第二十三章 旋转（2课时）

第二十三章 旋转
（第一课时） 23.1 图形的旋转
一、教材解读 自主预习，名师解读释疑
1．知识要点
（1）旋转的概念 在 内，将一个图形绕一个 沿 转动一个 的图形变换。
定点叫做 ，旋转的角叫做 ，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．
（2）旋转三要素：① 旋转中心；② 旋转方向；③ 旋转角度．
（3）旋转的性质：
① 对应点到旋转中心的距离相等．
② 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
③ 旋转前、后的图形全等
2．理解与注意
（1）图形的旋转是由旋转中心和旋转角决定的，而旋转角就包括旋转方向和旋转角度两个要素．
（2）容易被忽视的旋转角如图23.1－1，△ABC绕A逆时针旋转60到△AB′C′，除了∠CAC′ =∠BAB′ = 60外，对应线段BC与BC′ 的延长线相交形成的角也是旋转角即∠CAC′ = 60．
二、典型问题 典例剖析，专家点拨解惑
例1 如图，△ABC绕逆时针旋转90到△ADE．说出旋转中心、∠B的对应角、线段BC的对应线段，说出线段BC和DE的关系，连结BD，说明△ABD的形状
解：（1）旋转中心是A、∠B的对应角是∠D、线段BC的对应线段是线段DE．
（2）线段BC和DE的关系式相等且垂直．
（3）△ABD是等腰直角三角形．
说明：线段BC和DE的关系除了对应线段相等之外，它们延长线的夹角也符合对应线段的夹角为旋转角的性质，即等于90．本例主要要求能够理解图形旋转的特征．
变式1 如图，D是等腰直角三角形ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A沿逆时针方向旋转到△ABD′ 的位置，则∠ADD′ 的度数是（ ）．
A．250 B．300 C．350 D．450
变式2 （2009年陕西）如图，∠AOB = 900，∠B = 300，∠A′OB′ 可以看做是由∠AOB绕点O沿顺时针方向旋转 角度得到的，若点A′ 在AB上，则旋转角 可以是（ ）．
A．300 B．450 C．600 D．900
变式2图 变式3图 例2图
变式3 如图，△ABC与△ADE均为等边三角形，则图中可以看作是旋转关系的三角形是（ ）．
A．△ABC与△ADE B．△ABC与△ABD
C．△ABD与△ACE D．△ACE与△ADE
例2 如图，在△ABC中，∠ABC = 900，AB = AC，点D为△ABC内一点，且DA = 1，DC = 2，DB = 3．
（1）作出△ACD绕点C顺时针旋转900后所得△BCE；
（2）连结DE，说明△BDE的形状；
（3）求∠ADC的度数．
解 （1）如图所示△BCE为所求作三角形．
（2）△BDE为直角三角形，证明如下：
由（1）得BE = AD = 1，CE = CD = 2，∠DCE = 90．
∵ BE2 = CE2 + DE2 = 8，∴ BD2 = DE2 + BE2 = 9，∴ △BDE为直角三角形．
（3）由（1）得∠ADC =∠CEB = 450 + 900 = 1350．
说明：本题利用旋转变换，通过等量代换将分散的线段集中到一个三角形中，再证明这个三角形为直角三角形，运用勾股定理逆定理证明．
三、归纳小结 回味反思，领悟才能提高
1．知识线路：旋转的概念 → 旋转的性质 → 线段（角相等）
2．思想方法：整体思想
四、阶梯训练 自主练兵，会做才算懂了
A组：基础练习
1．下列现象属于旋转的是（ ）．
A．空中飞舞雪花 B．摩托车在急刹车时向前滑动
C．幸运大转盘转动的过程 D．飞机起飞后冲向空中的过程
2．△ABC绕点A旋转后得到△AFE，已知∠A = 700，则∠EAF的度数是（ ）．
A．500 B．700 C．1300 D．1100
3．有下列四个说法，其中正确说法的个数是（ ）．
①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；
②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；
③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；
④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（ ）．
A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF
4题图 5题图
5．若正方形DCEF旋转后能与正方形ABCD重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6、（2009年淄博市）如图，四边形EFGH是由四边形经过旋转得到的．如果用有序数对（2，1）表示方格纸上A点的位置，用（1，2）表示B点的位置，那么四边形旋转得到四边形EFGH时的旋转中心用有序数对表示是　　 　．
