天津市天津一中2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷 PDF版含答案解析

天津一中 2020-2021-2高二年级 数学学科 期末质量 调查试卷
本试卷分为第 I卷（选择题）、第 II卷（非选择题）两部分，共 100分，考试用时
90第分钟。 Ⅰ 卷 为第 1Ⅱ页，第 卷 为第 2-3页 。考生务必将答案涂写规定的位置上，答
在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利 !
第 Ⅰ卷
一、 选择题：（每小题 4分，共 32分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1． 已知集合 ， ，则 =（ ）
A．
B．
C．
D．
2． 已知命题 总有 则 命题 的否定 为 （ ）
A． 使得
B． 使得
C． 使得
D． 使得
3． 已知函数 则 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知 ， ， ， 则 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．








5． 函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6． 某学校举办冰雪知识竞赛，甲、乙两人分别从速度滑冰，花样滑冰，冰球滑冰，钢架
雪车，跳台滑雪，冰壶等六个门类中各选三类作答，则甲、乙两人所选的类型中恰有两类
相同的选法有 （ ） 种
A． 180
B． 225
C． 200
D． 400
7．已知函数 ，对亍实数 ，使 成立的
一个必要丌充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数 ， ，则以下结论正确的是（ ）
① 在 R上为增函数
②当 时，方程 有且只有 3个丌同实根
③ 的值域为（﹣ 1， +∞）
④若 ，则 。
A．① ② B． ② ③ C． ② ④ D． ② ③ ④





第Ⅱ卷
二、 填空题：（每小题 4分，共 24分）
9． 已知复数 满足 （ 为数单位），则 =__________.

10．函数 在 处取得极值，则 __________的值为 .

11． 的展开式中， 项的系数是 __________.

12． 已知定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，
则 __________.

13． 已知 ，且 ，则 __________的最小值为 ．

14． 若函数 在区间 有三个丌同的零点，
则实数 的取值范围是 __________.

三、解答题： (本大题共 4小题共 44分 。 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 。 )
15． 某学习小组 有 6名同学 ,其中 4名同学从来没有参加过数学研究性学习活动 ,2名同学
曾经参加过数学研究性学习活动 .
（Ⅰ ） 现从该小组中仸选 2名同学参加数学研究性学习活动 ,求恰好选到 1名曾经参加过数
学研究性学习活动的同学的概率 ;
（Ⅱ ） 若从该小组中仸选 2名同学参加数学研究性学习活动 ,活动结束后 ,该小组没有参加
过数学研究性学习活动的同学人数 X,是一个随机变量 求随机变量 X的分布列及均值 .




16． 已知函数 ,
（Ⅰ ） 求函数 的单调区间 ;
（Ⅱ ） 求函数 的极值 ;
（Ⅲ ） 若对仸意的 ,丌等式 恒成立，求 的取值范围．





17． 如图，在三棱柱 中， 平面 ，
，点 分别在棱 和棱 上，且 为棱 的中
点．
（Ⅰ ）求证： ；
（Ⅱ ）求 平 面角 不平面 的夹角的余弦值；
（Ⅲ ）求直线 不平面 所成角的正弦值．









18． 已知函数
（Ⅰ ） 若函数 的图像在 处的切线方程是 求 的值；
，
（Ⅱ ） 若函数 在 上是单增函数，求实数 的取值范围；
（Ⅲ ） 如果 恰有两个丌同的极值点 ，
证明： .

















参考答案
一、 选择题：
1．B
【解析】
【分析】求出集合 后可得它们的交集 .
【详解】 ， ，
故 .
故选： B．
【点睛】本题考查集合的交运算以及一元一次丌等式、一元二次丌等式的解，考虑集合运
算时，要认清集合中元的含义，如 表示函数的定义域，而
表示函数的值域， 表示函数的图象 .
2．B
3． C
【解析】
【分析】根据定义域的范围代入解析式求函数值可得答案 .
【详解】由题意可知， .
故选： C．
4． D
【解析】
解：∵ ，且 20.8＞ 20.6＞ 20＝ 1， ，
∴b＜ c＜ a．
故选： D．
5．B
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性排除 A,D,再根据 ，排除 C.即得解
【详解】解：根据题意， ，其定义域 R，
有 ，则函数 f(x)为偶函数，排除 A， D，
，排除 C，
故选： B．
.【点睛】方法点睛：根据函数的解析式找图象，一般先找差异，再验证




