江苏省盐城市东台市民办校联盟2017届九年级下学期期初数学试卷
一、选择题：
1．（2016七上·鼓楼期中）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．﹣
2．（2017九下·东台开学考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2017九下·东台开学考）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a2=a5 B．a6÷a3=a2
C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．（a2）3=a6
4．（2017·黑龙江模拟）如图，是一个由3个相同的正方体组成的立体图形，则它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
5．（2017九下·东台开学考）下列四个实数中，是无理数的为（ ）
A．0 B． C．﹣5 D．
6．（2017九下·东台开学考）中南商场对上周女装的销售情况进行了统计，销售情况如表：
颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色
数量（件） 100 180 220 80 550
经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．（2017九下·东台开学考）如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
8．（2017九下·东台开学考）如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A2017的坐标是（ ）
A．（0，21008） B．（ ， ）
C．（ ，0） D．（ ，- ）
二、填空题：
9．（2017九下·东台开学考）分解因式：a2﹣4a= ．
10．（2017九下·东台开学考）函数y= 的自变量x取值范围是 ．
11．（2017九下·东台开学考）据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达680000000元，这个数用科学记数法表示为 元．
12．（2017九下·东台开学考）若2m﹣n2=4，则代数式10+4m﹣2n2的值为 ．
13．（2017九下·东台开学考）如图，在 ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，若∠A=122°，则∠BCE= °．
14．（2017九下·东台开学考）若反比例函数的图象经过点P（﹣1，4），则它的函数关系式是 ．
15．（2017九下·东台开学考）如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=4，D、E、F分别为BC、AC、AB中点，连接DE、FE，则四边形BDEF的周长是 ．
16．（2017九上·钦州期末）已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为 ．
17．（2017九下·东台开学考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），若将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标为 ．
18．如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为边AB上一点，CD绕点D顺时针旋转90°至DE，CE交AB于点G．已知AD=8，BG=6，点F是AE的中点，连接DF，求线段DF的长 ．
三、解答题
19．（2017九下·东台开学考）综合题。
（1）计算：（3﹣π）0﹣（ ）﹣1+tan45°；
（2）解不等式：3（x﹣1）＞2x+2．
20．（2017九下·东台开学考）先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中a=4．
21．（2017九下·东台开学考）在一个不透明的口袋中有3个分别标有数字﹣1、1、2的小球，它们除标的数字不同外无其他区别．
（1）随机地从口袋中取出一小球，求取出的小球上标的数字为负数的概率；
（2）随机地从口袋中取出一小球，放回后再取出第二个小球，求两次取出的数字的和等于0的概率．
22．（2017九下·东台开学考）某校组织了“英语手抄报”征集活动，现从中随机抽取部分作品，按A、B、C、D四个等级进行评价，并根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）求抽取了多少份作品；
（2）此次抽取的作品中等级为B的作品有 份，并补全条形统计图 ；
（3）若该校共征集到600份作品，请估计等级为A的作品约有多少份？
23．（2017九下·东台开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
①作AC的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点D；
②以O为圆心，OA为半径作圆，交OD的延长线于点E．
（2）在（1）所作的图形中，解答下列问题．
点B与⊙O的位置关系是 ；（直接写出答案）
（3）若DE=2，AC=8，求⊙O的半径．
24．（2017九下·东台开学考）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
（1）求改直的公路AB的长；
（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
25．（2017九下·东台开学考）大润发超市在销售某种进货价为20元/件的商品时，以30元/件售出，每天能售出100件．调查表明：这种商品的售价每上涨1元/件，其销售量就将减少2件．
（1）为了实现每天1600元的销售利润，超市应将这种商品的售价定为多少？
（2）设每件商品的售价为x元，超市所获利润为y元．
①求y与x之间的函数关系式；
②物价局规定该商品的售价不能超过40元/件，超市为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多少？最大利润是多少？
26．（2017九下·东台开学考）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，（点D在⊙O外）AC平分∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DC、AB的延长线相交于点E，且DE=12，AD=9，求BE的长．
27．（2017九下·东台开学考）综合题。
（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则
