2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座二
几何问题
(浙江省宁波滨海学校数学组)
【知识纵横】
应用几何的判定与性质，解直角三角形的应用和方程思想解决几何问题。
【典型例题】
【例1】（重庆綦江）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．
【思路点拨】（1）证△ACD≌△BCE。（2）过点C作CH⊥BQ于H，求得∠DAC=30°，再求PQ的长。
【例2】（山东济南）如图，点C为线段AB上任
意一点(不与点A、B重合)，分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．
(1)求证：△ACE≌△DCB；
(2)请你判断△ACM与△DPM的形状有何关系并说明理由；
(3)求证：∠APC＝∠BPC．
【思路点拨】（3）由(1)可得∠CAE＝∠CDB，从而点A、C、P、D四点共圆，可得∠APC＝∠ADC，再证明∠BPC＝∠BEC，即可。
【例3】（广东广州）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直
角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．
（1）证明：B、C、E三点共线；
（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝ QUOTE \* MERGEFORMAT OM；
（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1＝ QUOTE \* MERGEFORMAT OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．
【思路点拨】（1）证明∠BCA＋∠DCE＝90°＋90°＝180°；（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明Rt△BCD≌Rt△ACE，再证△ONM为等腰直角三角形，即可得到结论。（3）证明的方法和（2）相同。
【例4】（上海）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝，BN＝，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．
【思路点拨】（2）根据EM＝EN，，得出△AEP∽△ABC，再求出 。
（3）分点E在AC上和点E在BC上两种情况讨论。
【学力训练】
1、（山东泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是
AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
2、（四川绵阳）已知△ABC是等腰直角三角形，∠A = 90，D是腰AC上的一个动点，
过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．
（1）若BD是AC的中线，求的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分线，求的值；
（3）结合（1）、（2），试推断的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由．
3、（福建泉州）如图1，在第一象限内，直线y=mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线
l相交于点A，半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交
于不同的M、N两点．
（1）当点A的坐标为（，p）时，
①填空：p=___ ，m= ___，∠AOE= ___．
②如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶
点的四边形是等腰梯形；
（2）在图1中，连接EQ并延长交⊙Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、
D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化．请说
明理由。
4、（福建莆田）已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。
（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD
对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①（4分）猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②（6分）拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于
点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；
若不是．请说明理由。
E
D
C
A
B2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座四
直角坐标下通过几何图形列函数式问题
(浙江省宁波滨海学校数学组)
【知识纵横】
以平面直角坐标系为背景，通过几何图形运动变化中两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何图形的性质，体现了数形结合的思想方法。但在坐标系中，每一个坐标由一对的序实数对应，实数的正负之分，而线段长度值均为正的，注意这一点，就可类似于讲座一的方法解决。所列函数式有：反比例函数、一次函数、二次函数。
【典型例题】
【例1】（浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，）（＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P （点P 不在y轴上），连接PP ，P A，P C．设点P的横坐标为．
（1）当=3时，
①求直线AB的解析式；
②若点P′的坐标是（﹣1，），求的值；
（2）若点P在第一象限，记直线AB与P C的交点为D．当P D：DC=1：3时，求的值；
（3）是否同时存在，，使△P CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的，的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）①利用待定系数法考虑。②把（﹣1，）代入函数解析式即可。（2）证明△PP′D∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比成比例求解。（3）分P在第一，二，三象限，三种情况进行讨论。
【例2】（浙江舟山、嘉兴）已知直线（＜0）分别交轴、轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为秒．
（1）当时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度
同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．
① 直接写出＝1秒时C、Q两点的坐标；
② 若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求的值．
（2）当时，设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D
（如图2），
① 求CD的长；
② 设△COD的OC边上的高为，当为何值时，的值最大？
【思路点拨】（1）②分两种情形讨论。（2）①过点D作DE⊥CP于点E，证明△DEC∽△AOB。
②先求得三角形COD的面积为定值，又由Rt△PCO∽Rt△OAB，在比例线段中求出t值为多少时，h最大。
【例3】（江苏常州、镇江）在平面直角坐标系XOY中，直线过点且与轴平行，直线过点且与轴平行，直线与直线相交于点P。点E为直线上一点，反比例函数（＞0）的图像过点E与直线相交于点F。
⑴若点E与点P重合，求的值；
⑵连接OE、OF、EF。若＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；
⑶是否存在点E及轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由。
【思路点拨】（2）先利用相似三角形对应边的比，用K表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用相似三角形OEF 面积是PEF面积2倍的关系求出K。（3）先由全等得到相似三角形，利用相似三角形对应边的比，用K表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用勾股定理求出K。点P、E、F三点位置分K＜2和K＞2两种情况讨论。
【例4】（浙江义乌）已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x=4. 设顶点为点P，与轴的另一交点为点B.
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线 =2上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥轴，交PB于点N. 将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN. 在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒. 求S关于t的函数关系式.
【思路点拨】（1）利用对称轴公式，A、C两点坐标，列方程组求、、的值即可。
（2）由（1）可求直线PB解析式为，可知PB∥OD，利用BD=PO，列方程求解，注意排除平行四边形的情形。（3）分0＜t≤2，2＜t＜4两种情形讨论。
【学力训练】
1、（浙江湖州）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在、轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一个动点(点C除外)，直线PM交AB的延长线于点D．
(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)；
(2)当△ADP是等腰三角形时，求m的值；
(3)设过点P、M、B的抛物线与轴的正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图)
2)．当点P从原点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长(不写解答过程)．
2、（广西北海）如图，抛物线：与轴交于点A(－2，0)和B(4，0)、与轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)T是抛物线对称轴上的一点，且△ACT是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；
(3)点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿轴同时出发相向而行．当点M到原点时，点Q立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M的直线l⊥轴，交AC或BC于点P．求点M的运动时间t(秒)与△APQ的面积S的函数关系式，并求出S的最大值．
3、（江苏盐城）如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点A，且与
轴交于点B.
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥轴于点C，过点B作直线l∥轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。阅读理解问题的参考答案
【典型例题】
【例1】（宁波市）
解：（1）真命题
（2）在中，
若为奇异三角形，一定有
得
（3）①是的直径
在中，
在中，
点是半圆的中点
又
是奇异三角形
②由①可得是奇异三角形
当是直角三角形时
由（2）可得或
（Ⅰ）当时，即
（Ⅱ）当时，即
的度数为或
【例2】（浙江台州）
解：（1）由已知得B (2，1)，A (0，5)。
设所求直线的解析式为＝k＋b，则 ， 解得。
∴所求直线的解析式为＝－2＋5 。
（2）如图，作BE⊥AC于点E，
由题意得四边形ABCD是平行四边形，
点A的坐标为(0，－3)，点C的坐标为 (0，3)，
可得AC＝6 。
∵ABCD的面积为12，
∴S△ABC＝6即S△ABC＝ AC·BE＝6。 ∴BE＝2。
∵m＞0，即顶点B有轴的右侧，且在直线＝－3上，
∴顶点B的坐标为B (2，－1)。
又抛物线经过点A (0，－3)，∴＝－。
∴＝－ (－2)2－1。
（3）①如图，作BE⊥轴于点E，
由已知得：A的坐标为 (0，b)，C的坐标为 (0，－b)。
∵顶点B (m，n)在直线＝－2＋b上，
∴n＝－2m＋b，即点B的坐标为(m，－2m＋b)。
在矩形ABCD中，OC＝OB，OC2＝OB2，即b2＝m2＋(－2m＋b) 2，
∴5m2－4mb＝0。∴m (5m－4b)＝0。
∴m1＝0(不合题意，舍去)，m2＝ b 。
∴n＝－2m＋b＝－2× b＋b＝－b。
∴用含b的代数式表示m、n的值为m＝ b，n＝－b。
②存在，共四个点如下：
P1 (b，b)，P2 (b，b)，P3 (b，b)，P4 (b，－b) 。
【学力训练】
1、(江苏镇江)
（1），.
（2）①．
法一：．
当时，则，则，．
当时，则，则，（舍去）．
综上所述：．
法二：，
．
②
证明：，
如果，则，．
则有，即．
．
又，．且．
．
其他情况同理可证，故．
③
（3）作出图象．
2、（聊城市）
解：（1）900；
（2）图中点的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇．
（3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，
所以慢车的速度为；
当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程
之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为
，所以快车的速度为150km/h．
（4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快
车行驶到达乙地，此时两车之间的距离为，所以点的坐标为．
设线段所表示的与之间的函数关系式为，把，代入得
HYPERLINK "http://"
解得
所以，线段所表示的与之间的函数关系式为．
自变量的取值范围是．
（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h．
把代入，得．
此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h．
3、（广东佛山）
解：（1）性质1：一组对角相等，另一组对角不等。
性质2：两条对角线互相垂直，其中只有一条被另一条平分。
（2）判定 1：只有一条对角线平分对角的四边形是筝形。
判定 2：两条对角线互相垂直且只有一条被平分的四边形是筝形。
判定 1的证明：
已知：四边形ABCD中，对角线AC平分∠A和∠C，对角线BD不平分∠B和∠D
求证：四边形ABCD是筝形
证明：∵∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，AC=AC，∴ ABC≌ ADC（ASA）。
∴AB=AD，CB=CD。
易知AC⊥BD，
又∵∠ABD≠∠CBD，∴∠BAC≠∠BCD。∴AB≠BC。
∴四边形ABCD是筝形。
4、（07宁波市）(1)如图2，点P即为所画点．(答案不唯一，但点P不能画在AC中点)。
(2)如图3，点P即为所作点．(答案不唯一)
(3)连结DB，
在△DCF与△BCE中，
∠DCF=∠BCE，
∠CDF=∠CBE，
∠ CF=CE.
