1.3空间向量及运算坐标表示 暑假作业-（新高二）2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修一

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1.3空间向量及运算的坐标表示
一．知识梳理
(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，
a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，
a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，
cos〈a，b〉＝＝
.
(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
二，每日一练
（一）、单选题
1．若的三个顶点坐标分别为，，，则的形状是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
2．已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为（
）
A．
B．
C．或
D．
或
3．已知向量=(1，0，1)，=(0，1，1)，O为坐标原点，则三角形OAB的面积为（
）
A．
B．
C．1
D．
4．已知，，则向量与的夹角是（
）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
5．已知，，则以为邻边的平行四边形的面积为（
）
A．
B．
C．4
D．8
6．若向量，且与的夹角余弦为，则λ等于（　　）
A．
B．
C．或
D．2
7．已知向量，下列与垂直的向量是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知l∥π，且l的方向向量为(2，m，1)，平面π的法向量为，则m＝
A．－8
B．－5
C．5
D．8
（二）、多选题
9．如图，在正方体中，点，分别是棱和的中点，则下列选项正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知空间四点，则下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．点O到直线的距离为
D．O，A，B，C四点共面
11．已知直线的方向向量分别是，若且则的值可以是（
）
A．
B．
C．
D．
12．(多选)已知，且∥，则（
）
A．x＝
B．x＝
C．y＝－
D．y＝－4
（三）、填空题
13．若，且，则与的夹角的余弦值为________．
14．已知，，则的最小值是________．
15．若向量，则向量的夹角为_____．
16．点P(－3，2，－1)关于平面xOz的对称点是________，关于z轴的对称点是________，关于M(1，2，1)的对称点是________．
（四）、解答题
17．如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．
（1）求BN的长；
（2）求A1B与B1C所成角的余弦值；
18．假设在一个以米为单位的空间直角坐标系中，平面内有一跟踪和控制飞行机器人的控制台，的位置为.上午10时07分测得飞行机器人在处，并对飞行机器人发出指令：以速度米/秒沿单位向量作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，10秒后到达点，再发出指令让机器人在点原地盘旋秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到米/秒，然后保持米/秒，再沿单位向量作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，当飞行机器人最终落在平面内发出指令让它停止运动.机器人近似看成一个点.
（1）求从点开始出发20秒后飞行机器人的位置；
（2）求在整个飞行过程中飞行机器人与控制台的最近距离(精确到米).
19．已知.
（1）若，分别求λ与m的值；
（2）若，且与垂直，求.
20．在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)．
（1）求点P关于x轴的对称点的坐标；
（2）求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
（3）求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标
21．如图，在长方体中，，，，为棱的中点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系．
（1）求点的坐标；
（2）求点的坐标．
22．已知，，求，，，，．
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参考答案
1．A
，，
，因为
，所以是锐角，因为，所以是锐角，因，所以所以是锐角，所以为锐角三角形．
2．C设，则，，
因为，所以，，，
所以，又，
解得或，所以或，
3．D∵，，∴，，，由于，所以，
所以三角形OAB的面积为，
4．A依题意，，，则，，所以，
所以，即向量与的夹角是90°．
5．A解析：设向量的夹角为θ，，，
于是＝．由此可得．所以以为邻边的平行四边形的面积为.
6．A解：∵向量∴，
解得．
．7．D，，，
，所以与垂直，D选项符合.
8．A∵l∥π，∴直线l的方向向量与平面π的法向量垂直．∴2＋＋2＝0，m＝－8．
9．ACD以为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则，，，，
，，，，，A正确；，，B错；
，，C正确；
，D正确．
10．ABC，，A正确；
，B正确；，所以，，所以点O到直线的距离为，C正确；，
假设若O，A，B，C四点共面，则共面，设，
则，此方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面，D错．
11．AC，若且，则，解得或，所以或.
12．BD解：因为所以，，因为
∥，所以3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，所以x＝，y＝－4．
13．1解：因为，所以，①，因为，所以，②
①－②得，所以．33×①＋16×②得，所以．
所以．
14．解：由已知，得＝(2，t，t)－(1－t，1－t，t)＝(1＋t，2t－1，0)．
所以＝＝．所以当t＝时，的最小值为．
15．根据题意，设向量的夹角为，向量
则向量则又由，则．
16．(－3，－2，－1)
(3，－2，－1)
(5，2，3)
点P(－3，2，－1)关于平面xOz的对称点是(－3，－2，－1)，关于z轴的对称点是(3，－2，－1)．设点P(－3，2，－1)关于M(1，2，1)的对称点为(x，y，z)．
则解得故点P(－3，2，－1)关于点M(1，2，1)的对称点为(5，2，3)．故答案为：
(－3，－2，－1)；
(3，－2，－1)；(5，2，3)
17．（1）；（2）.
（1）如图所示，建立空间直角坐标系C?xyz.依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴||＝＝，∴线段BN的长为.
（2）依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴＝(1，－1，2)，
＝(0，1，2)，∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又||＝，||＝.
∴cos〈〉＝＝.故A1B与B1C所成角的余弦值为.
（1）；（2）米.
（1）设飞行时间为秒，的位置
当时，
当时，所以得当时
当时，
所以
秒后飞行机器人的位置
（2）当时
定义域内单调递减
∴，
当时
当时
∴，
答：在整个行驶过程中飞行机器人与控制台的最近距离米.
19．（1）λ=，m=3；（2）.
解：（1）由，得
，解得
（2），且
化简得，解得.因此
20．（1）(－2，－1，－4)；（2）(－2，1，－4)；（3）(6，－3，－12)．
（1）由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．
（2）由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2，1，－4)．
（3）设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，
可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3(6，－3，－12)．
21．（1），，，，，，，；（2）.
（1）为坐标原点，则，点在轴的正半轴上，且，，
同理可得：，．
点在坐标平面内，，，，
同理可得：，，
与的坐标相比，点的坐标中只有坐标不同，，．
综上所述：，，，，，，，.
（2）由（1）知：，，
则的中点为，即.
22．；；；；
.
；
；
；
；
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