2021年暑假自主学习《1.3正方形的性质与判定》能力提升训练（附答案） 北师大版九年级数学上册

2021年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》暑假自主学习
能力提升训练（附答案）
1．已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（　　）
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
2．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED为（　　）
A．15° B．35° C．45° D．55°
3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则∠COP的度数为（　　）
A．15° B．22.5° C．25° D．17.5°
4．如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到如图所示的位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是　 　．
5．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是　 　．
6．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为　 　．
7．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝　 　．
8．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　 　．
9．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠E＝　 　．
10．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上任意一点，PM⊥AC，PN⊥BD，垂足分别为点M、N，若BD＝10，则PM+PN＝　 　．
11．已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　 　．
12．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：
（1）AE⊥BF；
（2）四边形BEGF是平行四边形．
13．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．
14．如图，BD是正方形ABCD的对角线，线段BC在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ，连接PA，过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
（1）如图①所示，求证：AP＝OA；
（2）如图②所示，PQ在BC的延长线上，如图③所示，PQ在BC的反向延长线上，猜想线段AP、OA之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
15．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠OCF＝∠OBE．求证：∠AEB＝∠BFC．
16．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．
（1）求证：PC＝PE；
（2）若PD＝DE，求证：BP＝BC．
17．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
18．（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF＝BE+FD，说明理由．
19．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒3cm的速度向点B移动，点Q以每秒2cm测得速度向点D移动，当点P到达点B处时，两点均停止移动
（1）P，Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为10cm？
（2）是否存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：A、根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，该结论正确；
B、当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形，该选项错误；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；
D、当AC＝BD且AC⊥BD时，根据对角线相等可判断四边形ABCD是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD 是菱形，故四边形ABCD是正方形，该结论正确；
故选：B．
2．解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
在等边△ABE中，AB＝AE，∠BAE＝∠AEB＝60°，
在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝∠BAD+∠BAE＝90°+60°＝150°，
所以，∠AED＝（180°﹣150°）＝15°，
所以∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°．
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，∠OBC＝45°，
∵BP＝OB，
∴∠BOP＝∠BPO＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠COP＝90°﹣67.5°＝22.5°．
故选：B．
4．解：方法一：正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，
∴EF＝CE＝1，
∴CF＝，
∴BF＝﹣1，
∵∠BFE＝45°，
∴阴影部分的面积＝×1×1﹣×（﹣1）2＝﹣1；
方法二：∵过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP，如下图所示，
∵B在对角线CF上，
∴∠DCE＝∠ECF＝45°，EC＝1，
∴△ENC为等腰直角三角形，
∴MB＝CN＝EC＝，
又BC＝AD＝CD＝CE，且CP＝CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，
∴Rt△PEC≌Rt△PBC（HL），
∴PB＝PE，
又∠PFB＝45°，
∴∠FPB＝45°＝∠MPE，
∴△MPE为等腰直角三角形，
设MP＝x，则EP＝BP＝，
∵MP+BP＝MB，
∴，解得，
∴BP＝，
∴阴影部分的面积＝．
故答案为：．
5．解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2，
由勾股定理得：DE＝＝＝2，
∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×＝8，
故答案为：8．
6．解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′．
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG＝EO，∠GOM＝∠OEH，∠OGM＝∠EOH，
在△OGM与△EOH中，
∴△OGM≌△EOH（ASA）
∴GM＝OH＝2，OM＝EH＝3，
∴G（﹣3，2）．
∴O′（﹣，）．
∵点F与点O关于点O′对称，
∴点F的坐标为 （﹣1，5）．
故答案是：（﹣1，5）．
7．解：连接CF，
∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，
∴GF＝GB＝5，BC＝7，
∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，
