山东省济宁市金乡二中2011-2012学年高二下学期期中考试 数学理试题

金乡二中11-12学年高二下学期期中考试
数学（理）试题
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1、复数（是虚数单位）,则复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2、下列值等于1的是( )
A. B. C. D.
3、若函数满足,则( )
A. B. C.2 D.0
4、4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法有( )
A.12种 B. 24种 C.30种 D. 36种
5、不等式|| > 的解集是 ( )
A.{x | x –1}. B.{ x | x > –1 }. C. { x | x < 0且x –1 }. D.{x | –1 < x < 0 }.
6、已知空间四边形，其对角线为，分别是边的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量是 （ ）
A． B．
C． D．
7、给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记=，若＜0在D上恒成立，则称在D上为凸函数，以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）
A. = B. =
C. = D. =
8、给出的下列不等式中，不成立的是（ ）
A． B.
C. D.
9、已知,则等于( )
A. B.
C. D.
10、的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( )
A. -40 B. -20 C. 20 D. 40
11、曲线上的点到直线的最短距离是 （ ）
A． B． C． D．0
12、若函数上不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．不存在这样的实数k
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置。）
13、函数,的最大值为
14、如图，是直三棱柱，，点、分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值为
15、设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在点处的切线的斜率为
16、给出下列命题：
①某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有60种；
②对于任意实数x，有 则
③已知点在平面内，并且对空间任一点， ，则的值为1；
④在正三棱柱中，若，，则点到平面的距离为，其中正确命题的序号是
三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。）
17. （本小题满分10分）
已知z、为复数，为实数，=．
18.（本题满分12分）已知函数，，其中．
（1）若是函数的极值点，求实数的值；
（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．
19．（本小题满分12分）某品牌电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家A、B对两种型号的电视机的投放金额分别为p、q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为p、lnq万元，已知A、B两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A、B两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值(精确到0.1，参考数据：)．
20. （本小题满分12 分）
如图，ABCD是边长为的正方形，ABEF是矩形，且二面角CABF是直二面角，，G是EF的中点，
（1）求GB与平面AGC所成角的正弦值.
（2）求二面角B—AC—G的余弦值.
21.（本小题满分12分）已知函数,（为常数）
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围.
22．（本小题满分12分）如图，圆柱的高为2，底面半径为3，AE、DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形。
（1）求证：；
（2）求正方形ABCD的边长；
（3）求直线与平面所成角的正弦值。
参考答案：
1-5 DCBBD 6-10 ABDCD 11-12 CA
13． 14. 15. -1 16.②④
17. （本小题满分10分）
解：设＝x+yi(x，y∈R)，
依题意得(1+3i)(2+i)＝(－1+7i)为实数，且||＝5，
∴，解之得或，
∴＝1+7i或＝－1－7i。
18.解：∵，其定义域为，
∴．
∵是函数的极值点，∴，
即．
∵，∴．
（2） 对任意的都有≥成立等价于对任意的
都有≥．
当［1，］时，．
∴函数在上是增函数．
∴．
∵，且，．
①当且［1，］时，，
∴函数在［1，］上是增函数，
∴.
由≥，得≥，
又，∴不合题意．
②当1≤≤时，
若1≤＜，则，
若＜≤，则．
∴函数在上是减函数，在上是增函数．
∴.
由≥，得≥，
又1≤≤，∴≤≤．
③当且［1，］时，，
∴函数在上是减函数．∴.
由≥，得≥，
又，∴．
综上所述，的取值范围为．
19.解：设B型号电视机的投放金额为万元，A型号的电视机的投放金额为万元，农民得到的补贴为万元，则由题意得
,令得
当时，；当，时，
所以当时，取得最大值，
故厂家投放A、B两种型号的电视机的金额分别是6万元和4万元，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元。
20.
解析：如图，以A为原点建立直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a ），
G（a，a，0），F（a，0，0）．
（由题意可得，，
，，
设平面AGC的法向量为，
由
（2）因是平面AGC的法向量，
又AF⊥平面ABCD，平面ABCD的法向量，得
，
21. 解：依题意，函数的定义域为（1，＋∞）.
（Ⅰ） 当m＝4时，.
＝= ＝.
令 ， 解得或.令 ， 解得.
可知函数f(x)的单调递增区间为（1，2）和（5，＋∞），单调递减区间为．
（Ⅱ）＝ ＋x－(m＋2)＝.
若函数y＝f (x)有两个极值点, 则，
解得 m＞3.
22.解：（1） AE是圆柱的母线底面BEFC,
又面BEFC
又ABCD是正方形
又面ABE
又面ABE
（2）四边形为矩形，且ABCD是正方形 EFBC
四边形EFBC为矩形
BF为圆柱下底面的直径
设正方形ABCD的边长为，则AD=EF=AB=
在直角中AE=2，AB=，且BE2+AE= AB，得BE=2-4
在直角中BF=6，EF=，且BE+EF= BF，的BE2=36-2
解得=，即正方形ABCD的边长为
（3）如图以F为原点建立空间直角坐标系,则A(，0，2),B(，4，0),
E(，0，0),(，0， 2),(，4，0), (，0，0)
设面AEF的法向量为(，，)，则
令，则即(，，-)
设直线与平面所成角的大小为，则
所以直线与平面所成角的正弦值为。