第５章《万有引力定律及其应用》综合练习
一、选择题：
1．利用下列哪组数据，可以计算出地球质量：（ ）
A．已知地球半径和地面重力加速度
B．已知卫星绕地球作匀速圆周运动的轨道半径和周期
C．已知月球绕地球作匀速圆周运动的周期和月球质量
D．已知同步卫星离地面高度和地球自转周期
2．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下判断错误的是
A．天体A、B表面的重力加速度与它们的半径成正比
B．两颗卫星的线速度一定相等
C．天体A、B的质量可能相等
D．天体A、B的密度一定相等
3．已知某天体的第一宇宙速度为8 km/s，则高度为该天体半径的宇宙飞船的运行速度为
A．2km/s B．4 km/s C．4 km/s D．8 km/s
4．探测器探测到土星外层上有一个环.为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来确定
A．若v∝R，则该环是土星的一部分
B．若v2∝R，则该环是土星的卫星群
C．若v∝1/R，则该环是土星的一部分
D．若v2∝1/R，则该环是土星的卫星群
5．可发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足下列条件（ ）
A．与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆
B．与地球表面上某一经度线是共面的同心圆
C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地面是运动的
D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地面是静止的
6．航天技术的不断发展，为人类探索宇宙创造了条件.1998年1月发射的“月球勘探者号”空间探测器，运用最新科技手段对月球进行近距离勘探，在月球重力分布、磁场分布及元素测定等方面取得最新成果.探测器在一些环形山中央发现了质量密集区，当飞越这些重力异常区域时
A．探测器受到的月球对它的万有引力将变大
B．探测器运行的轨道半径将变大
C．探测器飞行的速率将变大
D．探测器飞行的速率将变小
7．宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面（设月球半径为R）。据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为 （ ）
A． B． C． D．
二、计算题：
8．荡秋千是大家喜爱的一项体育活动。随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣。假设你当时所在星球的质量为M、半径为R，可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°，万有引力常量为G。那么，
（1）该星球表面附近的重力加速度等于多少？
（2）若经过最低位置的速度为v0，你能上升的最大高度是多少？
9．如图所示，A是地球的同步卫星。另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。
（1）求卫星B的运行周期。
（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，他们再一次相距最近？
10．宇航员站在某一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。
11．我国自制新型“长征”运载火箭，将模拟载人航天试验飞船“神舟三号”送入预定轨道，飞船绕地球遨游太空t＝7天后又顺利返回地面.飞船在运动过程中进行了预定的空间科学实验，获得圆满成功。设飞船轨道离地高度为h，地球半径为R，地面重力加速度为g.则“神舟三号”飞船绕地球正常运转多少圈 (用给定字母表示).
参考答案：
1．A B 2．B 3．C 4．AD
5．CD 解析：卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，且万有引力始终指向地心，因此卫星的轨道不可能与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆，故A是错误的。由于地球在不停的自转，即使是极地卫星的轨道也不可能与任一条经度线是共面的同心圆，故B是错误的。赤道上的卫星除通信卫星采用地球静止轨道外，其它卫星相对地球表面都是运动的，故C、D是正确的。
6．AC
7．B 根据飞船绕月球做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，且在月球表面附近重力等于由万有引力，则 ，；已知物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面，可得月球表面附近的重力加速度g=2h/t2，代入得。故B正确。
8．（1）由星球表面附近的重力等于万有引力，即，则。
（2）由机械能守恒定律，得 ，则能上升的最大高度h=。
9．（1）由万有引力定律和向心力公式得
G=m(R+h)
又G=mg
得 TB=2
（2）由题意得 （ωB -ω）t=2
且ωB=
代入上式得 t=
10．解析：设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，则有
x+y=L （1）
由平抛运动的规律得知，当初速度增大到2倍，其水平射程也增大到2x，可得
(2x)+h=(L) （2）
由以上两式解得h= （3）
设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得h=gt （4）
由万有引力定律与牛顿第二定律得（式中m为小球的质量） （5）
联立以上各式得：。
点评：显然，在本题的求解过程中，必须将自己置身于该星球上，其实最简单的办法是把地球当作该星球是很容易身临其境的了。
11．解：（1）在轨道上 ①
v=②
在地球表面：=mg ③
联立①②③式得：T=
故n=
B
A
O
R
h第3、4、5章《抛体运动 匀速圆周运动 万有引力定律》单元测试
(时间:90分钟 满分:100分)
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题(本题包括10小题，共40分.每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期.由此可推算出( )
A.行星的质量 B.行星的半径 C.恒星的质量 D.恒星的半径
解析: 由得所以只有C正确.
答案:C
2.若一个物体的运动是两个独立的分运动合成的，则( )
A.若其中一个分运动是变速运动，另一个分运动是匀速直线运动，则物体的合运动一定是变速运动
B.若两个分运动都是匀速直线运动，则物体的合运动一定是匀速直线运动
C.若其中一个是匀变速直线运动，另一个是匀速直线运动，则物体的运动一定是曲线运动
D.若其中一个分运动是匀加速直线运动，另一个分运动是匀减速直线运动，则合运动可能是曲线运动
解析:合运动的性质由合初速度与合加速度的大小及夹角决定，据此可知选项ABD说法正确.
答案:ABD
3.某科技小组进行了如下探究实验:如图4-1所示，将一小球先后以相同初速度v0分别冲向光滑斜面AB、光滑曲面AEB、光滑圆弧轨道ACD，已知圆弧轨道的顶点C与斜面、曲面顶点B等高，均为h.则下列结论中应写入探究报告的是( )
图4-1
A.若小球沿斜面能到达顶点B，则沿曲面AEB一定能到达顶点B
B.若小球沿斜面能到达顶点B，则沿圆弧轨道ACD一定能到达顶点C
C.若小球沿圆弧轨道ACD能到达顶点C，则沿斜面一定能到达顶点B
D.若小球沿圆弧轨道ACD能到达顶点C，则沿曲面AEB一定能到达顶点B
解析:由于小球经过圆弧轨道ACD顶点C时应具有最小速度rg(r为圆弧轨道半径)，而沿光滑斜面AB和光滑曲面AEB到达顶点B的最小速度可以为0，所以本题4个选项涉及的结论正确的有ACD.
答案:ACD
4.如图4-2所示为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支.由图可知:①A物体运动的线速度大小不变；②A物体运动的角速度大小不变；③B物体运动的角速度大小不变；④B物体运动的线速度大小不变
以上正确的判断是( )
图4-2
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
解析:角速度一定时，由a=ω2r知a∝r，即B物体的角速度不变.线速度大小一定时，由a=v2r知，a∝1r，即A物体线速度大小不变.
答案:A
5.1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600 km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展.假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行.已知地球半径为6.4×106 m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×107 m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期.以下数据中最接近其运行周期的是( )
A.0.6小时 B.1.6小时 C.4.0小时 D.24小时
解析:由开普勒行星运动定律可知:=恒量，所以对哈勃望远镜和地球同步卫星有其中r为地球的半径，h1、T1、h2、T2分别表示望远镜到地表的距离、望远镜的周期、同步卫星距地表的距离、同步卫星的周期(24 h)，代入数据解得t1=1.6 h，所以本题正确选项为B.
答案:B
6.(2010届福建福州三中高三月考，3)如图4-3所示，在一次救灾工作中，一架水平直线飞行的直升机A，用悬索救护困在水中的伤员B，在直升机A和伤员B以相同的水平速度匀速运动的同时，悬索将伤员吊起，在某一段时间内，A、B之间的距离以l=H－t2 (式中H为直升机A离水面的高度)规律变化，则在这段时间内( )
图4-3
A.悬索的拉力等于伤员的重力
B.悬索是竖直的
C.伤员做匀减速直线运动
D.伤员做速度大小增加的曲线运动
解析:直升机A和伤员B以相同的水平速度匀速运动，所以悬索是竖直的，B正确；根据A、B之间的距离的变化规律(l=H－t2)可知伤员在竖直方向向上匀加速运动，所以悬索的拉力应大于伤员的重力，A、C错误；伤员的合运动为类平抛运动，D项正确.
答案:BD
7.已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为( )
A.0.2 B.2 C.20 D.200
解析:本题考查天体运动及万有引力的相关运算.我们知道:月球随地球一起绕太阳公转周期为T1=365天，太阳对月球的万有引力F1提供月球绕太阳公转的向心力，设月球质量为m0，根据牛顿第二定律有F1=m0(2πT1)2R1(①式)；同理，地球对月球的万有引力F2提供月球绕地球做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有(②式)；由①②得所以A、C、D错误，B正确.
答案:B
8.(2010届山西师大附中高三九月月考，1)如图4-4所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，烧断细线，则( )
图4-4
A.两物体均沿切线方向滑动
B.物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，同时所受摩擦力减小
C.两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动
D.物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远
解析:根据题意，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，A物体靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，所以烧断细线后A所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动需要的向心力，A要发生相对滑动，但是B仍保持相对圆盘静止状态，所以A、C选项错误而D选项正确；而且由于没有了细线的拉力，B受静摩擦力将减小，B选项正确.
答案:BD
9.(2010湖北八校一联，17)“神舟七号”载人航天飞行的圆满成功标志着我国成为世界上第三个独立掌握空间出舱关键技术的国家，航天员翟志刚出舱后手拿小国旗的场景在国人的心中留下了非常深刻的印象.假定“神舟七号”绕地球做匀速圆周运动，且大气阻力不计.出舱后翟志刚举着小国旗不动时,下列说法正确的是( )
A.小国旗受重力作用
B.小国旗不受重力作用
C.若翟志刚松开小国旗,小国旗将在太空中做匀速直线运动
D.若翟志刚松开小国旗,小国旗将围绕地球做匀速圆周运动
解析:宇宙飞船及船上任何物品都在绕地球做匀速圆周运动,处于完全失重状态,但并不是不受重力,而是其重力恰好提供向心力,A正确,B错误.翟志刚松开小国旗后由于惯性,小国旗将保持原来的速率,离地心的距离R也不变,故等式仍然成立，小国旗仍将绕地球做匀速圆周运动，C错误，D正确，选A、D.
答案:AD
10.(预测题)如图4-5所示，一根长为l的轻杆的一端与一个质量为m为小球相连，并可绕过另一端O点的水平轴在竖直面内自由转动，图中的a、b分别表示小球运动轨迹的最低点和最高点，已知杆能提供的最大支持力为现在a点给小球一个初速度v0，使它做圆周运动，则下面说法正确的是( )
图4-5
A.小球不能做完整的圆周运动
B.只要满足小球就能做完整的圆周运动
C.必须满足小球才能做完整的圆周运动
D.只要小球在最高点的速度大于零，小球就能做完整的圆周运动
解析:设小球达到最高点时速度为v，此时杆对球的支持力为F，由牛顿第二定律有Mg－F=m v2/l(①式)，在小球由a到b的过程中，对小球由动能定理有－mg2l=mv2/2－mv02/2(②式)，由于杆能提供的最大支持力为mg/2，所以有F≤mg/2 (③式)，由①②③联立可得所以本题正确选项为C.
答案:C
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空与实验题(本题包括2小题，共20分.把答案填在答题卡相应的横线上或按题目要求作答)
11.(5分)2008年9月15日，我国的第一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”为华夏儿女送来了中秋佳节的“语音祝福”.设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面.已知月球的质量约为地球质量的1/81，探月卫星绕月运行的速率约为1.8 km/s，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则由此可知月球的半径约为地球半径的________________.
解析:分别以M、m表示地球和月球质量，以R、r表示地球和月球半径，以V、v表示地球和月球的第一宇宙速度，设卫星质量为m0，卫星由万有引力提供向心力，由牛顿第二定律分别有(①式)；(②式)；由①②联立可得故正确选项应填1/4.
答案:1/4
12.(15分)某同学设计了一个研究平抛运动的实验.实验装置示意图如图4-6a所示，A是一块平面木板，在其上等间隔地开凿出一组平行的插槽(图a中P0P0′、P1P1′……)，槽间距离均为d.把覆盖复写纸的白纸铺贴在硬板B上.实验时依次将B板插入A板的各插槽中，每次让小球从斜轨的同一位置由静止释放.每打完一点后，把B板插入后一槽中并同时向纸面内侧平移距离d.实验得到小球在白纸上打下的若干痕迹点，如图b所示.
a b
图4-6
(1)实验前应对实验装置反复调节，直到___________________.每次让小球从同一位置由静止释放，是为了___________________.
(2)每次将B板向内侧平移距离d，是为了__________________.
(3)在图b中绘出小球做平抛运动的轨迹.
答案:(1)斜槽末端切线水平、A板水平且其上插槽与斜槽中心轴线垂直、B板竖直小球每次平抛初速度相同
(2)使小球类似于沿平板做平抛运动
(3)如右图
三、计算题(本题包括4小题，共40分.解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能得分.有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)
13.(8分)(2010河北保定第一学期末调研，23)中国计划在2017年实现返回式月球软着陆器对月球进行科学探测，届时发射一颗运动半径为r的绕月卫星，登月着陆器从绕月卫星出发，沿椭圆轨道降落到月球的表面上，与月球表面经多次碰撞和弹跳才停下来.假设着陆器第一次弹起的最大高度为h，水平速度为v1,第二次着陆时速度为v2.已知月球半径为R，求在月球表面发射人造月球卫星的最小发射速度.
解析:以着陆器为研究对象，在其由第一次弹起的最大高度至第二次着陆过程中，据机械能守恒定律有(3分)
以最小发射速度发射的卫星为近月卫星，则由牛顿第二定律有(3分)
(2分)
答案:
14.(8分)2008年9月25日，我国自主研制的“神舟七号”宇宙飞船发射成功，9月27日我国航天员翟志刚第一次出舱实现太空漫步，并展示了中国国旗.若把“神舟七号”载人飞船绕地球的运行看做是在同一轨道上的匀速圆周运动，且已知运行的周期为T ，地球表面的重力加速度为g ，地球半径为R ，用T、g、R能求出哪些与“神舟七号”载人飞船有关的物理量？分别写出计算这些物理量的表达式(不必代入数据计算).
解析:万有引力为飞船做圆周运动提供向心力
在地球表面
可得飞船轨道半径
运行的角速度运行的频率
运行的线速度
向心加速度
距地面的高度
答案:略
15.(12分)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率.下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之相对应的轨道的高度差h.
弯道半径r/m 660 330 220 165 132 110
内外轨高度差h/mm 50 100 150 200 250 300
(1)根据表中数据，试导出h与r关系的表达式,并求出当r=440 m时，h的设计值.
(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L=1.500 m，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率(路轨倾角很小时，正弦值按正切值处理).
(3)随着人们生活节奏加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求，为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高，请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施.
解析:(1)分析表中数据可得，每组的h与r之乘积均等于常数C=660×50×10－3 m2=33 m2，即因此 h·r=33 m2
当r=440 m时，有
(2)火车转弯时，若车轮对铁轨没有侧向压力，则火车的受力如图所示，由牛顿第二定律得
①
根据题意，因为θ很小，所以有
②
①②联立代入数据得
v=15 m/s=54 km/h.
(3)有效措施有:①适当增大内外轨的高度差h；②适当增大铁路弯道的轨道半径r.
答案:(1)h·r=33 75 mm
(2)54 km/h (3)增大h、r
16.(12分)(2010届江苏三仓中学、南洋中学高三第一次联考，14)如图4-7所示，在汽车的顶部用不可伸长的细线悬挂一个质量为m的小球，以大小为v0的初速度在水平面上向右做匀减速直线运动，经过时间t，汽车的位移大小为s(车仍在运动).求:
图4-7
(1)汽车运动的加速度大小；
(2)当小球相对汽车静止时，细线偏移竖直方向的夹角(用反三角函数表示)；
(3)汽车速度减小到零时，若小球距悬挂的最低点高度为h，O′点在O点的正下方，此后汽车保持静止，当小球摆到最低点时细线恰好被拉断.证明拉断细线后，小球在汽车水平底板上的落点与O′点间的水平距离x与h的平方根成正比.
解析:(1)取向右为正方向，设加速度大小为a，对汽车由运动学公式有
解得
(2)由受力分析得，小球受到重力与绳子拉力的合力大小为F=mgtanθ
根据牛顿第二定律有F=ma
所以
(3)设小球被细线拉着摆到最低点时的速度为v，由机械能守恒定律得
所以
设细线断时小球距离汽车水平底板高度为H，细线断后小球做平抛运动，所以有
x=vt,
解得
答案:(1)
(2)
(3)略《万有引力定律》1
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分，考试用时90分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择题（每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项是正确的，全部选对得4分，对而不全得2分。）
1．关于开普勒行星运动的公式=k，以下理解正确的是 （ ）
A．k是一个与行星无关的常量
B．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R地，周期为T地;月球绕地球运转轨道的长半轴
为R月，周期为T月，则
C．T表示行星运动的自转周期
D．T表示行星运动的公转周期
2．对于万有引力定律的表达式F=G，下面说法中正确的是 （ ）
A．公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B．当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．m1与m2受到的引力总是大小相等的，而与m1、m2是否相等无关
D．m1与m2受到的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力
3．如图1所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运动的三颗卫星，
a和b质量相等且小于c的质量，则（ ）
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
4．已知甲、乙两行星的半径之比为a，它们各自的第一宇宙速度之比为b，则下列结论正确的是 （ ）
A．甲、乙两行星的质量之比为b2a∶1
B．甲、乙两行星表面的重力加速度之比为b2∶a
C．甲、乙两行星各自卫星的最小周期之比为a∶b
D．甲、乙两行星各自卫星的最大角速度之比为a∶b
5．近地卫星线速度为7.9 km/s，已知月球质量是地球质量的，地球半径是月球半径的3.8
倍，则在月球上发射“近月卫星”的环绕速度约为 （ ）
A．1.0 km/s B．1.7 km/s C．2.0 km/s D．1.5 km/s
6．假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则（ ）
A．根据公式v=ωr，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍
B．根据公式F=m ，可知卫星所需的向心力将减小到原来的
C．根据公式F=G ，可知地球提供的向心力将减小到原来的
D．根据上述B和C中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的
7．据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是连续物还是卫星群，又测出了环中各层的线速度v的大小与该层至行星中心的距离R，则以下判断中正确的是（ ）
A．若v与R成正比，则环是连续物 B．若v与R成反比，则环是连续物
C．若v2与R成正比，则环是卫星群 D．若v2与R成反比，则环是卫星群
8．地球同步卫星距地面高度为h，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，地球自转的角速度为ω，那么同步卫星绕地球转动的线速度为 （ ）
A．v=（R+h）ω B．v=
C．v=R D．v=
9．下列说法中正确的是 （ ）
A．已知地球中心距太阳中心的距离，只要观测到火星绕太阳的公转周期，就可估测出火星中心距太阳中心的距离
B．已知地球中心距太阳中心的距离，就能估测出地球中心距月球中心的距离
C．已知月球中心距地球中心的距离，就能估测出同步地球卫星距地球中心的距离
D．已知月球中心距地球中心的距离，只要观测火星绕太阳公转的周期，就能估测出火星距太阳的距离
10．两颗靠得较近的天体组成双星，它们以两者连线上某点为圆心。设其做匀速圆周运动，因而不会由于相互的引力作用而被吸在一起，则下列说法中正确的是 （ ）
A．它们做圆周运动的角速度之比与它们的质量成正比
B．它们做匀速圆周运动的线速度之比与它们的质量成反比
C．它们做匀速圆周运动的向心力之比与它们的质量成正比
D．它们做圆周运动的轨道半径之比与它们的质量成反比
第Ⅱ卷（非选择题，共60分）
二、填空题（每小题6分，共24分。把正确答案填写在题中的横线上，或按题目要求作答。）
11．已知一颗人造卫星在某行星表面上空绕该行星做匀速圆周运动，经过时间t，卫星运动的弧长为s，卫星与行星的中心连线扫过的角度是1 rad，那么卫星的环绕周期T=________，该行星的质量M=________（万有引力常量为G）。
12．假设地球自转速度达到使赤道上的物体“飘”起（完全失重），则地球上一天约等于_______h（地球赤道半径取6.4×106 m， g=10 m/s2）
13．两个行星的质量分别为M1和M2，它们绕太阳运行的轨道可以当做半径为R1和R2的圆。假定它们只受到太阳的引力作用，则它们的向心加速度之比a1∶a2=________，它们的运行周期之比T1∶T2=________。
14．已知地球的半径为R，地面的重力加速度为g，引力常量为G。可求得地球的平均密度ρ=________。
三、计算题（共36分。要求写出必要的文字说明、主要方程式和重要演算步骤，有数值计算的要明确写出数值和单位，只有最终结果的不得分。）
15．（12分）同步通讯卫星是进行现代通讯的重要的工具，我们的国家在卫星的发射方面已取得了辉煌的成就，进入了世界航天大国的行列。下面是关于同步卫星的一些问题，请回答或进行讨论。
（1）同步通讯卫星的轨道有什么特点？
（2）同步通讯卫星的轨道离地球表面的距离约为多大？
16．（12分）已知万有引力常量G，地球半径R，地球和月亮之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球运转的周期T1，地球的自转的周期T2，地球表面的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地心作圆周运动，由 。
（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。
（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。
17．（12分）某物体在地面上受到的重力为160 N，将它置于宇宙飞船中，当宇宙飞船以a= 的加速度加速上升时，在某高度处物体对飞船中支持面的压力为90 N，试求此时宇宙飞船离地面的距离是多少 （已知地球半径R=6.4×103 km，g=10 m/s2）
参考答案
1．【答案】 AD
【解析】 公式=k成立的前提条件是绕同一天体运动的行星，故B错。公式中的T指的是行星运转的公转周期，故D正确，C错。由于此公式对所有行星都成立，而各行星质量及其他又相差很多，故k应是与行星无关的常量。故A正确。
2．【答案】 AC
【解析】 引力常量G是卡文迪许利用扭秤装置测得，选项A正确。当r趋近于零时，物体不能看成质点，F=G不再适用，所以由它得出的结论是错误的，B选项错。m1、m2之间的引力是一对相互作用力，它们大小相等，方向相反，但由于分别作用在两个物体上，所以不能平衡。C选项正确，D选项错误。
3．【答案】 ABD
【解析】 因卫星运动的向心力就是它们所受的万有引力，而b所受的引力最小，故A对。
由GMm/r2=ma得a=GM/r2，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错。由GMm/r2=4π2mr/T2得T=2π，即人造地球卫星运行的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B对。由GMm/r2=mv2／r得v=，即地球卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c线速度大小相等且小于a的线速度，D对。
4．【答案】 ABC
【解析】 由G得M=，则=b2a。由mg=m得
g=，则。由T=得。由ω=得
。
5．【答案】 B
【解析】 卫星在地球（月球）表面附近绕地球（月球）做匀速圆周运动，向心力为地球（月球）对卫星的吸引力，则G，近地（月）卫星的线速度为v=。近月卫星与近地卫星的线速度之比为=0.22。所以近月卫星的线速度为v2=0.22v1=0.22×7.9 km/s=1.7 km/s，选项B正确.
