同学们，还记得唐代诗人王之涣的《登鹳雀楼》这首诗吗？
白日依山尽,
黄河入海流。
欲穷千里目,
更上一层楼。
你能求出这幢楼至少该有多高吗？生活中有没有这样的楼？
二、自主先学,
合作探究：
【自主先学一】:
问题：（1）圆的圆心角（圆周角）是多少度?
（2）圆的周长公式是什么?
【合作探究一】:
弧长的计算公式：
你能探讨出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流：
360°的圆心角对应圆周长为2πR，那么1°的圆心角对应的弧长为______，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即_________。
师生归纳：在半径为R的圆中，n°的圆心角所
对的弧长的计算公式为：(
)
例：
制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即弧AB的长(结果精确到0．1
mm)。
【学以致用】:
解：∵R＝40mm，n=110。
∴
＝
＝
×40π≈76.8
mm
因此，管道的展直长度约为76.8
mm。
【自主先学二】:
圆的面积公式是什么?
【合作探究二】:
你能总结扇形的面积公式吗？
如果圆的半径为R，则圆的面积为_____，仿照探究弧长公式的过程可知，1°扇形的面积占整个圆面积的___________，所以1°的圆心角对应的扇形面积为_______，n°的圆心角对应的扇形面积为_________。
因此扇形面积的计算公式为( ）
其中R为扇形的半径，n为圆心角。
【小试身手】：扇形AOB的半径为12
cm，∠AOB＝120°，求弧AB的长(结果精确到0.1
cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm )
【合作探究三】:弧长与扇形面积的关系：
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为＿＿＿＿＿＿，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝＿＿＿＿＿＿＿，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n和半径R有关系，请问，l和S之间有什么关系?换句话说，能否用弧长表示扇形面积呢？
∵l = πR，S扇形= πR
∴ πR = R· πR，
三、实际应用，升华新知
:
1、学以致用：解决“欲穷千里目,更上一层楼”的问题：
【思路导航】：如图，设弧AC代表地面，O为地球
中心，C点离A点为500千米（即1000里）。显然，
人站在A点是看不到C点处的景物的，因而需要登楼
到B点处。这时，人的视线BC与⊙O相切，AB即为
楼的最小高度。因为AB＝OB－OA，OA是地球半径，约等于6370千米，所以只需计算出OB即可。
解：设 的度数为
n°，由弧长公式得：
即：
解得： 在 中，
AB＝OB－OA＝6390－6370＝20千米。通过计算表明，这幢楼至少要有20千米高，远远超过世界最高峰——珠穆朗玛峰的高度，这样高的楼现实生活中是没有的。
2、拓展应用：
如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120
°，问哪一把扇子扇面的面积大？
四、诱导反思,
归纳总结：
通过本节课的学习，你有哪些感悟与收获？
五、达标测试，反馈矫正：
★级：轻松过关
——
打基础：
1、在半径为5的圆中，30°的圆心角所对的弧长为
（结果保留π）。
2、如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中∠AOB为120°,OC长为8cm，CA长为12cm，则阴影部分的面积为____.
A．
B．
C．
D．
★★级：快乐提升
——
练能力：
3、如图，为拧紧一个螺母，将扳手逆时针旋转60?，扳手上一点A转至点A处，若OA长为25cm，则弧AA
长为_________cm(结果保留π)。
4、如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E的半径都是1，顺次连接五个圆心得五边形ABCDE，求图中五个扇形的面积之和（阴影部分）为
。
A
A
A1
第2题图
第3题图
第4题图
★★★级：体验中考
——
树信心：
5、（2014年云南省）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（ ）
A、π
B．2π
C．3π
D．12π
6、（2014?德州）如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是 ．
六、布置作业，落实目标：
必做题：课本P102
习题3.11
第1、2、3、4题
选做题：(2014年四川资阳)如图，扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C
是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是________.