①∠BEC= °；②线段AD、BE之间的数量关系是 ．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，若AE=15，DE=7，求AB的长度．
（3）探究发现：
如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=5，CP=4，DP=8，求BD的长．
28．（2017九下·东台开学考）已知：如图1，直线y= x+6与x轴、y轴分别交于点A、C两点，点B的横坐标为2．
（1）求A、C两点的坐标和抛物线的函数关系式；
（2）点D是直线AC上方抛物线上任意一点，P为线段AC上一点，且S△PCD=2S△PAD，求点P的坐标；
（3）如图2，另有一条直线y=﹣x与直线AC交于点M，N为线段OA上一点，∠AMN=∠AOM．点Q为x轴负半轴上一点，且点Q到直线MN和直线MO的距离相等，求点Q的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得
|﹣3|=3．
故选B．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选C．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a3+a2不能合并，故A错误；
B、a6÷a3=a3，故B错误；
C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故C错误；
D、（a2）3=a6，故D正确；
故选D．
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法法则进行计算即可．
4．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看有两层，下面一层有2个正方形，上面一层有一个正方形．从正面看有两列，左面有2个正方形，右面有1个正方形，
故答案为：A．
【分析】从正面看左边一列有两个正方形，右边一列有一个正方形。即可得出选项。
5．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：0，﹣5， 是有理数，
是无理数，
故选：B．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
6．【答案】C
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：在决定本周进女装时多进一些红色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而红色上周销售量最大．由于众数是数据中出现次数最多的数，故考虑的是各色女装的销售数量的众数．
故选C．
【分析】商场经理最值得关注的应该是爱买哪种颜色女装的人数最多，即众数．
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠1=∠2+∠3，
∵∠1=120°，∠2=80°，
∴∠3=120°﹣80°=40°，
故选A．
【分析】根据平行线性质求出∠1=∠2+∠3，代入即可得出答案．
8．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：观察，发现：A（0，1）、A1（1，1），A2（2，0），A3（2，﹣2），A4（0，﹣4），A5（﹣4，﹣4），A6（﹣8，0），A7（﹣8，8），A8（0，16），A9（16，16）…，
∴A8n+1（24n，24n）（n为自然数）．
∵2017=252×8+1，
∴A2017，即点A2017的坐标是（ ， ）．
故选B．
【分析】根据正方形的性质可找出部分点An的坐标，根据坐标的变化即可找出A8n+1（24n，24n）（n为自然数），再根据2017=252×8+1，即可找出点A2017的坐标．
9．【答案】a（a﹣4）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2﹣4a=a（a﹣4）．
故答案为：a（a﹣4）．
【分析】由于原式子中含有公因式a，可用提取公因式法求解．
10．【答案】x≤3
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故答案为：x≤3．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：3﹣x≥0，解得x的范围．
11．【答案】6.8×108
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将680000000用科学记数法表示为6.8×108．
故答案为：6.8×108．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
12．【答案】18
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵2m﹣n2=4，
∴4m﹣2n2=8，
∴10+4m﹣2n2=18，
故答案为：18．
【分析】观察发现4m﹣2n2是2m﹣n2的2倍，进而可得4m﹣2n2=8，然后再求代数式10+4m﹣2n2的值．
13．【答案】32
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B=180°﹣∠A=58°，
又∵CE⊥AB，
∴∠BEC=90°，
∴∠BCE=90°﹣58°=32°．
故答案为：32．
【分析】根据平行四边形的对边平行先求出∠B的值，然后利用直角三角形的角的关系，求出∠BCE的度数即可．
14．【答案】y=﹣
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：设函数解析式为 ，
将P（﹣1，4）代入解析式得，k=﹣4，
故函数解析式为y=﹣ ．
故答案为：y=﹣ ．
【分析】将点P（﹣1，4）坐标代入函数解析式 （k≠0），即可求得k的值，从而得到函数解析式．
15．【答案】14
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别为BC、AC中点，
∴DE= AB=3，DE∥AB，
∵E、F分别为AC、AB中点，
∴EF= BC=4，EF∥BC，
∴平行四边形BDEF的周长为：2×（3+4）=14，
故答案为：14．
【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理解答即可．
16．【答案】4
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为R，则15π=2π×3×R÷2，解得R=5，
∴圆锥的高= =4．
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求得母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高．