6．【答案】 CD
【解析】 卫星绕地球做圆周运动时，地球对卫星的吸引力提供卫星做圆周运动的向心力，由F向=G知，卫星的轨道半径增大到原来的2倍，向心力减小到原来的，C选项正确.根据G=m得v=，所以，卫星的轨道半径增大到原来的2倍，线速度减小到原来的.D选项正确。由于随着半径r的变化，角速度和线速度都要变化，所以不能根据v=ω r和F=m得出v∝r及F∝，故A、B选项均错.
7．【答案】 AD
【解析】 若环为连续物，则角速度ω一定，由v=Rω知，v与R成正比，所以A选项正确.若环为卫星群，由G得v=，所以，v2与R成反比，D选项正确.
8．【答案】 ACD
【解析】 由v=ωr得，同步卫星的线速度为v=ω（R+h），A选项正确。根据地球对卫星的引力提供卫星的向心力得G=mω2r求得v=，r=。由mg=G 得GM=gR2，则v=，C选项正确.r=。由v=ωr得v=ω，D选项正确.
9．【答案】 AC
【解析】 对于选项A，因为地球、火星均是太阳系的行星，都绕中心天体太阳运动，因而有=k，而地球的公转周期T1=1年365天，这是常识，对于估算问题不必给出。因此，给出日、地中心间距离R1和火星绕日公转周期T2，可由上面的比例式推算出火星中心距太阳中心的距离R2。所以选项A正确。对于选项C，月球与地球同步卫星都绕这个中心天体运动，所以有=k′。由于月球的公转周期T1=1个月=30天是常识，同步地球卫星的周期与地球自转周期相等，T2=1天，题目都不必给出。由上述比例式可推算出R2，故选项C正确。选项B、D中的两星球所绕行的中心天体不同，比值k也不同，故不能用分析A、C时所列出的比例式进行估算，选项B、D错误。
10．【答案】 BD
【解析】 双星以它们连线上某点为圆心做匀速圆周运动，向心力是它们之间的相互吸引力，所以双星做圆周运动的向心力大小相等，C选项错。双星圆周运动的角速度相等，A选项错。由上述关系得G=m1ω2r1=m2ω2r2，则m1r1=m2r2 ，即双星做圆周运动的轨道半径与双星的质量成反比，D选项正确。由v=ωr得，即双星做圆周运动的线速度与它们的质量成反比，B选项正确。
11．【答案】 2πt；
【解析】 卫星在t时间内转过的角度为1 rad，则卫星在1个周期内需转过2π rad，故T=2πt，由弧长公式s=rθ，得卫星的轨道半径为r=s，由G=mr（）2得M=
12．【答案】 1.4
【解析】 欲使赤道上的物体“飘”起来，则赤道上的物体所受重力完全提供向心力，故mg=mR（）2，T=1.4 h.
13．【答案】 R22∶R12；∶
【解析】 a=，则a∝。由GR知T2∝R3分析。
14．【答案】 3g/4πGR
【解析】 由mg=G和ρ=得ρ=。
15．解：（1）同步卫星的轨道平面必须与地球的赤道平面重合，这是同步卫星运动实现的必要的条件，同步卫星发射后并不是直接进入同步轨道的，而是要先进入近地的停泊轨道，再进入转移轨道，最后经过一系列的调整进入同步轨道。同步卫星的轨道平面虽然要与地球的赤道的平面重合，但发射并不一定要在赤道上发射。 （4分）
（2）万有引力提供向心力，可得G =m（R+h） （4分）
整理后得 h=－R （2分）
代入数据，得 h=3.6104km （2分）
16．解：（1）上面的结果是错误的，地球半径R在计算过程中不能忽略。
正确的解法和结果： （2分）
得 （2分）
（2）方法一：对月球绕地作圆周运动， （2分）
得 （2分）
方法二：在地球表面重力近似等于万有引力： （2分）
得 （2分）
17．解：物体在地面时重力为160 N，则其质量m==16 kg. （2分）
物体在地面时有G=mg （2分）
在h高处时有 FN－G=ma （2分）
由上式得（）2==16 （2分）
所以=4 （2分）
则h=3R=19.2×103 km （2分）
图1第5章《万有引力定律及其应用》单元测试
一、不定项选择题
1.关于第一宇宙速度，下列说法正确的是（ ）
A.它是人造卫星绕地球飞行的最小速度；
B.它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度；
C.它是卫星在椭圆轨道上运行时在近地点的速度；
D.它是近地圆形轨道上人造地球卫星运行速度。
2. 2008年9月25日21时10分“神舟七号”载人飞船发射升空，进入预定轨道绕地球自西向东作匀速圆周运动，运行轨道距地面343Km．绕行过程中，宇航员进行了一系列科学实验，实现了我国宇宙航行的首次太空行走．在返回过程中，9月28日17时30分返回舱主降落伞打开，17时38分安全着陆．下列说法正确的是（ ）
A．飞船做圆周运动的圆心与地心重合
B．载人飞船轨道高度小于地球同步卫星的轨道高度
C．载人飞船绕地球作匀速圆周运动的速度略大于第一宇宙速度7.9km／s
D．在返回舱降落伞打开后至着地前宇航员处于失重状态
3.据美国媒体报道，美国和俄罗斯的两颗通信卫星11日在西伯利亚上空相撞。这是人类有史以来的首次卫星碰撞事件。碰撞发生的地点位于西伯利亚上空490英里(约790公里)，恰好比国际空间站的轨道高270英里（434公里），这是一个非常常用的轨道，是用来远距离探测地球和卫星电话的轨道。则以下相关说法中，正确的是（ ）
A．碰撞后的碎片若受到大气层的阻力作用，轨道半径将变小，则有可能与国际空间站相碰撞。
Ｂ．在碰撞轨道上运行的卫星的周期比国际空间站的周期小
C．发射一颗到碰撞轨道运行的卫星，则发射速度要大于11.2km/s。
Ｄ．在同步轨道上，若后面的卫星一旦加速，将有可能与前面的卫星相碰撞。
4.已知地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，同步卫星的周期与地球的自转周期相同，根据你知道的常识，可以估算出地球到月球的距离，这个距离最接近（ ）
A．地球半径的40倍 B．地球半径的60倍
C．地球半径的80倍 D．地球半径的100倍
5. 3个人造地球卫星A、B、C，在地球的大气层外沿如图所示的方向做匀速圆周运动，已知mA=mB
A．线速度大小的关系是
B． 周期关系是TaC． 向心力大小的关系是Fa=FbD． 轨道半径和周期的关系是
6.某同学这样来推导第一宇宙速度：v=2R/T=(2×3.14×6.4×106)/(24×3600)m/s=0.465×103m/s，其结果与正确值相差很远，这是由于他在近似处理中，错误地假设：（ ）
A．卫星的轨道是圆。 B．卫星的向心力等于它在地球上所受的地球引力。
C．卫星的轨道半径等于地球的半径。 D．卫星的周期等于地球自转的周期。
7.据报道．我国数据中继卫星“天链一号01 星”于2008 年4 月25 日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4 次变轨控制后，于5 月l 日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道。关于成功定点后的“天链一号01 星”，下列说法正确的是（ ）
A．运行速度大于7.9km/s
B．离地面高度一定，相对地面静止
C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大
D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
8. 2008年9月25日，我国利用“神州七号”飞船将翟志刚、刘伯明、景海鹏三名宇航员送入太空。设宇航员测出自己绕地球做圆周运动的周期为T，离地高度为H，地球半径为R，则根据T、H、R和引力常量G，能计算出的物理量是 ( )
A．地球的质量 B．地球的平均密度
C．飞船所需的向心力 D．飞船线速度的大小
9.几十亿年来，月球总是以同一面对着地球,人们只能看到月貌的59%,由于在地球上看不到月球的背面，所以月球的背面蒙上了一层十分神秘的色彩．试通过对月球运动的分析,说明人们在地球上看不到月球背面的原因是（ ）
A．月球的自转周期与地球的自转周期相同 B．月球的自转周期与地球的公转周期相同
C．月球的公转周期与地球的自转周期相同 D．月球的公转周期与月球的自转周期相同
10. “嫦娥一号”于2009年3月1日下午4时13分成功撞月，从发射到撞落历时433天，标志我国一期探月工程圆满结束．其中，卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进人近月圆轨道绕月飞行．若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的1／6，月球半径为地球半径的1／4，据以上信息得（ ）
A．绕月与绕地飞行周期之比为
B．绕月与绕地飞行周期之比为
C．绕月与绕地飞行向心加速度之比为1：6
D．月球与地球质量之比为1：96
11.由于地球的自转，使静止在地面的物体绕地轴做匀速圆周运动．对这些随地球做匀速圆周运动的物体，以下说法正确的是（ ）
A．所处地点对应的纬度角越大，速度也越大
B．所处地点对应的纬度角越大，向心加速度也越大
C．周期等于地球自转的周期
D．重力提供向心力
12.2 007年4月24日，欧洲科学家宣布在太阳之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星Gliese581C。这颗围绕红矮星Gliese581运行的星球有类似地球的温度，表面可能有液态水存在，距离地球约为20光年，直径约为地球的1.5倍 ，质量约为地球的5倍，绕红矮星Gliese581运行的周期约为13天。假设有一艘宇宙飞船飞临该星球表面附近轨道，下列说法正确是（ ）
A．飞船在Gliese581C表面附近运行的周期约为13天
B．飞船在Gliese581C表面附近运行时的速度大于7.9km/sC．人在Gliese581C上所受重力比在地球上所受重力大D．Gliese581C的平均密度比地球平均密度小
13.据新华网报道，嫦娥一号在接近月球时，要利用自身的火箭发动机点火减速，以被月球引力俘获进入绕月轨道。这次减速只有一次机会，如果不能减速到一定程度，嫦娥一号将一去不回头离开月球和地球，漫游在更加遥远的深空；如果过分减速，嫦娥一号则可能直接撞击月球表面。该报道地图示如下。则下列说法正确的是（ ）
A． 实施首次“刹车”的过程，将便得嫦娥一号损失的动能转化为势能，转化时机械能守恒
B． 嫦娥一号被月球引进俘获后进入绕月轨道，并逐步由椭圆轨道变轨到圆轨道
C． 嫦娥一号如果不能减速到一定程度，月球对它的引力将会做负功
D． 嫦娥一号如果过分减速，月球对它的引力将做正功，撞击月球表面时的速度将很大
14.我国在成功发射探月卫星“嫦娥1号”之后，又成功地发射了“神舟7号”载人航天飞船，并由翟志刚成功地进行了太空漫步．设“嫦娥1号”绕月球运动的轨迹和“神舟7号”绕地球运动的轨迹都是圆，其轨道半径分别为r1、r2，周期分别为T1、T2，线速度分别为v1、v2，角速度分别为ω1、ω2，向心加速度分别为a1、a2，月球和地球的质量分别为m1、m2，则（ ）A． B．C． D．
二、填空实验题
15.在月球上以初速度v0自高h处水平抛出的小球，射程可达s，已知月球半径为R，如果在月球上发射一颗月球的卫星，则它在月球表面附近环绕月球运动的周期 。
16.假设我们已经进入了航天时代，一个由三个高中学生组成的航天兴趣小组正乘外星科学考察飞船前往X星球，准备用携带的下列器材测量X星球表面的重力加速度g，这些器材是：
A．钩码一盒，质量未知且各钩码质量不等
B．重锤一个（带夹子），质量未知
C．带孔金属小球一个，直径已知为d
D．电源（带有开关），可输出频率为f的交流电压，可满足实验要求
E．无弹性的丝线若干根
F．导线，开关若干
G．刻度尺1把
H．测力计1个
I．天平1台（含砝码1盒）
J．电磁打点计时器1台（含复写纸片、纸带）
K．电子秒表1个
L．带有光控计时器的实验平板一块．在平板两端各有一个光控门，同时还配有其专用的直流电源、导线、开关、重锤线、滑块，该器材可用来测量物体从—个光控门运动到另—个光控门的时间
M．支架：能满足实验所需的固定作用
到达X星球后，三个学生从以上器材中选择各自所需的器材（同一器材可以重复选用），用不同的方法各自独立地测出了重力加速度g的值．
现请你完成他们所做的实验：
实验一：（已经完成）
(1）器材有：A、H、I
（2）主要的实验步骤是：
①选取一个合适的钩码，用天平测出质量m
②用测力计测出该钩码的重力F
③计算重力加速度的表达式为
实验二：
（1）选用的器材有_________________
（2）写出主要的实验步骤（简明扼要）．
______________________________________________________________
实验三：
（1）选用的器材有_________________
（2）写出主要的实验步骤（简明扼要）．
_____________________________________________________________
三、计算论述题
17.若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆。已知这两种转动同向，如图所示。月相变化的周期为29.5天, 图示是相继两次满月，月.地.日相对位置的示意图）。求月球绕地球自转一周所用的时间T(因月球总是一面朝向地球，故T恰是月球的自转周期)。（提示：可借鉴恒星日.太阳日的解释方法）。
18.在地球表面，某物体用弹簧秤竖直悬挂且静止时，弹簧秤的示数为160N，把该物体放在航天器中，若航天器以加速度a＝g/2（g为地球表面的重力加速度）竖直上升，在某一时刻，将该物体悬挂在同一弹簧秤上，弹簧秤的示数为90N，若不考虑地球自转的影响，已知地球半径为R。求：
19. 2007年10月24日，“嫦娥一号”卫星星箭分离，卫星进入绕地球轨道。在绕地运行时，要经过三次近地变轨：12小时椭圆轨道①→24小时椭圆轨道②→48小时椭圆轨道③→地月转移轨道④。11月5日11时，当卫星经过距月球表面高度为h的A点时，再一次实施变轨，进入12小时椭圆轨道⑤，后又经过两次变轨，最后进入周期为T的月球极月圆轨道⑦。如图所示，已知月球半径为R。
（1）请回答：“嫦娥一号”在完成第三次近地变轨时需要加速还是减速？
（2）写出月球表面重力加速度的表达式。
参考答案
一、不定项选择题
1.BD 2.AB 3.A 4.B 5.C 6.D 7.BC 8.ABD 9.D 10.ACD
11.C 12.BC 13.ABD 14.B
二、填空实验题
15. T=
16. （1）B、D、F、G、J、M （3分）
（2）①将实验装置按要求安装好
②接通电源，释放处于竖直状态的纸带。用刻度尺测量出纸带上相邻两点间的距离分别为d1、d2。
③计算重力加速度的表达式为 （3分）
实验三：
（1）G、L、M （3分）
（2）①将带光控计时器的平板用支架竖直架稳
②测量两个光控门之间的距离s
③把滑块从上面的一个光控门处自由释放，读出下落时间t
④计算重力加速度的表达式为 （3分）
三、计算论述题
17. 因为月球总是一面向地球，故T恰好等于月球自转周期，月球转过（2π+θ）用了29.5天，故共转过2π只用天，由地球公转知天
18. （1）此时物体所受的重力
（2）此时航天器距地面的高度。
（1）T－G′＝ma ……2分
G′＝T－ma＝90－16×5＝10N ……3分
（2）G0＝ ……2分
则＝＝ ……2分
所以r＝4R ……2分
即此时航天器距地高度为3R ……1分
19. （1）加速 （2分）
（2）设月球表面的重力加速度为g月，在月球表面有
（3分）
卫星在极月圆轨道有
（3分）
解得 （2分）
太阳
月亮
月亮
满月
满月
地球
地球
S
E1
M1
M2
M1/
E2
θ
θ
29.5天高一物理单元测试卷（五）
(内容:万有引力定律) (满分:100分 考试时间:100分钟)
第Ｉ卷 (选择题 共44分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
一、 单项选择题:本题共8小题.每小题4分，共32分.
1．在地球（看作质量均匀分布在球体）上空有许多同步卫星（运行周期和地球自转周期相同）。关于地球同步卫星，下面的说法中正确的是 （ ）
A．它们的质量可能不同 B．它们的速度可能不同
C．它们的向心加速度可能不同 D．它们离地心的距离可能不同
2．下列说法正确的是 （ ）
A．第一宇宙速度是人造卫星环绕地球运动的速度
B．第一宇宙速度是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度
C．如果需要，地球同步通讯卫星可以定点在地球上空的任何一点
D．地球同步通讯卫星的轨道可以是圆的也可以是椭圆的
3．关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法正确的是 （ ）
A．由于，所以线速度大的物体的向心加速度大
B．由于，所以旋转半径大的物体的向心加速度小
C．由于，所以角速度大的物体的向心加速度大
D．以上结论都不正确
4．两个行星各有一个卫星绕其表面运行，已知两个卫星的周期之比为1∶2，两行星半径之比为2∶1，则下面的说法中正确的是 （ ）
①两行星密度之比为4∶1 ②两行星质量之比为16∶1
③两行星表面处重力加速度之比为8∶1 ④两卫星的速率之比为4∶1
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④
5．某人造卫星绕地球做匀速圆周运动，设地球半径为R，地面重力加速度为g，下列说法错误的是 （ ）
A．人造卫星的最小周期为2π
B．卫星在距地面高度R处的绕行速度为
C．卫星在距地面高度为R处的重力加速度为g/4
D．地球同步卫星的速率比近地卫星速率小，所以发射同步卫星所需的能量较少
6．已知某天体的第一宇宙速度为8 km/s，则高度为该天体半径的宇宙飞船绕其匀速圆周运动的运行速度为 （ ）
A．2km/s B．4 km/s C．4km/s D．8 km/s
.7. 假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则下列说法正确的是 （ ）
①根据公式v=ωr，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍
②根据公式F＝mv2/r，可知卫星所需的向心力将减小到原来的1/2
③根据公式F＝GMm/r2，可知地球提供的向心力将减小到原来的1/4
④根据上述②和③给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的/2
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④
二.不定项选择题: 本题共4小题.每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项是正确的，全部选对得4分，对而不全得2分。
8．火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆。已知火卫一的周期为7小时39分。火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相（ ）
A．火卫一距火星表面较近 B．火卫二的角速度较大
C．火卫一的运动速度较大 D．火卫二的向心加速度较大。
9．若人造卫星绕地球作匀速圆周运动，则下列说法正确的 （ ）
A．卫星的轨道半径越大，它的运行速度越大
B．卫星的轨道半径越大，它的运行速度越小
C．卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越大
D．卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越小
10．如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造卫星。下列说法中正确的是 （ ）
A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
B．b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度
C．b、c运行周期相同，且小于a的运行周期
D．由于某种原因，a的轨道半径缓慢减小，a的线速度将变大
11．2002年12月30日凌晨，我国的“神舟”四号飞船在酒泉载人航天发射场发射升空，按预定计划在太空飞行了6天零18个小时，环绕地球108圈后，在内蒙古中部地区准确着陆，圆满完成了空间科学和技术试验任务，为最终实现载人飞行奠定了坚实基础.若地球的质量、半径和引力常量G均已知，根据以上数据可估算出“神舟”四号飞船的 （ ）
①离地高度 ②环绕速度 ③发射速度 ④所受的向心力
A．① ③ B．① ② C．② ③ D．③ ④
第ＩＩ卷 (非选择题 共52分)
三．填空题（每题4分，共12分）
12．已知地球自转周期为T，地球的同步卫星离地面高度为h ，地球的半径为R，则地球同步卫星绕地球运行的加速度为 。
13．火星的半径是地球半径的一半，其质量是地球质量的1/9，一宇航员的质量是72kg，则他在火星上所受的重力为 N。（地球表面的重力加速度取10m/s2）
14．某一星球的第一宇宙速度为v，质量为m的宇航员在这个星球表面受到的重力为G，由此可知这个星球的半径是_______。
四．计算题（共44分）
15．（10分）继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航天局和欧航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！
若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕周飞行时间为。求：土星的质量和平均密度
16．（12分）神舟五号载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道。已知地球半径为R，地面处的重力加速度为g。试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示）。
18．（12分）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。
19．(附加题)（10分）在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为r0的均匀球体。
高一物理单元测试卷(五)参考答案
一. 1.A 2.B 3.D 4.D 5.D 6.C 7.D
二． 8．AC 9.BD 10.BD 11.B
三. 12. 13. 320 N 14. r=mv2/G
四. 15. 解析：设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M. “卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供.，其中，
解得土星的质量：． 又，
得土星的平均密度
16. 解析：设地球质量为M，飞船质量为m，速度为v，圆轨道的半径为r，由万有引力和牛顿第二定律，有 地面附近
由已知条件 r＝R＋h解以上各式得
17. 解析 此为天体运动的双星问题，除两星间的作用外，其它天体对其不产生响.两星球周期相同，有共同的圆心，且间距不变，其空间分布如图所示.
设两星质量分别为Ml和M2，都绕连线上O点作周期为T 的圆周运动，两星到圆心的距离分别为L1和L2，由于万有引力提供向心力，故有
G ① G ②
由几何关系知： L＋L＝R ③
联立解得 M1＋M2＝
18. .解析：以g′表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m表示火星的卫星的质量，m′表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有
① ②
设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为v1，水平分量仍为v0，
有 ③ ④
由以上各式解得 ⑤第5章《万有引力定律应用》单元测试3
1.关于开普勒行星运动的公式=k，以下理解正确的是（ ）
A．k是一个与行星无关的量
B．若地球绕太阳运动轨道的半长轴为R地，周期为T地；月球绕地球运转轨道半长轴为R月，周期为T月，则
C．T表示行星运行的自转周期
D．T表示行星运行的公转周期
解析：k的大小与中心天体质量有关，而与行星的质量无关，所以行星绕太阳运动与月球绕地球运动的k值是不同的，故选项A正确，选项B错误．T表示的是行星运行的公转周期，故选项C错误，选项D正确．
答案：AD
2.某个行星的质量是地球质量的一半，半径也是地球半径的一半，那么一个物体在此行星上的重力是地球上重力的（ ）
A．1/4 B．1/2 C．4倍 D．2倍
解析：在地球或其他星球的表面，我们认为其重力等于万有引力，故同一物体在这个行星上的重力为mg′==2mg．
故其重力为地球上重力的2倍，故选项D正确．
答案：D
3.要使两物体间万有引力减小到原来的1/4，可行的方法是（ ）
A．把两物体的质量都减为原来的一半 B．把距离增加为原来的两倍
C．使引力常量G变为原来的1／4 D．使一个物体的质量减半，距离加倍
解析：由公式F=知，AB正确．
答案：AB
4.地球质量大约是月球质量的81倍，在登月飞船通过月、地之间的某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为（ ）
A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．3∶1
解析：根据引力公式F=，月球与地球对物体的引力的合力为零，设此时物地间距为r1，物月间距为r2，则，所以．
答案：A
5.对于质量分别为M和m的两物体间的万有引力表达式F=，下列说法中正确的是（ ）
A．公式中G是引力常量，它是由实验得出的，不是人为规定的
B．当两个物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．M和m所受引力大小总是相等的
D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
解析：引力常量G值最早是由英国物理学家卡文迪许运用构思巧妙的“精密”扭秤实验第一次测定出来的，所以选项A正确．万有引力表达式是计算质点间的万有引力，当两个物体距离接近时，不能看成质点，因此公式不再适用，故选项B错误．两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上，所以选项C正确， D错误．
答案：AC
6.冥王星离太阳的距离是地球离太阳距离的39.6倍，那么冥王星绕太阳的公转周期是多少 （冥王星和地球绕太阳公转的轨道可以看成是圆形轨道）
解析：设冥王星的公转周期为T1，轨道半径为R1，地球的公转周期为T2，轨道半径为R2，则根据开普勒第三定律有，代入数据解得T1=2.18×106 h.
