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课题：2.5.1
二次函数与一元二次方程
课型：新授课
年级：九年级
教学目标:
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．理解二次函数与轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．
2．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．通过观察二次函数图象与轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．
3．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．具有初步的创新精神和实践能力．
教学重点与难点：
重点：体会一元二次方程与二次函数之间的联系．结合二次函数图象与轴的交点个数，理解何时一元二次方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根．
难点：探索一元二次方程与二次函数之间的联系的过程．理解二次函数与轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
课前准备：多媒体课件．
教学过程：
一．创设情境，导入新课
[师]我们学习了一元一次方程和一次函数后，讨论了它们之间的关系，请同学们回顾一下它们二者之间有何关系？
问题1：一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（
，
）,
一元一次方程x＋2＝0的根为________．
问题2：
一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为（
，
）,
一元一次方程－3x＋6＝0的根为________．
问题3：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根．
[师]现在我们学习了一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢？本课我们就来学习§2.5二次函数与一元二次方程第一课时．§2.5二次函数与一元二次方程（1）（板书课题）
处理方式：让学生独立解决3个问题，学生口答，教师对应课件展示答案.借此引导学生回顾总结元一次方程和一次函数之间的关系.
设计意图：首先利用所学习过的一元一次方程和一次函数的关系进行回顾，让学生进一步理解和掌握所学知识，为本课的学习做铺垫，最后提出问题“一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢？”自然引入新课.
二、合作探究，展示交流
探究一：二次函数的图象与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的解的关系
问题:画函数的图象,根据图象回答下列问题
(1)你的图象与x轴的交点坐标是什么？
(2)
当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程有什么关系?
(3)
你能从中得到什么启发？
处理方式:
1．先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数的图象．
2．教师巡视，与学生合作、交流．
3．教师讲评，并课件出示函数图象．
4．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－1，0)和(3，0)．
5．让学生完成(2)的解答。教师巡视指导并讲评．
6．对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数的图象与x轴交点的横坐标，即为方程的解；从“数”的方面看，当二次函数的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程的解．更一般地，函数的图象与x轴交点的横坐标即为方程的解；当二次函数的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系．
探究二：二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的解的关系
[师]请同学们观察下列三个二次函数的图象，①，②，③.（多媒体展示三个函数图象）.并回答下列问题：
(1)每个图象与轴有几个交点？
(2)一元二次方程，有几个实数根？用判别式验证一下。一元二次方程有实数根吗？
(3)二次函数的图象和轴交点的坐标与一元二次方程的根有什么关系？
处理方式：让学生以小组为单位进行讨论，充分发表自己的见解,寻求最合理的答案.
教师进行巡视，参与到学生的讨论之中，解答学生的疑难问题，获取信息，为讲解做准备.最后得出结论二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点．当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根．
设计意图：让学生通过自己动手去画二次函数图象，一方面可以使其进一步复习掌握二次函数图象的画法，巩固已学知识；另一方面使其直观感受到二次函数与x轴交点的三种情况，为探讨二次函数与一元二次方程之间的关系做铺垫，学生很容易发现二者之间的联系，进而降低了课本难度，利于学生理解和掌握新知.
三、应用新知，解决问题
【问题一】
[师]（多媒体展示）我们已经知道，竖直上抛物体的高度与运动时间的关系可以用公式表示，其中是抛出时的高度，是抛出时的速度．一个小球从地面被以的速度竖直向上抛起，小球的高度与运动时间的关系如下图所示，那么
(1)与的关系式是什么？
(2)小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流．
处理方式：请大家先进行讨论，发表自己的看法，然后再解答,并找学生板演解题过程．
(1)
与的关系式为，其中的为，小球从地面被抛起，所以．把，代入上式即可求出与的关系式．
(2)小球落地时为，所以只要令中的为，，求出即可．还可以通过观察图象得到．
【问题二】
[师]在上面问题一小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？
处理方式：先请大家先进行讨论，发表自己的看法，然后再展示学生解题过程．
设计意图：通过这两个实际问题使学生进一步的理解和掌握二次函数和一元二次方程之间的关系和联系，同时利用两种不同的方法进行求解，体现了解题方法的灵活性，同时也使学生进一步感受到数形结合的解题思想，也可以体会两种解题方法的不同之处和内在联系.
四、拓展训练,
能力提升
1.
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0
B．
a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0
C．
a＜0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac＞0
D．
a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0
2.
若关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为
.
3.一个足球被从地上向上踢出，它距地面的高度可以用公式来表示，其中表示足球被踢出后经过的时间.
⑴作出函数的图像；
⑵当，时，足球距地面的高度分别是多少？
⑶方程，的根的实际意义分别是什么？你能在图象上表示出来吗？
设计意图：对本节课知识进行巩固练习，同时也提升题目的难度，使学生能够综合应用本课所学习的二次函数与一元二次方程之间的关系进行解决问题.提升其解决问题的能力和应用能力.
五、归纳总结，深化目标
师:同学们经历了这节课的探索学习，你在知识上和方法上什么收获呢？请说说看.
处理方式：
同桌对讲，畅谈自己的感受和体会，学生发言，老师总结与归纳.
设计意图：让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力.
