2021年暑假自主学习《1.2矩形的性质与判定》能力提升训练（附答案） 北师大版九年级数学上册

2021年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》暑假自主学习能力提升训练（附答案）
1．矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若AB＝CF＝4，BC＝CE＝2，则EH＝（　　）
A． B．2 C． D．
2．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AB，BE⊥AC，E是OC的中点，OF＝4，则BD的长为（　　）
A．16 B．8 C．4 D．8
3．下列条件中，能判定?ABCD是矩形的是（　　）
A．AC＝BD B．AB⊥BD C．AD＝BD D．AC⊥BD
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝5，对角线AC的长度为（　　）
A．12 B．6.5 C．13 D．10
5．在平行四边形ABCD中，若增加一个条件使其成为矩形，则增加的条件是（　　）
A．AD＝CD B．∠B＝90°
C．AC＝2AB D．对角线互相垂直
6．如图，要使?ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠ABD＝∠CBD
7．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，下列结论：①OA＝OC，②∠BAD＝∠BCD，③∠BAD+∠ABC＝180°，④AC⊥BD，⑤AB＝CD，正确结论的个数是（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（　　）
A．1.2 B．1.25 C．2.4 D．2.5
9．如图，长方形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（　　）
A．2或8 B．或18 C．或2 D．2或18
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（6，0），（0，4），OD＝5，点P在线段BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则满足条件的点P有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（　　）
A．1.5 B．2 C．4.8 D．2.4
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．4
13．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（　　）
A．一直增大 B．一直减小
C．先减小后增大 D．先增大后减少
14．在?ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
15．如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝3，点E是AB的中点，点P在边DC上运动，若△APE是腰长为5的等腰三角形，则DP的长为　 　．
16．如图，矩形ABCD中，点A坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是　 　．
17．已知矩形ABCD中有一点P，满足PA＝1，PB＝2，PC＝3，则PD＝　 　．
18．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠E＝20°，则∠ADB＝　 　．
19．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC；BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝3，AO＝，求四边形ABCD的周长．
20．如图，在△ABC中，AC＝BC，CD为△ABC的角平分线，AE∥DC，AE＝DC，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）连接DE，若AB＝10，CD＝12，求DE的长．
21．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝DC．
（2）若AB＝AC时，试证明四边形AFBD是矩形．
22．如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接DE、BF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．
23．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE．
（1）求证：△ADE≌△BDF．
（2）若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE是矩形．
参考答案
1．解：连接DH，并延长交EG于N，
∵AD∥EG，
∴∠DAH＝∠AGN，
∵点H是AG的中点，
∴AH＝HG，
在△ADH和△GNH中，
，
∴△ADH≌△GNH（ASA），
∴DH＝HN，NG＝AD＝2，
∵AB＝CD＝EG＝4，BC＝CE＝2，
∴DE＝EN＝2，
又∵∠DEN＝90°，
∴DN＝DE＝2，
∵DE＝EN，DH＝HN，∠DEN＝90°，
∴EH＝DN＝，
故选：A．
2．解：∵E是OC的中点，BE⊥AC，
∴直线BE是线段OC的垂直平分线，
∴BO＝BC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BO＝CO，
∴BO＝BC＝CO，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠CBO＝60°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AO＝BO，∠ABC＝∠DAB＝90°，
∵OF⊥AB，
∴AF＝BF，
∴OF为△BAD的中位线，
∴AD＝2OF＝8，
在Rt△BAD中，∠DBA＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝2AD＝16．
故选：A．
3．解：A、∵?ABCD中，AC＝BD，
∴?ABCD是矩形，故选项A符合题意；
B、?ABCD中，AB⊥BD，不能判定?ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、?ABCD中，AD＝BD，不能判定?ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵?ABCD中，AC⊥BD，
∴?ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝12，
∵AD＝5，
∴在Rt△ADC中，
AC＝＝＝＝13，
故选：C．
5．解：答案B中∠B＝90°，又四边形为平行四边形，
所以可得其为矩形；故该选项正确，
故选：B．
6．解：A、∵?ABCD中，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵?ABCD中，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵?ABCD中，∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D、∵?ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝DC，
∴平行四边形ABCD为菱形，故选项D不符合题意；
故选：C．
7．解：根据平行四边形的性质可知：
①平行四边形的对角线互相平分，则OA＝OC，故①正确；
②平行四边形的对角相等，则∠BAD＝∠BCD，故②正确；