答案：2.18×106 h
7.世界上第一颗人造地球卫星运行轨道的长轴比第二颗人造地球卫星运行轨道的长轴短8 000 km，第一颗人造卫星开始绕地球运转周期为96.2 min.求：
（1）第一颗人造卫星轨道的长轴；
（2）第二颗人造卫星绕地球运转的周期．（已知地球质量为M=5.98×1024 kg）
解析：若人造地球卫星沿椭圆轨道运行时长轴为a，由开普勒第三定律，在不同的轨道上运行的人造卫星都相等，故可以设想有一颗靠近地球表面做匀速圆周运动的卫星，设法求出它的值，再用它联系第一、第二颗人造地球卫星进行求解．
设想有一颗靠近地球表面做匀速圆周运动的人造卫星，质量为m，则
则k=
设第一颗人造卫星的周期为T1，第二颗人造卫星的周期为T2，则有k=
代入数据解得a=1.47×107 m，T2=104. 6 min.
答案：(1)1.47×107 m （2）104.6 min
8.飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，如图5-1-4所示，其周期为T.如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆和地球表面相切于B点.设地球半径为R0，问飞船从A点返回到地面上的B点需要多长时间？
图5-1-4
解析：涉及与椭圆轨道运动周期相关的问题，常用的是利用开普勒第三定律求解．飞船返回时间为椭圆运动周期的一半，而椭圆的半长轴为 (R+R0)，由开普勒第三定律可得，所以有t=．
答案：
9.在研究宇宙发展演变的理论中，有一种说法叫“宇宙膨胀说”，认为万有引力常量G在缓慢地减小.根据这种理论，试分析现在太阳系中地球的公转轨道、周期、速率与很久以前相比的变化情况.
解析：地球在公转半径为r的圆轨道上以速率v运行过程中，若万有引力常量G减小，而地球质量m、太阳质量M和地球公转半径r均未变，则太阳对地球的万有引力F=必将随之减小，并小于地球所需的向心力，于是地球将做离心运动，远离太阳，公转半径r也将逐渐变大．地球远离太阳的过程中，克服太阳引力做功，引起地球速率减小，地球公转周期T=增大．
答案：轨道半径增大，周期增大，速率减小．
10.某物体在地面上受到的重力为160 N，将它放置在卫星中，在卫星以加速度a=g/2随火箭竖直向上加速上升的过程中，用弹簧秤测得物体的重力为90 N时，求此卫星距离地球表面为多高？（地球半径R=6.4×103 km，在地球表面g取10 m/s2）
解析：设此时火箭上升到离地球表面的高度为h，火箭上的物体受到的拉力为FN，物体受到的重力为mg′，根据牛顿第二定律有FN-mg′=ma
在h高处根据万有引力等于重力有mg′=
在地球表面有mg=
由以上各式综合得FN-=ma
代入数据解得h==1.92×104 km.
答案：1.92×104 km
11.1970年4月24日我国发射了第一颗人造卫星，其近地点是h1=439 km高度，远地点是h2=2 384 km高度，则近地点与远地点卫星的运动速率之比v1∶v2=____________（已知地球半径R=6.4×103 km，用h1、h2、R表示，不计算）.
解析：根据开普勒第二定律：地球和卫星的连线在相等时间内扫过的面积相等.卫星近地点和远地点在Δt内扫过的面积分别为R12θ1和R22θ2，则R12θ1=R22θ2，即R12ω1Δt=R22ω2Δt.又v1=R1ω1,v2=R2ω2,故v1R1=v2R2,所以.
答案：
12.宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L．若抛出时的初速增大到原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G．求该星球的质量M．
解析：如图所示，设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，则有x2+h2=L2，由平抛运动规律得知，当初速度增大到2倍时，其水平射程也增大到2倍，可得(2x)2+h2=（）2，联立得，h=．设星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得：h=，再由万有引力和牛顿第二定律得，=mg，再联立解得M=.
答案：M=〈万有引力定律及其应用〉单元测试
1．以下说法正确的是（ ）
A．质量为m的物体在地球上任何地方其重力均相等
B．把质量为m的物体从地面移到高空上，其重力变小了
C．同一物体在赤道处的重力比在两极处重力大
D．同一物体在任何地方其重量是相同的
2．一个半径比地球大2倍，质量是地球的36倍的行星，它表面的重力加速度是地球表面的加速度的（ ）
A．6倍 B．18倍 C．4倍 D．13.5倍
3．设两人造地球卫星的质量比为1：2，到地球球心的距离比为1：3，则它们的（ ）
A．周期比为3：1 B．线速度比为1：3
C．向心加速度比为1：9 D．向心力之比为1：18
4．地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为g/2，则该处距地面球表面的高度为：（ ）
A．（—1）R B．R C． R D．2R
5．一颗质量为m的卫星绕质量为M的行星做匀速圆周运动，则卫星的周期（ ）
A. 与卫星的质量无关 B. 与卫星轨道半径的3/2次方有关
C. 与卫星的运动速度成正比 D. 与行星质量M的平方根成正比
6．某人造卫星绕地球做匀速圆周运动，设地球半径为R，地面重力加速度为g，下列说法错误的是（ ）
A.人造卫星的最小周期为2π
B.卫星在距地面高度R处的绕行速度为
C.卫星在距地面高度为R处的重力加速度为g/4
D.地球同步卫星的速率比近地卫星速率小，所以发射同步卫星所需的能量较少
7．用m表示地球同步通信卫星的质量、h表示卫星离地面的高度、M表示地球的质量、R0表示地球的半径、g0表示地球表面处的重力加速度、T0表示地球自转的周期、ω0表示地球自转的角速度，则地球同步通信卫星的环绕速度v为（ ）
A.ω0（R0+h） B. C. D.
8．已知地球质量为M，月球的质量为m，月球绕地球的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则月球绕地球运转轨道处的重力加速度大小等于（ ）
A. B. C. D.
9．太阳从东边升起，西边落下，是地球上的自然现象.但在某些条件下，在纬度较高地区上空飞行的飞机上，旅客可以看到太阳从西边升起的奇妙现象，这些条件是（ ）
A．时间必须是在清晨，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大
B．时间必须是在清晨，飞机正在由西向东飞行，飞机的速度必须较大
C．时间必须是在傍晚，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大
D．时间必须是在傍晚，飞机正在由西向东飞行，飞机的速度不能太大
10. 2005年10月12日9时整，我国自行研制的“神舟六号”载人飞船顺利升空，飞行115小时32分绕地球73圈于17日4时33分在内蒙古主着陆场成功着陆，返回舱完好无损，宇航员费俊龙、聂海胜自主出舱，“神舟六号”载人航天飞行圆满成功。飞船升空后，首先沿椭圆轨道运行，其近地点约为200公里，远地点约为347公里。 在绕地球飞行四圈后，地面发出指令，使飞船上的发动机在飞船到达远地点时自动点火，实施变轨，提高了飞船的速度。使得飞船在距地面340公里的圆轨道上飞行。
(1)飞船在竖直向上发射升空阶段、进入轨道绕地球做匀速圆周运动阶段和返回地球竖直向下加速下降阶段，两名航天员分别处于什么状态？
A.超重、完全失重、失重 B．超重、完全失重、超重
C.超重、失重、完全失重 D．失重、完全失重、超重
(2)求在圆轨道上飞船的飞行速度v和运行周期T（已知g0、R0）。
11
．在太空中有一个宇宙飞船，设它能经得住200m/s2的加速度所产生的压力，若此飞船的速度大小为光速的0.00001倍，试求宇宙飞船以最小半径做圆周运动的周期为多少？
12．飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点A处将速率减低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，如图1-1所示，试求飞船由A点到B点所需的时间。（已知地球半径为R0）
13．1986年2月20日发射升空的“和平号”空间站，在服役15年后于2001年3月23日坠落在南太平洋.“和平号”风风雨雨15年铸就了辉煌业绩，已成为航天史上的永恒篇章.“和平号”空间站总质量137 t，工作容积超过400 m3，是迄今为止人类探索太空规模最大的航天器，有“人造天宫”之称.在太空运行的这一“庞然大物”按照地面指令准确坠落在预定海域，这在人类历史上还是第一次.“和平号”空间站正常运行时，距离地面的平均高度大约为350 km.为保证空间站最终安全坠毁，俄罗斯航天局地面控制中心对空间站的运行做了精心安排和控制.在坠毁前空间站已经顺利进入指定的低空轨道，此时“和平号”距离地面的高度大约为240 km.设“和平号”沿指定的低空轨道运行时，其轨道高度平均每昼夜降低2.7 km.设“和平号”空间站正常运转时沿高度为350 km圆形轨道运行，在坠落前沿高度为240km的指定圆形低空轨道运行，而且沿指定的低空轨道运行时，每运行一周空间站高度变化很小，因此计算时对空间站的每一周的运动都可以作为匀速圆周运动处理.
（1）简要说明，为什么空间站在沿圆轨道正常运行过程中，其运动速率是不变的.
（2）空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值多大？计算结果保留2位有效数字.
（3）空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化多大？计算中取地球半径R=6.4×103 km，计算结果保留1位有效数字.
14．经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离.一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理.
现根据对某一双星系统的光度学测量确定：该双星系统中每个星体的质量都是m，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动.
（1）试计算该双星系统的运动周期T计算；
（2）若实验上观测到的运动周期为T观测，且T观测：T计算=1：（N＞1）.为了解释 T观测与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质.作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质.若不考虑其他暗物质的影响，请根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度.
15．侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运动，它的运动轨道距地面高度为h,要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少 设地球的半径为R，地面处的重力加速度为g,地球自传的周期为T.
单元测试答案
1．B 2．C 3．D 4．A 5．A 6．D 7．ABD 8．B 9．C 10．A 11．能经得住200m/s2的加速度所产生的压力即宇宙飞船的向心加速度能达到200m/s2，则根据，，得到 12．。 13（1）空间站沿圆轨道运行过程中，仅受万有引力作用，所受到的万有引力与空间站运行方向垂直，引力对空间站不做功，因此空间站沿圆轨道运行过程中，其运动速率是不变的.（2） 0.9842=0.97 （3）0.2 km 14．（1）T计算==πL （2）.
15．
R
R0
·
·
A
B
1-1第5章《万有引力定律及其应用》单元测试
1当地球卫星绕地球做匀速圆周运动时，其实际绕行速率（ ）
A.一定等于7.9 km/s
B.一定小于7.9 km/s
C.一定大于7.9 km/s
D.介于7.9—11.2 km/s之间
解析：7.9 km/s是人造地球卫星的最小发射速度，同时也是地球卫星绕行速度的最大值，即绕行速率一定小于7.9 km/s.
答案：B
2设地面附近重力加速度为g0，地球半径为R0，人造地球卫星圆形轨道半径为R，那么以下说法中正确的是（ ）
A.卫星在轨道上向心加速度大小g0R02/R2
B.卫星运行的速度大小为
C.卫星运行的角速度大小为
D.卫星运行的周期为
解析：G=ma向，a向=G，又g0=GM/R02，故a向=g0R02/R2，A对.
又a向=，v=，B对.
ω=，C错.
T=，D对.
答案：ABD
3如图5-2-4所示，A、B、C是在地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，下列说法中正确的是（ ）
图5-2-4
A.B、C的线速度大小相等，且大于A的线速度
B.B、C的周期相等，且大于A的周期
C.B、C的向心加速度大小相等，且大于A的向心加速度
D.C加速（速率增大）可追上同一轨道上的B
解析：A、B、C都做环绕运动，由v=可知，B、C的轨道半径大，B、C的线速度小，故选项A错.由T=知，B、C的周期相等，且比A的周期大，故选项B正确.由a=知，B、C加速度相等，但比A的加速度小，故选项C错.当C的速率增大时，C所需的向心力增大，而C在原轨道上的万有引力大小不变，因此，不能为C提供足够的向心力，故C将向外侧脱离原来轨道，不能追上B，故选项D错.
答案：B
4假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则（ ）
A.根据公式v=ωr，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍
B.根据公式F=m，可知卫星所需的向心力将减小到原来的
C.根据公式F=G，可知地球提供的向心力将减小到原来的
D.根据上述选项B和C中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的
解析：卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，故F向=F引=G，当r增大到原来的2倍时，向心力、万有引力减小到原来的，故选项C正确，选项B错.由v=知，v将减到原来的，选项D正确，选项A错.
答案：CD
5（2006北京理综）一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体.要确定该行星的密度，只需要测量（ ）
A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度
C.飞船的运行周期 D.行星的质量
解析：飞船贴着行星表面飞行，则GR，M=，行星的密度为
ρ=，知道飞船的运行f周期就可以确定该行星的密度.所以C选项正确.
答案：C
6登月火箭关闭发动机后在离月球表面112 km的空中沿圆形轨道运行，周期为120.5 min，月球的半径是1 740 km，根据这些数据计算月球的质量和平均密度.（G=6.67×10-11 N·m2/kg2）
解析：万有引力提供火箭绕月球做匀速圆周运动的向心力，由此可以求解月球质量，结合球体表达式即可求取月球密度.
设月球半径为R，月球质量为M，月球密度为ρ，登月火箭离月球球面高度为h，运行周期为T，火箭质量为m，则G=m（R+h）（）2，所以M==7.18×1022 kg.根据公式V=πR3和ρ=可得：ρ==2.7×103 kg/m3.
7．宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面（设月球半径为R）.据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为（ ）
A. B.
C. D.
解析：物体做自由落体运动，设地球表面重力加速度为g，h=gt2，g=，飞船做匀速圆周运动，则mg=m，v=，所以B选项正确.
答案：B
8试求赤道上空的同步卫星的轨道半径、离地面的高度、线速度各是多少 已知地球质量M=6×1024 kg，地球赤道半径R=6.4×106 m，地球自转周期T=24 h，万有引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2.
解析：所有同步卫星高度都一样，线速度大小也一样，因为只有在这个高度，卫星和地球之间的引力才恰好提供了卫星做圆周运动所需的向心力.低于这个高度，卫星因速度加快，周期变短，不再与地球同步;高于这个高度，卫星将速度变慢，周期变长，也不再与地球同步.另外，由于卫星轨道平面必须通过地球球心，所以同步卫星只能在赤道平面上.综上所述，所有同步卫星只能在赤道平面上的同一高度，以相同的线速度与地球同步运转.
设同步卫星的轨道半径为r，离地面的高度为h，线速度为v，根据万有引力提供同步卫星所需的向心力可得
G=mr
所以r=，代入G、M、T的值，可得r=4.23×107 m
同步卫星离地面的高度为
h=r-R=（4.23×107-6.4×106） m=3.59×107 m
（通常说赤道上空的同步卫星离地面约36 000 km的根据就在这里，这个数值应作为常识记住）
线速度v= =3.07×103 m/s，可记住线速度约为3 000 m/s
本题也可用重力提供向心力来解答，即
mg′=mr
式中g′为同步卫星所在处的重力加速度，而它跟地面附近的重力加速度有以下关系：
g′=（）2g
消去g′后可得（）2g=r
即r=
跟上面的计算结果r=相比较，实质上是利用g=进行了代换.
由此也可解得r=4.23×107 m.
9．经天文学家观察，太阳在绕着银河系中心圆形轨道上运行，这个轨道半径约为3×104光年（约等于2.8×1020 m），转动一周的周期约2亿年（约等于6.3×1015 s）.太阳做圆周运动的向心力是来自位于它轨道内侧的大量星体的引力，可以把这些星体的全部质量看作集中在银河系中心来处理问题.（G=6.67×10-11 N·m2/kg2）
（1）从给出的数据来计算太阳轨道内侧这些星体的总质量;
（2）试求出太阳在圆周运动轨道上的加速度.
解析：充分理解题意，抽象出合理的物理模型，即星体相当于一个大球体，太阳类似地球绕大球体运动，利用万有引力给太阳提供向心力，结合牛顿第二定律求解.
（1）设太阳轨道内侧星体的总质量为M，太阳质量为m，轨道半径为R，周期为T，太阳做圆周运动的向心力来自星体的万有引力.由牛顿第二定律得：
G·R
所以M= kg=3.3×1041 kg.
（2）太阳在圆周运动轨道上的加速度就是太阳的向心加速度，
所以据a=Rω2有：a= m/s2=2.8×10-10 m/s2.
10如果到某一天，因某种原因地球自转加快，则地球上物体的重力将发生怎样的变化？当角速度等于多少时，赤道上的物体重力为零？（R=6.4×106 m，M=6.0×1024 kg，G=6.67×10-11 N·m2/kg2）
解析：重力是万有引力的分力.地球上物体随地球自转做圆周运动的向心力由引力的分力提供，引力的另一分力为重力，根据平行四边形定则和向心力公式即可判断.赤道上物体是一种特殊情况，结合其特点和题中条件，可知重力为零时，引力充当向心力，据此即可求出第二问.
如下图所示为物体在某一纬度为α的示意图，O为地心，O′为物体随地球自转的轨道圆心，f为向心力，F为地球引力（本图是示意图，实际上f很小，为表示问题，示意图将f夸大），f=mω2r=mω2Rcosα.在某一纬度上的物体m，当ω增大时，f增大，而引力F一定，据平行四边形定则可知重力G减小，即地球自转加快，重力减小.
特殊情况之一：在两极的物体，因为α=90°，所以f=0，G=F，重力不受自转的影响.
特殊情况之二：在赤道上的物体，α=0°，f=mω2R，且f、G、F均指向O，在同一直线上，有
G=F-f=G-mω2R
令G=0，则ω= rad/s≈1.2×10-3 rad/s
所以当地球自转角速度为1.2×10-3 rad/s时，赤道上的物体重力为零（完全失重）.
112000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内.若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α=40°，已知地球半径R，地球自转周期T，地球表面重力加速度g（视为常量）和光速c.试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间.
解析：微波信号传播速度等于光速，求时间须先求出卫星与嘉峪关的距离.综合运用同步卫星的动力学关系和g=G，解出卫星距地心距离，再结合地球知识，作出相应的几何图形，运用数学知识求出卫星到嘉峪关的距离.