17．【答案】（1，﹣4）
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：作AC⊥x轴于C，
∵点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），
∴AC=2，BC=3+1=4，
把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，
∴BC′=BC=4，A′C′=AC=2，
∴点A′的坐标为（1，﹣4）．
故答案为（1，﹣4）．
【分析】作AC⊥x轴于C，利用点A、B的坐标得到AC=2，BC=4，根据旋转的定义，可把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，利用旋转的性质得BC′=BC=4，A′C′=AC=2，于是可得到点A′的坐标．
18．【答案】2
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△CBP，作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，在NA上截取一点H，使得NH=NE，连接HE，PG．
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵DC=DE，∠CDE=90°，
∴∠DCE=45°，
∴∠ACD+∠BCG=45°，
∵∠ACD=∠BCP，
∴∠GCP=∠GCD=45°，
在△GCD和△GCP中，
，
∴△GCD≌△GCP，
∴DG=PG，
∵∠PBG=∠PBC+∠CBG=90°，BG=6，PB=AD=8，
∴PG=DG= =10，
∴AB=AD+DG+BG=24，CM=AM=MB=12，DM=AM﹣AD=4，
∵∠DCM+∠CDM=90°，∠CDM+∠EDN=90°，
∴∠DCM=∠EDN，
在△CDM和△DEN中， ，
∴△CDM≌△DEN，
∴DM=NE=HN=4，CM=DN=AM，
∴AD=NM，DH=AD，
∵AF=FE，
∴DF= HE= =2 ．
故答案为： ．
【分析】如图，将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△CBP，作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，在NA上截取一点H，使得NH=NE，连接HE，PG，由△GCD≌△GCP，推出DG=PG，再证明△CDM≌△DEN，只要证明DF是△AHE中位线，求出HE即可解决问题．
19．【答案】（1）解：原式=1﹣2+1=0
（2）解：去括号，得3x﹣3＞2x+2，
移项、合并同类项得，x＞5
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角三角函数值，零次幂以及负指数幂，可得答案．（2）先去括号，再根据不等式的基本性质求出不等式的解集即可．
20．【答案】解：原式=
=
= ，
当a=4时，原式= =4
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
21．【答案】（1）解：∵在一个不透明的口袋中有3个分别标有数字﹣1、1、2的小球，它们除标的数字不同外无其他区别，
∴P（取出负数）=
（2）解：列表如下：
﹣1 1 2
﹣1 ﹣2 0 1
1 0 2 3
2 1 3 4
∵由列表可知，共有9种机会均等的情况，其中和等于0的情况有2种，
∴P（和等于0）= ．
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）由在一个不透明的口袋中有3个分别标有数字﹣1、1、2的小球，它们除标的数字不同外无其他区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次取出的数字的和等于0的情况，再利用概率公式即可求得答案．
22．【答案】（1）解：根据题意，共抽取作品30÷25%=120（份）
（2）48；
（3）解：600× =180，
答：若该校共征集到600份作品，估计等级为A的作品约有180份
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】解：（2）B等级作品数为：120﹣36﹣30﹣6=48（份），
补全条形统计图如图所示：（1）用C等级份数除以C等级所占的百分比，可得抽取的数量；（2）用（1）中所求总份数减去A、C、D三等级数量即可得到B等级作品数，并补全统计图；（3）利用样本估计总体，将样本中A等级所占比例乘以600，可估计A等级数量．
23．【答案】（1）解：如图所示；
（2）点B在⊙O上
（3）解：∵OD⊥AC，且点D是AC的中点，
∴AD= AC=4，
设⊙O的半径为r，
则OA=OE=r，OD=OE﹣DE=r﹣2，
在Rt△AOD中，∵OA2=AD2+OD2，
即r2=42+（r﹣2）2，
解得r=5．
∴⊙O的半径为5
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】解： （2）连结OC，如图，
∵OD垂直平分AC，
∴OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠A+∠B=90°，∠OCB+∠ACO=90°，
∴∠B=∠OCB，
∴OC=OB，
∴OB=OA，
∴点B在⊙O上；
故答案为点B在⊙O上
【分析】（1）先作AC的垂直平分线，然后作⊙O；（2）通过证明OB=OA来判断点在⊙O上；（3）设⊙O的半径为r，在Rt△AOD中利用勾股定理得到r2=42+（r﹣2）2，然后解方程求出r即可．
24．【答案】（1）解：作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，CH=AC sin∠CAB=AC sin25°≈10×0.42=4.2（千米），
AH=AC cos∠CAB=AC cos25°≈10×0.91=9.1（千米），
在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6（千米），
∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7（千米）．
故改直的公路AB的长14.7千米
（2）解：在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7（千米），
则AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3（千米）．
答：公路改直后比原来缩短了2.3千米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，根据三角函数求得CH，AH，在Rt△BCH中，根据三角函数求得BH，再根据AB=AH+BH即可求解；（2）在Rt△BCH中，根据三角函数求得BC，再根据AC+BC﹣AB列式计算即可求解．