∴△DCF≌△BCE(AAS)，
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD.
∴∠PDB=∠PBD，
∴PD=PB，
∵PA≠PC
∴点P是四边形ABCD的准等距点．
(4)①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个；
②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；
③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；
④四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个．
x
y
O
P
1
）
A
B
C
D
O
y/km
900
12
x/h
4函数、方程、不等式问题的参考答案
【典型例题】
【例1】（四川雅安）
解：（1）∵二次函数的对称轴为 QUOTE ，
∴，解得。
∴二次函数的顶点为M（）。
∵顶点M在反比例函数 QUOTE 上，网∴，解得。
∴二次函数的解析式为。
（2）∵二次函数的解析式为，
∴令=0，得=0，解得。
∴AB= QUOTE 。
（3）∵二次函数的对称轴为，且当时，M点坐标为（，）。
∴NO+MN QUOTE ，即是NO+MN的最小值。
此时，，解得。
∴M点坐标为（，）。
∴此时二次函数的解析式为，即。
【例2】（江苏南通）
解：(1)由点B(2，1)在上，有2＝，即＝2。
设直线的解析式为，由点A(1，0)，点B(2，1)在上，得
，解之，得。
∴所求 直线的解析式为 。
(2)点P(p，p－1)在直线＝2上，
∴P在直线上，是直线＝2和的交点，见图（1）。
∴根据条件得各点坐标为N（－1，2），M（1，2），P（3，2）。
∴NP＝3－（－1）＝4，MP＝3－1＝2，AP＝，
BP＝
∴在△PMB和△PNA中，∠MPB＝∠NPA，。
∴△PMB∽△PNA。
(3)S△AMN＝。下面分情况讨论：
①当1＜＜3时，延长MP交轴于Q，见图（2）。
设直线MP为，则有
，解得 。
则直线MP为。
当＝0时，＝，即点Q的坐标为（，0）。
则，
由2＝4有，解之，＝3（不合，舍去），＝。
②当＝3时，见图（1）S△AMP＝＝S△AMN。不合题意。
= 3 \* GB3 ③当>3时，延长PM交轴于Q，见图（3）。
此时，S△AMP大于情况当＝3时的三角形面积S△AMN。故不存在实数，使得S△AMN＝4S△AMP。
综上，当＝时，S△AMN＝4S△AMP。
【例3】（湖北宜昌）
解：（1）∵（0，－）在上，∴ ，
∴ ＝－。
（2）∵（0，－）在=m+n上，∴ n＝－。
∴抛物线与直线另一交点的坐标为（m﹣，m2﹣m－）
∵ 点（m﹣，m2﹣m+n）在上，
∴ m2－m＝（m－）2＋（m－），
∴（－1）（m－）2＝0。
若（m－）＝0，则（m－， m2－m＋n）与（0，－）重合，与题意不合。
∴ ＝1。
∴抛物线，就是。
∵ △＝2－4＝2－4×（－）＞0，
∴抛物线与轴的两个交点的横坐标就是关于的方程的两个实数根，∴由根与系数的关系，得1 2＝－。
（3）抛物线的对称轴为，最小值为。
设抛物线在轴上方与轴距离最大的点的纵坐标为H，在轴下方与轴距离最大的点的纵坐标为h。
①当<－1，即＞2时，
在轴上方与轴距离最大的点是（1，o），∴｜H｜＝o＝＋＞。
在轴下方与轴距离最大的点是（－1，o），
∴｜h｜＝｜yo｜＝｜－｜＝－＞。
∴｜H｜＞｜h｜．∴这时｜o｜的最小值大于。
② 当－1≤≤0，即0≤≤2时，
在轴上方与轴距离最大的点是（1，o），
∴｜H｜＝yo＝＋≥，当＝0时等号成立。
在轴下方与轴距离最大点的是 （，），
∴｜h｜＝｜｜＝≥，当＝0时等号成立。
∴这时｜o｜的最小值等于。
③ 当0＜≤1，即－2≤＜0时,
在轴上方与轴距离最大的点是（－1，yo），
∴｜H｜＝yo＝｜1＋（－1）－｜＝｜－｜＝－＞。
在轴下方与轴距离最大的点是 （，），
∴｜h｜＝｜yo｜＝｜｜＝＞。
∴ 这 时 ｜o｜的 最 小 值 大 于 。
④ 当1＜，即＜－2时，
在轴上方与轴距离最大的点是（－1，o），∴｜H｜＝－＞。
在轴下方与轴距离最大的点是(1，o)，
∴｜h｜＝｜＋｜＝－（＋）＞，
∴｜H｜＞｜h｜。
∴这时｜o｜的最小值大于。
综上所述，当＝0，0＝0时，这时｜o｜取最小值，为｜o｜＝。
【学力训练】
1、（广州）（1）y＝0.5x＋１，y＝（2）－６4
2、（天津市）
（Ⅰ）当，时，抛物线为，
方程的两个根为，．
∴该抛物线与轴公共点的坐标是和．
（Ⅱ）当时，抛物线为，且与轴有公共点．
对于方程，判别式≥0，有≤．
①当时，由方程，解得．
此时抛物线为与轴只有一个公共点．
②当时，
时，，
时，．
由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，
应有 即
解得．
综上，或．
（Ⅲ）对于二次函数，
由已知时，；时，，
又，∴．
于是．而，∴，即．
∴．
∵关于的一元二次方程的判别式
，
∴抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方．
又该抛物线的对称轴，
由，，，
得，
∴．
又由已知时，；时，，观察图象，
可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点．
3、（吉林长春）
（1）由
得．
又因为当时，，即，
解得，或（舍去），故的值为．
（2）由，得 HYPERLINK "http://" ，
所以函数的图象的对称轴为，
于是，有，解得，
所以．
（3）由，得函数的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为；
由，得函数的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为；
故在同一直角坐标系内，函数的图象与的图象没有交点．
4、（广西南宁）
（1）设=,由图①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，
故利润关于投资量的函数关系式是=；
因为该抛物线的顶点是原点，所以设=，由图12-②所示，函数=的图像过（2，2），
所以，
故利润关于投资量的函数关系式是；
（2）设这位专业户投入种植花卉万元（），
则投入种植树木（）万元，他获得的利润是万元，根据题意，得
=+==
当时，的最小值是14；
因为，所以
所以
所以
所以，即，此时
当时，的最大值是32.
