3.1函数与方程-人教A版高中数学必修一跟踪练习（Word含答案）

3.1函数与方程跟踪练习
一、单选题
1.已知函数 f(x)=x?lnx?1 ， g(x)=ln|x| ， F(x)=f[g(x)] ， G(x)=g[f(x)] ，给出以下四个命题：① y=F(x) 为偶函数；② y=G(x) 为偶函数；③ y=F(x) 的最小值为0；④ y=G(x) 有两个零点．其中真命题的是（??? ）．
A.?②④????????????????????????????????????B.?①③????????????????????????????????????C.?①③④????????????????????????????????????D.?①④
2.已知函数 f(x)={?(x+1)2+2,x≤0|log2x|,x>0 ，若方程 f(x)=a 有四个不同的解 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ，且 x1A.?(?74,?12]???????????????????B.?[?32,?74]???????????????????C.?[?74,?12)???????????????????D.?(?314,?32]
3.对于定义域为R的函数 f(x) ，若存在非零实数 x0 ，使函数 f(x) 在 (?∞,x0) 和 (x0,+∞) 上与 x 轴都有交点，则称 x0 为函数 f(x) 的一个“界点”.则下列四个函数中，不存在“界点”的是(?? )
A.?f(x)=2x?x2?????????B.?f(x)=x2+bx?2(b∈R)?????????C.?f(x)=1?|x?2|?????????D.?f(x)=x?sinx
4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数 y=[x],x∈R 称为高斯函数，其中 [x] 表示不超过x的最大整数.设 {x}=x?[x] ，则函数 f(x)=2x{x}?x?1 的所有零点之和为（??? ）
A.?-1???????????????????????????????????????????B.?0???????????????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????????????????D.?2
5.对于函数 f(x)=x|x|+x+1, 下列结论中正确的是（??? ）
A.?f(x) 为奇函数???????????????????????????????????????????????????? B.?f(x) 在定义域上是单调递减函数
C.?f(x) 的图象关于点 (0,1) 对称????????????????????????????D.?f(x) 在区间 (0,+∞) 上存在零点
6.已知关于 x 的方程 x4+3ax2+(13a2+2)|x|+a3+3a2?a?3=0 有唯一实数解，则实数 a= （??? ）
A.?±1，-3??????????????????????????????????B.?±1??????????????????????????????????C.?1，-3??????????????????????????????????D.?-1，-3
7.已知函数 f(x)={?(x+1)2+2,x≤0|log2x|,x>0 ，若方程 f(x)=a 有四个不同的解 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ，且 x1A.?(?74,?12]???????????????????B.?[?32,?74]???????????????????C.?[?74,?12)???????????????????D.?(?314,?32]
8.对于定义域为R的函数 f(x) ，若存在非零实数 x0 ，使函数 f(x) 在 (?∞,x0) 和 (x0,+∞) 上与 x 轴都有交点，则称 x0 为函数 f(x) 的一个“界点”.则下列四个函数中，不存在“界点”的是(?? )
A.?f(x)=2x?x2?????????B.?f(x)=x2+bx?2(b∈R)?????????C.?f(x)=1?|x?2|?????????D.?f(x)=x?sinx
二、填空题
9.若函数 f(x)={ex,x≤0x2?1,x>0 ，则函数 y=f(x)?1 的零点是________.
10.若三次函数 f(x)=a3x3?32x2+(a+1)x+1 的导函数 f′(x) 的图象如图所示，则实数 a 的值是________．

11.已知二次函数 y=x2?4x+m ， m 为实数.
⑴若此函数有两个不同的零点，一个在 (?∞,1) 内，另一个在 (2,+∞) 内则 m 的取值范围是________
⑵若此函数的两个不同零点都在区间 (1,+∞) 内，则 m 的取值范围是________.
高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数 y=[x] ， x∈R 称为高斯函数，其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数. 设 {x}=x?[x] ，则函数 f(x)=2x{x}?x?1 的所有零点之和为________.
三、解答题
13.已知函数f（x）=x2+（a+2）x+b满足f（﹣1）=﹣2
（1）若方程f（x）=2x有唯一的解；求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间[﹣2，2]上不是单调函数，求实数a的取值范围．
14.已知函数f（x）=|2x﹣1|．
（1）叙述y=2x的图象经过怎样的变换得到函数f（x）=|2x﹣1|的图象？
（2）利用图象回答下列问题：
①指出单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数（不要求证明）；
②讨论方程|2x﹣1|=k的根的情况（只需写出结果，不要解答过程）．
15.已知函数 f(x)=ax2+bx+4 ,其中 a,b∈R ,且 a≠0 .
（1）若函数 y=f(x) 的图像过点 (?3,1) ,且函数 f(x) 只有一个零点,求函数 f(x) 的解析式;
（2）在（1）的条件下,若 a∈Z ,函数 g(x)=ln[f(x)?kx] 在区间 [2,+∞) 上单调递增,求实数 k 的取值范围.
