1.3函数的基本性质-人教A版高中数学必修一跟踪练习（Word含答案）

1.3函数的基本性质跟踪练习
一、单选题
1.已知f(x)为R上的减函数,则满足f (1x) >f(1)的实数x的取值范围是(?? )
A.?(-∞,1)????????????????????????B.?(1,+∞)????????????????????????C.?(-∞,0)∪(0,1)????????????????????????D.?(-∞,0)∪(1,+∞)
2.下列函数 f（x） 中，满足“对任意 x1，x2∈(0，+∞) ，且 x1f(x2) ”的是（??? ）
A.?f（x）=x?????????????B.?f（x）=x?2x?????????????C.?f（x）=x2+x?2?????????????D.?f（x）=?x3
3.已知函数 f(x)=x3?3sinx+2 ，若 f(m)=3 ，则 f(?m)= （??? ）
A.?-3??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?2
4.已知函数 f(x)=(14)x?4x ，则 f(x) （??? ）
A.?是奇函数，且在 R 上是增函数 B.?是偶函数，且在 R 上是增函数
C.?是奇函数，且在 R 上是减函数 D.?是偶函数，且在 R 上是减函数
5.已知函数 f(x)=loga(?x2?2x+3) （ a>0 ， a≠1 ），若 f(0)<0, 则此函数的单调递增区间是(??? )
A.?(－∞，－1)?????????????????????????B.?[?1,+∞)?????????????????????????C.?[?1,1)?????????????????????????D.?(－3，－1]
6.已知 f(x)={(3a?1)x+4a,x<1logax,x≥1 满足对任意的 x1,x2∈R,x1≠x2, 有 f(x1)?f(x2)x1?x2<0 成立，那么 a 的取值范围是（??? ）
A.?[17，13)????????????????????????????????B.?(0，13)????????????????????????????????C.?[17，1)????????????????????????????????D.?(13，1)
7.定义在R上的奇函数 f(x) ，对任意的 x1,x2∈(?∞,0) ，都有 (x1?x2)[f(x1)?f(x2)]<0 ， f(?1)=0 ，则不等式 xf(x)<0 的解集是（? ?）
A.?(?1,0)∪(0,1)???????B.?(?∞,?1)∪(0,1)???????C.?(?∞,?1)∪(1,+∞)???????D.?(?1,0)∪(1,+∞)
8.已知 f(x) 是定义在 [?1,1] 上的奇函数，对任意的 x1 ， x2∈[?1,1] ，均有 x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1) .且当 x∈[0,1] 时， 2f(x5)=f(x) ， f(x)=1?f(1?x) ，那么表达式 f(?1902020)+f(?1912020)+?+f(?3192020)+f(?3202020)= （??? ）
A.??654????????????????????????????????B.?-65????????????????????????????????C.??1314????????????????????????????????D.??1312
二、填空题
9.已知函数 f(x) 是定义在?R上的奇函数，且当 x>0 时， f(x)=2x?1 ，则 f(f(?1)) 的值为________．
10.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________.
11.已知函数 f(x)=log3(?x2+4x+5) ，则函数 f(x) 的单调递减区间为________.
12.已知函数 f(x)=|x3?a|+|3x?b|(a,b∈R) .当 x∈[0,2] ， f(x) 的最大值为 M(a,b) ，则 M(a,b) 的最小值为________
三、解答题
13.已知函数 f(x)=ex?e?x .
（1）判断函数 f(x) 的奇偶性，并证明；
（2）证明函数 f(x) 在R上单调递增；
（3）若 f(1?m)+f(2m+1)≤0 ，求实数 m 的取值范围.
14.已知函数 f(x)=1?4x1+4x+log31?x1+x ．
（1）求 f(log20212020)+f(log202112020) 的值；
（2）若对于区间 [?12,12] 内的每一个 x ，都有 f(x)>4x+m 恒成立，求实数 m 的范围．
15.关于函数对称性的问题，有如下事实：
①证明函数图象的对称性就是证明图象上点的对称性．例如，证明函数图象关于y轴对称，就是证明图象上的任一点关于y轴的对称点也在图象上．
②点的坐标能满足函数关系式就说明点在函数图象上．
16.定义在 (0,+∞) 上的函数 f(x) ，满足 f(mn)=f(m)+f(n)(m,n>0) ，且当 x>1 时， f(x)>0 .
（1）求证： f(mn)=f(m)?f(n) ；
（2）求证： f(x) 在 (0,+∞) 上是增函数；
（3）若 f(2)=1 ，解不等式 f(x+2)?f(2x)>2 .
答案解析部分
1.D 2. D 3. C 4. C 5. C 6. A 7. C 8. C
9. -1 10.(?∞,?6]∪[4,+∞) 11.（2,5） 12. 7
13.【答案】 （1）解：函数 f(x) 的定义域是 R ，
因为 f(?x)=e?x?ex=?(ex?e?x)=?f(x) ，
即 f(?x)=?f(x) ，所以函数 f(x) 是奇函数.
（2）证明：任取 x1,x2∈R ，且 x1f(x1)?f(x2)=ex1?e?x1?ex2+e?x2
=(ex1?ex2)+ex1?ex2ex1+x2 =(ex1?ex2)(1+1ex1+x2)
∵x1∴f(x1)?f(x2)<0 ，??? ∴ f(x) 在R上单调递增.
（3）解：由（1）(2)知函数 f(x) 是奇函数，
所以 f(1?m)≤?f(2m+1)=f(?2m?1) .
