9.1.2余弦定理（第1课时）教案-2021-2022学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

9.1.2余弦定理第一课时教案
教学课时：第1课时
　　教学目标：
　　1．能够借助向量的运算推导余弦定理；
　　2．掌握余弦定理及其变式，并能初步解决简单的解三角形问题.
　　3．在探索学习的过程中，培养学生知识的迁移能力、归纳总结能力、运用所学知识解决问题的能力，进而培养学生的逻辑推理、数学运算等学科素养.
　　教学重点：
　　余弦定理及其变式的初步应用.
　　教学难点：
　　余弦定理的推导过程；
　　教学过程:
　　一、创设情境，提出问题
　　问题情境：甲同学距离公园8米，乙距离甲3米，求乙离公园多少米？
　　启发学生分情况讨论：
　　（1）甲、乙、公园三点共线时，易知所求为11或5（米）；
　　（2）甲、乙、公园不共线时，情境中的问题可转化为解三角形问题：
　　问题1.
　　现有工具测角仪仅能使用一次，请设计合理的方案求解.
　　教师对学生给出的方案进行评价，并提出问题2：若测量出角C，如何根据已知求出AB长？将情境中的问题转化为“已知三角形两边一夹角求第三边”问题.
　　【学生活动1】
　　学生充分的思考后，小组讨论，有哪些方法可以解决问题？
　　教师适当的点拨，将学生的意见汇总，提出向量法、坐标法两种思路.
　　【设计意图】
　　通过问题情景，强化学生对分类讨论、数形结合思想方法的理解，在引入新课余弦定理的同时，也巩固了对旧知正弦定理的掌握.问题情景中给出了三角形边长的具体值，既降低了难度，使问题更具体明确，同时也希望学生体会从特殊到一般的思维过程.
　　二、合作探究，解决问题
　　教师引导学生思考：
　　问题3.
　　采用坐标法，为了简化计算，应该如何建立直角坐标系？
　　问题4.
　　角C为直角时，如何求边c？能否利用向量法证明勾股定理?
　　若角C不是直角，该如何利用向量法求解边c？
　　【学生活动2】
　　教师将学生分组，限时小组合作至少选用一种方法求解，学生求解过程中，教师巡视指导.
　　学生分组分别展示两种不同的求解思路，生生互评，教师再进行点评.
　　将问题一般化—已知三角形两边和夹角求第三边问题，即：在△ABC中已知a，b和C，求a，得到一般规律：
　　同理有：
　　引出余弦定理，引导学生对定理进行归纳概括：三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦值的积的2倍.
　　【设计意图】
　　通过用向量法和坐标法来解决问题，巩固向量知识、建系思想，感知向量、坐标系作为数学工具的作用，体会化未知为已知的数学过程，引导学生从具体例子出发，寻求一般规律，经历从特殊到一般的研究过程，让全班同学参与其中，既合作又竞争，共同感受知识的产生过程，体验成功的快乐.
　　三、深入探索公式
　　问题5.通过观察分析余弦定理的结构特点，说一说余弦定理刻画了哪些量的关系？
　　问题6.从方程的角度考虑，利用余弦定理还能解决哪些三角形问题？
　　进而得出余弦定理的变式：
　　
　　【设计意图】
　　使学生强化对公式理解，明确对应关系，树立方程思想；明确利用余弦定理及其变式可以解决三角形“两边一夹角”、“边、边、边”问题.
　　四、应用公式，巩固提升
　　例题1.
（教材P9例1）
　　在△ABC中，已知，求c.
　　例题2.（教材P9例2）
　　在△ABC中，已知，求角c.
　　例题3.（教材P10例4）
　　平行ABCD四边形中，求四边形ABCD面积.
　　学生独立思考求解，进行展示，教师进行点评.
　　【设计意图】
　　通过基础练习，巩固余弦定理及其变式的应用.
　　例题4.已知△ABC中，求边长c.
　　【学生活动3】
　　教师鼓励学生一题多解，小组合作交流思路后进行展示.
　　思路1.用正弦定理求解.
　　思路2.应用余弦定理构造关于C的方程求解.
　　生生互评，教师启发学生对两种方法进行比较.
　　【设计意图】
　　让学生体会解三角形中正、余弦定理的选择.
　　参考答案
　　例题1.
　　五、归纳小结、群体交流
　　1、正弦、余弦定理各能解决哪些类型问题？
　　2、从本课中你学到了哪些知识和方法？