7．△AOB旋转到△A′OB′的位置．若∠AOA′=90°，则旋转中心是点______．旋转角是______．点A的对应点是______．线段AB的对应线段是______．∠B的对应角是______．∠BOB′=______．
8．如图，长方形ABCD绕顶点A旋转后得到长方形AEFG，那么：
（1）旋转角度为
（2）点C的对应点是
（3）线段AC的对应线段是
（4）∠CAB的对应角是 ，△ACF的形状为 三角形
9．如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转______度，可与其自身重合．
B组：拓展练习
10．把正方形ABCD绕着点A按顺时针方向旋转得到正方形
AEFG，边FG与BC交于点H．试问线段HG与线段HB相
等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想
11．如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30o角的顶点
B顺时针旋转，使得点A与CB延长线上点E重合．
（1）三角尺旋转了多少度？
（2）连结CD，试判断△CBD的形状；
（2）求∠BDC的度数
12．已知点P是正方形ABCD内的一点，连结PA、PB、PC．（1）将△PAB绕点B顺时针方向旋转90°后到△P′CB的位置（如左图）① 设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转△P′CB的过程中边PA所扫过得区域的面积；② 若PA = 2，PB = 4，∠APB = 135°，求PC的长；（2）如右图，若PA2 + PC2 = 2 PB2，请说明P点必在对角线AC上．
（第一课时）23.1 图形的旋转答案
一、教材解读 平面，定点，某个方向，角度，旋转中心，旋转角
二、典型问题
变式1 D 变式2 C 变式3 C
四、阶梯训练
1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6、（5，2） 7．O，90°，A′，A′B′，∠B，90°
8．90°，E，AF，∠AFG，等腰直角三角形 9．120° 10．HG = HF，连结AG，证明△AGH≌△ABH 11．① 120° ② 等腰三角形 ③ 15° 12．（1），PC = 6 （2）将△ABP绕点B顺时针旋转90°后到△ABP′位置，则BP′ = BP，∠PBP′ = 90°，P′C = AP，∠APB =∠BP′C，由△PBP′是直角三角形，所以P′P2 = 2PB2，则可得到P′P2 = PC2 + PC2 即∠P′BP = 90°，四边形BP′CP中∠PBP′ = 90°，所以∠BPC +∠BP′C = 180°，则∠BPC +∠APC = 180°，所以点P在AC上．
（第二课时）23.1 图形的旋转
一、教材解读 自主预习，名师解读释疑
1．知识要点
（1）作一个图形旋转后的图形是根据旋转的性质：对应点到 的距离相等，每个对应点都旋转 的角度．
（2）作旋转图形的一般步骤：明确三要素： ；确定关键点，作出它们旋转后的 ；顺次连结对应点
（3）旋转对称图形：一个图形绕 旋转一定度数后能与 重合，这种图形称为旋转对称图形，旋转对称图形的旋转角为 ．
2．理解与注意
① 作图要先确定图形的“关键点”，用局部带动整体运行旋转
② 三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
二、典型问题 典例剖析，专家点拨解惑
例1 如图所示，作出△ABC绕点O顺时针旋转一定角度后，
使得点A落在A′，试做出旋转后的图形．
解：（1）连结AO、A′O，量出∠AOA′的角度；（2）连结BO，沿顺时针方向做∠BOB′=∠AOA′，且OB′= OB；（3）同理作出点C的对应点C′；（4）顺次连结A′、B′、C′，则∠A′B′C′ 为所求．
说明：本题只告诉了A的对应点A′，没有告诉旋转角度，所以要先量出∠AOA′ 的度数作为旋转角；作图的时候要注意对应点与旋转中心的连线应该用虚线．
变式1 如左图，在单位网格中画出所给四边形ABCD绕O顺时针旋转90°后的图形A′B′C′D′．
解 连结OA，沿顺时针方向作∠A′OA = 90°，AO = A′O，则A′点为A的对应点，同理作出B、C、D的对应点B′、C′、D′，顺次连结A′、B′、C′、D′，四边形A′B′C′D′为所求．
变式2 已知如右图，线段CD是由线段AB经过旋转变换得到的．求旋转中心O点．
解：连结AC、BD，分别作两线段的中垂线，则中垂线的交点O为所求．
