1.2空间向量的基本运算 暑假作业-（新高二）2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修一

1.2
空间向量基本定理
一、知识梳理
1．空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．
二．每日一练
（一）、单选题
1．如图，在平行六面体中，点M是棱的中点，连结，交于点P，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知空间四边形中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
3．在平行六面体中，若，则的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，
，则线段的长度是（
）．
A．
B．10
C．
D．
5．在正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知、、是空间的一个基底，，，，，若，则、、的值分别为（
）
A．，，1
B．，1，
C．1，，
D．，，1
7．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，则在，，下的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
（二）、多选题
9．设是空间一个基底，下列选项中正确的是（
）
A．若，，则
B．则两两共面，但不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使
D．则，，一定能构成空间的一个基底
10．在以下命题中，不正确的命题有（
）
A．是、共线的充要条件
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
11．下列命题正确的是（
）
A．已知，是两个不共线的向量.若，，则，，共面
B．若向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．若，，则与向量共线的单位向最为
D．在三棱锥中，若侧棱OA，OB，OC两两垂直，则底面是锐角三角形
12．(多选)点A(n，n－1，2n)，B(1，－n，n)，则||的可能取值为（
）
A．
B．
C．1
D．2
（三）、填空题
13．如图所示，在正方体中，点是侧面的中心，若，求______．
14．已知，，且??不共面，若，则___________.
15．如图所示，已知在四面体中，点、分别是棱、的中点，若，其中、、为实数，则的值为_________．
16．四棱锥的底面是平行四边形，，若，则
________．
（四）、解答题
17．已知、、、、、、、、为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证：
（1）、、、四点共面，、、、四点共面；
（2）．
18．如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.
（1）用表示；
（2）求向量与向量所成角的余弦值.
19．在所有棱长均为2的三棱柱中，，求证：
（1）；
（2）平面.
20．已知平行六面体，，，，，设，，；
（1）试用、、表示；
（2）求的长度；
21．如图，在三棱锥中，G是的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点.（1）用向量表示向量，并证明你的结论；
（2）设，请写出点P在的内部
（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）.
22．在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点.
（1）构成空间的一个基底，用它们表示，，设，
，.
（2）求与的夹角.
参考答案
1．B，可得，点M是棱的中点，所以，
所以.
2．B因为N为BC的中点，所以，
因为，所以，
所以，
3．A可知在平行六面体中，，
，
又，，即，.
4．C因为，所以，
所以，
5．A如图所示：，，
又因为，所以，
所以，
6．D因为，，，，
所以，
因为，所以，解得，
7．A，，，
，
8．C不妨设向量，，；则向量，，．设，即，
∴解得即在，，下的坐标为．
9．BCD由是空间一个基底，知：在A中，若，，则与的夹角不一定是，故A错误；在B中，两两共面，但不可能共面，故B正确；
在C中，根据空间向量的基本定理可知C正确；在D中，因为不共面，假设，，共面，设，化简得，可得共面，与已知矛盾，所以，，不共面，可作为基底，故D正确.
10．ABC对于A选项，充分性：若，则、方向相反，且，充分性成立；必要性：若、共线且方向相同，则，即必要性不成立，
所以，是、共线的充分不必要条件，A选项错误；
对于B选项，若，，则，但不存在实数，使得，B选项错误；
对于C选项，对空间任意一点和不共线的三点、、，
若、、、四点共面，可设，其中、，
则，可得，
由于，，此时，、、、四点不共面，C选项错误；对于D选项，假设、、共面，
可设，由于为空间的一个基底，可得，该方程组无解，假设不成立，所以，构成空间的另一个基底，D选项正确.
11．ABCD对于A，，是两个不共线的向量，不妨假设，，共面
则，即，可得，存在一对实数，使得，即假设成立，故A正确；对于B，向量，则，与任何向量都共面，所以，与任何向量都不能构成空间的一个基底，故B正确；
对于C，，所以，故C正确；对于D，
OA，OB，OC两两垂直，，所以与的夹角为锐角，即为锐角，同理，为锐角，是锐角三角形，故D正确.
12．BCD因为点A(n，n－1，2n)，B(1，－n，n)，所以＝(1－n，1－2n，－n)，
所以||2＝(1－n)2＋(1－2n)2＋n2＝，当n＝时，||的最小值为．
所以||的可能取值有，1，2．
13．1，
故，，，则．
14．解：且，，即，
又??不共面，，则，，.
15．连接，为的中点，，
又为的中点，，，因此，.
16．由，则
四棱锥的底面是平行四边形,即为平行四边形，则
则
又
所以，故
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
由，由共面向量的基本定理可得：为共面向量且有公共点为共面向量且有公共点所以、、C、四点共面，、、、四点共面．
（2）因为，，
∵
，∵，又∵，∴．所以
18．（1）；（2）.
（1）因为E是的中点，F在上，且，
所以，于是.
（2）由（1）得，
因此，
，又因为，
所以向量与向量所成角的余弦值为.
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
（1）依题意可知三角形是等边三角形，所以，
则.
所以.
（2）依题意四边形为菱形，所以.因为
，所以，又，所以平面.
20．（1）；（2）.
解：（1）
．
（2）．
，，
，，设，，；
，
的长度为．
21．（1）；证明见解析；（2），且.
解析（1）.证明如下：.
（2）若，点P在的内部（不包括边界），
的充分必要条件是：，且.
22．（1），；（2）
（1）因为，，所以，；
（2）因为
，
所以，所以与的夹角为.