x2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座三
函数及图像与几何问题
(浙江省宁波滨海学校数学组)
【知识纵横】
函数（本节主要指一次函数、反比例函数）及图像与几何问题，是以函数为背景探求几何性质，这类题很重要点是利用函数的性质，解决几个主要点的坐标问题，使几何知识和函数知识有机而自然结合起来，这样，才能突破难点。但在解这类题目时，要注意方程的解与坐标关系，及坐标值与线段长度关系。
【典型例题】
【例1】（山东济宁）如图，第一象限内半径为2的⊙C与轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：=k+3。
(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式。
(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
(3)是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。
【思路点拨】（1）将P的坐标代入=k+3即可。（2）要证△AMN∽△ABP，只要证∠ABD∠AMN即可。（3）根据（2）的结论，由相似三角形△AMN和△ABP的面积比，分点P在B点上下方两种情况求解。
【例2】（湖南怀化）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E．
（1）求证：AE AO=BF BO；
（2）若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；
（3）是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF的长：若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）根据反比例函数的性质得出，即可得出AE AO=BF BO。
（2）利用E点坐标首先求出BF= ，再利用待定系数法求二次函数解析式即可。
【例3】（湖南娄底）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=2，以CD为直径作⊙O1，交BC于点E，过点E作EF⊥AB于F，建立如图所示的平面直角坐标系，已知A，B两点的坐标分别为A（0，2），B（﹣2，0）．
（1）求C，D两点的坐标．
（2）求证：EF为⊙O1的切线．
（3）探究：如图，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到轴的距离相等？如果存在，请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）连接DE。（2）连接O1E，可证O1E∥AB，再由EF⊥AB，证明O1E⊥EF即可。（3）过P作PM⊥轴于M，作PN⊥轴于N，再利用锐角三角函数定义求解。
【例4】（浙江金华、丽水）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作轴垂线，分别交轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．
（1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；
（2）当DE=8时，求线段EF的长；
（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）连接BC。（2）连接OD，证明△OEF∽△DEA，再利用相似比求EF。
（3）当以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似时，分为①当交点E在O，C之间时，②当交点E在点C的右侧时，③当交点E在点O的左侧时三种情况，分别求出E点坐标。
【学力训练】
1、（福建泉州）如图1，在第一象限内，直线y=mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两点．
（1）当点A的坐标为（，p）时，
①填空：p=___ ，m= ___，∠AOE= ___．
②如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；
（2）在图1中，连接EQ并延长交⊙Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化．请说明理由。
2、（浙江湖州）已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．
（1）求证：与的面积相等；
（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3、（浙江嘉兴）如图，直角坐标系中，已知两点，点在第一象限且为正三角形，的外接圆交轴的正半轴于点，过点的圆的切线交轴于点．
（1）求两点的坐标；
（2）求直线的函数解析式；
（3）设分别是线段上的两个动点，且
平分四边形的周长．试探究：的最大面积？
4、（08杭州市） 在直角梯形中，，高（如图1）。动点同时从点出发，点沿运动到点停止，点沿运动到点停止，两点运动时的速度都是。而当点到达点时，点正好到达点。设同时从点出发，经过的时间为时，的面积为（如图2）。分别以为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点在边上从到运动时，与的函数图象是图3中的线段。
（1）分别求出梯形中的长度；
（2）写出图3中两点的坐标；
（3）分别写出点在边上和边上运动时，与的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中关于的函数关系的大致图象。
（图3）
（图2）
（图1）探究操作性问题
【典型例题】
【例1】（江苏南京）
解：⑴①
x …… 1 2 3 4 ……
y …… 2 ……
函数的图象如图：
②本题答案不唯一，下列解法供参考．
当时，随增大而减小；
当时，随增大而增大；
当时，函数的最小值为2。
③∵===
∴当=0，即时，函数的最小值为2。
∵===，
∴ 当=0，即时，函数的最小值为。
⑵当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为。
可得P1R1:P2R2＝Q2R2：Q1R1＝1：2，且P1R1∥P2R2，Q2R2∥Q1R1。
∴∠P1R1A＝∠P2R2A，∠Q1R1A＝∠Q2R2A。∴∠P1R1Q1＝∠P2R2 Q2。
由结论（2），可知
【例2】（湖南岳阳）
解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），
∴设抛物线的解析式为。
∵图象过（10，0）点，∴，解得。
∴抛物线的解析式为。
（2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，=2
把=2代入解析式得：=﹣0.25（2﹣5）2+6.25，=4。
∵4﹣3.5=0.5，
∴隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶。
（3）I．假设AO=，可得AB=10﹣2，
∴AD=﹣0.25（﹣5）2+6.25。
∴矩形ABCD的周长为为：
=2[﹣0.25（﹣5）2+6.25]+2（10﹣2）=﹣0.52++20=﹣0.5（－1）2+20.5。
∴l的最大值为20.5。
II 当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，
∵P在=的图象上，设P（，）。
过P点作轴的垂线交抛物线于点Q．
∴∠POA=∠OPA=45°，N点的坐标为（5，5）
∴Q点的坐标为（，5）。
把Q点的坐标代入，得
，解得。
∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：
（，）或（，）。
【例3】（湖南株洲）
解：（1）设线段AB与轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
OA=OB=，∠AOB=900，AC=OC=BC=2。B(2，－2)。
将B(2，－2)代入抛物线得，。
（2）过点A作轴于点E，
点B的横坐标为，B (1，)。BF=。
又∠AOB=900，易知∠AOE=∠OBF。
又，∠AEO=∠OFB=900，
△AEO∽△OFB，。
AE=2OE。
设点A（，）（），则，，。
，即点A的横坐标为－4。
（3）设A（，）（），B（，）（），
设直线AB的解析式为：，
则 ，
得，，
。
又易知△AEO∽△OFB，，，。
。
由此可知不论为何值，线段AB恒过点（，－2）。
【学力训练】
1、（福建漳州）
解：（1）OB＝3，OC＝8。
（2）连接AD，交OC于点E，
∵四边形OACD是菱形，
∴AD⊥OC，OE＝EC＝ ×8＝4。
∴BE＝4－3＝1。
又∵∠BAC＝90°，∴△ACE∽△BAE。
∴＝。∴AE2＝BE·CE＝1×4＝4。
∴AE＝2。∴点A的坐标为 (4，2) 。
把点A的坐标 (4，2)代入抛物线y＝mx2－11mx＋
24m，得m＝－。
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x－12。
（3）∵直线x＝n与抛物线交于点M，
∴点M的坐标为 (n，－n2＋n－12) 。
由（2）知，点D的坐标为（4，－2），
则由C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y＝x－4。
∴点N的坐标为 (n，n－4)。
∴MN＝（－n2＋n－12）－（n－4）＝－n2＋5n－8。
∴S四边形AMCN＝S△AMN＋S△CMN＝MN·CE＝（－n2＋5n－8）×4
＝－(n－5)2＋9 。
∴当n＝5时，S四边形AMCN＝9。
2、（江苏扬州）
解：（1）△PBM∽△QNM 。理由如下： 如图1，
∵MQ⊥MP，MN⊥BC ，∴。∴。
∵，∴。∴△PBM∽△QNM
（2）∵，∴cm。
又∵MN垂直平分BC，∴cm。
∵，∴＝4 cm。
①设Q点的运动速度为cm/s．
当时，如图１，由（1）知△PBM∽△QNM，∴，即。∴
当时，如图2，同样可证△PBM∽△QNM ，得到。
综上所述，Q点运动速度为1 cm/s．
②∵AB＝4 cm，cm，∴由勾股定理可得，AC＝12 cm。
∴AN＝AC－NC＝12－8＝4 cm
∴当时，如图1，AP＝，AQ＝。
∴。
当时，如图2，AP＝, AQ＝,
∴。
综上所述，。
（3） 。理由如下：
如图3，延长QM至D，使MD＝MQ，连结BD、PD。
∵MQ⊥MP，MD＝MQ，∴PQ＝PD。
又∵MD＝MQ，∠BMD＝∠CMQ，BM＝CM，∴△BDM≌△CQM（SAS）。
∴BD＝CQ，∠MBD＝∠C。∴BD∥AC。
又∵，∴。
∴在中，，即。
3、（湖南永州）
解：（1）EAF、△EAF、GF。
（2）DE＋BF=EF。证明如下：
假设∠BAD的度数为，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG，
此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°＋90°=180°，
∴点G，B，F在同一条直线上。
∵∠EAF=，
∴∠2+∠3=∠BAD－∠EAF，即。
∵∠1=∠2， ∴∠1＋∠3=，即∠GAF=∠EAF。
又∵AG=AE，AF=AF，∴△GAF≌△EAF（SAS）。∴GF=EF。
又∵GF=BG＋BF=DE+BF， ∴DE＋BF=EF。
（3）当∠B与∠D互补时，可使得DE＋BF=EF。2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座八
探究、操作性问题
(浙江省宁波滨海学校数学组)
【知识纵横】
探索研究是通过对题意的理解，解题过程由简单到难，在承上启下的作用下，引导学生思考新的问题，大胆进行分析、推理和归纳，即从特殊到一般去探究，以特殊去探求一般从而获得结论，有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。操作性问题是让学生按题目要求进行操作，考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。
【典型例题】
【例1】（江苏南京）问题情境:已知矩形的面积为（为常数，＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型:设该矩形的长为，周长为，则与的函数关系式为．
探索研究:⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．
填写下表，画出函数的图象：
x …… 1 2 3 4 ……
y …… ……
