1.1.1空间向量及其线性运算 暑假作业-（新高二）2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修一

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空间向量及其线性运算
一．知识梳理
(1)在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_____或___.
空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为__________.
(2)几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
规定长度为0的向量叫_______，记为0
单位向量
______的向量叫单位向量
相反向量
与向量a长度_____而方向_____的向量，称为a的相反向量，记为－a
相等向量
方向_____且模_____的向量称为相等向量，_____且_____的有向线段表示同一向量或相等向量
每日一练
一、单选题
1．若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则（
）
A．P∈AB
B．P?AB
C．点P可能在直线AB上
D．以上都不对
2．若是平面α内的两个向量，则（
）
A．α内任一向量(λ，μ∈R)
B．若存在λ，μ∈R使＝，则λ＝μ＝0
C．若不共线，则空间任一向量
(λ，μ∈R)
D．若不共线，则α内任一向量
(λ，μ∈R)
3．已知向量，，满足，则（
）
A．＝＋
B．＝－－
C．与同向
D．与同向
4．已知与不共线，则存在两个非零常数m，n，使是，，共面的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．如图所示，在空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．向量互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（
）
A．
B．为实数0
C．
与方向相同
D．
7．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知为空间任意一点，若，则四点（
）
A．一定不共面
B．一定共面
C．不一定共面
D．无法判断
二、多选题
9．在平行六面体中，下列各式中运算结果为的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在平行六面体中，是的中点，点在上，且：，设，则下列选项正确的为（
）
A．
B．
C．
D．
11．(多选)下列命题中，真命题是（
）
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
12．(多选)下列命题中为假命题的是（
）
A．任意两个空间向量的模能比较大小
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
三、填空题
13．如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.
14．已知点M是△ABC的重心，则＋＋＝________.
15．给出下列命题：
①若，则或＝－；②若向量是向量的相反向量，则；
③在正方体ABCD?A1B1C1D1中，；④若空间向量满足，则．其中正确命题的序号是________．
16．设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则k＝________.
四、解答题
17．在三棱锥O-ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量表示.
（1）；
（2）.
18．已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足.
（1）判断，，三个向量是否共面；
（2）判断点是否在平面内.
19．如图，已知为空间的9个点，且，
，求证：
（1）四点共面，四点共面；
（2）；
（3）.
20．已知正四棱锥P?ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．
（1）；
（2）
21．如图，四棱锥P?OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设，，，E，F分别是PC，PB的中点，试用，，表示：，，，.
22．如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
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参考答案
方向；大小；长度；模；长度；|a|或||
零向量；模为1；相等；相反；相同；相等；同向；等长
1．A因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以，即，
即，所以与共线．又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.
2．D当与共线时，A项不正确；当与是相反向量，λ＝μ≠0时，＝，故B项不正确；若与不共线，则与、共面的任意向量可以用，表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确．
3．D由向量加法的定义＝＋，故A、B错误由，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以与同向．故D正确，C错误.
4．A若与不共线，根据平面向量的基本定理，则存在两个非零常数、
，使
，所以
与，共面；若存在两个常数m，n，使，，不一定非零．
5．B
6．D由题意，向量互为相反向量，可得，且方向相反，所以C不正确，
可得，所以A不正确；可得，所以B不正确；又由，所以.
7．A由题图观察，平移后可以首尾相接，故有.
8．B由空间向量共面定理的推论若，满足，则四点共面，，而，故四点共面.
9．BCD如图所示：A．，故错误；B．，故正确；
C．，故正确；
D．，故正确.
10．AD因为是的中点，所以，
因为点在上，且：，所以
,
11．ABC共线的单位向量方向相同或相反，只有D错误．
12．BCD对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小；对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，零向量不能用有向线段表示；
对于选项D，两个向量不相等，它们的模可以相等．
13．2解：因为
，
又，所以，，则.
14．设D为AB的中点，则.又M为△ABC的重心，则，
所以
15．②③④对于①，向量与的方向不一定相同或相反，故①错；
对于②，根据相反向量的定义知，故②正确；
对于③，根据相等向量的定义知，，故③正确；对于④，根据相等向量的定义知④正确．
16．－8又A，B，D三点共线，所以，即所以：，解得.
17．（1）；（2）.
（1），
∴，
（2）.
18．（1）共面；（2）点在平面内.
（1）由题意，知：，∴，即，故共面得证.
（2）由（1）知：共面且过同一点.所以四点共面，从而点在平面内.
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
证明：（1），∴A、B、C、D四点共面．
，∴E、F、G、H四点共面．
（2.
（3）.
20．（1）；（2）x＝2，y＝－2．
（1）如图，
（2）∵O为AC的中点，Q为CD的中点
21．，，，.
连接BO，则，
故；
；
；.
22．（1）；（2）；（3）；（4）．
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
答案第1页，总2页