1.4.1用空间向量研究直线 平面的位置关系 暑假作业-（新高二）2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修一

1.4.1用空间向量研究直线.平面的位置关系
知识梳理
直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．
(2)平面的法向量
①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．
②确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为
空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m?n·m＝0
l⊥α
n∥m?n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m?n＝λm
α⊥β
n⊥m?n·m＝0
每日一练
一、单选题
1．设a，b是两条直线，，是两个平面，且，，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知平面α内有一点A(2，－1,2)，它的一个法向量为，则下列点P中，在平面α内的是（　　）
A．(1，－1,1)
B．(1,3，)
C．(1，－3，)
D．(－1,3，－)
3．已知，，则平面ABC的一个单位法向量为（
）
A．
B．
C．
D．
4．在空间直角坐标系内，平面经过三点，向量是平面的一个法向量，则（
）
A．
B．
C．5
D．7
5．平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，则平面与的位置关系是（
）
A．平行
B．相交且不垂直
C．相交且垂直
D．不确定
6．设直线、的方向向量分别为，，若，则等于（
）
A．－2
B．2
C．6
D．10
7．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（
）
A．
B．
C．
D．与斜交
8．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（
）
A．平行
B．重合
C．平行或重合
D．垂直
二、多选题
9．已知平面过点，其法向量，则下列点不在内的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，．对于结论：①
；②
；③
是平面的法向量；④
．其中正确的是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
11．(多选)若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为（
）
A．(1，2，3)
B．(1，3，2)
C．(－1，－2，－3)
D．(－1，－3，－2)
12．已知为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（
）
A．∥?α∥β
B．⊥?α⊥β
C．∥?l∥α
D．⊥?l∥α
三、填空题
13．在棱长为9的正方体中，点，分别在棱，上，满足，点是上一点，且平面，则四棱锥外接球的表面积为______.
14．已知直线l在平面外，且是直线l的方向向量，是平面的法向量，则直线l与平面的位置关系为___________.
15．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为＝(1，－3，z)，向量＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________.
16．已知分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．
四、解答题
17．如图在正方体中，E、F分别是棱，的中点.求证：为平面的一个法向量.
18．如图所示，垂直于正方形所在的平面，，与平面所成角是，是的中点，是的中点.求证：平面.
19．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.
证明：（1）；
（2）平面；
（3）平面平面.
20．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点，，.求证：
（1）平面；
（2）平面平面.
21．如图所示，正方体的棱长为，过顶点、、截下一个三棱锥．
（1）求剩余部分的体积；
（2）证明平面．
22．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，侧面PBC⊥底面ABCD，E为PB的中点．求：
（1）求证：平面ADP；
（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；
参考答案
1．C，，则是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，则由得，必要性满足，反之若，则法向量，充分性满足，应是充要条件．
2．B对于选项A，，则，故排除A；
对于选项B，，则
对于选项C，，则，故排除C；
对于选项D，，则，故排除D；
3．B设平面的法向量为，则有取，则.所以．因为，所以平面的一个单位法向量可以是.
4．D，可得，，
5．C因为，所以平面平面，
6．D直线、的方向向量分别为，，且，，解得．
7．B解：∵，，∴，即，∴.
8．C平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，
，平面与平面的关系是平行或重合．
9．BCD由平面过点，其法向量，对于A，，，点在内，故A错误；对于B，，，
点不在内，故B正确；对于C，，
，点不在内，故C正确；对于D，，，点不在平面内，故D正确.
10．ABC
，所以，所以，故①
正确；
，所以，所以，故②正确；
因为与不平行，，所以是平面
所以是平面的法向量，故③正确．因为，
因为，所以与不平行，故④错误．
11．AC故直线l的一个方向向量为(1，2，3)或(－1，－2，－3)．
12．AB解：为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），
则∥?α∥β，⊥?α⊥β，∥?l⊥α，⊥?l∥α或l?α.
13．以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系，
，由，则，，，设，
，
，设平面的法向量为，则，即，不妨令，则，
得，因为平面，所以，即，解得，
所以，由平面，且底面是正方形，所以四棱锥外接球的直径就是，由，得，
所以外接球的表面积.
14．平行因为，且直线l在平面外，所以直线l与平面平行.
15．－9因为l⊥α，所以⊥，所以(1，－3，z)·(3，－2，1)＝0，即3＋6＋z＝0，所以z＝－9.
16．0因为，，.所以中任意两个向量都不垂直，即α，β，γ中任意两个平面都不垂直．
17．证明见解析由题意，以点D为原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，可得，，，
所以，，所以，，且平面，平面，，所以平面，
所以为平面的一个法向量.
18．证明见解析
证明：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
由与平面所成的角为，得，则，
则，，，，，，
，，.
设平面PFB的法向量为，则，即.
令，则，，故平面的一个法向量为.
，，
又平面PFB，则平面PFB.
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
因为底面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系.
可得、、、，由为的中点，得.
（1）向量，，故，所以，；
（2）因为平面，平面，，
，，平面，
所以向量为平面的一个法向量，
而，所以，
又因为平面，所以平面；
（3）由（2）知平面的一个法向量为，向量，，设平面的一个法向量为，则，取，可得平面的一个法向量为，，，所以，平面平面.
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，所以、，，，，，，，.
（1）因为，所以，即.又平面，平面，所以平面;
（2）因为，所以，同理可得，
即，.又，所以平面.
平面，所以平面平面.
21．（1）；（2）见解析.
（1）由题意，正方体的棱长为，则正方体的体积为，
又三棱锥的体积，
所以剩余部分的体积；
（2）如图建立空间直角坐标系，则，
，有，
所以，且，面A1DB，面，
所以面
22．（1）证明见详解；（2）证明见详解；
（1）取的中点，连接，则，且，又且,所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面ADP，平面ADP，所以CE∥平面ADP.
（2）取的中点，连接，为等边三角形，即,
∵平面底面，为交线，
平面,
底面.
以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，
过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示.
，，则.
，，，，
∴，，
,
即,
即
又
,
平面,平面.平面,
∴平面平面.