(共12张PPT)
北师大版
九年级下册
2.5
二次函数与一元二次方程（2）
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac
>
0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac
=
0
没有交点
没有实数根
b2-4ac
<
0
复习提问
复习提问
1.若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数
y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是
.
（-2，0）和（3，0）
2.抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（
）
A、两个交点
B、一个交点
C、
没有交点
D、画出图象后才能说明
c
3.不画图象，求抛物线y=x2-x-6与x轴交点坐标.
解：∵解方程x2-x-6=0
得x1=-2和x2=3
∴抛物线y=x2-6x+4与x轴交点坐标为：
（-2，0）和（3，0）
(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
(2)观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间，
(3)确定方程x2+2x-10=0的解；
由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3，x2≈2.3.
活动探究
分别约为-4.3和2.3
你认为利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的时候，应该注意什么？
用一元二次方程的求根公式验证一下，看是否有相同的结果
x
-4.1
-4.2
-4.3
-4.4
y=x2+2x-10
x
2.1
2.2
2.3
2.4
y=x2+2x-10
其横坐标一个在-5与-4之间
另一个在2与3之间
约为-4.3.
约为2.3.
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
做一做P75
(3)观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).
(4)确定方程x2+2x-10=3的解；
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7，x2≈2.7.
(2)
作直线y=3；
(1)原方程可变形为x2+2x-13=0；
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
(3)观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标；
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).
(4)确定方程x2+2x-10=3的解；
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
(2)用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象；
解法2
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方
程ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤是怎样的？
课堂点睛
①用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象；
②观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；
③确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解
在求一元二次方程的解的时候，你愿意采用今天学习的这种方法吗？
二次函数y=-2x2+4x+1的图象如图所示，求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根.
驶向胜利的岸
(1)观察估计二次函数y=-2x2+4x+1的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-1与0之间,另一个在2与3之间,分别约为-0.2和2.2(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).
(2)
确定方程-2x2+4x+1=0的解；
由此可知,方程-2x2+4x+1=0的近似根为:x1≈-0.2，x2≈2.2.
课堂练习
课堂寄语
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，虽然对于我们现在解一元二次方程没有应用价值，但它体现了“数形结合”这一重要的数学思想方法也启示我们只要善于观察和思考，就能发现事物之间的各种联系，去探索科学的奥秘．
谢谢
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课题：2.5.2二次函数与一元二次方程
课型：新授课
年级：九年级
教学目标：
1．复习巩固用函数y＝ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c＝0的解．
2．让学生体验一元二次方程ax2+bx+c
=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c
与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标的探索过程，掌握用图象交点的方法求一元二次方程ax2+bx+c
=h的近似根．
3．利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想.
教学重点与难点：
重点：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.
2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程.
难点：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根并且估算.
教学过程：
一、复习回顾，开辟道路
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
1．若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是
.
2．抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（
）
A、两个交点
B、一个交点
C、没有交点
D、画出图象后才能说明
3．不画图象，求抛物线y=x2-x-6与x轴交点坐标.
处理方式：以问题的形式引导学生思考，让学生思考并回答以上问题，在集体交流时，对于学生给出的正确答案给予肯定，不足之处给予纠正．
设计意图：这一环节属于课前热身训练准备利用5分钟时间让学生尽快进入到学习新知识的准备中来.问题（1）（2）是对上节课知识内容的复习，考察学生对二次函数与一元二次方程关系的理解是否准确.问题（3）即作为对上节课内容的回顾，又为引入本节新课作好了铺垫.
二、尝试成功，探究创新
活动内容：
上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y=0时的一元二次方程的根．于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？（精确到0.1）
x
－4.1
－4.2
－4.3
－4.4
y
－1.39
－0.76
－0.11
0.56
x
2.1
2.2
2.3
2.4
y
－1.39
－0.76
－0.11
0.56
处理方式：引导学生回顾画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象步骤方法,
观察估计二次函数y=
x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标,
由图象可知，图象与x轴有两个交点，其横坐标一个在-5与-4之间，另一个在2与3之间．所以方程x2+2x-10=0的两个根一个在-5与-4之间，另一个在2与3之间．既然一个根在-5与-4之间，那这个根一定是负4点几，所以个位数就确定下来了，接着确定十分位上的数，这时可以用试一试的方法，即分别把x=-4.1，-4.2，…，-4.9代入方程进行计算，哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立)，则这个值就是方程的根(或近似根).