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．
解决问题:⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
【思路点拨】⑴将值代入函类数关系式求出值, 描点作图即可， 然后分析函数图像。⑵仿⑴对③进行配方成二次函数的顶点式，即可解决。
【例2】（湖南岳阳）九 （1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践﹣﹣应用﹣﹣探究的过程：
（1）实践：他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道（如图①）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图②所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式．
（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？
（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述拋物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
I．如图③，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在拋物线上，顶点A、B落在轴 上．设矩形ABCD的周长为，求的最大值．
II 如图④，过原点作一条=的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P 为直线0M上一动点，过P点作轴的垂线交抛物线于点Q．问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）利用顶点式求解。（2）可得当=2时，正好是两辆汽车的宽度。（3）I．首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出。II．利用等腰直角三角形的性质，以及P在=的图象上，即可得出P点的坐标。
【例3】（湖南株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛
物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原
点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
（1）若测得OA=OB=（如图1），求的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过B作轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点的横坐标；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连
线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
【思路点拨】（2）过点A作AE⊥轴于点E，证△AEO∽△OFB，得出AE=2OE，可得方程点A的横坐标。（3）设A（，）（），B（，）（），可证△AEO∽△OFB，再根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点（0，－2）。
【学力训练】
1、（福建漳州）如图1，抛物线y＝mx2－11mx＋24m (m＜0) 与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC＝90°．
（1）填空：OB＝_ ▲ ，OC＝_ ▲ ；
（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；
（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x＝n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l
沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形
AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．
2、（江苏扬州）在△ABC中，∠BAC＝900，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP，设运动时间为秒（）．
（1）△PBM与△QNM相似吗？以图１为例说明理由；
（2）若∠ABC＝600，AB＝4厘米．
①求动点Q的运动速度；
②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与的函数关系式；
（3）探求三者之间的数量关系，以图１为例说明理由．
3、（湖南永州）探究问题：
⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴∠ABG+∠ABF=90°＋90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45° ∴∠2＋∠3=∠BAD－∠EAF=90°－45°=45°．
∵∠1=∠2， ∴∠1＋∠3=45°．即∠GAF=∠_________．
又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_______．∴_________=EF，故DE＋BF=EF．
⑵方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
⑶问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足∠EAF=∠DAB,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
1
x
y
O
1
3
4
5
2
2
3
5
4
－1
－1
A
B
P
N
Q
C
M
A
B
C
N
M
图1
图2（备用图）抛物线与几何问题的参考答案
【典型例题】
【例1】（浙江宁波）
解：（1）设，将点A（－2，2）,点B 6，6）代入得
得。 ∴。
当时，。 ∴点E的坐标（0，3）。
（2）设抛物线的函数解析式为，
将A（－2，2）,点B 6，6）代入得
解得。∴抛物线的解析式为。
（3）过点N作轴的垂线NG，垂足为G，交OB于点Q，过B作BH⊥轴于H，
设N，则Q（，）
。
∴当时，△BON 面积最大，最大值为。 此时点N的坐标为（3，）。
（4）过点A作AS⊥GQ于S
∵A（－2，2）, B（6，6）， N（3，），
∴∠AOE=∠OAS=∠BOH= 45°, OG=3，NG=，NS=，AS=5。
∴在Rt△SAN和Rt△NOG中，tan∠SAN=tan∠NOG=。∴∠SAN=∠ NOG。
∴∠OAS －∠SAN=∠BOG －∠NOG。∴∠OAN=∠BON 。
∴ON的延长线上存在一点P，使△BOP∽△OAN。
∵A（－2，2）, N（3，），
∴在Rt△ASN中， AN=。
当△BOP∽△OAN时，，即，得OP=。
过点P作PT⊥x轴于点T，
∴△OPT∽△ONG 。∴。
设P（），∴，解得， （舍）。
∴点P的坐标为将△OPT沿直线OB翻折，可得出另一个满足条件的点P′ 。
∴由以上推理可知，当点P的坐标为或时，△BOP与△OAN相似。
【例2】（天津）
解： (I)∵，∴抛物线的顶点坐标为()．
(II)①根据题意，可得点A(0，1)，
∵F(1，1)．∴AB∥轴．得
AF=BF=1，
②成立．理由如下：
如图，过点P（）作PM⊥AB于点M，则
FM=，PM=（）。
∴Rt△PMF中，有勾股定理，得
又点P（）在抛物线上，得，
即
∴，即。
过点Q（）作QN⊥AB，与AB的延长线交于点N，
同理可得∵∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，
∴△PMF∽△QNF。
∴，这里，。
∴，即。
(Ⅲ) 令，设其图象与抛物线交点的横坐标为，，且<，
∵抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的，
观察图象．随着抛物线向右不断平移，，的值不断增大，
∴当满足，．恒成立时，m的最大值在处取得。
∴当时．所对应的即为m的最大值。
∴将带入，
得。
解得或（舍去）。
∴。此时，，
得。
解得，。
∴m的最大值为8。
【例3】（浙江省）
解：（1）由题意，抛物线交轴于点C（0,3），故设抛物线的解析式为，
把A（－1,0）、B（3,0）代入，得：
，解得。
∴抛物线的解析式为。
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）。
（2）由题意，得 P(, －1) ，Q (, )，
∴ 线段PQ=。
∴当=时，线段PQ最长为。
（3）∵E为线段OC上的三等分点，OC=3, ∴E(0，1)，或E(0，2)。
∵EP=EQ，PQ与y轴平行，∴ 2·OE=
当OE=1时，1=0，2=3，点P坐标为（0，－1）或（3，2）。
当OE=2时，1=1，2=2， 点P坐标为（1，0）或（2，1）。
综上所述，点P的坐标为（0，－1）或（3，2）或（1，0）或（2，1）。
【例4】（四川成都）
解：（1）∵，设，则
∴。
又，∴。
∵，∴，即。
而，∴。∴,。
∴△ABC三个顶点的坐标分别是,,。
∵抛物线经过A、B、C三点，
∴设，把代入得。
∴此抛物线的函数表达式为。
（2）设点E的坐标为，
∵点E在Y轴右侧的抛物线上，∴。
由抛物线的对称性，知点F与点E关于抛物线的对称轴=2对称，
易得点F的坐标为。
要使矩形EFGH能成为正方形，有,则。
∴ ①或 ②。
由①得，，解得（舍去）。
由②得，，解得（舍去）。
当时，，此时正方形EFGH的边长为。
当时，，此时正方形EFGH的边长为。
∴当矩形EFGH为正方形时，该正方形的边长为或。
（3）假设存在点M，使△MBC中BC边上的高为。
∴M点应在与直线BC平行，且相距的两条平行直线和上。
由平行线的性质可得：和与y轴的交点到直线BC的距离也为。
如图，设与y轴交于P点,过P作PQ与直线BC垂直，垂足为点Q，
∵，∴∠OBC=∠OCB=45°。
在Rt△PQC中，，
∠PCQ=∠OCB=45°，
∴由勾股定理，得。
∴直线与y轴的交点坐标为P(0,9)。
同理可求得：与y轴交点坐标为
。
易知直线BC的函数表达式。
∴直线和的函数表达式分别为
。
根据题意，列出方程组：
①，②。
由①得，，解得；。
由②得，，∵△=-31<0 ∴此方程无实数根。
∴在抛物线上存在点M，使△MBC中BC边上的高为，其坐标分别为：。
【学力训练】
1、（浙江绍兴）
解：（1）把=0代入抛物线得：，∴点A（0， ）。
又∵抛物线的对称轴为=1，∴OC=1。
（2）①如图，B（1，3）
分别过点D作DM⊥轴于M，DN⊥PQ于点N，
∵PQ∥BC，∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°。
∴DMQN是矩形。
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴DC=DE，∠CDM=∠EDN。∴△CDM≌△EDN（AAS）。∴DM=DN。
∴DMQN是正方形。∴∠BQC=45°。∴CQ=CB=3。∴Q（4，0）。
设BQ的解析式为：，
把B（1，3），Q（4，0）代入解析式，得，解得。
∴直线BQ的解析式为。
②当点P在对称轴右侧，如图：
过点D作DM⊥轴于M，DN⊥PQ于N，
∵∠CDE=90°，∴∠CDM=∠EDN。
∴△CDM∽△EDN。
当∠DCE=30°，，
又DN=MQ，∴。
∴，BC=3，CQ=。
∴Q（1+ ，0）。∴P1（）。
当∠DCE=60°，点P2（）。
当点P在对称轴的左边时，由对称性知：P3（），P4（）。
综上所述，所求点P的坐标为P1（），P2（），P3（），P4（）。
2、（浙江衢州）
解：（1）由题意易知：△BOC∽△COA，∴，即，∴。
∴点C的坐标是（0，）。
由题意，可设抛物线的函数解析式为，
把A（1，0），B（﹣3，0）的坐标分别代入，得
，解得。
∴抛物线的函数解析式为。
（2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF。理由如下：
可求得直线l1的解析式为，直线l2的解析式为，
∵抛物线的函数解析式可化为，
∴抛物线的对称轴为直线=－1，顶点D的坐标为（﹣1，）；
把=－1代入即可求得点K的坐标为（﹣1，）；
把=－1代入即可求得点E的坐标为（﹣1，）；
又点F的坐标为（﹣1，0），
∴KD=，DE=，EF=。
∴KD=DE=EF。
（3）当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，△MCK为等腰三角形．理由如下：