设m为卫星的质量，M为地球的质量，r为卫星到地球中心的距离，同步卫星的周期即地球自转周期T，有G
又据G=m′g
所以r=
在东经98°的经线所在平面内，如下图所示，嘉峪关处位于P点，卫星到它的距离设为L，据余弦定理得
L=
所以t=.第5章《万有引力定律及其应用》单元测试
一、选择题(10×4分)
1．在越野赛车时，一辆赛车在水平公路上减速转弯，从俯视图可以看到，赛车沿圆周由P向Q行驶．下列图中画出了赛车转弯时所受合力的四种方式，其中正确的是( )
【解析】将F向切向和径向分解，切向分力使其减速，径向的分力产生向心加速度，故D正确．
[答案] D
2．备受关注的京沪高速铁路预计在2010年投入运营．按照设计，乘高速列车从北京到上海只需4个多小时，由于高速列车的速度快，对轨道、轨基的抗震动和抗冲击力的要求都很高．如图所示，列车转弯可以看成是做匀速圆周运动，若某弯道的半径为R，列车设计时速为v，则该弯道处铁轨内外轨的设计倾角θ应为( )
A．arctan B．arcsin C．arccot D．arccos
【解析】设计的倾角θ应使列车过弯道时重力与支持力的合力提供向心力：mgtan θ＝m，解得：θ＝arctan ．
[答案] A
3.2005年12月11日，有着“送子女神”之称的小行星“婚神”(Juno)冲日，在此后十多天的时间里，国内外天文爱好者凭借双筒望远镜可观测到它的“倩影”．在太阳系中除了八大行星以外，还有成千上万颗肉眼看不见的小天体，沿着椭圆轨道不停地围绕太阳公转．这些小天体就是太阳系中的小行星．冲日是观测小行星难得的机遇．此时，小行星、太阳、地球几乎成一条直线，且和地球位于太阳的同一侧．“婚神”星冲日的虚拟图如图所示，则( )
A．2005年12月11日，“婚神”星的线速度大于地球的线速度
B．2005年12月11日，“婚神”星的加速度小于地球的加速度
C．2006年12月11日，必将发生下一次“婚神”星冲日
D．下一次“婚神”星冲日必将在2006年12月11日之后的某天发生
【解析】由G＝m得v2∝，“婚神”的线速度小于地球的线速度，由a＝＝G知，“婚神”的加速度小于地球的加速度，地球的公转周期为一年，“婚神”的公转周期大于一年，C错误，D正确．
[答案] BD源：21世纪教育网]
4.2007年11月5日，嫦娥一号探月卫星沿地月转移轨道到达月球附近，在距月球表面200 km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球俘获，进入椭圆轨道 Ⅰ 绕月飞行，如图所示．之后，卫星在P点经过几次“刹车制动”，最终在距月球表面200 km、周期127 min的圆形轨道 Ⅲ 上绕月球做匀速圆周运动．若已知月球的半径R月和引力常量G，忽略地球对嫦娥一号的引力作用，则由上述条件( )
A．可估算月球的质量
B．可估算月球表面附近的重力加速度
C．可知卫星沿轨道Ⅰ经过P点的速度小于沿轨道Ⅲ经过P点的速度
D．可知卫星沿轨道Ⅰ经过P点的加速度大于沿轨道Ⅱ经过P点的加速度
【解析】由G＝m(R月＋h)可得：月球的质量M＝，选项A正确．
月球表面附近的重力加速度为：g月＝G＝，选项B正确．
卫星沿轨道Ⅰ经过P点时有：m>G
沿轨道Ⅲ经过P点时：m＝G 可见vPⅢ加速度aP＝＝G，与轨迹无关，选项D错误．
[答案] AB
5．假设太阳系中天体的密度不变，天体的直径和天体之间的距离都缩小到原来的 ，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是( )
A．地球绕太阳公转的向心力变为缩小前的
B．地球绕太阳公转的向心力变为缩小前的
C．地球绕太阳公转的周期与缩小前的相同
D．地球绕太阳公转的周期变为缩小前的
【解析】天体的质量M＝ρπR3，各天体质量变为M′＝M，变化后的向心力F′＝G＝F，B正确．又由G＝mr，得T′＝T．
[答案] BC
6．假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4200 km的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6400 km，地球同步卫星距地面高为36000 km，宇宙飞船和一地球同步卫星绕地球同向运动，每当两者相距最近时．宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻两者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为( )
A．4次 B．6次 C．7次 D．8次
【解析】设宇宙飞船的周期为T有： ＝()3解得：T＝3 h
设两者由相隔最远至第一次相隔最近的时间为t1，有：(－)·t1＝π
解得t1＝ h
再设两者相邻两次相距最近的时间间隔为t2，有：(－)·t2＝2π
解得：t2＝ h
由n＝＝6.5(次)知，接收站接收信号的次数为7次．
[答案] C
7．图示为全球定位系统(GPS)．有24颗卫星分布在绕地球的6个轨道上运行，它们距地面的高度都为2万千米．已知地球同步卫星离地面的高度为3.6万千米，地球半径约为6400 km，则全球定位系统的这些卫星的运行速度约为( )
A．3.1 km/s B．3.9 km/s
C．7.9 km/s D．11.2 km/s
【解析】同步卫星的速度v1＝r＝3.08 km/s．又由v2∝，得定位系统的卫星的运行速度v2＝3.9 km/s．
[答案] B
8．均匀分布在地球赤道平面上空的三颗同步通信卫星够实现除地球南北极等少数地区外的全球通信．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球的自转周期为T．下列关于三颗同步卫星中，任意两颗卫星间距离s的表达式中，正确的是( )
A．R B．2R C． D．
【解析】设同步卫星的轨道半径为r，则由万有引力提供向心力可得：G＝mr
解得：r＝
由题意知，三颗同步卫星对称地分布在半径为r的圆周上，故s＝2rcos 30°＝，选项D正确．
[答案] D
9．发射通信卫星的常用方法是，先用火箭将卫星送入一近地椭圆轨道运行；然后再适时开动星载火箭，将其送上与地球自转同步运行的轨道．则( )
A．变轨后瞬间与变轨前瞬间相比，卫星的机械能增大，动能增大
B．变轨后瞬间与变轨前瞬间相比，卫星的机械能增大，动能减小
C．变轨后卫星运行速度一定比变轨前卫星在椭圆轨道上运行时的最大速度要大
D．变轨后卫星运行速度一定比变轨前卫星在椭圆轨道上运行时的最大速度要小
【解析】火箭是在椭圆轨道的远地点加速进入同步运行轨道的，故动能增大，机械能增大，A正确．
设卫星在同步轨道上的速度为v1，在椭圆轨道的近地点的速度为v2，再设椭圆轨道近地点所在的圆形轨道的卫星的速度为v3．
由G＝m，知v3>v1；又由向心力与万有引力的关系知v2>v3．故v1[答案] AD
10．如图所示，在水平方向的匀强电场中，一绝缘细线的一端固定在O点，另一端系一带正电的小球，小球在重力、电场力、绳子的拉力的作用下在竖直平面内做圆周运动，小球所受的电场力的大小与重力相等．比较a、b、c、d这四点，小球( )
A．在最高点a处的动能最小
B．在最低点c处的机械能最小
C．在水平直径右端b处的机械能最大
D．在水平直径左端d处的机械能最大
【解析】①由题意知，小球受的重力与电场力的合力沿∠bOc的角平分线方向，故小球在a、d两点的动能相等；②小球在运动过程中，电势能与机械能相互转化，总能量守恒，故在d点处机械能最小，b点处机械能最大．
[答案] C
二、非选择题(共60分)
11．(7分)图甲是“研究平抛物体的运动”的实验装置图．
(1)图乙是正确实验取得的数据，其中O为抛出点，则此小球做平抛运动的初速度为______________m/s．
(2)在另一次实验中将白纸换成方格纸，每小格的边长L＝5 cm，通过实验，记录了小球在运动途中的三个位置，如图丙所示，则该小球做平抛运动的初速度为________m/s；B点的竖直分速度为________m/s．
【解析】(1)方法一 取点(19.6,32.0)分析可得：0.196＝×9.8×t12
0.32＝v0t1 解得：v0＝1.6 m/s．
方法二 取点(44.1,48.0)分析可得：0.441＝×9.8×t22
0.48＝v0t2 解得：v0＝1.6 m/s．
(2)由图可知，物体由A→B和由B→C所用的时间相等，且有：Δy＝gT2
x＝v0T解得：v0＝1.5 m/s，vBy＝＝2 m/s．
[答案] (1)1.6 (2分) (2)1.5 (3分) 2 (2分)
12．(8分)图甲为测量电动机转动角速度的实验装置，半径不大的圆形卡纸固定在电动机转轴上，在电动机的带动下匀速转动．在圆形卡纸的旁边安装一个改装了的电火花计时器．
下面是该实验的实验步骤：
①使电火花计时器与圆形卡纸保持良好接触；
②启动电动机，使圆形卡纸转动起来；
③接通电火花计时器的电源，使它工作起来；
④关闭电动机，拆除电火花计时器，研究卡纸上留下的一段痕迹(如图乙所示)，写出角速度ω的表达式，代入数据得出ω的测量值．
(1)要得到角速度ω的测量值，还缺少一种必要的测量工具，它是________．
A．秒表 B．游标卡尺 C．圆规 D．量角器
(2)写出ω的表达式，并指出表达式中各个物理量的含义：_____________________________________________________________________________．
(3)为了避免在卡纸连续转动的过程中出现打点重叠，在电火花计时器与盘面保持良好接触的同时，可以缓慢地将电火花计时器沿圆形卡纸半径方向向卡纸中心移动．这样，卡纸上打下的点的分布曲线不是一个圆，而是类似一种螺旋线，如图7－4丙所示．这对测量结果有影响吗？____________(填“有影响”或“没有影响”)理由是：____________________________________________________________________________________________________________________________________．
【解析】(1)角速度ω＝，需量角器测量转过的夹角，故选项D正确．
(2)ω＝，θ是n个点的分布曲线所对应的圆心角，t是电火花计时器的打点时间间隔
(3)没有影响，因为电火花计时器向卡纸中心移动时不影响角度的测量．
[答案] (1)D (2分)
(2)ω＝，θ是n个点的分布曲线所对应的圆心角，t是电火花计时器的打点时间间隔 (3分)
(3)没有影响 (1分) 电火花计时器向卡纸中心移动时不影响角度的测量 (2分)
13．(10分)火星和地球绕太阳的运动可以近似看做是同一平面内同方向的匀速圆周运动．已知火星公转轨道半径大约是地球公转轨道半径的．从火星、地球于某一次处于距离最近的位置开始计时，试估算它们再次处于距离最近的位置至少需多少地球年．[计算结果保留两位有效数字，＝1.85]
【解析】由G＝mr可知，行星环绕太阳运行的周期与行星到太阳的距离的二分之三次方成正比，即T∝r
所以地球与火星绕太阳运行的周期之比为：
＝()＝()＝1.85 (3分)
设从上一次火星、地球处于距离最近的位置到再一次处于距离最近的位置，火星公转的圆心角为θ，则地球公转的圆心角必为2π＋θ，它们公转的圆心角与它们运行的周期之间应有此关系：θ＝，θ＋2π＝ (3分)
得：2π＋＝ (2分) 最后得：t＝＝T地≈2.2年 (2分)
[答案] 2.2
14．(11分)若宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示． 为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度． 已知：该过程宇航员乘坐的返回舱至少需要获得的总能量为E(可看做是返回舱的初动能)，返回舱与人的总质量为m，火星表面重力加速度为g，火星半径为R，轨道舱到火星中心的距离为r，不计火星表面大气对返回舱的阻力和火星自转的影响． 问：
(1)返回舱与轨道舱对接时，返回舱与人共具有的动能为多少？
(2)返回舱在返回轨道舱的过程中，返回舱与人共需要克服火星引力做多少功？
【解析】(1)在火星表面有：＝g (2分)
设轨道舱的质量为m0，速度大小为v，则有 ：
G＝m0 (2分)
返回舱和人应具有的动能Ek＝mv2 (1分)
联立解得Ek＝． (1分)
(2)对返回舱在返回过程中，由动能定理知：
W＝Ek－E (2分)
联立解得：火星引力对返回舱做的功W＝－E (2分)
故克服引力做的功为：－W＝E－． (1分)
[答案] (1) (2)E－
15．(11分)中国首个月球探测计划嫦娥工程预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备．设想机器人随嫦娥号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：
A．计时表一只；
B．弹簧秤一把；
C．已知质量为m的物体一个；
D．天平一台(附砝码一盒)．
在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动，机器人测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N圈所用的时间为t．飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量，利用上述两次测量的物理量可出推导出月球的半径和质量．(已知引力常量为G)，要求：
(1)说明机器人是如何进行第二次测量的．
(2)试推导用上述测量的物理量表示的月球半径和质量的表达式．
【解析】(1)机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的示数F，即为物体在月球上所受重力的大小． (3分)
(2)在月球上忽略月球的自转可知：
mg月＝F (1分)
G＝mg月 (1分)
飞船在绕月球运行时，因为是靠近月球表面，故近似认为其轨道半径为月球的半径R，由万有引力提供物体做圆周运动的向心力可知：
G＝mR，又T＝ (2分)
联立可得：月球的半径R＝＝ (2分)
月球的质量M＝． (2分)
[答案] (1)机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的示数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
(2)R＝ M＝
16．(13分)如图所示，一半径为R的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上．整个空间存在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场．一电荷量为q(q＞0)、质量为m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O′．球心O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ(0＜θ＜)．为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度B的最小值及小球P相应的速率．(已知重力加速度为g)
【解析】据题意可知，小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O′．P受到向下的重力mg、球面对它沿OP方向的支持力FN和磁场的洛伦兹力f洛，则：
f洛＝qvB (1分)
式中v为小球运动的速率，洛伦兹力f洛的方向指向O′
根据牛顿第二定律有：
FNcos θ－mg＝0 (2分)
f洛－FNsin θ＝m (2分)
可得：v2－v＋＝0 (2分)
由于v是实数，必须满足：
Δ＝()2－≥0 (2分)
由此得：B≥ (1分)
可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度B的最小值为：
Bmin＝
此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为：
v＝ (2分)
解得：v＝sin θ． (1分)
答案 sin θ第五章《万有引力定律及其应用》单元测试
一、选择题(本题共9小题，每小题5分，共45分)
1．在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是 ( )
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
解析：设太阳质量为M，月球质量为m，海水质量为m′，太阳与地球之间距离为r1，月球与地球之间距离为r2，由题意＝2.7×107，＝400，由万有引力公式，太阳对海水的引力F1＝，月球对海水的引力F2＝，则＝＝＝，故A正确，B错误；月球到地球上不同区域的海水距离不同，所以引力大小有差异，C错误，D正确．答案：AD
2．质量m＝4 kg的质点静止在光滑水平面上的直角坐标系的原点O处，先用沿x轴正方向的力F1＝8 N作用了2 s，然后撤去F1；再用沿y轴正方向的力F2＝24 N作用了1 s．则质点在这3 s内的轨迹为图1中的 ( ) 图1
解析：质点在前2 s内做匀加速直线运动，2 s末的速度为v＝4 m/s；2 s～3 s做类平抛运动，加速度大小为6 m/s2，这1 s内沿x轴方向的位移是4 m，沿y轴方向的位移是3 m，故D正确．答案：D
3．如图2所示，小球P在A点从静止开始沿光滑的斜面AB运动到B点所用的时间为t1，在A点以一定的初速度水平向右抛出，恰好落在B点所用时间为t2，在A点以较大的初速度水平向右抛出，落在水平面BC上所用时间为t3，则t1、t2和t3的大小关系正确的是 ( ) 图2
A．t1＞t2＝t3 B．t1＜t2＝t3 C．t1＞t2＞t3 D．t1＜t2＜t3
解析：设斜面倾角为θ，A点到BC面的高度为h，则＝gsinθ·t12；以一定的初速度平抛落到B点时，h＝gt22；以较大的初速度平抛落到BC面上时，h＝gt32，可得出：t1＝ ＞ ＝t2＝t3，故A正确．答案：A
4．如图3所示，倾斜轨道AC与有缺口的圆轨道BCD
相切于C，圆轨道半径为R，两轨道在同一竖直平面内，D是圆轨
道的最高点，缺口DB所对的圆心角为90°，把一个小球从斜轨道
上某处由静止释放，它下滑到C点后便进入圆轨道，要想使它上升
到D点后再落到B点，不计摩擦，则下列说法正确的是 ( ) 图3
A．释放点须与D点等高 B．释放点须比D点高R/4
C．释放点须比D点高R/2 D．使小球经D点后再落到B点是不可能的
解析：设小球刚好过D点的速度为vD，由mg＝m得vD＝，当落到与B点等高的水平面上时，平抛的水平位移x＝v0t，又t＝，所以x＝vD＝R＞R，故经过D点后小球不可能落到B点，只有D正确．答案：D
5．如图4所示，物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力有 ( )
A．圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心
B．圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心 图4
C．圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力
D．圆盘对B的摩擦力和向心力
解析：A随B做匀速圆周运动，它所需的向心力由B对A的静摩擦力来提供，因此B对A的摩擦力指向圆心；A对B的摩擦力背离圆心，只有圆盘对B的摩擦力指向圆心，才能使B受到指向圆心的合力，所以正确选项为B.答案：B
6．一位同学为了测算卫星在月球表面附近做匀速圆周运动的环绕速度，提出了如下实验方案：在月球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，测出物体上升的最大高度h，已知月球的半径为R，便可测算出绕月卫星的环绕速度．按这位同学的方案，绕月卫星的环绕速度为 ( )
A．v0 B．v0 C．v0 D．v0
解析：由h＝和mg月＝G、＝m
可得：v＝v0，故D正确．答案：D
7．2008年9月27日“神舟”七号宇航员翟
志刚顺利完成出舱活动任务，他的第一次太空行走标志着
中国航天事业全新时代的到来．“神舟”七号绕地球做近
似匀速圆周运动，其轨道半径为r，若另有一颗卫星绕地球
做匀速圆周运动的半径为2r，则可以确定( ) 图5
A．卫星与“神舟”七号的向心加速度大小之比为1∶4
B．卫星与“神舟”七号的线速度大小之比为1∶
C．翟志刚出舱后不再受地球引力
D．翟志刚出舱任务之一是取回外挂的实验样品，假如不小心实验样品脱手，则实验样品做自由落体运动
解析：向心加速度计算公式为a＝＝，所以卫星和“神舟”七号的向心加速度之比为1∶4，A选项正确；线速度计算公式为v＝ ，所以卫星和 “神舟”七号的线速度之比为1∶，B选项正确；翟志刚出舱后依然受到地球的引力，引力提供其做匀速圆周运动所需的向心力，C选项错误；实验样品脱手后依然做匀速圆周运动，相对飞船静止，D选项错误．答案：AB
8．据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道．关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是 ( )
A．运行速度大于7.9 km/s
B．离地面高度一定，相对地面静止
C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大
D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
解析：由万有引力提供向心力得：＝，v＝，即线速度v随轨道半径 r的增大而减小，v＝7.9 km/s为第一宇宙速度，即围绕地球表面运行的速度；因同步卫星轨道半径比地球半径大很多，因此其线速度应小于7.9 km/s，故A错；因同步卫星与地球自转同步，即T、ω相同，因此其相对地面静止，由公式＝m(R＋h)ω2得：h＝－R，因G、 M、ω、R均为定值，因此h一定为定值，故B对；因同步卫星周期T同＝24小时，月球绕地球转动周期T月＝27天，即T同＜T月，由公式ω＝得ω同＞ω月，故C对；同步卫星与静止在赤道上的物体具有共同的角速度，由公式a向＝rω2，可得：＝，因轨道半径不同，故其向心加速度不同，D错误．
答案：BC
9．(2010·湖南省长沙市调研)一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图6甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点的竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力F大小随时间t的变化规律如图乙所示．F1＝7F2，设R、m、引力常量G以及F1为已知量，忽略各种阻力．以下说法正确的是 ( )
图6
A．该星球表面的重力加速度为
B．卫星绕该星球的第一宇宙速度为
C．星球的质量为
D．小球在最高点的最小速度为零
解析：小球在最低点有F1－mg＝m；小球在最高点有F2＋mg＝m；小球从最低点到最高点的过程中遵循机械能守恒定律mv12＝mg2R＋mv22，又F1＝7F2，联立解得该星球表面的重力加速度为g＝，选项A正确；由G＝m得卫星绕该星球的第一宇宙速度为，选项B错误；由G＝mg和g＝解得星球的质量为，选项C正确．答案：AC
二、实验题(本题共2小题，共12分)
10．(4分)某同学利用如图7所示的两种装置探究平抛运动，方案如下：图7
装置1：用小锤打击金属片，A球水平抛出，同时B球自由下落．仔细观察A、B两球是否同时落到水平地面上．若同时落地，则说明水平分运动是匀速运动，竖直分运动是自由落体运动．
装置2：竖直管A上端要高于水面，这样可在较长时间内得到稳定的细水柱．水平管B喷出水流，在紧靠水流、平行于水流的玻璃板上用彩笔描出水流的轨迹，这就是平抛运动的轨迹．找出以上叙述中不当之处并写到下面：
(1)_______________________________________________________________；
(2)___________________________________________________________________．
解析：(1)若同时落地，不能说明水平分运动是匀速运动，只能说明竖直方向为自由落体运动．
(2)竖直管A上端要高于水面(应低于)．
答案：见解析
11.(8分)(2010·陕西省西安铁一中月考)某同学在做平抛运动实
得出如图8所示的小球运动轨迹， a、b、c三点的位置在运
动轨迹上已标出．则：(g取10 m/s2)
(1)小球平抛的初速度为________ m/s.
(2)小球开始做平抛运动的位置坐标为________ cm. 图8
y＝________ cm.
(3)小球运动到b点的速度为________ m/s.
解析：(1)小球由a到b，b到c，水平方向做匀速运动，时间间隔相同，竖直方向上做匀加速运动，则由Δy＝gΔt2得出Δt＝0.1 s．再根据水平方向的位移x＝v0Δt，解得v0＝ m/s＝2 m/s.
(2)小球在b点的竖直速度为v＝＝1.5 m/s.由v＝gt1得t1＝0.15 s，则从抛物点到a点的时间为t2＝0.15 s－0.1 s＝0.05 s，水平初速度为2 m/s，从抛物点到a点的水平距离x＝v0t2＝2 m/s×0.05 s＝0.1 m＝10 cm，竖直距离y＝gt22＝0.012 5 m＝1.25 cm，所以抛物点坐标为(－10，－1.25)．
(3)小球运动到b点的速度为水平方向做匀速运动的速度2 m/s和竖直方向运动的速度1.5 m/s的矢量和，应为2.5 m/s.
答案：(1)2 (2)－10 －1.25 (3)2.5
三、计算题(本题共3小题，共43分)
12．(13分)如图9所示，有一倾角为30°的光滑斜面，斜面长L为10 m，
一小球从斜面顶端以10 m/s的速度在斜面上沿水平方向抛出．求：
(g取10 m/s2)
(1)小球沿斜面滑到底端时的水平位移x； 图9
(2)小球到达斜面底端时的速度大小．
解析：(1)沿初速度方向：x＝v0t ①
沿斜面向下：a＝gsinα ②L＝at2 ③
联立①②③代入数据得：x＝20 m.
(2)沿斜面向下：v⊥＝at ④则：v＝ ⑤
联立②③④⑤解得：v＝10 m/s＝14.1 m/s.
答案：(1)20 m (2)14.1 m/s
13．(15分)如图10所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块
到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力 图10
为零)．物块和转盘间最大静摩擦力是其正压力的μ倍．求：
(1)当转盘的角速度ω1＝ 时，细绳的拉力F1；
(2)当转盘的角速度ω2＝ 时，细绳的拉力F2.
解析：设角速度为ω0时，物块所受静摩擦力为最大静摩擦力，有
μmg＝mω02r得ω0＝
(1)由于ω1＝ ＜ω0，故绳未拉紧，此时静摩擦力未达到最大值，F1＝0.
(2)由于ω2＝＞ω0，故绳被拉紧，
由F2＋μmg＝mω22r得F2＝μmg.答案：(1)0 (2)μmg
14．(15分)2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系．研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50×102天文单位(地球公转轨道的半径为一个天文单位)，人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上．观测得到S2星的运行周期为15.2年．
若将S2星的运行轨道视为半径r＝9.50×102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量MA是太阳质量MS的多少倍(结果保留一位有效数字)．
解析：S2星绕人马座A*做圆周运动的向心力由人马座A*对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为mS2，角速度为ω，周期为T，则
G＝mS2ω2r ω＝ ②
设地球质量为mE，公转轨道半径为rE，周期为TE，则
G＝mE()2rE ③
综合上述三式得＝()3()2
式中TE＝1年，rE＝1天文单位
代入数据可得＝4×106.
答案：4×106倍第５章《万有引力定律及其应用》单元测试６
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．有质量相等的两个人造地球卫星A和B，分别在不同的轨道上绕地球做匀速圆周运动.两卫星的轨道半径分别为rA和rB，且rA＞rB．则A和B两卫星相比较，以下说法正确的是（ ）
A．卫星A的运行周期较大
B．卫星A受到的地球引力较大
C．卫星A的动能较大
D．卫星A的机械能较大
2．设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球 仍可看做是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动.则与开采前相比 （ ）
A．地球与月球的万有引力将变大
B．地球与月球的万有引力将变小
C．月球绕地球运动的周期将变长
D．月球绕地球运动的周期将变短
3．如图1所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨
道上运行的三颗人造卫星.下列说法中正确的是（ ）
A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
B．b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度
C．b、c运行周期相同，且小于a的运行周期
D．由于某种原因，a的轨道半径缓慢减小，a的线速度将变大
4．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大 的自转速率.如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动.由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T.下列表达式中正确的是 （ ）
A．T=2π B．T=2π
C．T= D．T=
5．两个行星各有一个卫星绕其表面运行，已知两个卫星的周期之比为1∶2，两行星半径之比为2∶1 （ ）
①两行星密度之比为4∶1 ②两行星质量之比为16∶1
③两行星表面处重力加速度之比为8∶1 ④两卫星的速率之比为4∶1
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④
6．某人造卫星绕地球做匀速圆周运动，设地球半径为R，地面重力加速度为g，下列说法错误的是 （ ）
A．人造卫星的最小周期为2π
B．卫星在距地面高度R处的绕行速度为
C．卫星在距地面高度为R处的重力加速度为g/4
D．地球同步卫星的速率比近地卫星速率小，所以发射同步卫星所需的能量较少
7．1998年8月20日，中国太原卫星发射中心为美国“铱”星公司成功发射了两颗“铱”星系统的补网星.1998年9月23日，“铱”卫星通讯系统正式投入商业运行，标志着一场通讯技术革命开始了.原计划的“铱”卫星通讯系统是在距地球表面780 km的太空轨道上建立一个由77颗小卫星组成的星座.这些小卫星均匀分布在覆盖全球的7条轨道上，每条轨道上有11颗卫星，由于这一方案的卫星排布像化学元素“铱”原子的核外77个电子围绕原子核运动一样，所以称为“铱”星系统.后来改为由66颗卫星，分布在6条轨道上，每条轨道上11颗卫星组成，仍称它为“铱”星系统. “铱”星系统的66颗卫星，其运行轨道的共同特点是 （ ）
A．以地轴为中心的圆形轨道 B．以地心为中心的圆形轨道
C．轨道平面必须处于赤道平面内 D．铱星运行轨道远低于同步卫星轨道
8．上题所述的“铱”星系统的卫星运行速度约为 （ ）
A．7.9 km/s B．7.5 km/s C．3.07 km/s D．11.2 km/s
二、填空题（每小题6分，共24分）
9．某一星球的第一宇宙速度为v,质量为m的宇航员在这个星球表面受到的重力为G，由此可知这个星球的半径是_______.
10．在月球表面，一位宇航员竖直向上抛出一个质量为m的小球.经过时间t,小球返回抛出点.已知月球表面的重力加速度是地球表面的1/6.由此可知，宇航员抛出小球时对小球做的功为_______.