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课题：3.9
弧长及扇形的面积
课型：新授课
年级：九年级
教学目标：
1、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；掌握弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．
2、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养探索能力，训练数学运用能力。
3、通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，体验数学与人类生活的密切联系，激发学习数学的兴趣，提高学习积极性，同时提高对知识的运用能力。
教学重点与难点：
重点：弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积。
难点：运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积。
课前准备：直尺、圆规、多媒体课件。
教学过程：
一、创设情境，引入新课：
师：同学们，还记得唐代诗人王之涣的《登鹳雀楼》这首诗吗？
白日依山尽,黄河入海流。欲穷千里目,更上一层楼。
你能求出这幢楼至少该有多高吗？生活中有没有这样的楼？让我们拭目以待。（板书课题：弧长及扇形的面积）
【设计意图】通过诗情画意的展示，调动学生学习的积极性，激发起进一步学习的兴趣，吸引学生的注意力，为新课的学习做铺垫。
二、自主先学,
合作探究：
【自主先学一】【多媒体展示】：
问题：（1）圆的圆心角（圆周角）是多少度?（2）圆的周长公式是什么?
【合作探究一】弧长的计算公式：
你能探讨出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流：
360°的圆心角对应圆周长为2πR，那么1°的圆心角对应的弧长为______，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即_________。
师生归纳：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为：
。
【活动方式】学生先独立思考，小组讨论，并派代表在全班交流，师解答释疑。
【友情提示】在应用弧长公式l=进行计算时，要注意公式中n的意义，n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的。
【学以致用】【多媒体展示】
例
制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算图中管道的展直长度，即弧AB的长(结果精确到0．1
mm)。
【活动方式】学生先独立思考，小组讨论，并派代表在全班交流，然后师生互动共同解析。
【思维启迪】要求管道的展直长度，即求弧AB的长，根据弧长公式，可求得弧AB的长，其中n为圆心角，R为半径。
【一生口述，师板书解题过程】
解：∵R＝40mm，n=110。
∴＝＝×40π≈76.8
mm，
因此，管道的展直长度约为76.8
mm。
【设计意图】让学生利用公式进行弧长的有关计算，明确弧长与所在圆的半径、圆心角的度数关系，熟练公式的应用，规范书写过程。
【自主先学二】【多媒体展示】：圆的面积公式是什么?
【合作探究二】扇形面积的计算公式：你能总结扇形的面积公式吗？
如果圆的半径为R，则圆的面积为πR2，仿照探究弧长公式的过程可知，1°扇形的面积占整个圆面积的，所以1°的圆心角对应的扇形面积为_______，n°的圆心角对应的扇形面积为_________。
因此扇形面积的计算公式为：，其中R为扇形的半径，n为圆心角。
【活动方式】学生思考，计算，小组讨论，总结扇形的面积的计算公式，师巡视，并答疑解难，绝大多数小组获得结论后，再组织汇报。
【小试身手】扇形AOB的半径为12
cm，∠AOB＝120°，求弧AB的长(结果精确到0.1
cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)
【活动方式】学生分组讨论，合作交流，教师参与到小组合作学习中，并给予必要的个别指导，师生共同补充完善。
【设计意图】引导学生自己根据已有的知识，用类比的方法解决与扇形有关的实际问题，教师此时乘胜追击，再出示小试身手，让学生及时巩固所学。
【合作探究三】弧长与扇形面积的关系：
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n和半径R有关系，请问，l和S之间有什么关系吗?换句话说，能否用弧长表示扇形面积呢？请大家互相交流。