（i）连接BK，交抛物线于点G，连接CG，
易知点G的坐标为（﹣2，），
又∵点C的坐标为（0，），∴GC∥AB。
∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形，
∴△CGK为正三角形。
∴当l2与抛物线交于点G，即l2∥AB时，符合题意，此时点M1的坐标为（﹣2，）。
（ii）连接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形。
∴当l2过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M2坐标为（﹣1，）。
（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，
但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形。
综上所述，当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，△MCK为等腰三角形。
3、（广西桂林）
解：（1）由 QUOTE ，得，∴D（3，0）。
（2）如图1，设平移后的抛物线的解析式为 QUOTE ，
则C（0，），OC=，
令=0，即 QUOTE ，
得。
∴A，B QUOTE ，
∴，
。
∵AC2+BC2=AB2，即：，得1=4，2=0（舍去），
∴抛物线的解析式为 QUOTE 。
（3）如图2，由抛物线的解析式 QUOTE 可得，
A（﹣2，0），B（8，0），C（4，0），D（3，0），M，
过C、M作直线，连接CD，过M作MH垂直y轴于H，
则MH=3，
∴，
。
在Rt△COD中，，
∴点C在⊙D上。
∵ EMBED Equation.DSMT4 ， QUOTE ，
∴DM2=CM2+CD2。∴△CDM是直角三角形。∴CD⊥CM。
∴直线CM与⊙D相切。
4、（山东日照）
解：（1）把点B（－2，－2）的坐标代入得，，∴＝4。
∴双曲线的解析式为：。
设A点的坐标为（m，n）．∵A点在双曲线上，∴mn＝4。
又∵tan∠AOX＝4，∴ QUOTE ＝4，即m＝4n。
∴n2＝1，∴n＝±1。
∵A点在第一象限，∴n＝1，m＝4。∴A点的坐标为（1，4）。
把A、B点的坐标代入得，，解得，＝1，＝3。
∴抛物线的解析式为：。
（2）∵AC∥轴，∴点C的纵坐标y＝4，
代入得方程，，解得1＝－4，2＝1（舍去）。
∴C点的坐标为（－4，4），且AC＝5。
又∵△ABC的高为6，∴△ABC的面积＝ QUOTE \* MERGEFORMAT ×5×6＝15。
（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积。理由如下：
过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D，此时△ABD的面积等于△ABC的面积（同底：AB，等高：CD和AB的距离）。
∵直线AB相应的一次函数是：，且CD∥AB，
∴可设直线CD解析式为，
把C点的坐标（﹣4，4）代入可得，。
∴直线CD相应的一次函数是：。
解方程组，解得，。
∴点D的坐标为（3，18）。
5、（湖北黄冈）
解：（1）∵直线y=kx+b过点F（0，1），∴b=1。
（2）∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点，
∴可以得出：kx+b= QUOTE x2，整理得：x2﹣4kx﹣4=0。
∴x1 x2=﹣4。
（3）△M1FN1是直角三角形（F点是直角顶点）。理由如下：
设直线l与y轴的交点是F1，则
∵FM12=FF12+M1F12=x12+4，FN12=FF12+F1N12=x22+4，
M1N12=（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2=x12+x22+8，
∴FM12+FN12=M1N12。
∴△M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形。
（4）存在，该直线为y=－1。理由如下：
直线y=－1即为直线M1N1。
如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为
计算知NN1=
NF=，
得NN1=NF。
同理MM1=MF。
∴MN=MM1＋NN1。
作梯形MM1N1N的中位线PQ，
由中位线性质知PQ=（MM1＋NN1）=MN，
即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切。2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座五
抛物线与几何问题
(浙江省宁波滨海学校数学组)
【知识纵横】
抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：(a≠0)；2、顶点式：y =a(x—h) 2 ＋k；3、交点式：y=a(x—x 1)(x—x 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的两个实根。
解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。
【典型例题】
【例1】（浙江宁波）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，2）,点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连结OA、OB、AB，线段AB交轴于点E．
求点E的坐标；
求抛物线的函数解析式；
（3） 点F为线段OB上的一个动
点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON 面积的最大值，并求出此时点N的坐标；
（4） 连结AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点
B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．
【思路点拨】（1）根据A、B两点坐标求直线AB的解析式，令=0，即可求E点坐标。（2）列方程组求、的值。（3）依题意，设N，求出△BON面积关于的函数表达式，用二次函数的最值原理，可求N点的坐标。（4）根据三角形相似的性质得到BO：OA=OP：AN=BP：ON，然后根据勾股定理即可求出点P的坐标。
【例2】（天津）已知抛物线：．点F(1，1)．
(Ⅰ) 求抛物线的顶点坐标；
(Ⅱ) ①若抛物线与轴的交点为A．连接AF，并延长交抛物线于点B，求证：
②抛物线上任意一点P（）)（）．连接PF．并延长交抛物线于点Q（），试判断是否成立？请说明理由；
(Ⅲ) 将抛物线作适当的平移．得抛物线：，若时．恒成立，求m的最大值．
【思路点拨】(I) 只要把二次函数变形为的形式即可。 (II) ①求出AF和BF即可证明。②应用勾股定理和相似三角形的判定和性质求出PF和QF即可。(Ⅲ) 应用图象平移和抛物线的性质来证明。
【例3】（浙江省）如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交与点A（－1,0）、B（3,0）两点，抛物线交轴于点C（0,3），点D为抛物线的顶点．直线交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作轴的平行线交抛物线于点Q．
(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少？
(3)设E为线段OC上的三等分点，连接EP，EQ，若EP=EQ，求点P的坐标．
【思路点拨】（1）由待定系数法可求抛物线的解析式，化为顶点式可求顶点坐标。（2）把线段PQ用含P(, －1) ，Q (, )来表示，用二次函数的最值原理可求。
【例4】（四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在轴上，顶点C在轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线）经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E是轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于轴于点G，再过点E作EH垂直于轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1） 由已知设，根据题意求的值。（2）设E点坐标为，抛物线对称轴为=2，根据，列方程求解。（3）利用直线解析式与抛物线解析式联立，求M点的坐标。
【学力训练】
1、（浙江绍兴）抛物线与轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与轴交于点C．
（1）如图1．求点A的坐标及线段OC的长；
（2）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．
①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一 个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式；
②若含30．角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．
2、（浙江衢州）已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），并且当两直线同时相交于正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示．
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
（2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；
（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标．
3、（广西桂林）已知二次函数的图象如图．
（1）求它的对称轴与轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．
4、（山东日照）如图，抛物线与双曲线相交于点A，B．已知点B的坐标为（－2，－2），点A在第一象限内，且tan∠AOX＝4．过点A作直线AC∥轴，交抛物线于另一点C．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．
5、（湖北黄冈）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）．
（1）求b的值．
（2）求x1 x2的值．
（3）分别过M，N作直线l：y=﹣1的垂线，垂足分别是 M1和N1．判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．
（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．函数及图像与几何问题的参考答案
【典型例题】
【例1】（山东济宁）
解：（1）∵y轴和直线l都是⊙C的切线，∴OA⊥AD BD⊥AD 。
又∵ OA⊥OB，∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°。∴四边形OADB是矩形。
∵⊙C的半径为2，∴AD=OB=4。
∵点P在直线l上，∴点P的坐标为（4，p）。
又∵点P也在直线AP上，∴p=4k+3。
（2）连接DN。∵AD是⊙C的直径，∴ ∠AND=90°。
∵ ∠AND=90°－∠DAN，∠ABD=90°－∠DAN，
∴∠AND=∠ABD 。
又∵∠ADN=∠AMN，∴∠ABD=∠AMN。
∵∠MAN=∠BAP ∴△AMN∽△ABP 。
（3）存在。理由如下：把=0代入=k+3，得y=3，即OA=BD=3。
∴AB=。
∵ S△ABD= AB·DN=AD·DB，∴DN==。
∴AN2=AD2－DN2=。
∵△AMN∽△ABP ， ∴ 即 。
当点P在B点上方时，
∵AP2=AD2＋PD2 = AD2＋(PB－BD)2 =42＋(4k＋3－3)2 =16(k2＋1)，
或AP2=AD2＋PD2 = AD2＋(BD－PB)2 =42＋(3－4k－3)2 =16(k2＋1)，
S△ABP= PB·AD= (4k＋3)×4=2(4k＋3)，
∴。
整理得k2－4k－2=0 ， 解得k1 =2＋ ， k2=2－ 。
当点P在B 点下方时，
∵AP2=AD2＋PD2 =42＋(3－4k－3)2 =16(k2＋1) ，
S△ABP= PB·AD= [－(4k＋3)]×4=－2(4k＋3)，