∴＝13．
∵M、N分别是DC、DF的中点，
∴MN＝＝．
故答案为：．
8．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
∵，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，
∴BF＝＝，
∴GH＝BF＝，
故答案为：．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，AD∥BC，
∵AC＝EC，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，
∴∠E＝∠ACB＝22.5°，
故答案为：22.5°．
10．解：在正方形ABCD中，
∴AC⊥BD，∠ABO＝45°，
∵PM⊥AC，PN⊥BD，
∴四边形PMON是矩形，
∴PM＝ON，
∵PN＝BN，
∴PM+PN＝ON+BN＝OB＝BD＝5，
故答案为：5
11．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵AB＝AD，∠BAE＝∠D，AE＝DF
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝8，CF＝CD﹣DF＝8﹣2＝6
∴BF＝＝10
∴GH＝5
故答案为：5
12．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠BCF＝90°，
在△ABE和△BCF中，，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，
∵EG∥BF，
∴∠CBF＝∠CEG，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CEG+∠BEA＝90°，
∴AE⊥EG，
∴AE⊥BF；
（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，如图所示：
则AP＝CE，∠EBP＝90°，
∴∠P＝45°，
∵CG为正方形ABCD外角的平分线，
∴∠ECG＝45°，
∴∠P＝∠ECG，
由（1）得∠BAE＝∠CEG，
在△APE和△ECG中，，
∴△APE≌△ECG（ASA），
∴AE＝EG，
∵AE＝BF，
∴EG＝BF，
∵EG∥BF，
∴四边形BEGF是平行四边形．
13．证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA＝∠AFO．
∴△BOE≌△AOF（AAS）．
∴OE＝OF．
14．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵QO⊥BD，
∴∠BOQ＝90°，
∴∠BQO＝∠CBD＝45°，
∴OB＝OQ，
∵PQ＝BC，
∴AB＝PQ，
在△ABO和△PQO中，，
∴△ABO≌△PQO（SAS），
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，
∵∠BOP+∠POQ＝90°，
∴∠BOP+∠AOB＝90，即∠AOP＝90°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴AP＝OA；
（2）解：PQ在BC的延长线上，线段AP、OA之间的数量关系为：AP＝OA；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵QO⊥BD，
∴∠BOQ＝90°，
∴∠BQO＝∠CBD＝45°，
∴OB＝OQ，
∵PQ＝BC，
∴AB＝PQ，
在△ABO和△PQO中，，
∴△ABO≌△PQO（SAS），
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，
∵∠BOP+∠POQ＝90°，
∴∠BOP+∠AOB＝90°，即∠AOP＝90°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴AP＝OA；
PQ在BC的反向延长线上，线段AP、OA之间的数量关系为：AP＝OA；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵QO⊥BD，
∴∠BOQ＝90°，
∴∠BQO＝∠CBD＝∠OBQ＝45°，
∴OB＝OQ，∠ABO＝∠PQO＝135°，
∵PQ＝BC，
∴AB＝PQ，
在△ABO和△PQO中，，
∴△ABO≌△PQO（SAS），
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，
∵∠BOP﹣∠POQ＝90°，
∴∠BOP﹣∠AOB＝90°，即∠AOP＝90°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴AP＝OA．
15．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，即∠AOB＝∠BOC＝90°，
∴OB＝OC，
在△OCF和△OBE中，
，
∴△OCF≌△OBE（ASA），
∴∠OFC＝∠OEB，
∴∠BFC＝∠AEB．
16．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE．
（2）证明：四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC＝∠CDE＝90°，
∴∠E+∠DFE＝90°，
∵PA＝PE，
∴∠PAD＝∠E，
由（1）知△ADP≌△CDP，
∴∠PAD＝∠PCD，
∴∠PCD＝∠E，
∵∠PFC＝∠DFE，
∴∠PCD+∠PFC＝∠E+∠DFE＝90°，
∴∠CPE＝90°，
∴∠BPC+∠DPE＝90°，
∵PD＝DE，
∴∠DPE＝∠E，
∴∠DPE＝∠PCD，
∵∠BCP+∠PCD＝90°，
∴∠BPC＝∠BCP，
∴BP＝BC．
17．解：（1）结论：PB＝PQ，
理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形．
∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ；
（2）结论：PB＝PQ．
理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ．
18．证明：（1）如图1：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，
则△ADG≌△ABE，
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，
又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BEA＝∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠FAE，
在△GAF和△EAF中，
，
∴△GAF≌△EAF（SAS）．
∴GF＝EF．
又∵DG＝BE，
∴GF＝BE+DF，
∴BE+DF＝EF；
（2）当∠BAD＝2∠EAF时，仍有EF＝BE+FD，
理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，
∴∠D＝∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS）
∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，
即EF＝BE+DF．
19．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在∴△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．
20．解：（1）过点P作PH⊥CD于点H，
∴HQ＝16﹣5t，
∴PQ2＝PH2+HQ2，
即102＝（16﹣5t）2+62，
解得：，
答：P，Q两点出发或秒，线段PQ的长度为10cm；
（2）假设四边形PBCQ是正方形，
∴BP＝CQ，即16﹣3t＝2t，
解得：t＝，
∵，
∴不成立．