【活动方式】让学生对比弧长及扇形面积公式进行探究、交流，师参与她们的活动之中，最后教师展示探讨的过程及结果：
解：
∵l=πR，S扇形=πR2，
∴πR2=R·πR，
∴
并引导学生想一想：扇形面积的第二个计算公式类似于哪种图形的计算公式？
【设计意图】通过弧长与扇形面积关系的探索，引导学生对比弧长公式和扇形面积公式，经过分析讨论得到扇形面积的第二种计算方法，让学生在分析对比中强化对知识的记忆。
三、实际应用，升华新知
:
1、学以致用：解决“欲穷千里目,更上一层楼”的问题：
【思路导航】如图，设弧AC代表地面，O为地球中心，C点离A点为500千米（即1000里）。显然，人站在A点是看不到C点处的景物的，因而需要登楼到B点处。这时，人的视线BC与⊙O相切，AB即为楼的最小高度。因为AB＝OB－OA，OA是地球半径，约等于6370千米，所以只需计算出OB即可。
【师生共析规范解题】
解：设的度数为
n°，由弧长公式得：即：
解得：在中，AB＝OB－OA＝6390－6370＝20千米通过计算表明，这幢楼至少要有20千米高，远远超过世界最高峰——珠穆朗玛峰的高度，这样高的楼现实生活中是没有的。
【设计意图】这节课一开始，以问题形式引入新课，学生是带着问题来学习新知识的，所以学习完新知识后，要带着学生回过头来，运用所学的知识解决开始的实际问题，让学生感受到学以致用，感受到用所学知识解决实际问题的快乐。
2、拓展应用：
如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽
度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120
°，问哪一把扇子扇面的面积大？
【活动方式】留出足够的时间让学生自主完成、讨论交流校对，学生展示讲解，教师给予补充提问，师生评判纠错完善，
【设计意图】进一步体会利用数学知识解决实际问题成功感，逐步培养学生的应用意识。
四、诱导反思,
归纳总结：
通过本节课的学习，你有哪些感悟与收获？
【活动方式】让学生畅所欲言地进行谈谈自己的收获和感受，其他学生听后进行思考并适当进行补充，最后教师可补充：在计算阴影面积问题时，可以通过规则图形的面积的和或差求解，也可以通过图形变化转化为规则图形求解。
【设计意图】引导学生对本节课进行系统的总结，学生能够在课堂上畅所欲言，并通过自己的归纳总结，进一步巩固所学知识，发挥学生的主体作用，培养分析归纳能力和语言表达能力。
五、达标测试，反馈矫正：
★级：轻松过关
——
打基础：
1、在半径为5的圆中，30°的圆心角所对的弧长为
（结果保留π）。
2、如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中∠AOB为120°,OC长为8cm，CA长为12cm，则阴影部分的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
★★级：快乐提升
——
练能力：
3、如图，为拧紧一个螺母，将扳手逆时针旋转60?，扳手上一点A转至点A1处，若OA长为25cm，则长为_________cm(结果保留)。
4、如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E的半径都是1，顺次连接五个圆心得五边形ABCDE，求图中五个扇形的面积之和（阴影部分）为
。
★★★级：体验中考
——
树信心：
5、（2014年云南省）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（ ）
A、
B．
2π
C．
3π
D．
12π
6、（2014?德州）如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是 ．
【活动方式】让学生在5~8分钟时间内做完，做完后小组内互评，教师跟踪学困生，对进步较快的给以语言激励，培养她们的自信心。
【设计意图】学生通过自评互评，可以全面了解自己的学习过程，及时进行反思，感受自己的成长和进步，同时为教师改进教学，实施因材施教提供重要依据。
六、布置作业，落实目标：
必做题：课本P102
习题3.11
第1、2、3、4题
选做题：(2014年四川资阳)如图，扇形AOB中，半径OA=2，
∠AOB=120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部
分面积是__
板书设计：
§3.9 弧长及扇形的面积
一、弧长的计算公式：l＝πR例：弧长公式的应用：
二、扇形的面积公式：S＝πR2小试身手：弧长及扇形的面积公式的应用：
三、探索弧长l及扇形的面积S之间的关系：S=lR四、实际应用：
学生板演区
学生板演区
R
l
A
A
A1
第2题图
第3题图
第4题图
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