11．在赤道上发射一颗人造地球卫星，设它的轨道是一个圆，轨道半径等于赤道半径，已知地球质量是M，地球自转周期是T，赤道半径是R，万有引力恒量是G，则这颗人造地球卫星的最小发射速度（相对地球的速度）为______________.
12．某物体在地球表面上受到的重力为160 N；将它放置在卫星中，在卫星以加速度a=g/2随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为90 N，卫星此时距地面的高度为_______.（已知地球的半径R=6.4×103 km，取g=10 m/s2）
三、计算题（共36分）
13．（12分）侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运动，它的运动轨道距地面高度为h,要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少 设地球的半径为R，地面处的重力加速度为g,地球自传的周期为T.
14．（12分）中子星是恒星演变到最后的一种存在形式.(1)有一密度均匀的星球，以角速度ω绕自身的几何对称轴旋转.若维持其表面物质不因快速旋转而被甩掉的力只有万有引力，那么该星球的密度至少要多大 (2)蟹状星云中有一颗中子星，它每秒转30周，以此数据估算这颗中子星的最小密度.(3)若此中子星的质量约为太阳的质量(2×1030 kg），试问它的最大可能半径是多大
15．（12分）已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v2=，其中G、ME、RE分别是引力常量、地球的质量和半径.已知G=6.67×10-11 N·m2/kg2,c=2.9979×108 m/s.求下列问题：
（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M=1.98×1030 kg，求它的可能最大半径（这个半径叫Schwarzchild半径）
（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10－27 kg/m3,如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c,因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？
参考答案：
一、1．AD 2．BD 3．BD
4．AD 如果万有引力不足以充当向心力，星球就会解体，据万有引力定律和牛顿第二定律
得：GR 得T=2π,又因为M=πρR3,所以T=.
5．D 6．D
7．BD 卫星绕地球运转，都是卫星和地球之间的万有引力提供卫星绕地球运转的向心力，
而万有引力方向指向地心.所以铱星系统的这些卫星的轨道应是以地心为中心的圆形轨
道.铱星轨道距地球表面780 km，而地球同步卫星的轨道距地面约3.6×104 km.
8．B 可采用排除法. 7.9 km/s是第一宇宙速度，是近地面卫星运行所必需的速度，A显然错，
3.07 km/s是距地面高度为3.6×104 km的地球同步卫星运行速度，C也不正确.11.2 km/s
是第二宇宙速度，是卫星挣脱地球引力束缚所必需的速度，D错.所以正确选项为B．
二、9.r=mv2/G
10．W=mg2t2 11．
12．2.5×104 km
三、13.侦察卫星绕地球做匀速圆周运动的周期设为T1，则 ①
地面处的重力加速度为g，则 =m0g ②
由上述两式得到卫星的周期T1=
其中r=h+R
地球自转的周期为T，在卫星绕行一周时，地球自转转过的角度为θ=2π
摄像机应拍摄赤道圆周的弧长为s=Rθ
s=
14．（ 1）=mRω2，M=ρπR3，带入得：ρ=
（2）ρ==kg/m3=1.27×1014 kg/m3
（3）M=ρπR3，所以R=m=1.56×105 m
15．（1）由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度v2=,
其中M、R为天体的质量和半径.对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速，
即v2＞c,所以?
R＜m=2.94×103 m
即质量为1.98×1030 kg的黑洞的最大半径为2.94×103 m.
（2）把宇宙视为一普通天体，则其质量为M=ρ·V=ρ·πR3 ①
其中R为宇宙的半径，ρ为宇宙的密度，则宇宙所对应的逃逸速度为v2= ②
由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，即v2＞c ③
则由以上三式可得R＞=4.01×1026 m,合4.24×1010光年.
即宇宙的半径至少为4.24×1010光年.
图1第五章《万有引力定律及其应用》单元试卷
1.如图所示,已知行星在A点的速度比在B点的速度大,太阳是在
A.F1处 B.F2处
C.O处 D.F1和F2都有可能
2.人造地球卫星在绕地球运行时,它的轨道半径R与周期T的关系是
A.R与T成正比
B.R3与T2成正比
C.R2与T3成正比
D.R与T无关
3.地球对1 kg的物体的引力为9.8 N,那么物体对地球的引力
A. 等于零 B.等于9.8 N
C.大于9.8 N D.小于9.8 N
4.牛顿论证地球对地面物体的引力,跟地球对月球的引力是同一性质的力,采用的方法是
A.由万有引力定律和有关数据,计算月球绕地球旋转的加速度的数值,跟按运动定律计算出来的结果完全一样
B.提出公式后,用卡文迪许扭秤进行验证并测出G值
C.计算公式中的g=GM/R2刚好等于9.8 m/s2
D.以上说法都不对
5.某球状行星具有均匀的密度ρ,当行星自转周期为下列哪个值时,其赤道上的物体将要飞离球面
A. B.
C.3πG/4 D.4πG/3
6.地球半径为R,地面重力加速度为g,地球自转周期为T,地球同步卫星高度为h,则此卫星线速度大小为
A. B.
C. D.
7.已知下面的哪组数据,可以计算出地球的质量M地(已知引力常量G)
A.地球表面的重力加速g和地球的半径R
B.月球绕地球运动的周期T1及月球到地球中心的距离R1
C.地球绕太阳运动的周期T2及地球到太阳中心的距离R2
D.地球“同步卫星”离地面的高度h
8.若已知某行星绕太阳公转的轨道半径为r,公转周期为T,引力常量为G,则由此可求出
A.行星的质量
B.太阳的质量
C.行星的密度
D.太阳的密度
9.甲乙两颗人造地球卫星,质量相同,它们的轨道是圆,若甲的运动周期比乙大,则
A.甲距地面的高度一定比乙大
B.甲的速度一定比乙大
C.甲的加速度一定比乙小
D.甲受的向心力一定比乙大
10.我国发射的“亚洲一号”地球同步卫星的质量为1.24 t,在某一确定的轨道上运行,下列说法中正确的是
A.它定点在北京正上方的太空,所以我国可以利用它进行电视转播
B.它的轨道平面一定与赤道平面重合
C.若要发射一颗质量为2.48 t的地球同步卫星,该卫星的轨道半径将比“亚洲一号”卫星轨道半径大
D.若要发射一颗质量为2.48 t的地球同步卫星,该卫星的轨道半径将比“亚洲一号”卫星轨道半径小
11.物体在地面上的重力为mg,则在高出地面为地球半径R的高处的重力为________.
12.海王星的直径是地球直径的4倍,但海王星表面的重力加速度与地球的重力加速度大致相同,据此算出海王星的质量为地球质量的多少倍？
答案：1、A,2、B,3、B,4、A,5、A,
6、AC,7、ABD,8、B,9、AC,10、B,
11、mg/4 ，
12、16。第5章《万有引力定律及其应用》单元自测
1．两行星运行轨迹的半长轴之比为4∶9 ，其运行周期之比为 （ ）
（A）4∶9（B）2∶3（C）8∶27（D）∶3
2．若把地球视为密度均匀的球体，从地面挖一小口井直通地心，将一个小球从井口自由释放，不计其他阻力，下列关于小球的运动的说法中，正确的是 （ ）
（A）小球做匀加速下落 （B）小球做加速运动，但加速度减小
（C）小球先加速下落，后减速下落 （D）小球的加速度和速度都增大
3．两个质量均匀的球体，相距r，它们之间的万有引力为10N，若它们的质量、距离都增加为原来的两倍，则它们之间的万有引力为（ ）
（A）4×10N （B）10N（C）2×10N （D）8×10N
4．假设火星和地球都是球体，火星的质量M和地球的质量M之比为M/ M＝ P，火星的半径R和地球半径R之比为R／R＝q，那么火星表面处的重力加速度g和地球表面处的重力加速度g之比g/ g等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
5．如果在某一行星上以速度V。竖直上抛一小球，测出这小球能上升的最大高度h，则由此可计算出 （ ）
（A）这行星的质量和密度 （B）这行星的自转周期
（C）这行星上的第一宇宙速度 （D）绕这行星的卫星的最大加速度
6．设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间的开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动，则与开采前相比（ ）
（A）地球与月球间的万有引力将变大（B）地球与月球间的万有引力将变大
（C）月球绕地球运动的周期将变长（D）月球绕地球运动的周期将变短
7．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率.如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动.由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T.下列表达式中正确的是（ ）
A.T=2π
B.T=2π
C.T=
D.T=
8．7.1998年8月20日，中国太原卫星发射中心为美国“铱”星公司成功发射了两颗“铱”星系统的补网星.1998年9月23日，“铱”卫星通讯系统正式投入商业运行，标志着一场通讯技术革命开始了.原计划的“铱”卫星通讯系统是在距地球表面780 km的太空轨道上建立一个由77颗小卫星组成的星座.这些小卫星均匀分布在覆盖全球的7条轨道上，每条轨道上有11颗卫星，由于这一方案的卫星排布像化学元素“铱”原子的核外77个电子围绕原子核运动一样，所以称为“铱”星系统.后来改为由66颗卫星，分布在6条轨道上，每条轨道上11颗卫星组成，仍称它为“铱”星系统.“铱”星系统的66颗卫星，其运行轨道的共同特点是（ ）
A.以地轴为中心的圆形轨道
B.以地心为中心的圆形轨道
C.轨道平面必须处于赤道平面内
D.铱星运行轨道远高于同步卫星轨道
9.上题所述的“铱”星系统的卫星运行速度约为（ ）
A.7.9 km/s B.7.5 km/s
C.3.07 km/s D.11.2 km/s
10．宇航员乘航天飞机来到某天体，用弹簧秤称出质量为1.0kg的物体重6.0N，又取样测定天体的密度与地球密度相近，求天体的质量（g取10m／s ，地球质量约为6×1024kg）
11．已知太阳光从太阳射到地球需时间5×102s，地球公转轨道可近似看成圆轨道，地球半径约为6.4×106m，试估算太阳质量M与地球质量 m之比。
12．如图所示，一双星A、B，绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，其运行周期为T，A、B间的距离为L，它们的线速度之比＝2，试求两颗星的质量m1、m2。
答案
一、单项选择题
1．C 2．B 3．B 4．A 5．D 6．D 7．D 8．B 9．B
10．1.3×10kg 11．×10 12． 2第5章《万有引力定律及其应用》测试
1.若人造卫星绕地球做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是（ ）
A．卫星的轨道半径越大，它的运行速度越大
B．卫星的轨道半径越大，它的运行速度越小
C．卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越大
D．卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越小
2．甲、乙两颗人造地球卫星，质量相等，它们的轨道都是圆，若甲的运动周期比乙小，则（ ）
A．甲距地面的高度比乙小 B．甲的加速度一定比乙小
C．甲的加速度一定比乙大 D．甲的速度一定比乙大
3．下面是金星、地球、火星的有关情况比较。
星球 金星 地球 火星
公转半径 1.0 km 1.5 km 2.25 km
自转周期 243日 23时56分 24时37分
表面温度 480℃ 15℃ —100℃~0℃
大气主要成分 约95%的CO2 78%的N2，21%的O2 约95%的CO2
根据以上信息，关于地球及地球的两个邻居金星和火星（行星的运动可看作圆周运动），下列判断正
确的是（ ）
A．金星运行的线速度最小，火星运行的线速度最大
B．金星公转的向心加速度大于地球公转的向心加速度
C．金星的公转周期一定比地球的公转周期小
D．金星的主要大气成分是由CO2组成的，所以可以判断气压一定很大
4．如图1-4-1所示，在同一轨道平面上，有绕地球做匀速圆周运动的卫星A、B、C某时刻在同一条直线上，则（ ）
A.经过一段时间，它们将同时回到原位置
B.卫星C受到的向心力最小
C.卫星B的周期比C小
D.卫星A的角速度最大
5．某天体半径是地球半径的K倍，密度是地球的P倍，则该天体表面的重力加速度是地球表面重力加速度的（ ）
A．倍 B． 倍 C．KP倍 D．倍
6．A、B两颗行星，质量之比，半径之比，则两行星表面的重力加速度之比为（ ）
A. B. C. D.
7．人造卫星离地球表面距离等于地球半径R，卫星以速度v沿圆轨道运动，设地面上的重力加速度为g，则（ ）
A. B. C. D.
8．已知地球半径为R，地面重力加速度为g. 假设地球的自转加快，则赤道上的物体就可能克服地球引力而飘浮起来，则此时地球的自转周期为（ ）
A. B. C. D.
9．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率.如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动.由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T.下列表达式中正确的是（ ）
A．T=2π B．T=2π C．T= D．T=
答案：如果万有引力不足以充当向心力，星球就会解体，据万有引力定律和牛顿第二定律得：GR 得T=2π,又因为M=πρR3,所以T=
10．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常数为G，那么该行星的平均密度为（ ）
A. B. C. D.
11．地球公转的轨道半径是R1，周期是T1，月球绕地球运转的轨道半径是R2，周期是T2，则太阳质量与地球质量之比是 （ ）
A. B. C. D.
12．地球表面重力加速度g地、地球的半径R地，地球的质量M地，某飞船飞到火星上测得火星表面的重力加速度g火、火星的半径R火、由此可得火星的质量为（ ）
A. B. C. D.
13．设在地球上和某天体上以相同的初速度竖直上抛一物体的最大高度比为k（均不计阻力），且已知地球与该天体的半径之比也为k，则地球与此天体的质量之比为 （ ）
A. 1 B. k C. k 2 D. 1/ k
14．某星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，若从地球上高h处平抛一物体，射程为60m，则在该星球上，从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，射程应为 （ ）
A．10m B．15m C．90m D．360m
15．已知一颗人造卫星在某行星表面上空绕行星做匀速圆周运动，经过时间t，卫星的行程为s，卫星与行星的中心连线扫过的角度是1rad，那么卫星的环绕周期T＝_______，该行星的质量M＝________。
16．已知地球半径为6.4×106m，又知月球绕地球的运动可近似看作为匀速圆周运动，则可估算出月球到地球的距离为________m. （结果只保留一位有效数字）
17．假设站在赤道某地的人，恰能在日落后4小时的时候，恰观察到一颗自己头顶上空被阳光照亮的人造地
球卫星，若该卫星是在赤道所在平面内做匀速圆周运动，又已知地球的同步卫星绕地球运动的轨道半径约为地球半径的6.6倍，试估算此人造地球卫星绕地球运行的周期为____________.
18．设想有一宇航员在某行星的极地上着陆时，发现物体在当地的重力是同一物体在地球上重力的0.01倍，而该行星一昼夜的时间与地球相同，物体在它赤道上时恰好完全失重，若存在这样的星球，它的半径R应多大？
19．一宇航员抵达一半径为R的星球表面后，为了测定该星球的质量M，做如下的时间，取一根细线穿过光滑的细直管，细线一端栓一质量为m的砝码，另一端连在一固定的测力计上，手握细线直管抡动砝码，使它在竖直平面内做完整的圆周运动，停止抡动细直管。砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动。如图1-4-2所示，此时观察测力计得到当砝码运动到圆周的最低点和最高点两位置时，测力计得到当砝码运动到圆周的最低点和最高点两位置时，测力计的读数差为ΔF。已知引力常量为G，试根据题中所提供的条件和测量结果，求出该星球的质量M。
20．在某星球上，宇航员用弹簧秤称得质量m的砝码重量为F，乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行，测得其环绕周期为T，根据这些数据求该星球的质量.
21．如图1-4-3为宇宙中有一个恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O运行轨道近似为圆，天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为R0，周期为T0
（1）中央恒星O的质量是多大
（2）长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性也每隔
t0时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在一
颗未知的行星B（假设其运行轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方面相同），它对A行星的万有引力引起A
轨道的偏离。根据上述现象及假设，你能对未知行星B的运动得到哪些定量的预测。
练习题答案
1．BD 2．ACD 3．BC 4．CD 5．C 6．C 7．D 8．B 9．AD 10．B 11．B 12．A 13． B 14．A 15．2πt s2／Gt2 16．4×108 17．4h 18．R=1.85×107m 19．
20． 21．(1)42R03/GT02 (2)TB= T0 t0/( t0- T0) RB=
A
B
C
1-4-1
m
1-4-2
1-4-3第5章《万有引力定律及其应用》单元测试2
1.可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道（ ）
A．与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面同心圆
B．与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆
C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的
解析：因为是地球对卫星的万有引力提供向心力，所以卫星的圆心必在地心上，正确选项为CD．
答案：CD
2.利用下列哪组数据，可以计算出地球的质量（引力常量G已知）（ ）
A．已知地球的半径R和地面的重力加速度g
B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和周期T
C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v
D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
解析：设地面上某物体的质量为m，由=mg，可得M=，选项A正确．设卫星质量为m，由=得M=，选项B正确．由=得M=，选项C正确．由=和=mv，消去r可得M=，选项D正确．
答案：ABCD
3.人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其速率（ ）
A．一定等于7.9 km/s B．等于或小于7.9 km/s
C．一定大于7.9 km/s D．介于7.9 km/s—11.2 km/s
解析：此题考查对第一宇宙速度的理解．第一宇宙速度是发射速度的最小值，是在圆形轨道上运行速度的最大值，因此，绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度一定等于或小于7.9 km/s，而不能大于7.9 km/s．故选项B正确．
答案：B
4.关于地球同步卫星，下列说法中正确的是（ ）
A．它的周期是24 h，且轨道平面与赤道平面重合
B．它处于平衡状态，距离地面高度一定
C．它的线速度大于7.9 km/s
D．它的加速度小于9.8 m/s2
解析：地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动，相对地球静止，故公转周期必须与地球自转周期相同（24 h），轨道平面必须与赤道平面在同一平面内，故选项A正确．根据万有引力提供向心力可以推导出其距离地面高度一定（36 000km），运行速度一定，为3.1 km/s，故选项C错误．但因它受到万有引力作用，合力不为零，故并非处于平衡状态，故选项B错误．根据牛顿第二定律可求得其所在处的加速度小于地球表面的重力加速度g（9.8 m/s2），故选项D正确．
答案：AD
5.一颗行星一昼夜的时间为6 h，弹簧秤在行星赤道上称某物体重力比两极小10%，此行星的平均密度为______________．（万有引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2）
解析：物体在两极时，重力等于万有引力，即=mg′．物体在赤道上时，随行星一起做匀速圆周运动，向心力是行星引力和弹簧秤拉力的合力，即mg′-F=．
由题意知F=90%mg′
三式联立得M=，平均密度为ρ=
代入数据解得ρ=3.03×103 kg/m3.
答案：3.03×103 kg/m3
6.在某个行星上，以初速度v0竖直上抛一个物体，测得其上升的最大高度为H，已知该行星的直径为d，若给该行星发射一颗在其表面附近运转的匀速圆周运动的卫星，则该卫星的绕行速度有多大？
解析：物体做竖直上抛匀减速直线运动时，有v2-v02=2as,即-v02=-2g′H
所以可求得行星表面的重力加速度为g′=
对环绕行星表面的卫星有mg′=
可以求得运行速度为v=.
答案：
7.在地球某处海平面上测得物体自由下落高度h所需时间为t，到某高山顶测得物体自由下落同样高度所需时间增加了Δt，已知地球半径为R，试求山的高度H．
解析：由于地球自转角速度很小，忽略地球上物体跟随地球自转的向心力，这样地球表面物体所受重力就等于地球对物体的万有引力，由=mg，得g=
自由下落时间为t=
在高山顶上有g′=
自由下落的时间为t+Δt=
以上各式联立解得H=.
答案：
8.宇宙飞船要与环绕地球运转的轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站（ ）
A．只能从较低轨道上加速
B．只能从较高轨道上加速
C．只能从空间站同一高度轨道上减速
D．无论在什么轨道上，只要加速都行
解析：宇宙飞船在轨道上运行，加速时，速度增大，此时宇宙飞船所需的向心力大于其所受的万有引力，即万有引力不足以提供向心力，宇宙飞船做离心运动，轨道半径增大．通过以上分析可知，只能从较低轨道加速才能追上较高轨道的空间站，对接成功．故选项A正确．
答案：A
9.某小报登载：2000年7月10日，X国发射了一颗质量为100 kg、周期为1 h的人造月球卫星，一位同学没记住引力常量G的数值，身边没有资料可查，但他记得月球半径约为地球半径的1/4，月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的1/6，经推理，他认为该报道是假新闻.试写出他的论证方案.
论证：设卫星靠近月球表面做匀速圆周运动，所受万有引力（近似等于在月球表面上时所受重力）提供向心力，即mg=
则周期T=
这是卫星运行的最小周期，根据月球与地球半径、重力加速度的关系，可以得到月球半径和重力加速度，并代入上式计算得最小周期为T=6.2×103 s=1.7 h
不可能是1 h，故该报道是假新闻．
10.天文学根据观测研究得出：银河系中心可能存在一个大“黑洞”，距“黑洞”60亿千米的星体以2 000 km/s的速度绕它旋转，接近“黑洞”的所有物质，即使速度等于光速的光子也会被“黑洞”吸住而不能反射．已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2，求：
（1）该“黑洞”的质量；
（2）该“黑洞”的最大半径.
解析：（1）设“黑洞”、星体质量分别为M、m，它们之间的距离为R，则有=，解得M==3.6×1035 kg．
（2）设“黑洞”半径为R0，质量为M，速度为光速c的光子绕“黑洞”做匀速圆周运动，有，R0=．由以上二式解得R0=2.7×108 m.
答案：（1）3.6×1035 kg （2）2.7×108 m
11.一颗在赤道上空飞行的人造地球卫星，其轨道半径为r=3R（R为地球半径），已知地球表面重力加速度为g，则该卫星的运行周期是多大？若卫星的运动方向与地球自转方向相同，已知地球自转角速度为ω0，某一时刻，卫星通过赤道上某建筑物的正上方，再经过多长时间它又出现在该建筑物的正上方？
解析：由万有引力定律和牛顿运动定律得=m(3R)=mg．联立两式可得T=．以地面为参考系，卫星再次出现在建筑物上方时转过的角度为2π，卫星相对地面的角速度为ω1-ω0，则Δt=.