25．【答案】（1）解：设商品的定价为x元，由题意，得
（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]=1600，
解得：x=40或x=60；
答：售价应定为40元或60元
（2）解：①y=（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]（x≤40），
即y=﹣2x2+200x﹣3200；
②∵a=﹣2＜0，
∴当x= =50时，y取最大值；
又x≤40，则在x=40时，y取最大值，即y最大值=1600，
答：售价为40元/件时，此时利润最大，最大利润为1600元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设商品的定价为x元，根据总利润=单件利润×销售量，列出关于x的一元二次方程求解可得；（2）①根据（1）中相等关系即可得函数解析式；②根据二次函数的性质即可得最大值．
26．【答案】（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE= =15，
∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EDA，
∴ = ，
∴ = ，
解得：OC= ，
∴BE=AE﹣2OC=15﹣2× = ，
答：BE的长是
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线的判定判断即可；（2）根据勾股定理求出AE，根据△ECO∽△EDA，得出比例式，求出圆的半径，即可求出答案．
27．【答案】（1）120；AD=BE
（2）解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE=AE﹣DE=15﹣7=8，∠ADC=∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．
∴AB= = =17
（3）解：把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，如图所示：
则△BEC≌△APC，
∴CE=CP，∠PCE=60°，BE=AP=5，∠BEC=∠APC=150°，
∴△PCE是等边三角形，
∴∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=4，
∴∠BED=∠BEC﹣∠PEC=90°，
∵∠APD=30°，
∴∠DPC=150°﹣30°=120°，
又∵∠DPE=∠DPC+∠EPC=120°+60°=180°，
即D、P、E在同一条直线上，
∴DE=DP+PE=8+4=12，
在Rt△BDE中， ，
即BD的长为13．
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
故答案为：120．
②由①得：△ACD≌△BCE，
∴AD=BE；
故答案为：AD=BE．
【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠BEC的度数．（2）同（1）证出△ACD≌△BCE，得出AD=BE=AE﹣DE=8，∠ADC=∠BEC，求出∠BEC=135°，得出∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．由勾股定理求出AB即可；（3）把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，则△BEC≌△APC，得出CE=CP，∠PCE=60°，BE=AP=5，∠BEC=∠APC=150°，证出△PCE是等边三角形，得出∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=4，求出∠BED=∠BEC﹣∠PEC=90°，证明D、P、E在同一条直线上，得出DE=DP+PE=12，再由勾股定理求出BD即可．
28．【答案】（1）解：在y= x+6中，
令x=0，则y=6；令y=0，则x=﹣8，
∴A（﹣8，0），C（0，6），
∵点B的横坐标为2，
∴B（2，0），
设抛物线解析式为y=a（x+8）（x﹣2），则
把C（0，6）代入，得6=a×（﹣16），
∴a=﹣ ，
∴y=﹣ （x+8）（x﹣2），
即
（2）解：如图所示，过P作PH⊥AO于H，
∵S△PCD=2S△PAD，
∴AP：PC=1：2，
∵PH∥CO，
∴AH：HO=1：2，
即OH= AO，
又∵AO=8，
∴OH=8× = ，
∴点P的横坐标为 ，
在直线y= x+6中，当x= 时，y= ×（ ）+6=2，
∴点P的纵坐标为2，
∴点P的坐标为（ ，2）
（3）解：分两种情况：
①当点Q1为∠NMO的平分线与x轴的交点时，点Q1到直线MN和直线MO的距离相等，
∵直线y=﹣x与直线y= x+6交于点M，
∴M（﹣ ， ），
又∵A（﹣8，0），
∴由两点间距离公式可得AM= = ，
∵∠AMN=∠AOM，∠MAN=∠OAM，
∴△AMN∽△AOM，
∴AM2=AN×AO，即（ ）2=AN×8，
∴AN= ，
∴ON=AO﹣AN= ，
即N（﹣ ，0），
∴由两点间距离公式可得MN= ，MO= ，
∵MQ1平分∠NMO，
∴ = = ，
∴OQ1= NO= = ，
即点Q1的坐标为（ ，0）；
②当点Q2为∠NMO的邻补角的平分线与x轴的交点时，点Q2到直线MN和直线MO的距离相等，
根据Q1（ ，0），M（﹣ ， ），可得
直线MQ1解析式为y=﹣3x﹣ ，
∵MQ1⊥MQ2，
∴可设直线MQ2解析式为y= x+b，
把M（﹣ ， ）代入，可得b= ，
∴直线MQ2解析式为y= x+ ，
∴当y=0时，0= x+ ，
解得x=﹣ ，
即点Q2的坐标为（ ，0）．
综上所述，点Q的坐标为（ ，0）或（ ，0）
【知识点】角平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据直线y= x+6，可得A（﹣8，0），C（0，6），设抛物线解析式为y=a（x+8）（x﹣2），把C（0，6）代入，可得抛物线的函数关系式；（2）过P作PH⊥AO于H，根据S△PCD=2S△PAD，可得AP：PC=1：2，即AH：HO=1：2，进而得到OH= AO=8× = ，在直线y= x+6中，当x= 时，y= ×（ ）+6=2，可得点P的坐标为（ ，2）；（3）分两种情况进行讨论：①当点Q1为∠NMO的平分线与x轴的交点时，点Q1到直线MN和直线MO的距离相等；②当点Q2为∠NMO的邻补角的平分线与x轴的交点时，点Q2到直线MN和直线MO的距离相等，根据相似三角形的性质求得N（﹣ ，0），再根据角平分线的性质可得点Q1的坐标为（ ，0）；最后根据MQ1⊥MQ2，可得直线MQ2解析式为y= x+ ，进而得到点Q2的坐标为（ ，0）．