从上表可知，当x取-4.4或-4.3时，对应y的值由正变负，可见在-4.4和-4.3之间一定有一个x得值使y=0，即有方程x2+2x-10=0的一个根.由于当x=-4.3时，y=-0.11比y=0.56（x=-4.4）更接近0.所以选x=-4.3.因此，方程x2+2x-1=0在-5和-4之间精确到0.1的根为x=-4.3.
设计意图：本环节是本节新课的重点内容，题目的设计意图一是让学生巩固对二次函数图象抛物线的形成的认识，其二主要是让他们运用二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根的原理，经历一元二次方程根的近似值探索过程，进一步体会二次函数与方程之间的联系.
三、例题讲解，学以致用
活动内容：
1.利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－13＝0的近似根
x
－4.5
－4.6
－4.7
－4.8
－4.9
y
－1.75
－1.04
－0.31
0.44
1.21
x
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
y
－1.75
－1.04
－0.31
0.44
1.21
2.你能利用函数y＝x2＋2x－13的图象求方程x2＋2x－10＝3的近似根吗？
3.你能利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根吗？
处理方式：(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象.
由图可知，图象与x轴的两个交点的横坐标中，一个在－5与－4之间，一个在2与3之间，因此两个根分别为负4点几和2点几，下面用计算器进行探索．因此x＝－4.7，x＝2.7是方程的近似根．
（2）用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象(3)
作直线y=3；(4)
观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；
由图象可知，它们有两个交点，其横坐标一个在-5与-4之间，另一个在2与3之间，分别约为-4.7和2.7.(5)
确定方程x2+2x-10=3的解；由此可知，方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7，x2≈2.7．
设计意图：让学生理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c
与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标这一代数原理，培养学生熟练画函数图象的能力，提高运算的准确性和熟练使用计算器的能力.由于要列表、取值计算、描点的工作量较大，教学中我组织了学生在学习小组内合作、分工来完成，借此培养学生合作意识.
四、巩固提升
展示自我
活动内容：
你能利用二次函数的图象求一元二次方程3x2-x=1的近似根吗？
处理方式：学先让学生思考，完成练习后，再用课件展示图例,并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：通过这道题目对学生的掌握情况进行反馈，发现学生在解决这类问题是存在的不足之处，如果学生感觉到困难，可以进行小组讨论或者教师加以引导点拨．
五、总结概括，整理知识
通过本节课的学习，哪些是你记忆深刻的？本节课的学习值得思考的还有是什么？
处理方式：由学生进行课堂小结，要给学生充足的时间进行思考，得出结论后，再进行集体交流和课件展示.
设计意图：鼓励学生结合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，通过学生的发言，观察他们是否理解了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标，是否掌握了用画图象的方法来探求方程根的方法.
六、达标测试，反馈纠正
1．一元二次方程x2+7x+9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图象有什么关系?
试把方程的根在图象上表示出来．
2．二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则m
的最大值为（
）
A、－3
B、3
C、-6
D、9
3.若x1，x2是方程(x－a)(x－b)=
1（a＜b）的两个根，
则实数x1，x2，a，b的大小关系为
A、x1＜x2＜a＜b
B、x1＜a＜x2＜b
C、x1＜a＜b＜x2
D、a＜x1＜b＜x2
处理方式：学生在学案上做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：本环节是考察同学们是否理解了用图象法求方程根的方法，能否快速准确的利用图象探求方程根的近似值，观察他们是否能自觉利用化归思想把复杂问题转化简单情况解决.
七、布置作业，落实目标
课本习题P55
随堂练习
板书设计：
§2.5二次函数与一元二次方程（2）
引例
例：
学生板演区
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