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发现数学的美是发现了数学中奇妙的规律，结构的完美和谐统一。就像揭开了一个又一个谜，这种发现会带给我们惊喜、震撼、快乐！
济宁市第十三中学 王莹
义务教育课程标准实验教科书
八年级数学下册第七章第三节
7.3用公式法解一元二次方程（4）
——根与系数的关系
方 程
1.
2.
3.
4.
0 2
1 -4
2 3
-4
6
0
-2 -4
8
5
2
-3
-6
5
2
-3
-6
— —
— —
— —
— —
方 程
1.
2.
3.
4.
-4
6
0
8
5
2
-3
-6
0
-4
6
8
— —
— —
— —
— —
方 程
1.
2.
3.
4.
-4
6
0
8
5
2
-3
-6
发现：二次项系数等于1时
(1)方程的两根之和等于一次项系数的相反数.
(2)两根之积等于常数项.
方 程
1.
2.
3.
4.
5.
-4
6
0
8
5
2
-3
-6
-p
q
发现：二次项系数等于1时
(1)方程的两根之和等于一次项系数的相反数.
(2)两根之积等于常数项.
对于一元二次方程
当
时，方程有两根
一元二次方程的根与系数的关系：
1.不解方程，写出下列方程两个根的和与两个根的积：
温馨提示：1、先化为一般形式，找准a,b,c；
2、注意“－”呦！
2.同位俩为一组，一人写一个一元二次方程，对方快速求出方程的“两根之和”与“两根之积”.
方程： 方程：
6
3
-5
解：设方程的另一根是 ,那么
由此得
一用两根之积
二用两根之和
+
由 得
所以,方程的另一根是3， 的值是
6
3
-5
+
二用两根之和或积.
一代入方程的根,
解：因为方程的一个根为 ,代入得
设方程的另一根是 ,
由
所以,方程的另一根是3， 的值是
.
例 已知关于x的方程
的一个根为
求它的另一个根及m的值.
一用两根之和,
二用两根之积.
所以，方程的另一个根是2，m的值是
解：设方程的另一个根是
那么
解得
.
例 已知关于x的方程
的一个根为
求它的另一个根及m的值.
解：把 代人方程，得
解得
原方程为
一代入方程的根,
设方程的另一个根是 , 那么
由此得
所以，方程的另一个根是2，m的值是
二用两根之和或积.
1.我学习了一个新知识：
2.我初步掌握了两种解题方法：
3.我记住了三个温馨提示：
达标检测：
3
（A）
必做题：
课本５７页，随堂练习 第２题
选做题：
课本５７页，习题７.９第２题
今日作业：
谢 谢！
我比较 我发现
一元二次方程的根与系数的关系：
x2+px+q=0
ａx2+ｂx+ｃ=0（ａ≠０）
x1+x2=
x1x2 = ｑ
－
ｂ
a
c
a
x1+x2= -ｐ
x1x2 =
转化
(1)有了这个关系，我们可以不求解方程，而直接得出两根之和，两根之积。
(2）由a,b的值可以得到两根之和，由a,c的值可以得到两根之积 ；反之亦然.
已知关于x的方程
的一个根为
求它的另一个根及m的值.
举一反三：
已知关于x的方程
的一个根为
求它的另一个根及k的值.
勇攀高峰：
.
已知关于x的方程
的一个根为
求它的另一个根及m的值.
解：把 代人方程，得
解得
原方程为
设方程的另一个根是 , 那么
由此得
所以，方程的另一个根是2，m的值是
所以，方程的另一个根是2，
m的值是
解：设方程的另一个根是
那么
解得
一代入方程的根,
二用两根之和.
一用两根之和,
二用两根之积.
如果二次项系数不是1，你还能继续推测这个方程的两根之和与两根之积吗？
解得：
方法小口诀：
条条大路通罗马，
各种方法记心间。
已知方程和一根，
根与系数关系来助阵；
代入方法别忘记，
有时用它特容易；
方程组有点儿繁，
方法家族是一员；
二用两根之和.
一代入方程的根,
解：设方程的另一根是 ,
因为方程的一个根为 ,所以
由此得
由 得
所以,方程的另一根是2， 的值是
思考题：
在解方程 时，甲同学看错了 ，解得方程根为1与 -3；乙同学看错了 ，解得方程的根为4与-2，你认为方程中的 ，
.
-3
-2
课外延伸：
1.设 是方程 的两个根，
利用根与系数的关系，求下列各式的值.
（1） ； （2） .
猜想：
如果一元二次方程
的两个根是 ，那么
你的猜想是正确的吗？
请同学们四人小组合作，快速求解。
我比较 我发现
一元二次方程的根与系数的关系：
x2+px+q=0
ａx2+ｂx+ｃ=0（ａ≠０）
x1+x2=
x1x2 = ｑ
－
ｂ
a
c
a
x1+x2= -ｐ
x1x2 =
转化
方 程
1.
2.
3.
4.
0 2
1 -4
2 3
-4
6
0
-2 -4
8
5
2
-3
-6
— —
— —
— —
— —
– 5
– 2
3
6
8
– 4
0
6
返回
不是
是
3、不通过代入方程检验，判断下列方程后面括号里的两个数是不是它的根：
韦达，法国数学家，十六世纪
最有影响的数学家之一，被尊称为
“代数学之父”。
韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数带来了代数学理论研究的重大进步。
他系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。
认识韦达
下面三道题目任选其一