∴。
整理得k2+1=－（4k＋3）， 解得k=－2。
综合以上所得，当k=2±或k=－2时，△AMN的面积等于。
【例2】（湖南怀化）
解：（1）证明：∵E，F点都在反比例函数图象上，
∴根据反比例函数的性质得出，，∴AE AO=BF BO。
（2）设经过O、E、F三点的抛物线的解析式为，
∵点E的坐标为（2，4），∴AE AO=BF BO=8。
∵BO=6，∴BF=，∴F（6，），
把O、E、F三点的坐标分别代入二次函数解析式得：
，解得：。
∴经过O、E、F三点的抛物线的解析式为。
（3）如果设折叠之后C点在OB上的对称点为C'，
连接C'E、C'F，过E作EG垂直于OB于点G，
则根据折叠性质、相似三角形、勾股定理有：
设BC'=，BF=，则C'F=CF=．
∴点的坐标F（6，），E（1.5，4）。
EC'=EC=，
∴在Rt△C'BF中， ①。
∵Rt△EGC'∽Rt△C'BF，∴（）：（）=4：=（）： ②。
解得：，
∴F点的坐标为（6，）。∴OF= 。
【例3】（湖南娄底）
解：（1）连接DE，
∵CD是⊙O1的直径，∴DE⊥BC。
∴四边形ADEO为矩形．
∴OE=AD=2，DE=AO=2 QUOTE 。
∵在等腰梯形ABCD中，DC=AB，
∴CE=BO=2，CO=4。
∴C（4，0），D（2，2）。
（2）连接O1E，在⊙O1中，O1E=O1C，∠O1EC=∠O1CE。
在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB，∴O1E∥AB。
又∵EF⊥AB，∴O1E⊥EF。
∵E在AB上，∴EF为⊙O1的切线。
（3）存在满足条件的点P．
如图，过P作PM⊥轴于M，作PN⊥轴于N，
依题意得PC=PM，
在矩形OMPN中，ON=PM，
设ON=，则PM=PC=，CN=4－，
在Rt△ABO中，∵tan∠ABO=，
∴∠ABO=60°，∴∠PCN=∠ABO=60°。
在Rt△PCN中，cos∠PCN=，即，∴。
∴PN=CN tan∠PCN=。
∴满足条件的P点的坐标为（）。
【例4】（浙江金华、丽水）
解：（1）连接BC，
∵A（10，0），∴OA=10，CA=5。
∵∠AOB=30°，∴∠ACB=2∠AOB=60°。
∴弧AB的长=。
（2）连接OD，
∵OA是⊙C直径，∴∠OBA=90°。
又∵AB=BD，∴OB是AD的垂直平分线。∴OD=OA=10。
在Rt△ODE中，OE=。
∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4，
由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA。
∴，即，∴EF=3。
（3）设OE=，
①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角
形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB。
当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=，∴E1（，0）。
当∠ECF=∠OAB时，有CE=5﹣，AE=10﹣，
∴CF∥AB，有CF=AB。
∵△ECF∽△EAD，∴，即，解得，。
∴E2（，0）。
②当交点E在点C的右侧时，
∵∠ECF＞∠BOA，
∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO。
连接BE，
∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，
∴BE=AB=BD，∴∠BEA=∠BAO。∴∠BEA=∠ECF。
∴CF∥BE。∴。
∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=900，∴△CEF∽△AED，∴，
而AD=2BE，∴。即，
解得
∵＜0，舍去，∴E3（，0）。
③当交点E在点O的左侧时，
∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF．
∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO。
连接BE，
得BE=AD =AB，∠BEA=∠BAO，
∴∠ECF=∠BEA。
∴CF∥BE。∴。
又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，
∴△CEF∽△AED，∴，
而AD=2BE，∴ HYPERLINK "http://" 。即，
解得
∵＜0，舍去，
又∵点E在轴负半轴上，∴E4（，0）。
综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，此时点E坐标为：
E1（，0）、E2（，0）、E3（，0）、E4（，0）。
【学力训练】
1、（福建泉州）
解：（1） 1，，60°。
（2）如图，连接TM，ME，EN，QN，QM ，
∵OE和OP是⊙Q的切线，
∴QE⊥x轴，QT⊥OT，即∠QTA=90°。
而l∥x轴，∴QE⊥MN。∴MF=NF。
又∵r=2，EF=1，∴QF=2－1=1。
∴四边形QNEM为平行四边形，即QN∥ME。
∴EN=MQ=EQ=QN，即△QEN为等边三角
形。∴∠NQE=60°，∠QNF=30°。
在四边形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，
∴∠TQE=360°-90°－90°－60°=120°。∴∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°。
∴T、Q、N三点共线，即TN为直径。∴∠TMN=90°。
∴TN∥ME，∴∠MTN=60°=∠TNE。
∴以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形。
（3）对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值不会变化。
理由如下：如图，连DM，ME，
∵DM为直径，∴∠DME=90°。
而DM垂直平分MN，
∴Rt△MFD∽Rt△EFM。
∴MF2=EF FD。
设D（h，k），（h＞0，k=2r），
则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：
y=a（x-h）2+k。
又∵M、N的纵坐标都为1，
当y=1时，a（x-h）2+k=1，解得x1=，x2=。
∴MN=2。∴MF=MN=。
∴。∴ 。∴a=－1。
∴对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变
化，a=－1。
2、（浙江湖州）
（1）证明：设，，与的面积分别为，，由题意得，．
，．
，即与的面积相等．
（2）由题意知：两点坐标分别为，，
，
HYPERLINK "http://"
．
当时，有最大值．
．
（3）解：设存在这样的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为．
由题意得：，，，
，．
又，
．
，，
．
，，解得．
．
存在符合条件的点，它的坐标为．
3、（浙江嘉兴）（1），．作于，
为正三角形，，．．
连，，，
．
．
（2），是圆的直径，
又是圆的切线，．
，．．
设直线的函数解析式为，
则，解得．
直线的函数解析式为．
（3），，，，
四边形的周长．
设，的面积为，
则，．
．
当时，．
点分别在线段上，
，解得．
满足，
的最大面积为．
4、（杭州市）（1）设动点出发秒后，点到达点且点正好到达点时，，则
（秒）
则；
（2）可得坐标为
（3）当点在上时，；
当点在上时，
图象略
（第24题）
（图1）
（图1）
（图1）
（图1）2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座七
阅读理解问题
(浙江省宁波滨海学校数学组)
【知识纵横】
阅读理解的整体模式是：阅读—理解—应用。重点是阅读，难点是理解，关键是应用，通过阅读，对所提供的文字、符号、图形等进行分析和综合，在理解的基础上制定解题策略。
【典型例题】
【例1】（浙江宁波）阅读下面的情景对话，然后解答问题：
21世纪教育网
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=，AC=，BC=，且，若Rt△ABC是奇异三角形，求；
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A、B重合)，D是半圆ADB的中点， C、D在直径AB两侧，若在⊙O内存在点E，使得AE=AD，CB=CE．
① 求证：△ACE是奇异三角形；
② 当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．
【思路点拨】（2）正确理解新概念的含义后，然后，根据题目中的条件加以分析，画出直角三角形ABC的图形，观察图形的特征，通过方程思想、方法等加以解决。（3）中第①小题，只需利用直径的性质、弧的中点性质勾股定理即可解决。对于第②小题，利用第（2）的结果并结合条件，通过联想、类比、猜想、分类、推理等加以解决。
【例2】（浙江台州）已知抛物线＝(－m)2＋n与轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D．若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线．
(1)如图1，求抛物线＝(－2)2＋1的伴随直线的解析式．
(2)如图2，若抛物线＝(－m)2＋n(m＞0)的伴随直线是＝－3，伴随四边形的
面积为12，求此抛物线的解析式．
(3)如图3，若抛物线＝ (－m)2＋n的伴随直线是＝－2＋b(b＞0)，且伴随四边形ABCD是矩形．
①用含b的代数式表示m、n的值；
②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请
直接写出点P的坐标(用含b的代数式表示)，若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）利用抛物线求它与轴交于点A和顶点为点B。（2）求出BE的长，得出顶点B的坐标。（3）①试用m 、b表示B点坐标，利用勾股定理求出。②利用①中B点坐标，以及BD的长度即可得出P点的坐标。分BD=BP，BD=DP，BP=DP三种情况讨论。
【学力训练】
1、(江苏镇江)理解发现
阅读以下材料：
对于三个数，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：
；；
解决下列问题：
（1）填空： ；
如果，则的取值范围为．
（2）①如果，求；
②根据①，你发现了结论“如果，那么 （填的大小关系）”．证明你发现的结论；
③运用②的结论，填空：
若，则 ．
（3）在同一直角坐标系中作出函数，，的图象（不需列表描点）．通过观察图象，填空：的最大值为 ．
2、（聊城市）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．
根据图象进行以下探究：
信息读取
（1）甲、乙两地之间的距离为 km；
（2）请解释图中点的实际意义；
图象理解
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
问题解决
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
3、（广东佛山）阅读材料：我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形； 我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识；
请解决以下问题：
如图，我们把满足AB=AD、CB=CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”；
写出筝形的两个性质（定义除外）；
写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明；
4、（07宁波市）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．
(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．
(2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．
(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形AB CD的准等距点．
(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．