又函数 f(x) 是 R 上的增函数，
所以 1?m≤?2m?1 ，解得 m≤?2 .
故实数 m 的取值范围是 (?∞,?2] .
【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性定义即可判断.（2）利用函数的单调性定义以及证明函数单调性的步骤：“任取、作差、变形、定号”即可证明.（3）利用奇偶性将不等式转化为 f(1?m)≤f(?2m?1) ，再利用单调性可得 1?m≤?2m?1 ，解不等式即可求解.
14.【答案】 （1）解：根据题意可知 1?x1+x>0 ，解得 ?1f(?x)=1?4?x1+4?x+log31+x1?x=4x(1?4?x)4x(1+4?x)+log3(1?x1+x)?1=4x?14x+1?log31?x1+x=?f(x) ，
∵0因此， f(log20212020)+f(log202112020)=f(log20212020)+f(?log20212020)=0 ；
（2）解：由于不等式 f(x)>4x+m 在区间 [?12,12] 上恒成立，
即不等式 m令 g(x)=f(x)?4x ，则 m易知函数 y=1?4x1+4x=2?(1+4x)1+4x=?1+21+4x 为 [?12,12] 上的减函数，
对于函数 y=log31?x1+x=log32?(1+x)1+x=log3(?1+21+x) ，
由于内层函数 u=21+x?1 为 [?12,12] 上的减函数，外层函数 y=log3u 为增函数，
所以，函数 y=log3(?1+21+x) 为 [?12,12] 上的减函数，
所以，函数 g(x)=f(x)?4x 为 [?12,12] 上的减函数，
所以，当 x∈[?12,12] 时， g(x)min=g(12)=1?21+2+log31?121+12?2=?103 ， ∴m因此，实数 m 的取值范围是 (?∞,?103) .
【解析】【分析】（1）利用函数的定义推导出函数 f(x) 为奇函数，进而可计算出 f(log20212020)+f(log202112020) 的值；（2）由参变量分离法可得出 m15.【答案】 （1）解：①先证充分性（如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数．）
设函数y＝f(x)，在函数图象上取两点(x，f(x))，(－x，f(－x))．
因为函数的图象关于y轴对称，所以横坐标互为相反数的两个点的纵坐标应该相等，即f(x)＝f(－x)，
所以函数y＝f(x)为偶函数．
②再证必要性（如果一个函数是偶函数，那么它的图象关于y轴对称．）
设y＝f(x)是偶函数，要证明图象关于y轴对称，即证明图象上任意一点关于y轴的对称点还在自身图象上，
设P(x，y)为f(x)图象上任意一点，则y＝f(x)，
此时P关于y轴的对称点P′(x'，y')，则x'＝－x，y'＝y，
又函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即y＝f(x)＝f(－x)＝y′，所以点P′(x'，y′)在函数f(x)图象上．
所以函数y＝f(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．
（2）解：g(x)＝(x＋1)4－1，设x＝a为g(x)的对称轴，由题意，g(x＋a)＝(x＋1＋a)4－1为偶函数．
任取x∈R，g(x＋a)＝g(－x＋a)，所以(x＋1＋a)4－1＝(－x＋1＋a)4－1，
所以[(x＋1＋a)2＋(x－1－a)2]×[ (x＋1＋a)2－(x－1－a)2]＝0，
所以[(x＋1＋a)2＋(x－1－a)2]×4(1＋a)x＝0恒成立，故1＋a＝0，则a＝－1，
所以g(x)的对称轴为直线x＝－1．
（3）解：因为函数y＝h(x＋2)为偶函数，且y＝h(x)在(2，＋∞)上单调递减，
所以│m－2│＜│1－2m－2│，
解得m＜－3或 m>13 ，
所以m的取值范围(－∞，－3)∪( 13 ，＋∞)．
【解析】【分析】（1）①先证充分性，设函数y＝f(x)，在函数图象上取两点(x，f(x))，(－x，f(－x))．由点的坐标可得证．②再证必要性，设y＝f(x)是偶函数，要证明图象关于y轴对称，即证明图象上任意一点关于y轴的对称点还在自身图象上，设点的坐标可得证．（2）g(x)＝(x＋1)4－1，设x＝a为g(x)的对称轴，由g(x＋a)＝g(－x＋a)，可求得a，从而得g(x)的对称轴．（3）因为函数y＝h(x＋2)的奇偶性和y＝h(x)在(2，＋∞)上单调性，得出不等式│m－2│＜│1－2m－2│，解之可得答案．
16.【答案】 （1）证明：由题可得 f(m)=f(mn?n)=f(mn)+f(n) ，
即 f(mn)=f(m)?f(n)
（2）证明：任取 x1 ， x2∈(0,+∞) ，且 x11 .
由（1）得： f(x2)?f(x1)=f(x2x1)>0 ，即 f(x2)>f(x1) .
∴f(x) 在 (0,+∞) 上是增函数.
（3）解： ∵f(2)=1 ， ∴2=f(2)+f(2)=f(4) ，
f(x+2)?f(2x)>2?f(x+2)>f(2x)+f(4)?f(x+2)>f(8x)
又 f(x) 在 (0,+∞) 上为增函数，
∴{x+2>0,2x>0,x+2>8x, 解得 0故不等式 f(x+2)?f(2x)>2 的解集为 {x|0【解析】【分析】（1）由于 f(m)=f(mn?n) ，结合题意即可得结果；（2）利用定义证明单调性即可；（3）将原不等式等价转化为 f(x+2)>f(8x) ，结合定义域和单调性即可得结果.