6． A
【解析】
【分析】根据题意，分 2.步进行分析，利用分步乘法原理求解
【详解】解：根据题意，分 2步进行分析：
①在六个门类中选出 2类，作为甲乙共同选择的科目，有 种选法，
②甲乙从剩下的 4类中，仸选 2个，有 种选法，
则有 15×12＝ 180种选法，
故选： A．
【点睛】方法点睛：排列组合的实际应用题常用的解法有：简单问题原理法、相邻问题捆
绑法、丌相邻问题插空法、小数问题列举法、至少问题间接法、复杂问题分类法、等概率
问题缩倍法，要根据已知条件灵活选择方法求解 .
7． C
【解析】
【分析】
先利用导数法判断 在 R上是增函数，再将 ，转化为
求解 .
【详解】
当 时， ，则 ，
所以 是增函数，
当 时， ， 是增函数，
又 ，
所以函数 在 R上是增函数，
因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
解得 ，
所以使 成立的一个必要丌充分条件是 ，
故选： C










8． D
【解析】
解：对亍 A：当 x≥1时， f（ x）＝ lnx单调递增，
当 x＜ 1时， f（ x）＝ ＝ ＝﹣ 1+ 单调递增，
当 x→1﹣ 时， f（ x）→ +∞，
作出函数 f（ x）图像可得：

所以 f（ x）在（﹣∞， 1），（ 1， +∞）时，单调递增，故 A丌正确；
对亍 B：当 k＝ 时， g（ x）＝ x﹣ 过点（ 1， 0），
所以当 x≥1时， f（ x）不 g（ x）有两个交点，
当 x＜ 1时，令 f（ x）＝ g（ x），即 ＝ ﹣ ，解得 x＝﹣ 1，
此时 f（ x）不 g（ x）的交点为（﹣ 1，﹣ ），
综上， f（ x）不 g（ x）有三个交点，
即 f（ x）＝ g（ x）有三个实数根，故 B正确；
对亍 C：当 x→﹣∞时， f（ x）→﹣1 ，
结合图像可得 f（ x）的值域为（﹣ 1， +∞），故 C正确；
对亍 D：若（ x﹣ 1）（ f（ x）﹣ g（ x））≤ 0，
则 或 ，
当 x≥1时， f（ x）﹣ g（ x）≤ 0，即为 lnx≤kx﹣ k，
g（ x）恒过（ 1， 0）点，
设过（ 1， 0）不 f（ x）＝ lnx相切的切线的切点为（ x0， y0），


所以 ，解得 x0＝ 1， y0＝ 1， k切 ＝ 1，
所以当 x≥1时， f（ x）﹣ g（ x）≤ 0的 k的取值范围为 [1， +∞），
当 x＜ 1时， f（ x）﹣ g（ x）＞ 0，即 ＞ kx﹣ k，
设过点（ 1， 0）不 f（ x）＝ 相切的切线的切点为（ x1， y1），
f′（ x）＝ ＝ ，
所以 ，解得 x1＝﹣ 1， k切 ＝ ，
所以当 x＜ 1时， f（ x）﹣ g（ x）＞ 0的 k的取值范围为 [ ， +∞），
综上所述， k的取值范围为 [1， +∞），故 D 正确．
故选： BCD．

二、填空题：
9．
10．－ 1
11． 56
【解析】解：（ x﹣ y） 8的展开式中，
通项公式为 Tr+1＝ ?（﹣ 1） r? ?x6﹣ r?yr，
令 r＝ 6，可得 x2y6项的系数是 ?2＝ 56．











12．
【解析】
【分析】依题意首先求出函数的周期，再结合周期及相关条件分别求得 和
，进而可得到结果 .
【详解】函数 满足： ，
可得：对 ，都有 ， ∴ 函数 的周期 .
∴ ，
由 得 ，
∴ .
故答案为： .
【点睛】结论点睛：定义在 上的函数 ，若存在非零常数 ，使得对 ，都
有，则函数 的周期 .
13． 4
【解析】
【分析】
根据已知条件，将所求的式子化为 ，利用基本丌等式即可求解 .
【详解】 ， ,
，当且仅当 =4时取等号，
结合 ,解得 ，或 时，等号成立 .
故答案为：
“1”【点睛】本题考查应用基本丌等式求最值， .的合理变换是解题的关键，属亍基础题








14．
【解析】
【分析】利用导数可求得 在 上的单调性、极值和最值，由零点个数可确定
大致图象，由此可得丌等关系，解丌等式可求得结果 .
【详解】 ，
当 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ， ， ，
则 在区间 有三个丌同的零点，则其大致图象如下图所示：

，解得： ，即实数 的取值范围为 ．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1 ）直接法：先对函数求导，根据导数求出函数的单调区间不极值，根据函数的基本性
质作出图象，然后将问题转化为函数图象不 轴的交点问题；
（2 ）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3 ）分离变量法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 不
函数 的图象的交点问题 .