说明：往往同学们会做已知旋转中心和旋转角，求旋转之后的图形，但对于求旋转中心的例子却很陌生，其实这里也是利用了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，从而发现中心应该在对应点连线段的中垂线上．
例2 如图可以看做一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是 ．
变式1 下列图形中，旋转60°后能和原图形重合的是（ ）．A
A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形
变式2 所示是三个菱形，它可以看作是什么“基本图形”通过怎样的旋转而得到？
分析 基本图形是一个菱形，共旋转3次，所以，旋转角为120°．
三、归纳小结 回味反思，领悟才能提高
1．知识结构：旋转的性质 → 旋转的作图 → 图形的设计
2．思想方法：
四、阶梯训练 自主练兵，会做才算懂了
A组：基础练习
1．等边三角形绕着它的中心旋转一周，可与原图形重合的次数是（ ）． C
A．1 B．2 C．3 D．4
2．有一种平面图形，它绕着中心旋转，不论旋转多少度，所得到的图形都与原图形完全重合你觉得它可能是（ ）． D
A．三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．圆
3．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转
多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同
学说：135°．以上四位同学的回答中，错误的是（ ）． B
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2009·梅州市）如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．
这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过______
_____次旋转而得到， 每一次旋转______度． 4，72
5．（2009·衡阳市）点A的坐标为（，0），把点A绕着坐标原点顺时
针旋转135 到点B，那么点B的坐标是 ． （1，1）
6．把边长为2 cm的正方形ABCD，绕着点D逆时针旋转45°后，
变为正方形A′B′C′D′，作出上述图形
解 略
7．如图，已知有两个同心圆，半径OA、OB成30°角，OB与小圆交于C点，若把△ABC每次绕O点逆时针旋转30°，试画出所得的图形．
B组：拓展练习
8．正方形ABCD的对角线相交于点O，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形A′B′C′O绕点O重叠部分的面积是多少？你能求出来，并说明理由吗？
9．（2008·河南省）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：如图①，已知在△ABC中，AB = AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP =∠BAC，连结BQ、CP，则BQ = CP．小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ = CP，他将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中其他条件不变，发现“BQ = CP”仍然成立，请你就图②给出证明．
10．（2010·东莞市）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（－6，1），点B的坐标为（－3，1），点C的坐标为（－3，3）．
（1）将原来的Rt△ABC绕点O顺时针旋转90°得到Rt△A1B1C1，试在图上画出Rt△A1B1C1的图形；（2）求线段BC扫过的面积；（3）求点A旋转到A1路径长．
答：（1）略
（2）2p
（3）
（第二课时）23.1 图形的旋转答案
一、教材解读
1．知识要点 （1）旋转中心，相同 （2）旋转中心、旋转方向、旋转角度，对应点 （3）一个点，自己，
二、典型问题
例2 45°
变式1 A
变式2 基本图形是菱形，沿旋转中心每次旋转120°就得到这个图案．
四、阶梯训练
1．C 2．D 3．B 4．4，72 5．（1，1）
6． 7
8．正方形面积的 9．仍然证明
△ABQ≌△ACP，从而证得BQ = CP．
变式1图
图23.1-1
例１图
A
Ｂ
Ｃ
Ｄ
E
F
（第6题）
G
H
C
A
B
O
A′
O
D
C
B
A
A
B
C
D