1 / 1江苏省盐城市东台市民办校联盟2017届九年级下学期期初数学试卷
一、选择题：
1．（2016七上·鼓楼期中）﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．﹣
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得
|﹣3|=3．
故选B．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
2．（2017九下·东台开学考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选C．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
3．（2017九下·东台开学考）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a2=a5 B．a6÷a3=a2
C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．（a2）3=a6
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a3+a2不能合并，故A错误；
B、a6÷a3=a3，故B错误；
C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故C错误；
D、（a2）3=a6，故D正确；
故选D．
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法法则进行计算即可．
4．（2017·黑龙江模拟）如图，是一个由3个相同的正方体组成的立体图形，则它的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看有两层，下面一层有2个正方形，上面一层有一个正方形．从正面看有两列，左面有2个正方形，右面有1个正方形，
故答案为：A．
【分析】从正面看左边一列有两个正方形，右边一列有一个正方形。即可得出选项。
5．（2017九下·东台开学考）下列四个实数中，是无理数的为（ ）
A．0 B． C．﹣5 D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：0，﹣5， 是有理数，
是无理数，
故选：B．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
6．（2017九下·东台开学考）中南商场对上周女装的销售情况进行了统计，销售情况如表：
颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色
数量（件） 100 180 220 80 550
经理决定本周进女装时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】C
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：在决定本周进女装时多进一些红色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而红色上周销售量最大．由于众数是数据中出现次数最多的数，故考虑的是各色女装的销售数量的众数．
故选C．
【分析】商场经理最值得关注的应该是爱买哪种颜色女装的人数最多，即众数．
7．（2017九下·东台开学考）如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠1=∠2+∠3，
∵∠1=120°，∠2=80°，
∴∠3=120°﹣80°=40°，
故选A．
【分析】根据平行线性质求出∠1=∠2+∠3，代入即可得出答案．
8．（2017九下·东台开学考）如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A2017的坐标是（ ）
A．（0，21008） B．（ ， ）
C．（ ，0） D．（ ，- ）
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：观察，发现：A（0，1）、A1（1，1），A2（2，0），A3（2，﹣2），A4（0，﹣4），A5（﹣4，﹣4），A6（﹣8，0），A7（﹣8，8），A8（0，16），A9（16，16）…，
∴A8n+1（24n，24n）（n为自然数）．
∵2017=252×8+1，
∴A2017，即点A2017的坐标是（ ， ）．
故选B．
【分析】根据正方形的性质可找出部分点An的坐标，根据坐标的变化即可找出A8n+1（24n，24n）（n为自然数），再根据2017=252×8+1，即可找出点A2017的坐标．
二、填空题：
9．（2017九下·东台开学考）分解因式：a2﹣4a= ．
【答案】a（a﹣4）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2﹣4a=a（a﹣4）．
故答案为：a（a﹣4）．
【分析】由于原式子中含有公因式a，可用提取公因式法求解．
10．（2017九下·东台开学考）函数y= 的自变量x取值范围是 ．
【答案】x≤3
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故答案为：x≤3．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：3﹣x≥0，解得x的范围．
11．（2017九下·东台开学考）据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达680000000元，这个数用科学记数法表示为 元．
【答案】6.8×108
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将680000000用科学记数法表示为6.8×108．
故答案为：6.8×108．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
12．（2017九下·东台开学考）若2m﹣n2=4，则代数式10+4m﹣2n2的值为 ．
【答案】18
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵2m﹣n2=4，
∴4m﹣2n2=8，
∴10+4m﹣2n2=18，
故答案为：18．
【分析】观察发现4m﹣2n2是2m﹣n2的2倍，进而可得4m﹣2n2=8，然后再求代数式10+4m﹣2n2的值．
13．（2017九下·东台开学考）如图，在 ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，若∠A=122°，则∠BCE= °．
【答案】32