六、当堂检测，评价反馈
1．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．
开口向下
B．
对称轴是x=﹣1
C．
顶点坐标是（1，2）
D．
与x轴有两个交点
2．抛物线
与坐标轴的交点个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（ ）
A．
c＞0
B．
2a+b=0
C．
b2﹣4ac＞0
D．
a﹣b+c＞0
4．若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）
A．0
B．
0或2
C．
2或﹣2
D．
0，2或﹣2
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
七、布置作业，课堂延伸
必做题：课本53页，习题2.10第1题（2）、第2题．
选做题：关于x的函数y=（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．
设计意图：关注学生的个体差异，设置必做题和选做题,使每一个学生都有成功的体验，得到相应的提高与发展，体现课标的“使不同的学生得到不同的发展”这一宗旨．
板书设计：
§2.5二次函数与一元二次方程（1）
二次函数与一元二次方程的关系：
问题一讲解：
问题二讲解：
投影区
学
生
活
动
区
HYPERLINK
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"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共24张PPT)
人教版
九年级上
2.5
二次函数与一元二次方程（1）
北师大版九年级数学下册
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.
---达哥拉斯
创设情境，导入新课
（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（
，
）
一元一次方程x＋2＝0的根为_______．
（2）
一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为（
，
）
一元一次方程－3x＋6＝0的根为_______．
思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根．
－2
0
－2
2
0
2
创设情境，导入新课
现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=
ax2+bx+c(a≠0)
，它们之间是否也存在一定的关系呢？本课我们就来学习§2.5
二次函数与一元二次方程
第一课时．
合作探究，展示交流
(1)你的图象与x轴的交点坐标是什么？
(2)
当x取何值时，y＝0
？这里x的取值
与方程有什么关系？
(3)
你能从中得到什么启发？
问题:画函数
y=x2－2x－3的图象,根据图象
回答下列问题：
动手操作：画出y＝x2－2x－3的图象
x
y
y＝x2－2x－3
你的图象与x轴的交点坐标是什么？
函数y＝x2－2x－3的图象与x轴两个交点为：
（－1，0）（3，0）。
方程x2－2x－3
＝0的两根是：
x1＝
－1，x2
＝
3。
你发现了什么？
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根。
（2）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程去解决。
(1)
每个图象与x
轴有几个交点？
(2)
一元二次方程
x2+2x=0,
x2-2x+1=0有几个实数根?用判别式验证一下.一元二次方程
x2-2x+2=0
有实数根吗?
（3）二次函数y=ax2+bx+c
的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
观察下列二次函数y=x2+2x、
y=x2-2x+1、y=x2-2x+2的图象.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点;
②有一个交点；
③没有交点.
与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,
即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
有两个不等的实数根
有两个相等的实数根
没有数学根
有两个交点
有一个交点
没有交点
b2
–
4ac
>
0
b2
–
4ac
=
0
b2
–
4ac
<
0
二次函数
y=ax2+bx+c
的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系
ax2+bx+c
=
0
的根
y=ax2+bx+c
的图象与x轴的交点
若抛物线
y=ax2+bx+c
与
x
轴有交点，则_____________
．
b2
–
4ac
≥
0
已知，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式
h=-5t2+v0t+h0
表示,
其中h0(m)
是抛出时的高度,
v0(m/s)是抛出时的速度.
应用新知，解决问题
h=-5t2+v0t+h0，一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么：
1.h和t的关系式是？
2.图象上的每一个点的横、纵坐标分别代表什么含义？
3.小球经过多少秒后落地?
你有几种求解方法?与同伴进行交流.
h=－5t2＋40t．
2
4
6
8
8s.
可以利用图象，也可以解方程
－5t2＋40t=0。
拓展训练,
能力提升
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是(
)
A、
a＜0，
b＜0，
c＞0，b2﹣4ac＞0
B、
a
＞0，
b
＜0，
c
＞0，
b2﹣4ac
＜0
C、
a
＜0，
b
＞0，
c
＜0，
b2﹣4ac
＞0
D、
a
＜0，
b
＞0，
c
＞0，
b2﹣4ac
＞0
2.若关于x的函数
与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为
.
3.一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式h=－4.9t2＋19.6t
来表示．其中t(s)表示足球被踢出后经过的间．
(1)t=1时，足球的高度是多少？
(2)t为何值时，h最大？
(3)球经过多长时间球落地？
(4)方程－4.9t2＋19.6t
=0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?
(5)方程14.7=－4.9t2＋19.6t
的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?
(2)∵h=－4.9(t-2)
2+19.6
∴当t=2时，h最大.
(3)对于h=－4.9t2＋19.6t
球落地意味着h=0
即－4.9t2＋19.6t=0，解得t1=0(舍去),t2=4
．
即足球被踢出后经过4s后球落地.
(5)解方程
14.7=－4.9t2＋19.6t
得t=1,
t=3
表明球被踢出1秒和3秒时，离地面的高度都是14.7米图上表示为抛物线与直线h=14.7
的交点的横坐标.
(4)
方程－4.9t2＋19.6t
=0的根的实际意义是球离地和落地的时间，图上表示为抛物线与x轴交点的横坐
标.
回顾反思，提炼升华
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
课堂小结
二次函数
y=ax2+bx+c
的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=
0的根
一元二次方程ax2+bx+c=
0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
只有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
b2
–
4ac
>
0
b2
–
4ac
=
0
b2
–
4ac
<
0
当堂检测，评价反馈
1．对于二次函数y=(x﹣1)2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A、开口向下
B、对称轴是x=﹣1
C、顶点坐标是（1，2）
D、与x轴有两个交点
2．抛物线y=﹣3x2﹣x+4与坐标轴的交点个数是（ ）
A、3 B、2 C、1 D、0
3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（ ）
A、c＞0
B、2a+b=0
C、b2﹣4ac＞0
D、a﹣b+c＞0
4．若函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）
A、0
B、0或2
C、2或﹣2
D、0，2或﹣2
布置作业，课堂延伸
必做题：
课本
53页
习题2.10
第1（2）、2题．
选做题：
关于x的函数y=(m2﹣1)x2﹣(2m+2)x+2的
图象与x轴只有一个公共点，求m的值．
结束寄语
只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步.
下课了!
谢谢
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