小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形！
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
O
y/km
900
12
x/h
4
备用图1
（证明判定方法用）
备用图1
（写判定方法用）
备用图1
（写性质用）直角坐标下通过几何图形列函数式问题的参考答案
【典型例题】
【例1】（浙江温州）
解：（1）①∵点B在直线AB上，∴设直线AB的解析式为，
把=﹣4，y=0代入得：﹣4+3=0，∴，
∴直线的解析式是：。
②由已知得点P的坐标是（1，），且点P在直线AB上，得。
（2）∵PP′∥AC，∴△PP′D∽△ACD。
∴，即，∴。
（3）分三种情况讨论：
①当点P在第一象限时，
1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1），过点P′作P′H⊥轴于点H。
∴PP′=CH=AH=P′H= QUOTE AC，即。∴。
∵P′H=PC= QUOTE AC，△ACP∽△AOB。
∴，即。∴。
2）若∠P′AC=90°（如图2），P′A=CA，则PP′=AC，即。∴。
∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB∴，即。∴。
3）若∠P′CA=90°，则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾。
∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形。
②当点P在第二象限时，∠P′CA为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形。
③当P在第三象限时，∠P′CA为钝角（如图4），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形。
综上所述，所有满足条件的，的值为和。
( http: / / )
【例2】（浙江舟山、嘉兴）
解：（1）①C(1 , 2)、Q(2 , 0)。
②由题意得：P（t, 0),C(t, - t +3),Q(3-t , 0)。
分两种情形讨论：
情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB=90°，∴CQ⊥OA。
∵CP⊥OA，∴点P与点Q重合，OQ=OP，即。
情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB=90°，
∵OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形。 ∴△ACQ也是等腰直角三角形。
∵CP⊥OA，∴AQ=2CP，即。
∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒。
（2）①由题意得：，
∴以C为顶点的抛物线解析式是。
由，解得。
过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC=∠AOB=90°，DE∥OA，∴∠EDC=∠OAB。
∴△DEC∽△AOB。∴。
∵AO=4，AB=5，DE=。
② ∵，CD边上的高=。
∴为定值。
要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短。
∵当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为，∠BCO=90°，
又∵∠AOB=90°，∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA。
又∵CP⊥OA，∴Rt△PCO∽Rt△OAB。
∴，即。
∴当t为秒时，h的值最大。
【例3】（江苏常州、镇江）
解：（1）∵直线过点A（1，0）且与轴平行，直线过点B（0。2）且与轴平行，直线与直线相交于点P，∴点P（1，2）。
若点E与点P重合，则k＝1×2＝2。
（2）当k＞2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形
∵PE⊥PF，
∴
∴S△PEF＝
∴四边形PFGE是矩形， ∴S△PEF＝S△GFE，
∴S△OEF＝S矩形OCGD－S△DOF－S△GFE－S△OCE
＝
∵S△OEF＝2S△PEF， ∴，
解得k＝6或k＝2，
∵k＝2时，E、F重合，舍去。 ∴k＝6，
∴E点坐标为：（3，2）。
（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF
①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H
∵△FHM∽△MBE， ∴
∵FH＝1，EM＝PE＝1－ ，FM＝PF＝2－k，
∴。
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2，
∴（1－ ）2＝（ ）2＋（）2
解得k＝ ，此时E点坐标为（ ，2）。
②当k＞2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得， 。
∵FQ＝1，EM＝PF＝k－2，FM＝PE＝ －1，
∴ ＝ ，BM＝2
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2
∴（k－2）2＝（）2＋22，解得k＝ 或0，但k＝0不符合题意， ∴k＝ ．
此时E点坐标为（ ，2）
∴符合条件的E点坐标为（ ，2）（ ，2）．
【例4】（浙江义乌）
解：（1）设二次函数的解析式为，
由题意得 ， 解得。
∴二次函数的解析式为。点P的坐标为（4，－4）。
（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形. 理由如下：
当=0时，， ∴1=2 ， 2=6。
∴点B的坐标为（6，0）。
设直线BP的解析式为，
则 ， 解得。
∴直线BP的解析式为。
∴直线OD∥BP 。
∵顶点坐标P（4， －4），∴ OP=4。
设D(，2) 则BD2=（2）2+(6－)2
当BD=OP时，（2）2+(6－)2=（4）2
解得：1=， 2=2
当2=2时，OD=BP=，四边形OPBD为平行四边形，舍去
∴当=时，四边形OPBD为等腰梯形 。
∴当D(，)时，四边形OPBD为等腰梯形。
（3）① 当0＜t≤2时，
∵运动速度为每秒个单位长度，运动时间为t秒，
则MP=t ， ∴PH=t，MH=t，HN=t 。 ∴MN=t。
∴S=t·t·=t2
② 当2＜t＜4时，P1G=2t－4，P1H=t
∵MN∥OB， ∴△P1EF∽△P1MN 。
∴ ，∴ 。
∴ =3t2－12t+12
∴S=t2－(3t2－12t+12)= －t2+12t－12
∴S= 。
【学力训练】
1、（浙江湖州）
解：（1）由题意得CM＝BM，
∵∠PMC＝∠DMB，∴Rt△PMC≌Rt△DMB（ASA）。∴DB＝PC。
∴DB＝2－m，AD＝4－m。∴点D的坐标为(2，4－m)。
（2）分三种情况：
①若AP＝AD，则4＋m2＝(4－m)2，解得。
②若PD＝PA
过P作PF⊥AB于点F(如图)，
则AF＝FD＝AD＝ (4－m)，
又OP＝AF，∴即。
③若PD＝DA，∵△PMC≌△DMB，∴PM＝PD＝AD＝ (4－m)。
∵PC2＋CM2＝PM2，∴，解得(舍去)。
综上所述，当△APD是等腰三角形时，m的值为或或。
（3）点H所经过的路径长为。
2、（广西北海）
解：（1）把A（－2，0）、B(4，0)代入，得
，解得。
∴抛物线的解析式为：。
（2）由，得抛物线的对称轴为直线，
直线交轴于点D，设直线上一点T(1，)，
作CE⊥直线，垂足为E，
由C(0，4)得点E(1，4)，
在Rt△ADT和Rt△TEC中，
由TA＝TC得，
解得，∴点T的坐标为(1，1).
（3）解：（Ⅰ）当时，△AMP∽△AOC ，
∴，。
∴
∵当时，S随的增加而增加，
∴当时，S的最大值为8。
（Ⅱ）当时，作PF⊥y轴于F，
有△COB∽△CFP，
又CO＝OB，
∴FP＝FC＝，
∴
∴当时，S的最大值为。
综上所述，S的最大值为。
3、（江苏盐城）
解：（1）根据题意，得，解得，∴点A的坐标为(3，4) 。
令，得。∴点B的坐标为（7，0）。
（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4。
由S△APR＝S梯形COBA－S△ACP－S△POR－S△ARB＝8，得
(3＋7)×4－×3×(4－t)－ t(7－t)－ t×4＝8
整理，得t2－8t＋12＝0, 解之得t1＝2，t2＝6（舍去）。
当P在CA上运动时，4≤t＜7。
由S△APR＝ ×(7－t) ×4＝8，得t＝3（舍去）。
∴当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8。
②当P在OC上运动时，0≤t＜4.，此时直线l交AB于Q。
∴AP＝，AQ＝t，PQ＝7－t。
当AP ＝AQ时，（4－t）2＋32＝2(4－t)2，整理得，t2－8t＋7＝0，解之得t＝1，t＝7(舍去) 。
当AP＝PQ时，（4－t）2＋32＝(7－t)2，整理得，6t=24.，∴t＝4(舍去) 。
当AQ＝PQ时，2（4－t）2＝(7－t)2，整理得，t2－2t－17＝0 解之得t=1±3 (舍去)。
当P在CA上运动时，4≤t＜7，此时直线l交AO于Q。
过A作AD⊥OB于D，则AD＝BD＝4。
设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE＝RD＝t－4，AP＝7－t.。
由cos∠OAC＝ ＝ ，得AQ ＝ (t－4)。
当AP＝AQ时，7－t ＝ (t－4)，解得t ＝ 。
当AQ＝PQ时，AE＝PE，即AE＝ AP，
得t－4＝ (7－t)，解得t ＝5。
当AP＝PQ时，过P作PF⊥AQ于F
AF＝ AQ ＝ ×(t－4)。
在Rt△APF中，由cos∠PAF＝ ＝ ，得AF＝ AP，
即 ×(t－4) ＝ ×(7－t)，解得t＝ 。
∴综上所述，t＝1或 或5或 秒时，△APQ是等腰三角形。2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座六
函数、方程、不等式问题
(浙江省宁波滨海学校数学组)
【知识纵横】
函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，例求两个函数的交点坐标，一般通过函数解析式组成的方程组来解决。又如例4复合了一次函数、二次函数，并对所得的函数要结合自变量的取值范围来考虑最值，这就需要结合图像来解决。
【典型例题】
【例1】（四川雅安）如图，已知二次函数图像的顶点M在反比例函数上，且与轴交于A，B两点。
（1）若二次函数的对称轴为，试求的值；
（2）在（1）的条件下求AB的长；
（3）若二次函数的对称轴与轴的交点为N，当NO+MN取最小值时，试求二次函数的解析式。
【思路点拨】（1）先求得二次函数中的，再根据顶点在反比例函数 QUOTE 上，求出。（3）可用含有的式子表示点M、N的坐标，即求出的值，再求得解析式。
【例2】（江苏南通）如图，已知直线经过点A(1，0)，与双曲线交于点B(2，1)．过点P(，－1)( ＞1)作轴的平行线分别交双曲线和于点M、N．
(1)求的值和直线的解析式；
(2)若点P在直线＝2上，求证：△PMB∽△PNA；
(3)是否存在实数，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满
足条件的的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】 (2)先求的值，再利用对应线段成比例证△PMB∽△PNA。 (3)考虑点P的位置，得1＜＜3时的情况。作延长MP交轴于Q，先求直线MP的方程，再求出各点坐标（用表示），然后求出面积表达式，代入S△AMN＝4S△AMP后求出值。
【例3】（湖北宜昌）已知抛物线与直线=m+n相交于两点，这两点的坐标分别是（0，﹣）和（m﹣，m2﹣m+n），其中 ，，，m，n为实数，且，m不为 0．
（1）求的值；
（2）设抛物线与轴的两个交点是（1，0）和（2，0），求1 2的值；
（3）当﹣1≤≤1时，设抛物线上与轴距离最大的点为P（0，0），求这时|0丨的最小值．
【思路点拨】（2）把点（0，﹣）代入直线得n=﹣，然后把点（m﹣，m2﹣m+n）代入抛物线，整理后可确定的值，把，的值代入抛物线，当=0时由一元二次方程根与系数的关系可以求出1 2的值。（3）求出抛物线的顶点（，），分<－1，－1≤≤0，0＜≤1和1＜四种情况讨论，确定|0|的最小值。
【学力训练】
1、（广州）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点.
