§1.2.2复合函数的求导法则
教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．
教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．
教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．
一．创设情景
（一）基本初等函数的导数公式表
函数 导数
（二）导数的运算法则
导数运算法则
1．2．3．
（2）推论：
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
二．新课讲授
复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。
复合函数的导数 复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
若，则
三．典例分析
例1求下列函数的导数：
（1）；（2）；
（3）（其中均为常数）．
解：（1）函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有
=。
（2）函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有
=。
（3）函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有
=。
例2求的导数．
解：
【点评】
求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
例3求的导数．
解：
，
【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．
例4求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数．
【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22 x
＝1－（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x．
【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′
＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x)
＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x
【点评】
解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．
例5曲线y ＝x（x ＋1）（2－x）有两条平行于直线y ＝x的切线，求此二切线之间的距离．
【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y′＝－3 x 2＋2 x ＋2
令y′＝1即3 x2－2 x －1＝0，解得 x ＝－或x ＝1．
于是切点为P（1，2），Q（－，－），
过点P的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．
显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为
＝．
四．课堂练习
1．求下列函数的导数 (1) y =sinx3+sin33x；（2）;(3)
2.求的导数
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1.2.2
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
常见函数的导数公式：
公式１：
公式２：
公式３：
公式４：
还有必要建立求导法则，若两个函数的导数存在，如何求这两个函数的和，差，积，商的导数呢？
由定义求导数（三步法）
步骤:
注意:
若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则
1.和(或差)的导数
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数
的和(或差),即
根据导数的定义，可以推出可导函数四则运算的求导法则
1.和(或差)的导数
2.积的导数
法则2 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即
3.商的导数
法则3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即
1). 求函数y=(3x-2)2的导数
2).又如我们知道函数y=1/x2的导数是y’=- 2/x 3
把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导.
是否还有用其它的办法求导呢
那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢
想一想
问题:指出下列函数的复合关系
解:
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为
如:求函数y=(3x-2)2的导数,
注: y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数
的乘积.
令y=u2,u=3x-2,
则 从而
函数 的导数是( )
A
