(共80张PPT)
证明不等式的基本方法
一、比较法
原理:
步骤：
判号，常用方法是将“差式”
变形为一个常数，或几个因式的
乘积.
作差---变形---判号---定论
关键：
2、作商法
原理：
步骤：
1、作商法的前提为a,b为
正实数；
2、在证明幂、指数不等式时常用
作商法.
作商---变形---与1比较---定论
注意：
二、综合法
一般地，从已知条件出发，利用定义，公理，定理，性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明的方法叫做综合法
三、分析法
证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至
所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立.
小结：
简述比较法、综合法、分析法
作业：
P25 2
P26 4，5，6，8，9(共11张PPT)
柯西不等式（2）
探究：
三维形式的柯西不等式：
探究：
由一维形式与二维形式的柯西不等式
你能猜想一般形式的柯西不等式吗？
一般形式的柯西不等式：
探究：
一般形式的三角不等式应是怎样
的？如何应用一般形式的柯西不等
式去证明它？
小结：
柯西不等式的三维形式和一般形式
分别是什么？怎样利用它们来解决
一些问题？
作业：
P41 1，2，3，4，5(共18张PPT)
绝对值三角不等式
1.绝对值的几何意义：
如：|-3|或|3|表示数-3，3所对应的点A或点B到坐标原点的距离.
探究新知
即实数x对应的点到坐标原点的距离小于3.
探究新知
绝对值的几何意义：
同理，与原点距离大于3的点对应的实数可表示为：
探究新知
设a,b是任意两个实数，那么|a-b| 的几何意义是什么？
x
|a-b|
a
b
A
B
探究新知
如果用恰当的方法在数轴上把|a| ，|b| ，|a+b|表示出来
定理1 如果a,b是实数，则|a+b|
≤|a| +|b| ，当且仅当
ab≥0时，等号成立.
探究新知
如果把定理1中的实数a,b分别换为向量 ，能得出
(1) 当 不共线时有
(2) 当 共线且同向时有
探究新知
探究新知
|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|
这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
绝对值三角不等式
求证：|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|
定理的证明
探究新知
定理2：如果a,b,c是实数，那么
探究新知
典例讲评
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处
典例讲评
解：如果生活区建于公路路碑的第 x km处，两施工队每天往返的路程之和为S(x)km
那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
典例讲评
答: 生活区建于两路碑间的任意位置都满足条件.
典例讲评
20
40
60
10
20
30
0
x
y
求证 .
例3 已知 ，
证明：
典例讲评
典例讲评
例5 求证 .
证明：在 时，显然成立.
当 时，左边
典例讲评
布置作业
P19 4,5(共11张PPT)
柯西不等式（1）
问题探究：
定理1：（二维形式的柯西不等式）
探究：
你能得出柯西不等式的一些变式吗？
定理2：（柯西不等式的向量形式）
定理3：（二维形式的三角不等式）
小结：
1、柯西不等式有几种形式，它们分别
是什么？
2、当一个式子与柯西不等式的左边或
右边具有一致性时，就可以考虑利用
柯西不等式.
作业：
P36 1，3，4，5，6(共12张PPT)
不 等 式
第二课时
基本不等式
定理1: 如果a, b∈R, 那么a2+b2≥2ab.
当且仅当a=b时等号成立.
知识回顾
定理2如果a，b>0，那么
当且仅当a=b时，等号成立.
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
知识回顾
小结：特别要注意利用基本不等式求
最值时， 一定要满足“一正二
定三相等”的条件.
知识回顾
拓展练习
三个正数的算术-几何平均不等式
新知探究
三个正数的算术-几何平均不等式
新知探究
典例讲评
例4 θ是锐角，求y=sinθcos2θ的最大值
巩固提高
巩固提高
布置作业
P10 : 10---15(共16张PPT)
不 等 式
第一课时
复习巩固
两个实数大小关系的基本事实
比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小.