答案：
12.将来人类离开地球到宇宙中生活最具有可能的是在太阳系内地球附近建立“太空城”．如图5-2-4所示是设想中的一个圆柱形太空城，它是一个密封建筑，长1 600 m，直径200 m，在电力驱动下，绕自身轴转动．其外壳为金属材料，内壁沿纵向分隔成若干部分，窗口和人造陆地交错分布，陆地上覆盖1.5 m厚的土壤，窗口外有巨大的铝制反射镜，可调节阳光射入，城内充满空气．太空城内的空气、水和土壤最初可从地球和月球运送，以后则在太空城内形成与地球相同的生态环境.为了使太空城内的居民能如同在地球上一样具有“重力”，以适应人类在地球上的行为习惯，应使太空城以多大的转速绕其中心轴转动？若转速超过此数值时，人们将有什么感觉
图5-2-4
解析：当太空城中居民由于太空城绕轴自转而做匀速圆周运动所需的向心力等于人在地球表面所受的重力时，太空城的居民就能如同地球上一样具有“重力”．设居民质量为m，太空城绕中心轴转速为n，半径为r，则有mg=mr(2πn)2
n=
代入数据解得n=0.05 r/s=3 r/min
当转速超过此值时，向心力大于人在地球表面所受的重力，将会有超重的感觉．
答案：3 r/min，超重第五章《万有引力定律及其应用》单元测试7
1.我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图1
所示，关闭动力的航天飞机在月球引力作用下向月球靠近，并
将与空间站在B处对接，已知空间站绕月轨道半径为r，周期
为T，万有引力常量为G，下列说法中正确的是 ( )
A．图中航天飞机正加速飞向B处
B．航天飞机在B处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速 图1
C．根据题中条件可以算出月球质量
D．根据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小
解析：月球对航天飞机的引力与其速度的夹角小于90°，故航天飞机飞向B处时速度增大，即加速，A正确；B处基本上是椭圆轨道的近月点，航天飞机在该处所受月球引力小于它所需的向心力，而在圆形轨道上运动时要求月球引力等于所需向心力，故B正确；由G＝mr知月球质量可表示为M＝，C正确；因空间站的质量未知，故D错误．答案：ABC
2．为纪念伽利略将望远镜用于天文观测400周年，2009年被定为以“探索我的宇宙”为主题的国际天文年．我国发射的“嫦娥一号”卫星绕月球经过一年多的运行，完成了预定任务，于2009年3月1日16时13分成功撞月．如图2所示为“嫦娥一号”卫星撞月的模拟图，卫星在控制点1开始进入撞月轨道．假设卫星绕月球做圆周运动的轨道半径为R，周期为T，引力常量为G.根据题中信息，以下说法正确的是 ( ) 图2
A．可以求出月球的质量
B．可以求出月球对“嫦娥一号”卫星的引力
C．“嫦娥一号”卫星在控制点1处应加速
D．“嫦娥一号”在地面的发射速度大于11.2 km/s
解析：由＝mR可得月球质量M＝，A正确；但因不知“嫦娥一号”卫星的质量，无法求出月球对“嫦娥一号”的引力，B错误；“嫦娥一号”从控制点1处开始做向心运动，应在控制点1处减速，C错误；“嫦娥一号”最终未脱离地球束缚和月球一齐绕地球运动．因此在地面的发射速度小于11.2 km/s，D错误．答案：A
3．“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r，运行速率为v，当探测器飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时 ( )
A．r、v 都将略为减小 B．r、v都将保持不变
C．r将略为减小，v将略为增大 D．r将略为增大，v将略为减小
解析：当探测器飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时，受到的万有引力即向心力会变大，故探测器的轨道半径会减小，由v＝ 得出运行速率v将增大，故选C. 答案：C
4.一物体从一行星表面某高度处 自由下落(不计阻力)．自开始下落计时，得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图象如图3所示，则根据题设条件可以计算 出 ( )
A．行星表面重力加速度的大小图3
B．行星的质量
C．物体落到行星表面时速度的大小
D．物体受到行星引力的大小
解析：从题中图象看到，下落的高度和时间已知(初速度为0)，所以能够求出行星表面的加速度和落地的速度，因为物体的质量未知，不能求出物体受到行星引力的大小，又因为行星的半径未知，不能求出行星的质量．答案：AC
5．2007年美国宇航员评出了太阳系外10颗最神奇的行星，包括天文学家1990年发现的第一颗太阳系外行星以及最新发现的可能适合居住的行星．在这10颗最神奇的行星中排名第三的是一颗不断缩小的行星，命名为HD209458b，它的一年只有3.5个地球日．这颗行星以极近的距离绕恒星运转，因此它的大气层不断被恒星风吹走．据科学家估计，这颗行星每秒就丢失至少10000吨物质，最终这颗缩小行星将只剩下一个死核．假设该行星是以其球心为中心均匀减小的，且其绕恒星做匀速圆周运动．下列说法正确的是 ( )
A．该行星绕恒星运行周期会不断增大
B．该行星绕恒星运行的速度大小会不断减小
C．该行星绕恒星运行周期不变
D．该行星绕恒星运行的线速度大小不变
解析：由于该行星是以其球心为中心均匀减小的，所以其运行的半径不变，由于该行星的质量改变而恒星的质量不变，由＝和＝可知，周期和线速度大小均不改变．选项C、D正确．答案：CD
6．如图4所示，在同一轨道平面上的三个人造地球卫星A、B、C在某一时刻恰好在同一直线上，下列说法正确的有 ( ) 图4
A．根据v＝，可知vA＜vB＜vC
B．根据万有引力定律，FA＞FB＞FC
C．向心加速度aA＞aB＞aC
D．运动一周后，C先回到原地点
解析：由＝m＝ma可得：v＝.故vA＞vB＞vC，不可用v＝比较v的大小，因卫星所在处的g不同，A错误；由a＝，可得aA＞aB＞aC，C正确；万有引力F＝，但不知各卫星的质量大小关系，无法比较FA、FB、FC的大小，B错误；由T＝可知，C的周期最大，最晚回到原地点，故D错误．答案：C
7．宇宙中两个星球可以组成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线的某点做周期相同的匀速圆周运动．根据宇宙大爆炸理论，双星间的距离在不断缓慢增加，设双星仍做匀速圆周运动，则下列说法错误的是 ( )
A．双星相互间的万有引力减小 B．双星做圆周运动的角速度增大
C．双星做圆周运动的周期增大 D．双星做圆周运动的半径增大
解析：距离增大万有引力减小，A正确；由m1r1ω2＝m2r2ω2及r1＋r2＝r得，r1＝，r2＝，可知D正确；F＝G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，r增大F减小，r1增大，故ω减小，B错；由T＝知C正确．答案：B
8．有一宇宙飞船到了某行星上(该行星没有自转运动)，以速度v接近行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得 ( )
A．该行星的半径为 B．该行星的平均密度为
C．无法测出该行星的质量 D．该行星表面的重力加速度为
解析：由T＝可得：R＝，A正确；由＝m可得：M＝，C错误；由M＝πR3·ρ得：ρ＝，B正确；由＝mg得：g＝，D正确．答案：ABD
9．在2003～2008年短短5年时间内，我国就先后成功发射了三艘载人飞船：“神舟五号”于2003年10月15日9时升空，飞行21小时11分钟，共计14圈后安全返回；“神舟六号”于2005年10月12日9时升空，飞行115小时32分钟，共计77圈后安全返回；“神舟七号”于2008年9月25日21时升空，飞行68小时27分钟，共计45圈后安全返回．三艘载人飞船绕地球运行均可看做匀速圆周运动，则下列判断正确的是 ( )
A．它们绕地球飞行时所受的万有引力一定相等
B．可以认为它们绕地球飞行的线速度大小相同
C．它们在绕地球飞行的过程中，宇航员处于平衡状态
D．飞船中的宇航员可使用弹簧测力计来测量自身所受到的重力
解析：通过计算发现三艘载人飞船绕地球运行的周期近似相等，根据开普勒第三定律可知：三艘载人飞船绕地球飞行的半径是相等的．所以它们绕地球飞行的线速度大小相同，但三艘载人飞船的质量不一定相等，因而它们所受的万有引力不一定相等．它们在绕地球飞行的过程中，宇航员不是处于平衡状态，而是处于失重状态，因而宇航员不能使用弹簧测力计来测量自身所受到的重力，故只有B正确．答案：B
10．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经
点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同 图5
步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点(如图5所示)．则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是 ( )
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
解析：卫星在半径为r的轨道上运行时，速度v＝ ，可见轨道半径r越大，运行速度越小，由v＝ωr可得ω＝ ，r越大，ω越小，A错B正确；卫星的向心加速度由万有引力产生，在不同的轨道上运动时，由a＝知，在同一点它们的加速度是相同的，故C错D正确．答案：BD
11．在半径R＝5 000 km的某星球表面，宇航员做了如下实验，实验装置如图6甲所示．竖直平面内的光滑轨道由轨道AB和圆弧轨道BC组成，将质量m＝0.2 kg的小球，从轨道AB上高H处的某点静止滑下，用力传感器测出小球经过C点时对轨道的压力F，改变H的大小，可测出相应的F大小，F随H的变化关系如图乙所示．求：
图6
(1)圆轨道的半径及星球表面的重力加速度．
(2)该星球的第一宇宙速度．
解析：(1)小球过C点时满足F＋mg＝m
又根据mg(H－2r)＝mvC2 联立解得F＝H－5mg
由题图可知：H1＝0.5 m时F1＝0；可解得r＝0.2 m
H2＝1.0 m时F2＝5 N；可解得g＝5 m/s2
(2)据m＝mg可得v＝＝5×103 m/s.
答案：(1)0.2 m 5 m/s2 (2)5×103 m/s
12．中国首个月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备．设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：A.计时表一只；B.弹簧测力计一把；C.已知质量为m的物体一个；D.天平一只(附砝码一盒)．在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动，宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N圈所用的时间为t.飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量，利用上述两次测量的物理量可以推导出月球的半径和质量．(已知引力常量为G，忽略月球的自转的影响)
(1)说明机器人是如何进行第二次测量的？
(2)试推导用上述测量的物理量表示的月球半径和质量的表达式．
解析：(1)机器人在月球上用弹簧测力计竖直悬挂物体，静止时读出弹簧测力计的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
(2)设月球质量为M，半径为R，在月球上(忽略月球的自转的影响)可知G＝mg月①
又mg月＝F ②
飞船绕月球运行时，因为是靠近月球表面，故近似认为其轨道半径为月球的半径R，由万有引力提供飞船做圆周运动的向心力，可知
G＝mR ③又T＝ ④
由①②③④式可知月球的半径R＝＝.
月球的质量M＝.
答案：(1)见解析 (2)R＝ M＝第5章万有引力定律及其应用测试题
一、选择题
１、宇宙飞船要与环绕地球运转的轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站 （ B ）
A．只能从较高轨道上加速 B．只能从较低轨道上加速
C．只能从与空间站同一轨道上加速 D．无论在什么轨道，只要加速即可
２、已知引力常数G与下列哪些数据，可以计算出地球密度： （ CD ）
A．地球绕太阳运动的周期及地球离太阳的距离
B．月球绕地球运行的周期及月球绕地球转的轨道半径
C．人造地球卫星在地面附近绕行运行周期
D．若不考虑地球自转，已知地球半径和重力加速度
３、同步卫星相对地面静止，尤如悬在高空中，下列说法中正确的是： （ BCD ）
A．同步卫星可能处于不同的轨道上 B．同步卫星的速率是唯一的
C．同步卫星加速度大小是唯一的 D．各国的同步卫星都在同一圆周上运行
４、2003年8月29日，火星、地球和太阳处于三点一线，上演“火星冲日”的天象奇观．这是6万年来火星距地球最近的一次，与地球之间的距离只有5576万公里，为人类研究火星提供了最佳时机．图示为美国宇航局最新公布的“火星大冲”的虚拟图．则有 （BD ）
A．2003年8月29日，火星的线速度大于地球的线速度
B．2003年8月29日，火星的线速度小于地球的线速度
C．2004年8月29日，火星又回到了该位置
D．2004年8月29日，火星还没有回到该位置
５、两个靠近的天体称为双星，它们以两者连线上某点O为圆心做匀速圆周运动，其质量分别为m1、m2，如图3所示，以下说法不正确的是 （ B ）
A．它们的角速度相同
B．线速度与质量成正比
C．向心力与质量的乘积成正比
D．轨道半径与质量成反比
６、如图4所示，a和b是某天体M的两个卫星，它们绕天体公转的周期为Ta和Tb，某一时刻两卫星呈如图所示位置，且公转方向相同，则下列说法中正确的是 （ AB ）
A．经后，两卫星相距最近
B．经后，两卫星相距最远
C．经后，两卫星相距最近
D．经后，两卫星相距最远
７、地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有： （ A ）
A．物体在赤道处受的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B．赤道处的角速度比南纬300大
C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
８、已知甲、乙两行星的半径之比为a，它们各自的第一宇宙速度之比为b，则下列结论正确的是 （ABC ）
A．甲、乙两行星的质量之比为b2a∶1
B．甲、乙两行星表面的重力加速度之比为b2∶a
C．甲、乙两行星的各自的卫星的最小周期之比为a∶b
D．甲、乙两行星的各自的卫星的最小角速度之比为a∶b
二、填空题
９、质量为60kg的宇航员，他在离地面高度等于地球半径的圆形轨道上绕地球运行时，他所受地球的吸引力是____１５０____N，这时他对卫星中的座椅的压力是____０______（地面重力加速度g0＝10m/s2）。
１１、某星球半径是地球半径的2倍，当你到这个星球表面去旅行时，发觉自己的体重是地球表面体重的一半，则可以粗略地估计该行星的平均密度是地球平均密度的__０.２５____倍。
１２、宇宙飞船进入靠近某行星表面的圆形轨道，绕行数圈后着陆在该行星上，宇航员在绕行及着陆后各做一次测量，依据所测量的数据，可以求出该行星的质量M、半径R（已知万有引力常量为G）。如果宇宙飞船上备有的实验仪器有：
A．一只秒表
B．一个弹簧秤
C．一个质量为m的钩码
D．一把毫米刻度尺
（1）宇航员第一次测量所选用的仪器分别是_____Ａ_____和______ＢＣ______。
（2）宇航员第二次测量的物理量分别是______飞船环绕星球的周期T _____和_弹簧秤悬挂质量为m的钩码时弹簧秤的示数F __。
（3）用测得的数据求得该行星的半径R＝______，质量M＝___________。
三、计算题
１３、在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为r0的均匀球体。
以g＇表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m表示火星的卫星的质量，m＇表示火星表面出某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有
①
②
设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为v1，水平分量仍为v0，有
③
④
由以上各式解得
⑤
１４、某人站在星球上以速度v1竖直上抛一物体，经t秒后物体落回手中，已知星球半径为R，现将此物沿星球表面平抛，要使其不再落回地球，则抛出的速度至少为多大？（13）
在竖直上抛过程中：v1=gt/2 ；所以：g=2v1/t
不再落回就是：物体围绕星球做圆周运动，所以：G=Fn,即
解之得：
1５、2005年10月12日9时，“神舟”六号飞船一飞冲天，一举成功，再次把中国人“巡天遥看一天河”的陆地梦想变成“手可摘星辰，揽明月”的太空现实，“神舟”六号飞船点火发射时，飞船处于一个加速过程，在加速过程中宇航员处于超重状态。人们把这种状态下宇航员所受支持力FN与在地表面时重力mg的比值称为载荷值。（14）
（1）假设宇航员聂海胜和费俊龙在超重状态下载荷值的最大值为K=7，飞船带着宇航员竖直向上发射时的加速度a的最大值为多少？已知地球表面的重力加速度g=10m/s2。
（2）“神舟”六号飞船发射成功后，进入圆形轨道稳定运行，运转一圈的时间为T，地球的半径为R，表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，试求这一圆形轨道距离地面的高度H。（用R、g、T、G表示）
春分点
双女座
宝瓶座
火星
地球
太阳
O
m1
m2
图3
M
a
b
图4第五章《万有引力定律及其应用》单元测试
一、选择题
1．2008年9月27号下午4时30分，翟志刚出舱完成了中国人的第一次太空行走，为建立中国的轨道空间站计划的实施又迈出坚实的一步，宇航员出舱后 ( )
A．他相对地球是静止的
B．他处于完全失重状态，受的重力为零
C．他围绕地球做匀速圆周运动
D．轨道舱的速度变大，绕地球一周只需75分钟
[答案] C
[解析] 神舟七号飞船做匀速圆周运动的轨道不是地球同步轨道，因此出舱的航天员相对地面是运动的，他处于完全失重状态，但仍受重力作用，故A、B错误，C正确；卫星绕地球的周期最小约为85分钟，D错误．
2．天文学家发现某恒星周围有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期．由此可推算出 ( )
A．行星的质量 B．行星的半径
C．恒星的质量 D．恒星的半径
[答案] C
[解析] 设测出的行星轨道半径为R，周期为T，恒星的质量为M，行星的质量为m，则由＝mR得，M＝，故C正确．
3．有一宇宙飞船到了某行星上(该行星没有自转运动)，以速度v接近行星赤道表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知万有引力常量为G，则以下说法错误的是 ( )
A．该行星的半径为
B．该行星的平均密度为
C．无法测出该行星的质量
D．该行星表面的重力加速度为
[答案] C
[解析] 由T＝可得：R＝，A正确；由＝m可得：M＝，C错误；由M＝πR3·ρ，得：ρ＝，B正确，由＝mg，得：g＝，D正确．
4．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600N的人在这个行星表面的重量将变为960N.由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为 ( )
A．0.5 B．2
C．3.2 D．4
[答案] B
[解析] 设人的质量为m，在地球上重力为G地′，在星球上重力为G星′.
由G＝G′得
R＝，则
＝＝＝2，故选B.
5．一宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上．用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，N表示人对秤的压力，下面说法中正确的是 ( )
A．g′＝0 B．g′＝g
C．N＝0 D．N＝mg
[答案] BC
[解析] 做匀速圆周运动的飞船及其上的人均处于完全失重状态，台秤无法测出其重力，故N＝0，C正确，D错误；对地球表面的物体，＝mg，宇宙飞船所在处，＝mg′，可得：g′＝g，A错误，B正确．
6．一物体从一行星表面某高度处自由下落(不计阻力)．自开始下落计时，得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图象如图所示，则根据题设条件可以计算出 ( )
A．行星表面重力加速度的大小
B．行星的质量
C．物体落到行星表面时速度的大小
D．物体受到星球引力的大小
[答案] AC
[解析] 从题中图象看到，下落的高度和时间已知(初速度为0)，所以能够求出行星表面的加速度和落地的速度，因为物体的质量未知，不能求出物体受到行星引力的大小，因为行星的半径未知，不能求出行星的质量．
7．银河系的恒星中大约有四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动．天文观察时测得其运动周期为T，S1到O点的距离为r1、S1与S2间的距离r，已知万有引力常量为G.由此可求出S2的质量为 ( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 设S1、S2的质量分别为M1、M2，则：G＝M1r1()2，所以M2＝，故选D.
8．2008年9月25日，我国利用“神舟七号”飞船将航天员翟志刚、刘伯明、景海鹏成功送入太空，9月26日4时04分，“神舟七号”飞船成功变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h(约340km)的圆形轨道．已知飞船的质量为m，地球半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的角速度为ω，则下列说法正确的是( )
A．飞船由椭圆轨道变为圆形轨道时，需要在椭圆的远地点处使飞船减速
B．飞船做匀速圆周运动时，运行速度大于7.9km/s
C．飞船在圆轨道上运动时，航天员将不受重力作用
D．飞船在圆轨道上运动时的动能Ek满足m(R＋h)2ω2[答案] D
[解析] 飞船由椭圆轨道变为圆形轨道需要在远地点加速，A错；飞船在绕月球做匀速圆周运动时的速度最大值为7.9km/s，轨道越高速度越小，B错；航天员在飞船中处于完全失重状态，受到的万有引力即为所受重力，完全失重状态并不是重力为零，C错；飞船的运动周期小于地球的自转周期，故飞船的角速度大于地球自转的角速度ω，飞船的线速度v>ω(R＋h)，飞船的向心加速度a小于地球表面的重力加速度g，根据向心加速度公式a＝可知飞船的线速度v2二、非选择题
9．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球表面重力加速度g＝10m/s2，阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星?R地＝1?4，求该星球的质量与地球质量之比M星?M地．
[答案] (1)2m/s2 (2)1?80
[解析] (1)t＝，所以g′＝g＝2m/s2
(2)g＝，所以
M＝，可解得M星?M地＝1×12?5×42＝1?80
10．(2009·北京模拟)2008年9月25日，载人航天宇宙飞船“神舟七号”发射成功，且中国人成功实现了太空行走，并顺利返回地面．
(1)设飞船在太空环绕时轨道高度为h，地球半径为R，地面重力加速度为g，飞船绕地球遨游太空的总时间为t，则“神舟七号”飞船绕地球运转多少圈？(用给定字母表示)
(2)若t＝3天，h＝343km，R＝6400km，g＝10m/s2，则飞船绕地球运转的圈数为多少？
[答案] (1)· (2)48圈
[解析] (1)在地球表面：g＝ GM＝gR2
在轨道上：＝m(R＋h)
∴T＝2π＝·
故n＝＝·.
(2)代入数据得：n≈48圈．
11．火星和地球绕太阳的运动可以近似看作同一平面内同方向的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径r火＝1.5×1011m，地球的轨道半径r地＝1.0×1011m，从如图所示的火星与地球相距最近的时刻开始计时，估算火星再次与地球相距最近需多少地球年．(保留两位有效数字)
[答案] 2.3年
[解析] 设行星质量为m，太阳质量为M，行星与太阳的距离为r，根据万有引力定律，行星受太阳的万有引力F＝G，行星绕太阳做近似匀速圆周运动，火星和地球均属太阳的行星，根据开普勒第三定律＝＝k，即2＝3，且T地＝1年，则T火＝·T地＝×1年＝1.8年．
设经时间t两星又一次距离最近，根据θ＝ω·t，则两星转过的角度之差
θ地－θ火＝t＝2π.
t＝＝＝年＝2.3年．
12．地球表面重力加速度g0＝9.8m/s2，忽略地球自转的影响，在距离地面高度h＝1.0×103m的空中重力加速度g与g0的差值多大？取地球半径R＝6.37×106m.
[答案] 3.04×10－3m/s2
[解析] 不计地球自转的影响，物体的重力等于物体所受到地球的万有引力，有mg＝G，mg0＝G
所以＝2＝2＝0.99969
Δg＝g0－g＝3.04×10－3m/s2.
13．(2009·广东佛山禅城月考)新华社北京2007年10月24日电，24日18时29分，星箭成功分离之后，“嫦娥一号”卫星进入半径为205公里的圆轨道上绕地球做圆周运动，卫星在这个轨道上“奔跑”一圈半后，于25日下午进行第一次变轨，变轨后，卫星轨道半径将抬高到离地球约600公里的地方．如图所示，已知地球半径为R，表面重力加速度为g，质量为m的“嫦娥一号”卫星在地球上空的引力势能为Ep＝－，(以无穷远处引力势能为零)，r表示物体到地心的距离．
(1)质量为m的“嫦娥一号”卫星以速率v在某一圆轨道上绕地球做圆周运动，求此时卫星距地面高度h1；
(2)要使“嫦娥一号”卫星上升，从离地高度h1再增加h的轨道上做匀速圆周运动，卫星发动机至少要做多少功？
[答案] (1)－R (2)
[解析] (1)设地球质量为M，万有引力常量为G，卫星距地面高度为h1时速度为v，
对卫星有G＝m，对地面上物体有mg＝G，
解以上两式得h1＝－R.
(2)卫星在距地面高度h1的轨道上做匀速圆周运动，则有
G＝m，得v2＝，
故此时卫星的动能Ek1＝mv2＝＝，
万有引力势能Ep1＝－，
卫星在距地面高度h1时的总机械能
E1＝Ek1＋Ep1＝－＝－.
同理，卫星在距地面高度(h1＋h)时的总机械能
E2＝－.