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B=180°﹣∠A=58°，
又∵CE⊥AB，
∴∠BEC=90°，
∴∠BCE=90°﹣58°=32°．
故答案为：32．
【分析】根据平行四边形的对边平行先求出∠B的值，然后利用直角三角形的角的关系，求出∠BCE的度数即可．
14．（2017九下·东台开学考）若反比例函数的图象经过点P（﹣1，4），则它的函数关系式是 ．
【答案】y=﹣
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：设函数解析式为 ，
将P（﹣1，4）代入解析式得，k=﹣4，
故函数解析式为y=﹣ ．
故答案为：y=﹣ ．
【分析】将点P（﹣1，4）坐标代入函数解析式 （k≠0），即可求得k的值，从而得到函数解析式．
15．（2017九下·东台开学考）如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=4，D、E、F分别为BC、AC、AB中点，连接DE、FE，则四边形BDEF的周长是 ．
【答案】14
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别为BC、AC中点，
∴DE= AB=3，DE∥AB，
∵E、F分别为AC、AB中点，
∴EF= BC=4，EF∥BC，
∴平行四边形BDEF的周长为：2×（3+4）=14，
故答案为：14．
【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理解答即可．
16．（2017九上·钦州期末）已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则这个圆锥的高为 ．
【答案】4
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为R，则15π=2π×3×R÷2，解得R=5，
∴圆锥的高= =4．
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求得母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高．
17．（2017九下·东台开学考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），若将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标为 ．
【答案】（1，﹣4）
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：作AC⊥x轴于C，
∵点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），
∴AC=2，BC=3+1=4，
把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，
∴BC′=BC=4，A′C′=AC=2，
∴点A′的坐标为（1，﹣4）．
故答案为（1，﹣4）．
【分析】作AC⊥x轴于C，利用点A、B的坐标得到AC=2，BC=4，根据旋转的定义，可把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，利用旋转的性质得BC′=BC=4，A′C′=AC=2，于是可得到点A′的坐标．
18．如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为边AB上一点，CD绕点D顺时针旋转90°至DE，CE交AB于点G．已知AD=8，BG=6，点F是AE的中点，连接DF，求线段DF的长 ．
【答案】2
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△CBP，作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，在NA上截取一点H，使得NH=NE，连接HE，PG．
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵DC=DE，∠CDE=90°，
∴∠DCE=45°，
∴∠ACD+∠BCG=45°，
∵∠ACD=∠BCP，
∴∠GCP=∠GCD=45°，
在△GCD和△GCP中，
，
∴△GCD≌△GCP，
∴DG=PG，
∵∠PBG=∠PBC+∠CBG=90°，BG=6，PB=AD=8，
∴PG=DG= =10，
∴AB=AD+DG+BG=24，CM=AM=MB=12，DM=AM﹣AD=4，
∵∠DCM+∠CDM=90°，∠CDM+∠EDN=90°，
∴∠DCM=∠EDN，
在△CDM和△DEN中， ，
∴△CDM≌△DEN，
∴DM=NE=HN=4，CM=DN=AM，
∴AD=NM，DH=AD，
∵AF=FE，
∴DF= HE= =2 ．
故答案为： ．
【分析】如图，将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△CBP，作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，在NA上截取一点H，使得NH=NE，连接HE，PG，由△GCD≌△GCP，推出DG=PG，再证明△CDM≌△DEN，只要证明DF是△AHE中位线，求出HE即可解决问题．
三、解答题
19．（2017九下·东台开学考）综合题。
（1）计算：（3﹣π）0﹣（ ）﹣1+tan45°；
（2）解不等式：3（x﹣1）＞2x+2．
【答案】（1）解：原式=1﹣2+1=0
（2）解：去括号，得3x﹣3＞2x+2，
移项、合并同类项得，x＞5
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角三角函数值，零次幂以及负指数幂，可得答案．（2）先去括号，再根据不等式的基本性质求出不等式的解集即可．
20．（2017九下·东台开学考）先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中a=4．
【答案】解：原式=
=
= ，
当a=4时，原式= =4
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
21．（2017九下·东台开学考）在一个不透明的口袋中有3个分别标有数字﹣1、1、2的小球，它们除标的数字不同外无其他区别．
（1）随机地从口袋中取出一小球，求取出的小球上标的数字为负数的概率；
（2）随机地从口袋中取出一小球，放回后再取出第二个小球，求两次取出的数字的和等于0的概率．
【答案】（1）解：∵在一个不透明的口袋中有3个分别标有数字﹣1、1、2的小球，它们除标的数字不同外无其他区别，
∴P（取出负数）=
（2）解：列表如下：
﹣1 1 2
﹣1 ﹣2 0 1
1 0 2 3
2 1 3 4
∵由列表可知，共有9种机会均等的情况，其中和等于0的情况有2种，