16.已知函数 f(x)=x?alnx(a∈R)
（1）当 a>0 时，求函数 f(x) 的单调区间；
（2）谈论函数 f(x) 的零点个数
答案解析部分
1. C 2. D 3. D 4. A 5. C 6. A 7. D 8. D
9.0或 2 10. 1 11. (?∞,3)；（3,4） 12. -1
13.【答案】 （1）解：∵f（﹣1）=﹣2
∴1﹣（a+2）+b=﹣2即b﹣a=﹣1?? ①
∵方程f（x）=2x有唯一的解即x2+ax+b=0唯一的解
∴△=a2﹣4b=0??? ②
由①②可得a=2，b=1
（2）解：由（1）可知b=a﹣1
∴f（x）=x2+（a+2）x+b=x2+（a+2）x+a﹣1
其对称轴为x=﹣ a+22
∵函数f（x）在区间[﹣2，2]上不是单调函数
∴﹣2＜﹣ a+22 ＜2解得﹣6＜a＜2
∴实数a的取值范围为﹣6＜a＜2
【解析】【分析】（1）根据f（﹣1）=﹣2，以及方程f（x）=2x有唯一的解建立关于a与b的方程组，解之即可；（2）根据函数f（x）在区间[﹣2，2]上不是单调函数，可得其对称轴在区间[﹣2，2]上，从而可求出a的取值范围．
14.【答案】 （1）解：将y=2x的图象向下平移一个单位得到y=2x﹣1的图象，
再将y=2x﹣1在x轴下方的图象沿着x轴翻折到x轴上方得到f（x）=|2x﹣1|的图象
（2）解：单增区间（0，+∞）；单减区间（﹣∞，0）；
当k＜0时，方程无解；
当k＞1或k=0时，方程一解；
当0＜k＜1时，方程两解
【解析】【分析】（1）根据函数图象的平移变换法则，可先将y=2x的图象向下平移一个单位得到y=2x﹣1的图象，再根据函数图象的对折变换法则得到答案．（2）结合（1）中图象变换方式，结合指数函数y=2x的图象和性质，可得f（x）=|2x﹣1|的图象；（3）根据（2）中所得函数的图象，①结合从左到右图象上升函数为增函数，图象下降函数为减函数，可判断函数的单调区间；②分析函数图象与直线y=k交点个数，可判断不同情况下方程|2x﹣1|=k的根的情况．
15.【答案】 （1）解： ∵ f(x)=ax2+bx+4
根据函数 y=f(x) 的图像过点 (?3?，?1) ,且函数 f(x) 只有一个零点
∴ ?可得 {(?3)2a?3b+4=1Δ=b2?16a=0 ,整理可得 {b=3a+1b2=16a ,消去 b
∴ ?得 9a2?10a+1=0 ,
解得 a=1 或 a=19
∴ ?当 a=1 时, b=4 , f(x)=x2+4x+4
当 a=19 时, b=43 , f(x)=19x2+43x+4
综上所述,函数 f(x) 的解析式为: f(x)=x2+4x+4 或 f(x)=19x2+43x+4
（2）解： ∵ 当 a∈Z ,由（1）可知: f(x)=x2+4x+4
∴ ? g(x)=ln[f(x)?kx]=ln[x2+(4?k)x+4] ?
要使函数 g(x) 在区间 [2,+∞) 上单调递增
∴ 则须满足 {?4?k2≤222+(4?k)×2+4>0
解得 k<8 ,
∴ ?实数 k 的取值范围为 (?∞,8)
【解析】【分析】（1）因为 f(x)=ax2+bx+4 ,根据函数 y=f(x) 的图像过点 (?3?，?1) ,且函数 f(x) 只有一个零点,联立方程即可求得答案;（2）因为 a∈Z ,由（1）可知: f(x)=x2+4x+4 ,可得 g(x)=ln[f(x)?kx]=ln[x2+(4?k)x+4] ,根据函数 g(x) 在区间 [2,+∞) 上单调递增,即可求得实数 k 的取值范围.
16.【答案】 （1）解：∵ f(x)=x?alnx,x∈(0,+∞) ，
故 f′(x)=1?ax=x?ax ，
∵ a>0
∴ x∈(0,a) 时， f′(x)<0 ，故 f(x) 单调递减，
x∈(a,+∞) 时， f′(x)>0 ，故 f(x) 单调递增，
所以， a>0 时， f(x) 的单调递减区间是 (0,a) ，单调递增区间是 (a,+∞)
（2）解：由（1）知，
当 a>0 时， f(x) 在 x=a 处取最小值 f(a)=a?alna=a(1?lna) ，
当 00 ， f(x) 在其定义域内无零点
当 a=e 时， a(1?lna)=0 ， f(x) 在其定义域内恰有一个零点
当 a>e 时，最小值 f(a)=a(1?lna)<0 ，因为 f(1)=1>0 ，且 f(x) 在 (0,a) 单调递减，故函数 f(x) 在 (0,a) 上有一个零点，
因为 a>e ， ea>a2>a ， f(ea)=ea?alnea=ea?a2>0 ，又 f(x) 在 (a,+∞) 上单调递增，故函数 f(x) 在 (a,+∞) 上有一个零点，故 f(x) 在其定义域内有两个零点；
当 a=0 时， f(x)=x 在定义域 (0,+∞) 内无零点；
当 a<0 时，令 f(x)=0 ，可得 x=alnx ，分别画出 y=x 与 y=alnx ，易得它们的图象有唯一交点，即此时 f(x) 在其定义域内恰有一个零点
综上， 0≤ae 时， f(x) 在其定义域内有两个零点；
【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数不等式，求出函数的单调区间（2）由（1）知当 a>0 时， f(a)max=a(1?lna) ，分 0e 三种情况讨论， a=0 由函数的定义域为 (0,+∞) 显然没有零点，当 a<0 转化为函数的交点问题.