由功能关系，卫星发动机至少要做功
W＝E2－E1＝.第3、4、5章《抛体运动 匀速圆周运动 万有引力定律》单元测试
一、选择题(本题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．关于两个运动的合成，下列说法正确的是 ( )
A．两个直线运动的合运动一定也是直线运动
B．两个匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动C．两个匀变速直线运动的合运动一定也是匀变速直线运动
D．一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动一定是曲线运动
【解析】 可举出选项A的反例——平抛，故选项A错误；合初速度的方向与合加速度的方向不在一条直线上时是曲线运动，C错；可举出选项D的反例——竖直上抛运动，故选项D错误．
【答案】 B
2．小船在水速较小的河中横渡，并使船头始终垂直河岸航行，到达河中间时突然上游来大水使水流速度加快，则对此小船渡河的说法正确的是 ( )
A．小船要用更长的时间才能到达对岸
B．小船到对岸的时间不变，但位移将变大
C．因小船船头始终垂直河岸航行，故所用时间及位移都不会变化
D．因船速与水速关系未知，故无法确定渡河时间及位移的变化
【解析】 由运动的独立性，小船到达对岸所需的时间将不受水流速度变化的影响，选项AD错；水流速度加快，因此小船因受冲击，到达对岸的位置偏向下游，位移将变大，故选项B对、C错．
【答案】 B
3．水平抛出一个物体，经时间t后物体的速度方向与水平方向夹角为θ，重力加速度为g，则平抛物体的初速度为 ( )
A．gtsinθ B．gtcosθ
C．gttanθ D．gtcotθ
【解析】 经时间t后物体速度的竖直分量vy＝gt，故求出vx＝v0＝vycotθ＝gtcotθ.
【答案】 D
4．如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑，图中有A、B、C三点、这三点所在处半径rA>rB＝rC，则这三点的向心加速度aA、aB、aC的关系是 ( )
A．aA＝aB＝aC B．aC>aA>aB
C．aCaA
【解析】 皮带传动且不打滑，A点与B点线速度相同，由a＝有a∝；所以aAaC，可见选项C正确．
【答案】 C
5．如图所示，长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端有固定转轴O.现使小球在竖直平面内做圆周运动．P为圆周轨道的最高点．若小球通过圆周轨道最低点时的速度大小为 ，则以下判断正确的是 ( )
A．小球不能到达P点
B．小球到达P点时的速度小于
C．小球能到达P点，但在P点不会受到轻杆的弹力
D．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向下的弹力
【解析】 根据机械能守恒定律2mgL＝mv2－mv，可求出小球在P点的速度为<，故B正确，A错误．计算出向心力F＝mg，故小球在P点受到轻杆向上的弹力，故C、D均错误．
【答案】 B
6．一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙物体质量分别为M和m(M>m)，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为L(LA. B.
C. D.
【解析】 经分析可知，绳的最大拉力
F＝μMg，
对m，F＋μmg＝mω2L，
所以μ(M＋m)g＝mω2L
解得ω＝
【答案】 D
7．在平面上运动的物体，其x方向分速度vx和y方向分速度vy随时间t变化的图线如图(甲)中的(a)和(b)所示，图(乙)中最能反映物体运动轨迹的是 (
【解析】 由图(甲)中的(a)，可知x方向做匀速运动．由图(甲)中的(b)，可知y方向做匀加速运动，且合力沿y轴方向，物体做类平抛运动．由合力指向曲线(轨迹)凹的一侧，故选项C对．
【答案】 C
8．(·全国卷Ⅰ)已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天．利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为 ( A．0.2 B．2 C． 20 D．200
【解析】 设太阳质量M，地球质量m，月球质量m0，日地间距离为R，月地间距离为r，地球绕太阳的周期为T约为360天，月球绕地球的周期为t约为27天，对地球绕着太阳转动，由万有引力定律：＝m，同理对月球绕着地球转动；G＝m0，则太阳质量与地球质量之比为＝.太阳到月球的距离近似等于太阳到地球的距离，故太阳对月球的万有引力F＝G，地球对月球的万有引力f＝G，故F?f＝，代入太阳与地球质量比，计算出比值约为2，B对．
【答案】 B
9．(2010·湖北重点中学联考)我国首个火星探测器“萤火一号”原定于年10月6日至16日期间在位于哈萨克斯坦的拜科努尔航天发射中心升空，后因俄罗斯火箭故障推迟发射．此次“萤火一号”的一个重要任务是探测研究火星表面水的消失机制，继而探寻火星上到底有无生命迹象的存在．此外，“萤火一号”还将探测火星空间磁场、电离层和粒子分布及其变化规律、火星地形、地貌等．假设“萤火一号”探测器上有一机器人，机器人登上火星．假如机器人在火星上测得摆长为L的单摆做小振幅振动的周期为T，将火星视为密度均匀、半径为r的球体，则火星的密度为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】 由单摆周期公式T＝2π，可得火星表面的重力加速度g＝，由＝mg得火星质量m火＝＝，火星体积V＝，密度ρ＝＝，选项B正确．
【答案】 B
10．如图所示，在一次救灾工作中，一架沿水平直线飞行的直升机A，用悬索(重力可忽略不计)救护困在湖水中的伤员B.在直升机A和伤员B以相同的水平速度匀速运动的同时，悬索将伤员吊起，在某一段时间内，A、B之间的距离以l＝H－t2(式中H为直升机A离地面的高度，各物理量的单位均为国际单位制单位)规律变化，则在这段时间内( )
A．悬索的拉力等于伤员的重力
B．悬索不可能是竖直的
C．伤员做加速度大小方向均不变的曲线运动
D．伤员做速度大小增加的直线运动
【解析】 伤员在水平方向上匀速运动，由A、B之间距离的变化规律知，在竖直方向上做向上的匀加速运动．而伤员仅受重力和悬索拉力作用．所以悬索必竖直，且F>mg，合运动为加速度大小方向均不变的曲线运动，只有C对．
【答案】 C
11．2007年4月24日，欧洲科学家宣布在太阳系之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星Gliese581c.这颗围绕红矮量Gliese581运行的星球有类似地球的温度，表面可能有液态水存在，距离地球约为20光年，直径约为地球的1.5倍，质量约为地球的5倍，绕红矮星Gliese581运行的周期约为13天．假设有一艘宇宙飞船飞临该星球表面附近轨道，下列说法正确的是 ( )
A．飞船在Gliese581c表面附近运行的周期约为13天
B．飞船在Gliese581c表面附近运行时的速度大于7.9km/s
C．人在Gliese581c上所受重力比在地球上所受重力大
D．Gliese581c的平均密度比地球平均密度小
【解析】 由＝mr(2π/T)2得：T＝，类地行星绕红矮星转与飞船绕类地行星转相比，不知道是否相等，故选项A错；由＝m，得v＝，又这颗类地行星的质量M′＝5M，半径R′＝1.5R，故选项B对；由mg＝G，解得＝，故选项C对；由ρ＝，V＝πR3，故ρ＝，M′＝5M，半径R′＝1.5R，解得＝，故选项D错．
【答案】 BC
12．(·河南示范性高中联考)年9月25日21时10分，“神舟七号”飞船成功发射，出舱活动结束后，释放了伴飞小卫星，并围绕轨道舱进行伴飞试验．此时，与“神舟七号”相距100公里至200公里的伴飞小卫星，将开始其观测、“追赶”、绕飞的三步试验：第一步是由其携带的导航定位系统把相关信息传递给地面飞控中心，通过地面接收系统，测量伴飞小卫星与轨道舱的相对距离；第二步是由地面飞控中心发送操作信号，控制伴飞小卫星向轨道舱“追”去，“追”的动力为液氨推进剂，因此能够以较快速度接近轨道舱；第三步是通过变轨调姿，绕着轨道舱飞行．下列关于伴飞小卫星的说法中正确的是 ( )
A．伴飞小卫星保持相距轨道舱一定距离时的向心加速度等于飞船的向心加速度
B．伴飞小卫星绕轨道舱飞行时，飞船对它的万有引力提供了它绕飞船绕行的向心力
C．若要伴飞小卫星“追”上轨道舱，只需在原轨道上加速即可
D．伴飞小卫星绕轨道舱飞行时，飞船以它的万有引力不足以提供它绕飞船运动的向心力
【解析】 伴飞小卫星与轨道舱相对静止，即绕地球做匀速圆周运动，二者的线速度大小相同，轨道半径相等，故向心加速度相等，A正确；小卫星速度增大后，轨道半径也会随之增大，此时小卫星与轨道舱不在同一高度的轨道上，无法追上轨道舱，C错误；小卫星绕轨道舱做圆周运动的向心力，B错误，D正确．
【答案】 AD
二、实验题(本题共2小题，共18分)
13．在“研究平抛物体的运动”的实验中，为了描出物体的运动轨迹，实验应有下列各个步骤：
A．以O为原点，画出与y轴相垂直的水平轴x轴
B．把事先做的有缺口的纸片用手按在竖直木板上，使由斜槽上滚下抛出的小球正好从纸片的缺口中通过，用铅笔在白纸上描下小球穿过这个缺口的位置；
C．每次都使小球由斜槽上固定的标卡位置开始滚下，用同样的方法描出小球经过的一系列位置，并用平滑的曲线把它们连接起来，这样就描出了小球做平抛运动的轨迹；
D．用图钉把白纸钉在竖直木板上，并在木板的左上角固定好斜槽；
E．在斜槽末端抬高一个小球半径处定为O点，在白纸上把O点描下来，利用重垂线在白纸上画出过O点向下的竖直直线，定为y轴．
在上述实验中，缺少的步骤F是___________________________________________，
正确的实验步骤顺序是__________________．
【答案】 调整斜槽使放在斜槽末端的小球可停留在任何位置，说明斜槽末端切线已水平 DFEABC
14．一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在该行星上．飞船上备有以下实验器材
A．精确秒表一只
B．已知质量为m的物体一个
C．弹簧秤一个
D．天平一台(附砝码)
已知宇航员在绕行时及着陆后各做了一次测量，依据测量数据，可求出该星球的半径R及星球的质量M.(已知引力常量为G)
(1)两次测量所选用的器材分别为__________，__________.(用序号表示)
(2)两次测量的物理量分别是__________，__________.
(3)用该数据写出半径R，质量M的表达式．R＝__________，M＝__________.
【解析】 (1)A BC (2)周期T，物体重力F. (3)g＝F/m，宇宙飞船在靠近该行星表面的圆形轨道绕行，mg＝m()2R，联立解得R＝.又＝m()2R，消去R，解得M＝.
【答案】 (1)A BC (2)周期T 物体重力F
(3)
三、计算题 (本题共包括4小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位15．A、B两小球同时从距地面高为h＝15m处的同一点抛出，初速度大小均为v0＝10m/s.A竖直向下抛出，B球水平抛出，空气阻力不计，重力加速度取g＝10m/s2.求：
(1)A球经过多长时间落地？
(2)A球落地时，A、B两球间的距离是多少？
【解析】 (1)A球做竖直下抛运动 h＝v0t＋gt2
将h＝15m、v0＝10m/s代入，可得t＝1s.
(2)B球做平抛运动，x＝v0t，y＝gt2
将v0＝10m/s、t＝1s代入，可得x＝10m，y＝5m.
此时A球与B球的距离为L＝
将x、y、h数据代入，得L＝10m.【答案】 (1)1s (2)10m
16．如图所示，细绳一端系着质量为M＝0.6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N.现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围内m处于静止状态？(g取10m/s2)
【解析】 设M和水平面保持相对静止，当ω具有最小值时，M有向着圆心运动的趋势，故水平面对M的摩擦力方向与指向圆心方向相反，且等于最大静摩擦力Ffm＝2N.
对于M：FT－Ffm＝Mωr
∴ω1＝＝rad/s≈2.9rad/s
当ω具有最大值时，M有离开圆心O的趋势，水平面对M摩擦力方向指向圆心，Ffm＝2N，对于M：
FT＋Ffm＝Mωr
∴ω2＝≈6.5rad/s
故ω的范围是2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s.
【答案】 2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s
17．如图所示，位于竖直平面上有圆弧的光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，A点距地面的竖直高度为H，把质量为m的钢球从A点由静止释放，最后落在了水平面上的C点处，已知重力加速度为g，不计空气阻力，求：
(1)钢球刚到达B点及滑过B点时加速度分别多大？
(2)钢球落地点C距B点的水平距离s为多少？
(3)比值R/H为多少时，s最大？这个最大值为多少？
【解析】 (1)小球由A到B过程中机械能守恒
mgR＝mv2①
小球刚到达B点时有向心加速度a1
a1＝②由①②得：a1＝2g
滑过B点时，只受重力，加速度a2＝g. (2)小球离开B点后做平抛运动
H－R＝gt2③
s＝vt④
由①③④得s＝2.
(3)根据s＝2得R＝
即＝时，s最大sm＝H或sm＝2R.
【答案】 (1)2g g (2)2
(3) H或2R
18．(·石家庄质检)一组宇航员乘坐太空穿梭机S，去修理位于离地球表面h＝6.0×105m的圆形轨道上的太空望远镜H.机组人员使穿梭机S进入与H相同的轨道并关闭助推火箭，望远镜在穿梭机前方数千米处，如图所示．已知地球半径为R＝6.4×106m，地球表面重力加速度为g＝9.8m/s2，第一宇宙速度为v＝7.9km/s.
(1)穿梭机所在轨道上的向心加速度g′为多少？
(2)计算穿梭机在轨道上的速率v′；
(3)穿梭机需先进入半径较小的轨道，才有较大的角速度追上望远镜．试判断穿梭机要进入较低轨道时应增加还是减小其原有速率，试说明理由．
【解析】 (1)由mg＝G，得地球表面的重力加速度为g＝
同理穿梭机所在轨道上的向心加速度为
g′＝
联立以上二式并代入数据解得g′＝8.2m/s2
(2)由G＝m，
可得第一宇宙速度v＝
同理穿梭机在轨道上的速率v′＝
代入数据解得v′＝7.6km/s
(3)应减速．由G＝m知穿梭机要进入较低轨道，必须有万有引力大于穿梭机做圆周运动所需的向心力，故当v′减小时，m才减小，则G>m.第5章 万有引力定律及其应用 单元测试
一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．两个质量相等的球形物体，两球心相距r，它们之间的万有引力为F，若它们的质量都加倍，两球心的距离也加倍，它们之间的作用力为( )
A．4F B．F C．F D．F
2．行星绕恒星运动的椭圆轨道的半长轴R的三次方与周期T的平方的比值为常量，设=k，则k的大小( )
A．只与恒星的质量有关
B．与恒星的质量及行星的质量有关系
C．只与行量的质量有关系
D．与恒星的质量及行星的速度有关系
3．人造卫星中的物体处于失重状态是指物体 （ ）
A．不受地球引力作用
B．受到的合力为零
C．对支持它的物体没有压力
D．不受地球引力，也不受卫星对它的引力
4．可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道 ( )
A．与地球表面上某一纬度线 (非赤道)是共面同心圆
B．与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆
C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的
5．关于地球同步通迅卫星，下列说法正确的是： ( )
A．它一定在赤道上空运行
B．各国发射的这种卫星轨道半径都一样
C．它运行的线速度一定小于第一宇宙速度
D．它运行的线速度介于第一和第二宇宙速度之间
6．最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍。假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有 （ ）
A．恒星质量与太阳质量之比
B．恒星密度与太阳密度之比
C．行星质量与地球质量之比
D．行星运行速度与地球公转速度之比
7．若把地球视为密度均衡的球体，设想从地面挖一个小口径深井直通地心，将一个小球从井口自由下落，不计其他阻力，有关小球的运动的说法中，正确的是 ( )
A．小球做匀速下落
B．小球做加速运动，但加速度减小
C．小球先加速下落，后减速下落
D. 小球的加速度增大，速度也增大
8．某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用绕地球运转的轨道会慢慢减小。每次测量中，卫星的运动均可近似看作圆周运动，则它受到的万有引力、线速度及运动周期的变化情况是 ( )
A．变大、变小、变大 B．变小、变大、变小
C．变大、变大、变小 D．变小、变小、变大
9．一名宇航员来到某一星球上，如果该星球质量为地球的一半，它的直径也为地球的一半，那么这名宇航员在该星球上的重力是它在地球上重力的 ( )
A．4倍 B．0.5倍
C．0.25倍 D．2倍
10．如果引力常量G值为已知，地球质量的数量级也就成为可知，若已知引力常量 G=6.67×10—11N·m2/kg2，重力加速度g=9.8m／s2，地球半径R=6.4×l06m，则可知地球质量的数量级是( )
A．1018kg B．1020kg
C．1022kg D．1024kg
二．填空题（本题共5小题，共20分）
11．已知地球的质量为 M,万有引力恒量为G ,地球半径为R .用以上各量表示,在地球表面附近运行的人造地球卫星的第一宇宙速度 .
12．万有引力恒量是利用如图5-8-3所示的扭称装置测得的．装置中A是 ，B是T形架，放入两个等质量的球M后，由于M对m的引力作用，T形架旋转，当 力矩跟 力矩相平衡时，T形架停止不动，可根据小镜N反射的光在其刻度尺上移动的距离求出 ，进而求得万有引力F，再测出m、M和两球球心间的距离T ．即可算出引力常量G．
13．已知一颗人造卫星在某行星表面绕行星做匀速圆周运动，经过时间t，卫星的路程为s，卫星与行星的中心连线扫过的角度是1弧度，那么该卫星的环绕周期T= ，设万有引力恒量为G，该行星的质量为M= 。
14．无人飞船“神州二号”曾在离地面高度H=3.4×105m的圆轨道运动了47h，求在这段时间里它绕地球 少周？（地球半径R=6.37×106m，重力加速度g=9.8m/s2）
15．已知地球半径约为6．4×106m，又知月球绕地球运动可以近似地看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为 m．(结果只保留一位有效数字)
三．综合题（本题第16、17、题各5分，其余各题均7分，计40分）
16．试求赤道上空同步卫星离地面的高度h 和运动线速度υ各是多少 （已知地球质量6.01024kg地球的赤道半径R=6.4,引力常量G=6.67m ,地球自转周期 T=24h ）
17．地球是一个不规则的椭球，它的极半径为6357km，赤道半径为6378km，质量M=5.98×1024kg，
(1)物体在两极受的引力与在赤道所受的引力之比值是多少
(2)在赤道、两极附近用弹簧测力计测量质量为lkg的物体重力时，示数分别是多少
18．设想有一宇航员在某行星的极地上着陆时，发现在当地的重力是同一物体在地球上重力的0.01倍，而该行星一昼夜的时间与地球相同，物体在它的赤道时恰好失重，若存在这样的星球，它的半径R应是多大
19．某人在一星球上以速度竖直上抛一物体，设t秒钟后物体落回手里，已知星球的半径为R，那么至少要用多大的速度沿星球表面抛出，才能使物体不再落回星球表面？
20．21世纪，我国某宇航员踏上一半径为R的球状星体，该宇航员在该星体上能否用常规方法测量出该星球的质量 如果能，需要何种常用器材
21．两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量．
22．阅读下列材料，并提出和解决问题．
据《科技日报>报道：英国伦敦大学科学家最新测算表明，被称为地核的地球最内层的温度可达5500 C，这一结果大大高出早先的一些估算．
地球内部是一种层状结构，由表及里分别划分为地壳、地幔和地核，主要由铁元素组成的地核又细分为液态外核和固态内核，其中外核距地球表面约为2900km,地核距地球表面如此之深，直接测量其温度几乎是不可能的，为此科学家提出，如果能估计出地核主要成分铁元素的熔点，特别是固态内核和液态外核交界处的熔融温度，那么就可以间接得出地核温度的高低．
地核中铁元素处于极高压力环境中，其熔点比其位于地表时的1800℃．要高出许多，伦敦大学学院的研究人员在研究中采用了新的研究方法，来估算巨大压力下铁的熔点变化情况，研究人员最终估算认为，地核的实际温度可能在5500℃．
（1）至少提出三个与此文有关的物理知识或方法的问题(不必回答问题，提问要简单明了，每一问不超过15字)
_____________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
(2)若地核的体积约为整个地球体积的a％，地核质量约为地球质量的b％，试估算地核的平均密度为______________ (可提供的数据还有：地球自转角速度ω，地球自转周期T，地球半径R，地球表面处的重力加速度g，万有引力常量．
参考答案：
1．B 2．A 3．C 4．C D 5．A B C 6．A D 7．B 8．C 9．D 10．D
11．
12．A是倒挂在支架上的石英丝(或金属丝)；M对 m的万有引力的力矩；石英丝(或金属丝)的扭转力矩平衡；石英丝(或金属丝)扭转的角度(或扭转力矩)
13． 2πt；
14．31周
15．3×108m
16． 卫星离地面的高度为3.59107
同步卫星的线速度为3.08×103m/s
17．（1）1.0066∶1 （2）在两极附近测力计示数T等于地球的引力9.8701N；赤道附近测力计示数T为9.4682N
18．1.85×107m 19．
20．解：实验原理：用常规方法测出该星球表面的重力加速度，由
g=G可计算出星球的质量M=
方法一用弹簧称，依据二力平衡原理测星球表面某物体重力F，用天平测其质量m，由g=计算重力加速度，进而计算出星球质量M=.
方法二使某一物体由静止自由落下，由米尺测落下的高度h，用秒表测落下的时间t，则有h=gt2，求得g=
所以，该星球的质量为M=
21．
22．解：第(1)问是开放，创新，探究式问题，无确切答案，只要是与题目提供的材料相关的知识或方法类问题，都在要求范围内．
可提出以下问题：
①液态外核内还会有固态的内核吗
②为什么地核中压力极高
③铁的熔点随压强是如何变化的？
④液态外核会影响地球的白转运动吗
⑤强大压力和流动的液态是地震产生的原因吗
⑥铁元素的熔点为什么和压力有关
⑦地球内部的压力是怎样产生的
⑧采用了什么新的研究方法来估算巨大压力下铁的熔点变化情况
…………
(2)
图5－8－3第５章《万有引力定律及其应用》 单元练习
一、选择题：
1．利用下列哪组数据，可以计算出地球质量 （ ）
A．已知地球半径和地面重力加速度
B．已知卫星绕地球作匀速圆周运动的轨道半径和周期
C．已知月球绕地球作匀速圆周运动的周期和月球质量
D．已知同步卫星离地面高度和地球自转周期
2．“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下判断错误的是（ ）
A．天体A、B表面的重力加速度与它们的半径成正比
B．两颗卫星的线速度一定相等
C．天体A、B的质量可能相等
D．天体A、B的密度一定相等
3．已知某天体的第一宇宙速度为8 km/s，则高度为该天体半径的宇宙飞船的运行速度为（ ）
A．2km/s B．4 km/s
C．4 km/s D．8 km/s
4．探测器探测到土星外层上有一个环.为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来确定（ ）
A．若v∝R，则该环是土星的一部分
B．若v2∝R，则该环是土星的卫星群
C．若v∝1/R，则该环是土星的一部分
D．若v2∝1/R，则该环是土星的卫星群
5．2002年12月30日凌晨，我国的“神舟”四号飞船在酒泉载人航天发射场发射升空，按预定计划在太空飞行了6天零18个小时，环绕地球108圈后，在内蒙古中部地区准确着陆，圆满完成了空间科学和技术试验任务，为最终实现载人飞行奠定了坚实基础.若地球的质量、半径和引力常量G均已知，根据以上数据可估算出“神舟”四号飞船的 （ ）
A．离地高度 B．环绕速度 C．发射速度 D．所受的向心力
6．航天技术的不断发展，为人类探索宇宙创造了条件.1998年1月发射的“月球勘探者号”空间探测器，运用最新科技手段对月球进行近距离勘探，在月球重力分布、磁场分布及元素测定等方面取得最新成果.探测器在一些环形山中央发现了质量密集区，当飞越这些重力异常区域时 （ ）
A．探测器受到的月球对它的万有引力将变大
B．探测器运行的轨道半径将变大
C．探测器飞行的速率将变大
D．探测器飞行的速率将变小
二、计算题：
7．宇航员站在某一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。
8．我国自制新型“长征”运载火箭，将模拟载人航天试验飞船“神舟三号”送入预定轨道，飞船绕地球遨游太空t＝7天后又顺利返回地面.飞船在运动过程中进行了预定的空间科学实验，获得圆满成功。
（1）设飞船轨道离地高度为h，地球半径为R，地面重力加速度为g.则“神舟三号”飞船绕地球正常运转多少圈 (用给定字母表示).
