人教A版选修2-3高二数学：2.2.3 独立重复试验与二项分布 同步练习

选修2-3 2.2.3 独立重复试验与二项分布
一、选择题
1．某一试验中事件A发生的概率为p，则在n次这样的试验中，发生k次的概率为(　　)
A．1－pk　　　 　　　　　
B．(1－p)kpn－k
C．(1－p)k
D．C(1－p)kpn－k
[答案]　D
[解析]　在n次独立重复试验中，事件恰发生k次，符合二项分布，而P(A)＝p，则P()＝1－p，故P(X＝k)＝C(1－p)kpn－k，故答案选D.
2．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为(　　)
A.　 　　 B.　 　　
C.　 　　 D.
[答案]　A
[解析]　事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－Cp0(1－p)4＝，所以1－p＝，p＝，故答案选A.
3．流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002，流星数为10的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率为(　　)
A．3.32×10－5 B．3.32×10－9
C．6.64×10－5 D．6.64×10－9
[答案]　B
[解析]　相当于1个流星独立重复10次，其中落在地面上的有4次的概率P＝C×0.0024×(1－0.002)6≈3.32×10－9，应选B.
4．已知随机变量X服从二项分布，X～B，则P(X＝2)等于(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　已知X～B，P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，当X＝2，n＝6，p＝时有P(X＝2)＝C×2×6－2＝C×2×4＝.
5．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　P＝C22＝.
6．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝(　　)
A．C2× B．C2×
C.2× D.2×
[答案]　C
7．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为(　　)
A．0.93×0.1
B．0.93
C．C×0.93×0.1
D．1－0.13
[答案]　C
[解析]　由独立重复试验公式可知选C.
8．(2010·保定高二期末)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是(　　)
A．()5 B．C()5
C．C()3 D．CC()5
[答案]　B
[解析]　由于质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为C()3()2＝C()5＝C()5.
二、填空题
9．已知随机变量X～B(5，)，则P(X≥4)＝________.
[答案]　
10．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．
①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；
③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数．
[答案]　①③
[解析]　对于①，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P(A)＝.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k＝0,1,2，……，n)的概率P(ξ＝k)＝C×k×n－k，符合二项分布的定义，即有ξ～B(n，)．
对于②，ξ的取值是1,2,3，……，P(ξ＝k)＝0.9×0.1k－1(k＝1,2,3，……n)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布．
③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～B.
故应填①③.
11．(2010·湖北文，13)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．
[答案]　0.9477
[解析]　本题主要考查二项分布．
C·0.93·0.1＋(0.9)4＝0.9477.
12．如果X～B(20，p)，当p＝且P(X＝k)取得最大值时，k＝________.
[答案]　10
[解析]　当p＝时，P(X＝k)＝Ck·20－k
＝20·C，显然当k＝10时，P(X＝k)取得最大值．
三、解答题
13．在一次测试中，甲、乙两人独立解出一道数学题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率是0.36，写出解出该题人数X的分布列．
[解析]　设甲、乙独立解出该题的概率为x，由题意1－(1－x)2＝0.36，解得x＝0.2.
所以解出该题人数X的分布列为
X 0 1 2
P 0.64 0.32 0.04
14.已知某种疗法的治愈率是90%，在对10位病人采用这种疗法后，正好有90%被治愈的概率是多少？(精确到0.01)
[解析]　10位病人中被治愈的人数X服从二项分布，即X～B(10,0.9)，故有9人被治愈的概率为P(X＝9)＝C×0.99×0.11≈0.39.
15．9粒种子分种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用X表示补种的费用，写出X的分布列．
[解析]　因为一个坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝，所以一个坑不需要补种的概率为1－＝.
3个坑都不需要补种的概率为
C×0·3≈0.670，
恰有1个坑需要补种的概率为
C×1×2≈0.287，
恰有2个坑需要补种的概率为
C×2×1≈0.041，
3个坑都需要补种的概率为
C×3×0≈0.002.
补种费用X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.670 0.287 0.041 0.002
16.(2010·全国Ⅰ理，18)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审．
(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(2)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列．
[分析]　本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识，以及运用概率知识解决实际问题的能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想．(1)“稿件被录用”这一事件转化为事件“稿件能通过两位初审专家的评审”和事件“稿件能通过复审专家的评审”的和事件，利用加法公式求解．(2)X服从二项分布，结合公式求解即可．
[解析]　(1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；
B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；
C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；
D表示事件：稿件被录用．
则D＝A＋B·C，
而P(A)＝0.5×0.5＝0.25，P(B)＝2×0.5×0.5＝0.5，P(C)＝0.3
故P(D)＝P(A＋B·C)＝P(A)＋P(B)·P(C)＝0.25＋0.5×0.3＝0.4.
(2)随机变量X服从二项分布，即X～B(4,0.4)，
X的可能取值为0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝(1－0.4)4＝0.1 296
P(X＝1)＝C×0.4×(1－0.4)3＝0.3 456
P(X＝2)＝C×0.42×(1－0.4)2＝0.3 456
P(X＝3)＝C×0.43×(1－0.4)＝0.1 536
P(X＝4)＝0.44＝0.0 256
故其分布列为