解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)
=x2+3x+2-(x2+3x-18)
=20>0，
所以(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)
复习巩固
不等式的基本性质
复习巩固
例1、判断下列各命题的真假，并说明理 由：
（1）如果a>b，那么ac>bc；
（2）如果a>b，那么ac2>bc2；
（3）如果a>b，那么an>bn(n∈N+)；
（4）如果a>b, cb-d.
（假命题）
（假命题）
（真命题）
（假命题）
典例讲评
例2.求证：
（1）如果a>b, ab>0，那么
（2）如果a>b>0，c思考
如果a>b，c>d，那么ac>bd一定成立吗
典例讲评
例3、 已知a>b>0，c>d>0，求证：
典例讲评
基本不等式
定理1: 如果a, b∈R, 那么a2+b2≥2ab.
当且仅当a=b时等号成立.
探究: 试从几何的角度解释定理1
新知探究
a
a
b
b
b
A
H
I
D
K
G
B
J
C
F
E
S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.
S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，
新知探究
基本不等式的几何解释
定理2（基本不等式） 如果a，b>0，那么
当且仅当a=b时，等号成立.
称为a,b的算术平均
称为a，b的几何平均
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
C
A
B
D
O
新知探究
例4 求证： （1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大； （2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短.
典例讲评
A
B
E
N
M
F
D
C
Q
P
H
G
例5 某居民小区要建一座八边
形的休闲场所，它的主体造型
平面图（右图）是由两个相同的
矩形ABCD和EFGH构成的面积
为200平方米的十字型地域，计
划在正方形MNPQ上建一座花坛，
造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角（图中四个直角三角形）上铺上草坪，造价为每平方米80元.
（1）设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式。
（2）当x为何值时S最小，并求出这个最小值.
知识拓展
特别要注意利用基本不等式求
最值时， 一定要满足“一正二定三相等”的条件.
课堂小结
P10: 5---8
作 业(共7张PPT)
不等式证明专题复习
典例讲评
典例讲评
典例讲评
典例讲评
典例讲评
典例讲评(共14张PPT)
证明不等式的基本方法(2)
三、分析法
证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至
所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立.
四、反证法
假设要证的命题不成立，以此为出
发点，结合已知条件，应用公理，定
义，定理，性质等，进行正确的推理，
得到和命题的条件（或已证明的定理、
性质、明显成立的事实等）矛盾的结
论，以说明假设不正确，从而证明原 命题成立.
五、放缩法
证明不等式时，通过把不等式中
的某些部分的值放大或缩小，简化不
等式，从而达到证明的目的.我们把这
种方法称为放缩法.
六、利用函数的单调性证明不等式
小结：
证明不等式的方法：
比较法，综合法，
分析法，反证法，放缩法，
利用函数的单调性.
作业：
P29 1，2，3，4(共32张PPT)
排序不等式
问题探究
A1
A2
Ai
An
B1
B2
Bi
Bn
O
A
B
问题探究
问题探究
定理：（排序不等式）
形成结论
例1、有10个人各拿一个水桶去接水，
设水龙头注满第 个人的
水桶需要 分，假定这些 各不相
同。问只有一个水龙头时，应如何
安排10人的顺序，使他们等候的总时
间最少？这个最少的总时间等于多少？
作业：
P45 1，2，3，4(共26张PPT)
绝对值不等式的解法
探究新知
例 1 解不等式
典型例题
例 2 解不等式
＞5
典型例题
例3:解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
典型例题
巩固练习
例4：解不等式|x -1|+|x +2|≥5
典型例题
例5：解不等式：|x-1| > |x-3|
典型例题
6.不等式 有解的条件是( )
B
课后练习
课堂小结：
(1)数学知识:
常见的绝对值不等式的解法
(2)数学思想
分类讨论的思想
整体的思想
转化的思想
小 结
P20 6,7,8,9
作 业
