2012苏科版数学中考二轮复习 圆的证明与计算（1）

中考第二轮复习之
圆的证明与计算（1）
圆的证明与计算一直是中考中的必考内容，熟练的掌握圆的证明与计算不仅能解决圆的中考得分问题，更能提高学生的数学思维能力，对学生今后的发展有着重要的意义，所以此类问题必须引起重视。
一、考点分析：
1、圆中的重要定理：
（1）垂径定理及其逆定理：主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系定理：主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等。
（3）圆周角性质定理及其推论：主要用来证明——直角、角相等、弧相等。
（4）切线的性质定理：主要是用来证明——垂直关系。
（5）切线的判定定理：主要是用来证明直线是圆的切线。
2、圆中几个关键元素弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的相互转化，这在圆中的证明和计算中经常用到。
二、考题分析：
此题通常在中考试卷以解答题出现。
1、题目条件中常见元素：切线、平行线、角平分线、垂直、相等线段、线段长度、线段比、三角函数值等。
2、题目问题一般有：①判定切线；②证三角形相似；③求线段长（或面积）；④求线段比；⑤求角度的三角函数值（实质还是求线段比）
三、例题透析：
例：如图1：AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点
（1）在①“AC平分∠BAE”；②“AD⊥CD”；③“DC是⊙O的切线”三个论断中，你能以其中任意两个作为条件推出第三个吗？试试看
（分三个小组分别进行思考）
（2）在（1）中三个论断都成立的条件下，观察图2、3，下列结论成立的有 。
①DC OF，OC DF
②DC=EG=GB=
③ED=CG（弓形ECB的高）
④OG （OG为△ABE的中位线）
（3）如图4，若CD⊥AB于K，则下列结论都成立，你能说出其中的道理吗？
①△ADC≌△AKC ②△CDE≌△CKB
③△ADC∽△ACB ④AC2=AD·AB
设计目的：本题主要是考察学生对垂径定理、角平分线的性质、平行性的性质、矩形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等诸多内容的掌握情况，本题由一个基本图形开始，逐渐添加辅助线进而推出更多结论，在逐步推理过程中，一方面能让学生巩固相关定理，另一方面借助基本图形的结论发现问题中的各种关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
反馈练习：1（中考变式题）、如图，AB是⊙的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F，连接OD。（1）求证：DE是⊙的切线；
（2）求证：△AFE∽△DFO；（3）若求的值。
2、△ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作⊙0交AP于点C，弧CF=CB，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D，连接BF交AP于E，BE=6，EF=2，连接OC交BF于G。
（1）求证：CD为⊙0的切线；
（2）求证：△AFE≌△CGE；
（3）求AF的长。
四、方法小结：
1、判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
2、与圆有关的计算：
计算圆中的线段长或线段比，常与多种知识结合，形式复杂，无规律性，但三角形相似及全等、勾股定理、三角函数、垂径定理、中位线定理等知识的运用却在圆的计算中扮演重要角色。解题时我们一定要认真分析题目中的已知条件，注意观察已知线段间的关系，选择合适的定理进行线段或者角度之间的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。
五、课后练习：
1、如图，以AB为直径的半圆O上有一点C，过A点作半圆的切线交BC的延长线于点D
（1）求证：△ADC∽△BDA
（2）过O点作AC的平行线OF和分别交BC、BC于E、F两点，若BC、2，EF=1，求AC的长。
2、如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，BD=4。
（1）求证：△ABE∽△ADB；
（2）求AB的长；
（3）延长DB到F，使得BE=BO，连接FA，试判断直线FA⊙O的位置关系，并说明理由。
3、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE。
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值。
4、如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切地点A，过B点作BC//OD交⊙O于点C，连接OC、AC，AC交OD于点E。
（1）求证：△COE∽△ABC；
（2）若AB=2，AD=，求图中阴影部分的面积。
D
C
F
E
B
A
O