③平行四边形的邻角互补，则∠BAD+∠ABC＝180°，故③正确；
④平行四边形的对角线互相平分，不一定垂直，故④错误；
⑤平行四边形对边相等，则AB＝CD，故⑤正确；
故选：B．
8．解：连接AP，如图：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
当AP⊥BC时，AP最短，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵△ABC的面积＝×4×3＝×5×AP，
∴AP＝2.4，
即EF＝2.4，
故选：C．
9．解：分两种情况讨论：
①当E点在线段DC上时，
∵△AD'E≌△ADE，
∴∠AD'E＝∠D＝90°，
∵∠AD'B＝90°，
∴∠AD'B+∠AD'E＝180°，
∴B、D'、E三点共线，
∵，AD'＝AD，
∴BE＝AB＝10，
∵，
∴DE＝D'E＝10﹣8＝2；
②当E点在线段DC的延长线上，且ED″经过点B时，满足条件，如下图，
∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，
∴∠CBE＝∠BAD″，
在△ABD″和△BEC中，
∵，
∴△ABD″≌△BEC（ASA），
∴BE＝AB＝10，
∵，
∴DE＝D″E＝BD''+BE＝8+10＝18．
综上所知，DE＝2或18．
故选：D．
10．解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：
（1）如答图①所示，PD＝OD＝5，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝3，
∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2，
∴此时点P坐标为（2，4）；
（2）如答图②所示，OP＝OD＝5．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝3，
∴此时点P坐标为（3，4）；
（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝3，
∴OE＝OD+DE＝5+3＝8，
∴此时点P坐标为（8，4）（舍弃）．
综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）；
故选：C．
11．解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形BNPM是矩形，
∴MN＝BP，
由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，
此时，S△ABC＝BC?AB＝AC?BP，
即×8×6＝×10?BP，
解得：BP＝4.8，
即MN的最小值是4.8，
故选：C．
12．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝，
∴MN的最小值为；
故选：A．
13．解：如图，连接AP．
∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．
故选：C．
14．四边形AECF是矩形；
证明：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC＝BC，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
故选：B．
15．解：∵AB＝10，E为AB的中点，
∴AE＝BE＝5，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝3，
∴AD＝BC＝3，∠D＝90°，
有三种情况：①AP＝PE＝5，作AE的垂直平分线MN，MN交AB于N，
此时P在AE的垂直平分线MN上，
即AN＝NE＝2.5，则DP＝AN＝2.5，
∵AD2+DP2＝32+2.52≠52，
即此时不存在；
②当AP＝AE＝5时，由勾股定理得：DP＝＝＝4；
③当PE＝AE＝5时，有P和P′两种情况，过P作PN⊥AB于N，
由勾股定理得：NE＝＝＝4，
即DP＝5﹣4＝1；DP′＝5+4＝9，
所以DP的长是4或1或9，
故答案为：4或1或9．
16．解：连接AC、BD，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，
∵点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），
∴AC＝＝5，
∴BD＝AC＝5，
故答案为5．
17．解：过点P作GH∥BC交AB、CD于点G、H，
过P作EF∥AB交AD、BC于点E、F，
设AE＝BF＝c，AG＝DH＝a，
GB＝HC＝b，ED＝FC＝d，
∴AP2＝a2+c2，
CP2＝b2+d2，
BP2＝b2+c2，
DP2＝d2+a2，
∵AP＝1，BP＝2，CP＝3，
∴AP2+CP2＝BP2+DP2，
1+9＝4+DP2，
DP2＝6，
DP＝．
故答案为：．
18．解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠E＝20°，
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ADB＝∠CAD＝∠CAE+∠DAE＝2∠E＝40°，
故答案为：40°．
19．（1）证明：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠AOB＝∠DAO+∠ADO＝2∠OAD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB＝CD＝3，AD＝BC，AC＝2AO＝5，
∴BC＝＝＝4，
∴四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2（3+4）＝14．
20．（1）证明：∵AE∥DC，AE＝DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AC＝BC，CD为△ABC的角平分线，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE为矩形；
（2）解：∵AC＝BC，CD为△ABC的角平分线，
∴BD＝AD＝AB＝5，CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴AC＝＝＝13，
由（1）得：四边形ADCE为矩形，
∴DE＝AC＝13．
21．证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝CD；
（2）∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°
∵AF＝BD，
∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB＝90°，
∴四边形AFBD是矩形．
22．（1）证明：∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC＝90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF．
（2）四边形BEDF是平行四边形．
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，
又∵BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
23．证明：（1）∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS）；
（2）∵AD＝BD，DF＝DE，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠DEB＝∠ABE，
∴DB＝DE，
∴AB＝EF，
∴平行四边形AFBE是矩形．