（1）根据图象，分别写出A、B的坐标；
（2）求出两函数解析式；
（3）根据图象回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值。
2、（天津市）已知抛物线，
（1）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；
（2）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；
（3）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．
3、（吉林长春）已知两个关于的二次函数与当时，；且二次函数的图象的对称轴是直线．
（1）求的值；
（2）求函数的表达式；
（3）在同一直角坐标系内，问函数的图象与的图象是否有交点？请说明理由．
4、（广西南宁）随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？几何问题的参考答案
【典型例题】
【例1】（重庆綦江）
解：（1）∵△ABC与△DCE是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°。
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°。
∴∠ACD=∠BCE。∴△ACD≌△BCE（SAS）。
（2）过点C作CH⊥BQ于H，
∵△ABC是等边三角形，AO是角平分线，∴∠DAC=30°
∵△ACD≌△BCE，∴∠QBC=∠DAC=30°。
∴CH=BC=×8=4，
∵PC=CQ=5，CH=4，∴PH=QH=3。∴PQ=6。
【例2】（山东济南）
解：(1) 证：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACE＝∠DCB。
又∵CA＝CD，CE ＝CB，∴△ACE≌△DCB（ASA）。
（2）△ACM∽△DPM。理由如下：
∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，即∠CAM＝∠PDM。
又∵∠CMA＝∠PMD，∴△ACM∽△DPM。
（3）证：∵∠CAE＝∠CDB，∴点A、C、P、D四点共圆。
∴∠APC＝∠ADC。
同理，∠BPC＝∠BEC。
又∵等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，
∴∠ADC＝∠BEC。
∴∠APC＝∠BPC。
【例3】（广东广州）
解：（1）证明：∵AB是直径， ∴∠BCA＝90°。
而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，
∴∠BCA＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，
∴B、C、E三点共线。
（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图，
∵CB＝CA，CD＝CE，∴Rt△BCD≌Rt△ACE（SAS）。
∴BD＝AE，∠EBD＝∠CAE。
∴∠CAE＋∠ADF＝∠CBD＋∠BDC＝90°。
即BD⊥AE。
又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，
∴ON＝BD，OM＝AE，ON∥BD，AE∥OM。
∴ON=OM，ON⊥OM。即△ONM为等腰直角三角形。 ∴MN＝OM。
（3）成立．理由如下：
和（2）一样，易证得Rt△BCD1≌Rt△ACE1，
同理可证BD1⊥AE1， △ON1M1为等腰直角三角形， 从而有M1N1＝OM1。
【例4】
解：（1）∵∠ACB=90°，∴AC= 。
∵CP⊥AB，∴ △ABC∽△CPB。∴ ，即。∴CP=24。
∴CM=。
（2）∵ ，∴设EP=12，则EM=13，PM=5。
∵EM=EN，∴EN=13，PN=5。
∵△AEP∽△ABC，∴ ，即 。∴=16，，
∴BP=50－16，
∴y=50－21，=50－21· ，=50－。
由（1），当点E与点C重合时，AP=，
∴函数的定义域是：0＜＜32。
（3）①当点E在AC上时，如图2，由（2）知，
AP=16，BN= y=50－，
EN=EM=13，AM=AP－MP=16－5=11。
∵△AME∽△ENB，∴ ，即。
∴。 ∴AP=16×=22。
②当点E在BC上时，如图，设EP=12，则EM=13，MP=NP=5，
∵△EBP∽△ABC，∴，即。∴BP=9。
∴BN=9－5=4，AM=50－9－5=50－14。
∵△AME∽△ENB，，即。
∴。∴AP=50－9×=42。
综上所述，AP的长为：22或42。
【学力训练】
1、（山东泰安）
解：（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°。∴∠CAD=∠CBD=45°。∴∠CAE=∠BCG。
又BF⊥CE，∴∠CBG＋∠BCF=90。
又∠ACE＋∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG。∴△AEC≌△CGB（ASA）。∴AE=CG。
（2）BE=CM，证明如下：
∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA＋∠MCH=90°，∠BEC＋∠MCH=90°。∴∠CMA=∠BEC。
又∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，∴△BCE≌△CAM（AAS）。∴BE=CM。
2、（四川绵阳）
解：设AB = AC = 1，CD = x，则0＜x≤1，BC =，AD = 1－x．
在Rt△ABD中，BD2 = AB2 + AD2 = 1 +（1－x）2 = x2－2x + 2．
由已知可得 Rt△ABD∽Rt△ECD，
∴， 即 ，∴。
∴ ，0＜x≤1。
（1）若BD是AC的中线，则CD = AD = x =，得。
（2）若BD是∠ABC的角平分线，则Rt△ABD∽Rt△EBC
，得，
即，解得，。
∴。
（3）值的取值范围为≥1。
若，则有 3x2－10x + 6 = 0，解得 。
∴
∴当时，的值小于。
3、（福建泉州）
解：（1） 1，，60°。
（2）如图，连接TM，ME，EN，QN，
QM ，
∵OE和OP是⊙Q的切线，
∴QE⊥x轴，QT⊥OT，即∠QTA=90°。
而l∥x轴，∴QE⊥MN。∴MF=NF。
又∵r=2，EF=1，∴QF=2－1=1。
∴四边形QNEM为平行四边形，即QN∥ME。
∴EN=MQ=EQ=QN，即△QEN为等边三角形。∴∠NQE=60°，∠QNF=30°。
在四边形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，
∴∠TQE=360°-90°－90°－60°=120°。∴∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°。
∴T、Q、N三点共线，即TN为直径。∴∠TMN=90°。
∴TN∥ME，∴∠MTN=60°=∠TNE。
∴以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形。
（3）对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值不会变化。
理由如下：如图，连DM，ME，
∵DM为直径，∴∠DME=90°。
而DM垂直平分MN，
∴Rt△MFD∽Rt△EFM。
∴MF2=EF FD。
设D（h，k），（h＞0，k=2r），
则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：
y=a（x-h）2+k。
又∵M、N的纵坐标都为1，
当y=1时，a（x-h）2+k=1，解得x1=，x2=。
∴MN=2。∴MF=MN=。
∴。∴ 。∴a=－1。
∴对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化，a=－1。
4、（福建莆田）
解：（1）证明：如图1，分别连接OE、0F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC。
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°，
∠ADO= ∠ADC= ×60°=30°。
又∵E、F分别为DC、CB中点，∴OE= CD，OF= BC，AO=AD。
∴0E=OF=OA。∴点O即为△AEF的外心。
（2）①猜想：外心P一定落在直线DB上。证明如下：
如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，
∴∠PIE=∠PJD=90°。
∵∠ADC=60°，∴∠IPJ=360°－∠PIE－∠PJD－∠JDI=120°，
∵点P是等边△AEF的外心，
∴∠EPA=120°，PE=PA。∴∠IPJ=∠EPA。
∴∠IPE=∠JPA，∴△PIE≌△PJA（AAS）。
∴PI=PJ。
∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上。
② 为定值2。
当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点．
连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心。
如图3．设MN交BC于点G，
设DM=x，DN=y（x≠0．y≠O），则CN=y－1。
∵BC∥DA，∴△GBP≌△MDP。
∴BG=DM=x．
∴CG=1－x。
∵BC∥DA，∴△GBP∽△NDM。
∴ ，即。
∴x＋y=2xy。∴ ，即 =2。
