河南省四校2012届高三第二次联考数学（理）试题

高三第二次联考试卷（理科数学）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
1．若集合，则= （ ）
A． B． C． D．
2．已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．定义在上的函数满足，，任意的，都有
是的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．函数的一个单调递减区间是 （ ）
A． B． C． D．
5. 若展开式中第四项与第六项的系数相等，则展开式中的常数项的值等于（ ）
A．8 B．16 C．80 D． 70
6．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，后，就可以计算出A、B两点的距离为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则 （ ）
A. 3 B . 4 C. 3.5 D. 4.5
8.若直线被圆C：所截得的弦长不小于2，则与下列曲线一定有公共点的是（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
10．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，ABC是边长为2的正三角形，面SAB⊥面ABC，则棱锥S—ABC的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11.已知函数y = f (x) 和 y = g (x) 的定义域及值域均为，其图像如图所示，则方程根的个数为（ ）
A． 2 B．3 C．5 D．6
12.已知函数在R上是偶函数，对任意都有，当且时，，给出如下命题
① ②直线x=-6是图象的一条对称轴 ③函数在上为增函数
④函数在上有四个零点。其中所有正确命题的序号为( )
(A)①② (B)②④ (C)①②③ （D)①②④
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置
13．某企业有个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从个分厂生产的电子产品中共取件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为，，，则抽取的件产品的使用寿命的平均值为 。
14．已知O是坐标原点，点A，若点M为平面区域上的一个动点，则的最小值是__________。
15.如右图所示，图2中实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四
边形ABCD是边长为1的正方形，若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在
长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是__________.
16．阅读右面的程序框图，如果输出的函数值在区间内，那么输入实数x的取值范围是 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分12分）已知数列满足：且（）
（Ⅰ）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明：（）。
18. （本题满分12分）某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调査，右表是在某单位得到的数据（人数)：
(I )能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？
(II)进一步调查：
(i )从赞同“男女同龄退休” 16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；
(ii )从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为X,求X的分布列和均值.
附：
19．（本小题满分12分） 如图，ABCD是边长为3的正方形，平面
ABCD，AF//DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成的角为。
（1）求证：平面BDE；
（2）求二面角F—BE—D的余弦值；
（3）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM//平面BEF，并证明你的结论。
20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为， 为椭圆的上顶点，且.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示.（ⅰ）证明：;（ⅱ）求四边形的面积的最大值.
21. （本小题满分12分）已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数，使得函数的极大值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
请考生在第（22)、（23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
(22) (本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，AB是圆O的直径，以B为圆心的圆B与圆O的一个交点为P.过点A作直线交圆O于点Q,交圆B于点M、N.
(I )求证：QM=QN;
(II)设圆O的半径为2,圆B的半径为1,当AM=时，求MN的长.
(23) (本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为（t为参数，），曲线C的极坐标方程为，
(I )求曲线C的直角坐标方程：
(II)设直线l与曲线C相交于A、B两点，当a变化时，求|AB|的最小值.
(24) (本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
设.
(I)求不等式的解集S:
(II )若关于x不等式有解，求参数t的取值范围.
第二次联考理科数学（参考答案）
一、选择题
1---5：ADCCD 6---10： ACBAD 11---12：DD
二、填空题
13、1013 14、 15、 3 16、
三、解答题
17．解析：（Ⅰ）由题得：an+1（an+n）=2（n+1）an ， 即
故 又 所以数列为等比数列， ……3分
， ……6分
（Ⅱ）由上知 ……………………………………8分
所以（）。 ………………………12分
20.（Ⅰ）解：设椭圆的标准方程为.
因为，，
所以.
所以 . …………………2分
所以 椭圆的标准方程为. ………………3分（Ⅱ）设， ，，.
（ⅰ）证明：由消去得：.
则， ………………5分
所以
.
同理 . ………………………………………7分
因为 ,
所以 .
因为 ，所以. ………………………………………9分
（ⅱ）解：由题意得四边形是平行四边形，设两平行线间的距离为,则 .因为 ，所以 . ………………10分
所以
.
（或）
所以 当时， 四边形的面积取得最大值为. ………………12分21.解：（Ⅰ）的定义域为.
，
即 .
令，解得：或.
当时，，故的单调递增区间是. ………………3分
当时，
，随的变化情况如下：
极大值 极小值
所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.
………………………………………5分
当时，
，随的变化情况如下：
极大值 极小值
所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.
………………………………………7分
（Ⅱ）当时，的极大值等于. 理由如下：
当时，无极大值.
当时，的极大值为， ………………………8分
令，即 解得 或（舍）. ………………9分
当时，的极大值为. ……………………10分
因为 ，，
所以 .
因为 ，
所以 的极大值不可能等于.
综上所述，当时，的极大值等于. ……………12分
y = g (x)
y
x
y = f (x)
x
y
a
– a
a
– a
a
a
– a
– a