∴P（和等于0）= ．
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）由在一个不透明的口袋中有3个分别标有数字﹣1、1、2的小球，它们除标的数字不同外无其他区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次取出的数字的和等于0的情况，再利用概率公式即可求得答案．
22．（2017九下·东台开学考）某校组织了“英语手抄报”征集活动，现从中随机抽取部分作品，按A、B、C、D四个等级进行评价，并根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）求抽取了多少份作品；
（2）此次抽取的作品中等级为B的作品有 份，并补全条形统计图 ；
（3）若该校共征集到600份作品，请估计等级为A的作品约有多少份？
【答案】（1）解：根据题意，共抽取作品30÷25%=120（份）
（2）48；
（3）解：600× =180，
答：若该校共征集到600份作品，估计等级为A的作品约有180份
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】解：（2）B等级作品数为：120﹣36﹣30﹣6=48（份），
补全条形统计图如图所示：（1）用C等级份数除以C等级所占的百分比，可得抽取的数量；（2）用（1）中所求总份数减去A、C、D三等级数量即可得到B等级作品数，并补全统计图；（3）利用样本估计总体，将样本中A等级所占比例乘以600，可估计A等级数量．
23．（2017九下·东台开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）
①作AC的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点D；
②以O为圆心，OA为半径作圆，交OD的延长线于点E．
（2）在（1）所作的图形中，解答下列问题．
点B与⊙O的位置关系是 ；（直接写出答案）
（3）若DE=2，AC=8，求⊙O的半径．
【答案】（1）解：如图所示；
（2）点B在⊙O上
（3）解：∵OD⊥AC，且点D是AC的中点，
∴AD= AC=4，
设⊙O的半径为r，
则OA=OE=r，OD=OE﹣DE=r﹣2，
在Rt△AOD中，∵OA2=AD2+OD2，
即r2=42+（r﹣2）2，
解得r=5．
∴⊙O的半径为5
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】解： （2）连结OC，如图，
∵OD垂直平分AC，
∴OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠A+∠B=90°，∠OCB+∠ACO=90°，
∴∠B=∠OCB，
∴OC=OB，
∴OB=OA，
∴点B在⊙O上；
故答案为点B在⊙O上
【分析】（1）先作AC的垂直平分线，然后作⊙O；（2）通过证明OB=OA来判断点在⊙O上；（3）设⊙O的半径为r，在Rt△AOD中利用勾股定理得到r2=42+（r﹣2）2，然后解方程求出r即可．
24．（2017九下·东台开学考）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
（1）求改直的公路AB的长；
（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
【答案】（1）解：作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，CH=AC sin∠CAB=AC sin25°≈10×0.42=4.2（千米），
AH=AC cos∠CAB=AC cos25°≈10×0.91=9.1（千米），
在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6（千米），
∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7（千米）．
故改直的公路AB的长14.7千米
（2）解：在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7（千米），
则AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3（千米）．
答：公路改直后比原来缩短了2.3千米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，根据三角函数求得CH，AH，在Rt△BCH中，根据三角函数求得BH，再根据AB=AH+BH即可求解；（2）在Rt△BCH中，根据三角函数求得BC，再根据AC+BC﹣AB列式计算即可求解．
25．（2017九下·东台开学考）大润发超市在销售某种进货价为20元/件的商品时，以30元/件售出，每天能售出100件．调查表明：这种商品的售价每上涨1元/件，其销售量就将减少2件．
（1）为了实现每天1600元的销售利润，超市应将这种商品的售价定为多少？
（2）设每件商品的售价为x元，超市所获利润为y元．
①求y与x之间的函数关系式；
②物价局规定该商品的售价不能超过40元/件，超市为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多少？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设商品的定价为x元，由题意，得
（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]=1600，
解得：x=40或x=60；
答：售价应定为40元或60元
（2）解：①y=（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]（x≤40），
即y=﹣2x2+200x﹣3200；
②∵a=﹣2＜0，
∴当x= =50时，y取最大值；
又x≤40，则在x=40时，y取最大值，即y最大值=1600，
答：售价为40元/件时，此时利润最大，最大利润为1600元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设商品的定价为x元，根据总利润=单件利润×销售量，列出关于x的一元二次方程求解可得；（2）①根据（1）中相等关系即可得函数解析式；②根据二次函数的性质即可得最大值．
26．（2017九下·东台开学考）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，（点D在⊙O外）AC平分∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DC、AB的延长线相交于点E，且DE=12，AD=9，求BE的长．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE= =15，
∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EDA，
∴ = ，
∴ = ，
解得：OC= ，
∴BE=AE﹣2OC=15﹣2× = ，
答：BE的长是
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线的判定判断即可；（2）根据勾股定理求出AE，根据△ECO∽△EDA，得出比例式，求出圆的半径，即可求出答案．
27．（2017九下·东台开学考）综合题。
（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则
①∠BEC= °；②线段AD、BE之间的数量关系是 ．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，若AE=15，DE=7，求AB的长度．
（3）探究发现：
如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=5，CP=4，DP=8，求BD的长．
【答案】（1）120；AD=BE
（2）解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE=AE﹣DE=15﹣7=8，∠ADC=∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．
∴AB= = =17
（3）解：把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，如图所示：
则△BEC≌△APC，
∴CE=CP，∠PCE=60°，BE=AP=5，∠BEC=∠APC=150°，
∴△PCE是等边三角形，
∴∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=4，
∴∠BED=∠BEC﹣∠PEC=90°，
∵∠APD=30°，
∴∠DPC=150°﹣30°=120°，
又∵∠DPE=∠DPC+∠EPC=120°+60°=180°，
即D、P、E在同一条直线上，
∴DE=DP+PE=8+4=12，
在Rt△BDE中， ，
即BD的长为13．
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
故答案为：120．
②由①得：△ACD≌△BCE，
∴AD=BE；
故答案为：AD=BE．
【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠BEC的度数．（2）同（1）证出△ACD≌△BCE，得出AD=BE=AE﹣DE=8，∠ADC=∠BEC，求出∠BEC=135°，得出∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．由勾股定理求出AB即可；（3）把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，则△BEC≌△APC，得出CE=CP，∠PCE=60°，BE=AP=5，∠BEC=∠APC=150°，证出△PCE是等边三角形，得出∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=4，求出∠BED=∠BEC﹣∠PEC=90°，证明D、P、E在同一条直线上，得出DE=DP+PE=12，再由勾股定理求出BD即可．
28．（2017九下·东台开学考）已知：如图1，直线y= x+6与x轴、y轴分别交于点A、C两点，点B的横坐标为2．
（1）求A、C两点的坐标和抛物线的函数关系式；
（2）点D是直线AC上方抛物线上任意一点，P为线段AC上一点，且S△PCD=2S△PAD，求点P的坐标；
（3）如图2，另有一条直线y=﹣x与直线AC交于点M，N为线段OA上一点，∠AMN=∠AOM．点Q为x轴负半轴上一点，且点Q到直线MN和直线MO的距离相等，求点Q的坐标．
【答案】（1）解：在y= x+6中，
令x=0，则y=6；令y=0，则x=﹣8，
∴A（﹣8，0），C（0，6），
∵点B的横坐标为2，
∴B（2，0），
设抛物线解析式为y=a（x+8）（x﹣2），则
把C（0，6）代入，得6=a×（﹣16），
∴a=﹣ ，
∴y=﹣ （x+8）（x﹣2），
即
（2）解：如图所示，过P作PH⊥AO于H，
∵S△PCD=2S△PAD，
∴AP：PC=1：2，
∵PH∥CO，
∴AH：HO=1：2，
即OH= AO，
又∵AO=8，
∴OH=8× = ，
∴点P的横坐标为 ，
在直线y= x+6中，当x= 时，y= ×（ ）+6=2，
∴点P的纵坐标为2，
∴点P的坐标为（ ，2）
（3）解：分两种情况：
①当点Q1为∠NMO的平分线与x轴的交点时，点Q1到直线MN和直线MO的距离相等，
∵直线y=﹣x与直线y= x+6交于点M，
∴M（﹣ ， ），
又∵A（﹣8，0），
∴由两点间距离公式可得AM= = ，
∵∠AMN=∠AOM，∠MAN=∠OAM，
∴△AMN∽△AOM，
∴AM2=AN×AO，即（ ）2=AN×8，
∴AN= ，
∴ON=AO﹣AN= ，
即N（﹣ ，0），
∴由两点间距离公式可得MN= ，MO= ，
∵MQ1平分∠NMO，
∴ = = ，
∴OQ1= NO= = ，
即点Q1的坐标为（ ，0）；
②当点Q2为∠NMO的邻补角的平分线与x轴的交点时，点Q2到直线MN和直线MO的距离相等，
根据Q1（ ，0），M（﹣ ， ），可得
直线MQ1解析式为y=﹣3x﹣ ，
∵MQ1⊥MQ2，
∴可设直线MQ2解析式为y= x+b，
把M（﹣ ， ）代入，可得b= ，
∴直线MQ2解析式为y= x+ ，
∴当y=0时，0= x+ ，
解得x=﹣ ，
即点Q2的坐标为（ ，0）．
综上所述，点Q的坐标为（ ，0）或（ ，0）
【知识点】角平分线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据直线y= x+6，可得A（﹣8，0），C（0，6），设抛物线解析式为y=a（x+8）（x﹣2），把C（0，6）代入，可得抛物线的函数关系式；（2）过P作PH⊥AO于H，根据S△PCD=2S△PAD，可得AP：PC=1：2，即AH：HO=1：2，进而得到OH= AO=8× = ，在直线y= x+6中，当x= 时，y= ×（ ）+6=2，可得点P的坐标为（ ，2）；（3）分两种情况进行讨论：①当点Q1为∠NMO的平分线与x轴的交点时，点Q1到直线MN和直线MO的距离相等；②当点Q2为∠NMO的邻补角的平分线与x轴的交点时，点Q2到直线MN和直线MO的距离相等，根据相似三角形的性质求得N（﹣ ，0），再根据角平分线的性质可得点Q1的坐标为（ ，0）；最后根据MQ1⊥MQ2，可得直线MQ2解析式为y= x+ ，进而得到点Q2的坐标为（ ，0）．
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