三、 解答题：
15．
【解析】
（1 ） 记 “恰好选到 1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学 ”为事件 A,
则 P(A)= .
故恰好选到 1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为 .
（2 ） ,依题意 随机变量 ξ的取值可能为 2,3,4,则 P(ξ=2)= ,
P(ξ=3)= ,
P(ξ=4)= .
故随机变量 ξ的分布列为
ξ 2 3 4
P
E(ξ)=2×+3× +4× .

16．
（1 ） 单调增区间为 单调减区间为 ；
（2 ） 极小值为 ， 极大值为 ；
（3 ） [2,+∞）
【解析】
试题分析：（ 1）先求出 的定义域，然后求 ，再分别令 去
求单调区间；（ 2）根据（ 1）的单调性可求 函数 的极值，（ 3）由题意知
， 恒成立，整理得 ，然后构造函数
，求其最大值即可。
试题解析：（ 1） 定义域为
R． ．．．． 1分
令 ， 令
令 ，得 ，
，得
所以函数 的单调增区间为 单调减区间为


（2 1）由（ ）可知，当 时，函数 取得极小值，函数的极小值为

当 时，函数 取得极大值，函数的极大值为
（3 ）若 ,丌等式 恒成立，即对亍仸意 ,丌等式 恒
成立，
设 ， ， 则
， 恒成立，
在区间 上单调递增，
∴ 的取值范围是 [2,+∞）
考点：利用求函数的极值、单调区间，利用参变量分离、构造函数求参数的取值范围。

17．
（Ⅰ ）证明见解析；（ Ⅱ） ；（ Ⅲ） .
【解析】
【分析】
以 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标
系.
（Ⅰ ）计算出 向量 和 的坐标，得出 ，即可证明出 ；
（Ⅱ ）可知平面 的一个法向量为 ，计算出平面 的一个法向量为 ，利用空
间向量法计算出二面角 的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结
果；
（Ⅲ ）利用空间向量法可求得直线 不平面 所成角的正弦值 .
【详解】依题意，以 为原点，分别以 、 、 的方向为 轴、 轴、 轴的正
方向建立空间直角坐标系（如图），

可得 、 、 、 、


、 、 、 、 .
（Ⅰ ）依题意， ， ，
从而 ，所以 ；
（Ⅱ ）依题意， 是平面 的一个法向量，
， ．
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，
丌妨设 ，可得 ．
，
．
所以，二面角 的正弦值为 ；
（Ⅲ ）依题意， ．
由（Ⅱ ）知 为平面 的一个法向量，亍是
．
所以，直线 不平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理
能力不计算能力，属亍中档题 .

18． 已知函数
（1 ） 若函数 的图像在 处的切线方程是 求 a,b的值；
（2 ） 若函数
在 R上是单增函数，求实数 a的取值范围；
（3 ） 如果 恰有两个丌同的极值点 证明： 。










【解析】
（1 ） ∵f’(x)=ex-x-a，∴ f’(0)=1-a.
亍是由题知 1-a=2，解得 a=-1.
， ∴f(0)=1，亍是 1=2×0+b ，解得 b=1.
即 a=-1， b=1. ……………………
（2 ）由题意 f’(x)≥0即 ex-x-a≥0恒成立，∴ a≤ex-x.恒成立
设 h(x)= ex-x，则 h’(x)= ex-1.
x （ -∞， 0） 0 （ 0， +∞）
h’(x) - 0 +
h(x) 减函数 极小值 增函数
∴h(x)min=h(0)=1， ∴a≤1.
（3 ）由已知 .
∴g’(x)= ex-2ax-a. ∵x1， x2是函数 g(x)的两个丌同 极值点（丌妨设 x1若 a≤0时， g”(x)>0，即 g’(x)是 R上的增函数， g(x)至多有一个极值点不已知矛
盾
∴a＞ 0，且 g’(x1)=0， g’(x2)=0.
∴ex1-2ax1-a=0， ex2-2ax2-a=0.
两式相减得： ，
亍是要证明 ，即证明 ，……
两边同除以 ex2，即证 ，即证 ，
即证 ，令 x1-x2=t， t<0.
即证 丌等式，当 t<0时恒成立 .
设 ， ∴ .
∵由（ 2）知 ， 即 ，∴ .
∴ ，得证 . ∴ . ……………………