2021年暑假自主学习 《1.2一定是直角三角形吗？》基础达标训练（附答案） 北师大版八年级数学上册

2021年北师大版八年级数学上册《1.2一定是直角三角形吗？》暑假自主学习
基础达标训练（附答案）
1．下列以a，b，c为边的三角形，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各组数中是勾股数的是（ ）
A．4，5， 6 B．1.5，2， 2.5 C．11，60， 61 D．1，，2
3．如图所示，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，且，，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．32
4．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长．在这个问题中，AC的长为（　　）
A．4尺 B．尺 C．尺 D．5尺
5．一个三角形的三边分别是3、4、5，则它的面积是（　　）
A．6 B．12 C．7.5 D．10
6．有一个三角形两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（??）
A．3????? B．? C．和3? D．不确定
7．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值为(　　)
A． B． C．3 D．
8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（　　）
A．115cm B．125cm C．135cm D．145cm
9．如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝50，点P到AD的距离是30，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，则蚂蚁的最短行程为_____．
10．如图，圆柱的底面半径为5cm，高为10cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点爬到点B的最短路程是______cm．（）
11．如果一个三角形的三边长之比为9：12：15，且其周长为72 cm，那么它的面积为____
12．如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，5，3，4，则最大正方形E的面积是___．
13．下列四组数:①5，12，13:②7，24，25:③1，2，4:④5，6，8·其中可以作为直角三角形三边长的有_________(把所有你认为正确的序号都写上)
14．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为若小正方形的面积为则大正方形的面积为_______．
15．一个三角形的三边长分别是，，，则此三角形是________.
16．如图，以原点O为圆心，OB为半径画弧交数轴于点A，则点A所表示的数是_____．
17．如图，四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是__________cm2．
18．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝12，BC＝10，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是____．
19．如图是单位长度为1的正方形网格．
（1）在图1中画出一条长度为的线段AB；
（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．
20．如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，如图2是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图；
（2）用这个图形证明勾股定理；
（3）假设图1中的直角三角形有若干个，你能只运用图1中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）．
21．如图，中，.
（1）用尺规作图法在上找一点，使得点到边、的距离相等（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，，求的长.
22．我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何译文大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
23．我校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD＝8米，CD＝6米，AD⊥CD，AB＝26米，BC＝24米，求这块地的面积．
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8
D C C C A C B B
9．40．
解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，
∵AG＝30，AP＝AB＝50，
∴PG＝40，
∴BG＝80，
∴PB＝＝＝40．
故这只蚂蚁的最短行程应该是40．
故答案为：40．
10．
解：如图所示：
∵圆柱的底面半径为5cm，高为10cm，，
AD=2×3×5÷2=15（cm），BD=10cm，
∴在Rt△ABD中，
cm，
∴从A点爬到点B的最短路程是cm,故答案为：.
11．216
解:根据题意设这个三角形的三边长为cm，cm，cm.
因为，
所以这个三角形是直角三角形，
因为该三角形的周长为72 cm ，
所以，解得，所以，，
所以它的面积为（）.
故答案为：216.
12．66
解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，
S1=42+52，S2=32+42，
于是S3=S1+S2，
即可得S3=16+25+9+16=66．
故答案是：66．
13．①②
解：①52＋122＝132，能构成直角三角形；
②72＋242＝252，能构成直角三角形；
③12＋22≠42，不能构成直角三角形；
④52＋62≠82，不能构成直角三角形，
所以可以作为直角三角形三边长的有①②，
故答案为：①②．
14．25
解：∵每一个直角三角形的面积=，
∴大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积=4×4+9=25．
故答案为：25．
15．直角三角形
解:因为=+，则此三角形是直角三角形，故答案为直角三角形.
16．﹣
解：如图所示：OB＝，
故点A所表示的数是：﹣．
故答案为：﹣．
17．36
解:连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝3 cm，BC＝4 cm，
∴AC==5，
∵CD＝12cm，AD＝13cm，
∴AD2=CD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=ABBC+ACCD=×3×4+×5×12=36.
故答案为36.
18．152
解:由题意得：AD=12，
在Rt△BCD中，BC=10，CD=24，∴BD2=BC2+CD2=102+242=676，∴BD=26.
∴风车外围周长为（26+12）×4=152.
故答案为152.
19．解:（1）如图1所示；（2）如图2所示.
20．解：（1）用图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为a+b；（2）利用梯形的面积等于三个三角形的面积的和进行计算，由此列出等式即可求出勾股定理；（3）此题的方法很多，这里只举一种例子，即把四个直角三角形组成一个正方形．
（1）如图所示，是梯形；
（2）由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积=（a+b）（a+b）．
从上图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积，即ab+ab+c2．
两者列成等式化简即可得：a2+b2=c2；
（3）画边长为（a+b）的正方形，如第一个图，其中a、b为直角边，c为斜边．第二、三个图即可．
21．解:
（1）
（2）由（1）可知为的角平分线
∴
∴
∴
∴
在中，由勾股定理得：
即
解得：∴
22．水的深度是12尺，芦苇的长度是13尺.
解：设水的深度为x尺，如下图，
根据题意，芦苇长：OB＝OA＝(x＋1)尺，
在Rt△OCB中，
52＋x2＝(x＋1)2
解得：x＝12，
x＋1＝13
所以，水的深度是12尺，芦苇的长度是13尺.
23．这块地的面积是96平方米．
解：如右图所示，连接AC，
∵∠D＝90°，
∴AC2＝AD2+CD2，
∴AC＝10，
又∵AC2+BC2＝676，AB2＝262＝676，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ACD＝（24×10﹣6×8）＝96．
答：这块地的面积是96平方米．