（2）若h＝600 km，R＝6400 km，则圈数为多少
9．在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为r0的均匀球体。
参考答案：
1．A B 2．B 3．C 4．AD 5．AB 6．AC
7．解析：设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，则有
x+y=L （1）
由平抛运动的规律得知，当初速度增大到2倍，其水平射程也增大到2x，可得
(2x)+h=(L) （2）
由以上两式解得h= （3）
设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得h=gt （4）
由万有引力定律与牛顿第二定律得（式中m为小球的质量） （5）
联立以上各式得：。
8．解：（1）在轨道上 ①
v=② 在地球表面：=mg ③
联立①②③式得：T=
故n=
（2）代人数据得：n=105圈
9．以g＇表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m表示火星的卫星的质量，m＇表示火星表面出某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有 ①
②
设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为v1，水平分量仍为v0，有 ③
④
由以上各式解得 ⑤高一物理必修2单元测试卷(四)
(内容:匀速圆周运动;满分:100分;考试时间:100分钟)
一、选择题(总分48分。其中1-8题为单选题，每题4分；9-12题为多选题，每题4分，全部选对得4分，选不全得2分，有错选和不选的得0分。)
1.下列说法正确的是( )
A.匀速圆周运动是一种线速度不变的运动 B.匀速圆周运动是一种匀变速曲线运动
C.匀速圆周运动是一种变加速运动 D.不能判断
2．一辆卡车在丘陵地匀速行驶,地形如图所示，由于轮胎太旧，途中爆胎，爆胎可能性最大的地段应是（ ）
A．a处 B．b处 C．c处 D．d处
3.如图所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则：则（ ）
A.a点与b点的线速度大小相等；
B.a点与b点的角速度大小相等；
C.a点与c点的角速度大小相等；
D.a点与d点的向心加速度大小相等。
4.如图所示,在固定的圆锥形漏斗的光滑内壁上,有两个质量相等的小物块A和B,它们分别紧贴漏斗的内 壁.在不同的水平面上做匀速圆周运动,则以下叙述正确的是( )
物块A的线速度大于物块B的线速度
物块A的角速度大于物块B的角速度
物块A对漏斗内壁的压力大于物块B对漏斗内壁的压力
物块A的周期小于物块B的周期
5．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体与圆筒一起运动，物体相对桶壁静止．则（ ）
物体受到4个力的作用．
物体所受向心力是物体所受的重力提供的．
物体所受向心力是物体所受的弹力提供的．
D．物体所受向心力是物体所受的静摩擦力提供的．
6.在一段半径为R的圆孤形水平弯道上,已知弯道路面对汽车轮胎的最大静摩擦力等于车重的μ倍,则汽车拐弯时的安全速度是（ ）
7.如图所示,轻杆的一端有一个小球,另一端有光滑的固定轴O.再给球一初速度,使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动,不计空气阻力,用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力.则F ( )
A.一定是拉力
Ｂ．一定是推力
Ｃ．一定等于０
Ｄ．可能是拉力，可能是推力，也可能等于０
8．如图所示，质量为m的物体从半径为R的半球形碗边向碗底滑动，滑到最低点时的速度为v，若物体与碗的动摩擦因数为μ，则物体滑到最低点时受到的摩擦力的大小是( )
A．μmg B．
C． D．
9．如图所示，两个半径不同内壁光滑的半圆轨道，固定于地面，一小球先后从与球心在同一水平高度上的A、B两点，从静止开始自由滑下，通过最低点时，下述说法正确的是 ( )
A．小球对轨道底部的压力相同
B．小球对轨道底部的压力不同
C．速度大小不同，半径大的速度大
D．向心加速度的大小相同
10．如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的（ ）
A．线速度突然增大
B．角速度突然增大
C．向心加速度突然增大
D．悬线拉力突然增大
11.质量为m的物体置于一个水平转台上，物体距转轴为r，当转速为ω时，物体与转台相对静止，如图.那么，下列说法中正确的是( )
A.物体受重力、弹力、摩擦力和向心力作用
B.物体所受摩擦力在圆轨道的切线方向，与线速度方向相反
C.物体所受摩擦力指向圆心，提供物体运动所需的向心力
D.当ω逐渐增大时，摩擦力逐渐增大，ω超过某值时，物体会相对滑动
12.如图所示,细绳一端系着质量为M=0.6㎏的物体,静止在水平面上,另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3㎏的物体,M的中心与圆孔距离为0.2m,并知M和水平面的最大静摩擦力为2N,现使此物体绕中心轴转动,角速度为下列哪些值时,能使m处于静止状态( )
A.3 rad/s B.5 rad/s
C.6 rad/s D.8 rad/s
二、填空实验题（10分）
13．(4分) 汽车通过拱桥顶点的速度为10m/s时，车对桥的压力为车重的3/4，如果使汽车行驶至桥顶时桥恰无压力，则汽车速度大小为___________ m/s。
14．(6分)一个有一定厚度的圆盘，可以绕通过中心垂直于盘面的水平轴转动，用下面的方法测量它匀速转动时的角速度。实验器材：电磁打点计时器，米尺，纸 带，复写纸片。实验步骤如下：
（1）如图所示，将电磁打点计时器固定在桌面上，将纸带的一端穿过打点计时器的限位孔后，固定在待测圆盘的侧面上，使得圆转动时，纸带可以卷在圆盘侧面上。
（2）启动控制装置使圆盘转动，同时接通电源，打点计时器开始打点。
（3）经过一段时，停止转动和打点，取下纸带，进行测量。
a.由已知量和测得量表示的角速度的表达式为ω=_______________，式中各量的意义是_______________________________________________。
b.某次实验测得圆盘半径r=5.50×10-2m，得到纸带一段如下图所示。求得角速度为__。
三、计算题：（共42分，解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写最后答案不得分。有数值计算的题，答案应明确写出数值和单位。）
15．（8分）如图所示，长为l的细线下系一质量为m的小球，线上端固定在O点，小球可以在竖直面内摆动，不计空气阻力，当小球从摆角为θ的位置由静止运动到最低点的过程中，
求：（1）重力对小球做的功？
（2）小球在最低点时，细线对小球的拉力？
16．(8分)如图，飞机做俯冲拉起运动时，在最低点附近做半径r＝180m的圆周运动，如果飞行员的体重(质量)m＝72kg。 飞机经过最低点户时的速度v＝360km/h(g取10m/s2) 求这时飞行员对座位的压力
17.(8分)如图所示, 在半径为R的水平圆盘的正上方高h处水平
抛出一个小球, 圆盘做匀速转动,当圆盘半径OB转到与小球水平
初速度方向平行时,小球开始抛出, 当圆盘转一周时使小球恰好又
落在B点, 求小球的初速度v和圆盘转动的角速度ω.
18．(8分)如图所示，小球沿光滑的水平面冲上一光滑的半圆形轨道，轨道半公式为R，小球在轨道的最高点对轨道压力等于小球的重力，问：
（1）小球离开轨道落到距地面高为R/2处时，小球的水平位移是多少？
（2）小球落地时速度为多大？
19．(10分)A、B两球质量分别为m1与m2，用一劲度系数为K的弹簧相连，一长为l1的细线与m1相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴OO′上，如图所示，当m1与m2均以角速度ω绕OO′做匀速圆周运动时，弹簧长度为l2。求：
（1）此时弹簧伸长量多大？绳子张力多大？
（2）将线突然烧断瞬间两球加速度各多大？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C D D A C A
题号 7 8 9 10 11 12
答案 D B ACD BCD CD ABC
13. ２0 m/s 14. 为n个时间间隔的距离，T为 打点计时器的打点周期，R为圆盘半径；6.76~6.81rad/s；
15.（1） （2）
16. 4720N 17.
18.R，
19. （1）弹簧伸长量Δl=m2w2(l1＋l2)/K，绳子拉力T=m1w2l1＋m2w2(l1＋l2)
（2）线烧断瞬间，A球加速度a1=F/m1=m2w2(l1＋l2)/m1 B球加速度a2=F/m2=w2(l1＋l2)
（第2题）
第3题目
第4题
第5题
第7题
第8题
第9题
（第10题）
第11题
第12题
第14题
θ
O
第15题
第16题
第17题
（第18题）
（第19题）第五章《万有引力定律及其应用》测试5
一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．两个质量相等的球形物体，两球心相距r，它们之间的万有引力为F，若它们的质量都加倍，两球心的距离也加倍，它们之间的作用力为( )
A．4F B．F C．F D．F
2．行星绕恒星运动的椭圆轨道的半长轴R的三次方与周期T的平方的比值为常量，设=k，则k的大小( )
A．只与恒星的质量有关
B．与恒星的质量及行星的质量有关系
C．只与行量的质量有关系
D．与恒星的质量及行星的速度有关系
3．人造卫星中的物体处于失重状态是指物体 （ ）
A．不受地球引力作用
B．受到的合力为零
C．对支持它的物体没有压力
D．不受地球引力，也不受卫星对它的引力
4．可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道 ( )
A．与地球表面上某一纬度线 (非赤道)是共面同心圆
B．与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆
C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的
5．关于地球同步通迅卫星，下列说法正确的是： ( )
A．它一定在赤道上空运行
B．各国发射的这种卫星轨道半径都一样
C．它运行的线速度一定小于第一宇宙速度
D．它运行的线速度介于第一和第二宇宙速度之间
6．最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍。假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有 （ ）
A．恒星质量与太阳质量之比
B．恒星密度与太阳密度之比
C．行星质量与地球质量之比
D．行星运行速度与地球公转速度之比
7．若把地球视为密度均衡的球体，设想从地面挖一个小口径深井直通地心，将一个小球从井口自由下落，不计其他阻力，有关小球的运动的说法中，正确的是 ( )
A．小球做匀速下落
B．小球做加速运动，但加速度减小
C．小球先加速下落，后减速下落
D. 小球的加速度增大，速度也增大
8．某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用绕地球运转的轨道会慢慢减小。每次测量中，卫星的运动均可近似看作圆周运动，则它受到的万有引力、线速度及运动周期的变化情况是 ( )
A．变大、变小、变大 B．变小、变大、变小
C．变大、变大、变小 D．变小、变小、变大
9．一名宇航员来到某一星球上，如果该星球质量为地球的一半，它的直径也为地球的一半，那么这名宇航员在该星球上的重力是它在地球上重力的 ( )
A．4倍 B．0.5倍
C．0.25倍 D．2倍
10．如果引力常量G值为已知，地球质量的数量级也就成为可知，若已知引力常量 G=6.67×10—11N·m2/kg2，重力加速度g=9.8m／s2，地球半径R=6.4×l06m，则可知地球质量的数量级是( )
A．1018kg B．1020kg
C．1022kg D．1024kg
二．填空题（本题共5小题，共20分）
11．已知地球的质量为M,万有引力恒量为G ,地球半径为R .用以上各量表示,在地球表面附近运行的人造地球卫星的第一宇宙速度 .
12．万有引力恒量是利用如图5-8-3所示的扭称装置测得的．装置中A是 ，B是T形架，放入两个等质量的球M后，由于M对m的引力作用，T形架旋转，当 力矩跟 力矩相平衡时，T形架停止不动，可根据小镜N反射的光在其刻度尺上移动的距离求出 ，进而求得万有引力F，再测出m、M和两球球心间的距离T ．即可算出引力常量G．
13．已知一颗人造卫星在某行星表面绕行星做匀速圆周运动，经过时间t，卫星的路程为s，卫星与行星的中心连线扫过的角度是1弧度，那么该卫星的环绕周期T= ，设万有引力恒量为G，该行星的质量为M= 。
14．无人飞船“神州二号”曾在离地面高度H=3.4×105m的圆轨道运动了47h，求在这段时间里它绕地球 少周？（地球半径R=6.37×106m，重力加速度g=9.8m/s2）
15．已知地球半径约为6．4×106m，又知月球绕地球运动可以近似地看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为 m．(结果只保留一位有效数字)
三．综合题（本题第16、17、题各5分，其余各题均7分，计40分）
16．试求赤道上空同步卫星离地面的高度h 和运动线速度υ各是多少 （已知地球质量6.01024kg地球的赤道半径R=6.4,引力常量G=6.67m ,地球自转周期 T=24h ）
17．地球是一个不规则的椭球，它的极半径为6357km，赤道半径为6378km，质量M=5.98×1024kg，
(1)物体在两极受的引力与在赤道所受的引力之比值是多少
(2)在赤道、两极附近用弹簧测力计测量质量为lkg的物体重力时，示数分别是多少
18．设想有一宇航员在某行星的极地上着陆时，发现在当地的重力是同一物体在地球上重力的0.01倍，而该行星一昼夜的时间与地球相同，物体在它的赤道时恰好失重，若存在这样的星球，它的半径R应是多大
19．某人在一星球上以速度竖直上抛一物体，设t秒钟后物体落回手里，已知星球的半径为R，那么至少要用多大的速度沿星球表面抛出，才能使物体不再落回星球表面？
20．21世纪，我国某宇航员踏上一半径为R的球状星体，该宇航员在该星体上能否用常规方法测量出该星球的质量 如果能，需要何种常用器材
21．两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量．
22．阅读下列材料，并提出和解决问题．
据《科技日报>报道：英国伦敦大学科学家最新测算表明，被称为地核的地球最内层的温度可达5500 C，这一结果大大高出早先的一些估算．
地球内部是一种层状结构，由表及里分别划分为地壳、地幔和地核，主要由铁元素组成的地核又细分为液态外核和固态内核，其中外核距地球表面约为2900km,地核距地球表面如此之深，直接测量其温度几乎是不可能的，为此科学家提出，如果能估计出地核主要成分铁元素的熔点，特别是固态内核和液态外核交界处的熔融温度，那么就可以间接得出地核温度的高低．
地核中铁元素处于极高压力环境中，其熔点比其位于地表时的1800℃．要高出许多，伦敦大学学院的研究人员在研究中采用了新的研究方法，来估算巨大压力下铁的熔点变化情况，研究人员最终估算认为，地核的实际温度可能在5500℃．
（1）至少提出三个与此文有关的物理知识或方法的问题(不必回答问题，提问要简单明了，每一问不超过15字)
_____________________________
_______________________________
_______________________________
_______________________________
(2)若地核的体积约为整个地球体积的a％，地核质量约为地球质量的b％，试估算地核的平均密度为______________ (可提供的数据还有：地球自转角速度ω，地球自转周期T，地球半径R，地球表面处的重力加速度g，万有引力常量．
参考答案：
1．B 2．A 3．C 4．C D 5．A B C 6．A D 7．B 8．C 9．D 10．D
11．
12．A是倒挂在支架上的石英丝(或金属丝)；M对 m的万有引力的力矩；石英丝(或金属丝)的扭转力矩平衡；石英丝(或金属丝)扭转的角度(或扭转力矩)
13． 2πt；
14．31周
15．3×108m
16． 卫星离地面的高度为3.59107
同步卫星的线速度为3.08×103m/s
17．（1）1.0066∶1 （2）在两极附近测力计示数T等于地球的引力9.8701N；赤道附近测力计示数T为9.4682N
18．1.85×107m 19．
20．解：实验原理：用常规方法测出该星球表面的重力加速度，由
g=G可计算出星球的质量M=
方法一用弹簧称，依据二力平衡原理测星球表面某物体重力F，用天平测其质量m，由g=计算重力加速度，进而计算出星球质量M=.
方法二使某一物体由静止自由落下，由米尺测落下的高度h，用秒表测落下的时间t，则有h=gt2，求得g=
所以，该星球的质量为M=
21．
22．解：第(1)问是开放，创新，探究式问题，无确切答案，只要是与题目提供的材料相关的知识或方法类问题，都在要求范围内．
可提出以下问题：
①液态外核内还会有固态的内核吗
②为什么地核中压力极高
③铁的熔点随压强是如何变化的？
④液态外核会影响地球的白转运动吗
⑤强大压力和流动的液态是地震产生的原因吗
⑥铁元素的熔点为什么和压力有关
⑦地球内部的压力是怎样产生的
⑧采用了什么新的研究方法来估算巨大压力下铁的熔点变化情况
…………
(2)
图5－8－3万有引力定律及其应用 单元测试
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间90分钟，满分100分。
第Ⅰ卷（选择题， 48分）
一、本题共12小题：每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确．全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错的或不答的得0分．
1．已知同步卫星距地面的高度约为3.6×104km，若某一卫星距地面高为1.8×104km。地球半径为6.4×103km。则该卫星的周期约为 （ ）
A．3 h B．6 h C．10.6h D．12h
2．两个质量均匀的球体相距较远的距离r，它们之间的万有引力为10-8 N．若它们的质量、距离都增加为原来的2倍，则它们间的万有引力为 （ ）
A．4×10-8N B．10-8N C．2×10-8 N D．10 -4N
3．两个质量为M的星体，其连线的垂直平分线为PQ，O为两星体连线的中点．如图所示，一个质量为m的物体从O沿OP方向一直运动下去，则它受到的万有引力大小变化情况是 （ ）
A．一直增大
B．一直减小
C．先减小，后增大
D．先增大，后减小
4．一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体．要确定该行星的密度只需要测量 （ ）
A．飞船的轨道半径 B．飞船的运行速度
C．飞船的运行周期 D．行星的质量
5．最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕恒星运动一周所用的时间为1200 年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个救据可以求出的量有 （ ）
A. 恒星质量与太阳质量之比
B．恒星密度与太阳密度之比
C．行星质量与地球质量之比
D．行星运行速度与地球公转速度之比
6．假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小为原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是 （ ）
A．地球的向心力变为缩小前的一半
B．地球的向心力变为缩小前的1/16
C．地球绕太阳公转周期与缩小前的相同
D．地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半
7．关于“亚洲一号”地球同步通讯卫星，下述说法正确的是 （ ）
A．已知它的质量是1.24t，若将它的质量增为2.48t，其同步轨道半径变为原来的2倍
B．它的运行速度为7. 9km/s
C．它可以定点在北京的正上方，所以我国能利用其进行电视转播
D．它距地面的高度约为地球半径的5倍，所以卫星的向心加速度约为其下方地面上物体的重力加速度的1/36
8．（2007·广东高考）现有两颗绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星A和B，它们的轨道半径分别为rA和rB．如果rA＞rB．则 （ ）
A．卫星A的运动周期比卫星B的运动周期大
B．卫星A的线速度比卫星B的线速度大
C．卫星A的角速度比卫星B的角速度大
D．卫星A的加速度比卫星B的加速度大
9．在“神舟”六号宇宙飞船中，随着航天员在轨道舱内停留时间的增加，体育锻炼成了一个必不可少的环节．下列器材适宜航天员在轨道舱中进行体育锻炼的是 （ ）
A．单杠 B．哑铃 C．弹力拉力器 D．跑步机
10．我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥l号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的1/81，月球的半径约为地球半径的1/4，地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为 （ ）
A．0.4 km/s B．1.8km/s C．11km/s D．36 km/s
11．欧盟和我国合作的“伽利略”全球卫星定位系统的空间部分由平均分布在三个轨道平面上的30颗轨道卫星构成，每个轨道平面上有10颗卫星，从而实现高精度的导航定位．现假设“伽利略”系统中每颗卫星均围绕地心O做匀速圆周运动，轨道半径为r，一个轨道平面上某时刻10颗卫星所在位置如图所示．相邻卫星之间的距离相等，卫星l和卫星3分别位于轨道上的A、B两位置．卫星均按顺时针方向运行．地球表面重力加速度为g，地球的半径为R，不计卫星间的相互作用力．则下列判断正确的是 （ ）
A．这10颗卫星的加速度大小相等，均为
B．要使卫星l追上并靠近卫星2通过向后喷气即可实现
C．卫星1由位置A运动到B所需要的时间为，
D．卫星1由位置A运动到B的过程中,线速度大小为
12．2006年2月10日，如图所示被最终确定为中国月球探测工程形象标志．它以中国书法的笔触，抽象地勾勒出一轮明月，一双脚印踏在其上，象征着月球探测的终极梦想．一位善于思考的同学，为探月宇航员设计了测量卫星绕月球表面做圆周运动的最小周期的方法：在月球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，若物体只受该月球引力的作用，物体上升的最大高度为h，已知该月球的直径为d，如果在月球上发射一颗绕它运行的卫星，其做圆周运动的最小周期为 （ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，52分）
二、本题共2小题：每空3分，共9分，把答案填在相应的横线上或括号内．
13．地核的体积约为整个地球体积的16 %，地核的质量约为地球质量的34 %，试估算地核的平均密度为_________kg/m3 （结果取两位有效数字， R地=6.4×106m, G=6.7×10-11N·rn2/kg2，g=10m/s2）
14．（2007·海南高考）设地球绕太阳做匀速圆周运动，半径为R，速率为v，则太阳的质量可用v、R和引力常量G表示为__________．太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速率约为地球公转速率的7倍，轨道半径约为地球公转轨道半径的2×109倍．为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系中所有的恒星质量都集中在银河系中心．且银河系中恒星的平均质量约等于太阳的质量，则银河系中恒星数目约为________.
三、本题共4小题，15题9分，16题10分，17、18题各12分，共43分．解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤．只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．
15．如图所示，一架航天飞机，沿半径为r的圆轨道飞行，周期为T，为了返回地面，可以在轨道的A点适当降低速率，使飞船沿以地心为焦点的椭圆轨道运行，且椭圆轨道与地球表面在B点相切．若地球的半径为R，求飞船从A点飞到B点的时间是多少？
16．某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球半径的1/2．若在地球上高h处平抛一物体，水平射程为60m，则在该星球上从同样的高度和同样的初速度平抛同一物体，水平射程为多少？
17．我们的银河系中的恒星大约四分之一是双星．有一种双星，质量分别为m1和m2的两个星球，绕同一圆心做匀速圆周运动．它们之间的距离恒为L，不考虑其他星体的影响．两颗星的轨道半径和周期各是多少？
18．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．（取地球表面重力加速度g=10m/s2，阻力不计）
（1）求该星球表面附近的重力加速度g ,
（2）已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地= 1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地
参考答案
一、选择题：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
正确答案 B B D C AD BC D A C B ACD B
二、填空题：
13． 1.2×104 14． 1.0×1011个
三、计算题：
15．（9分）解：由题意知椭圆的半长轴为（R+r）/2 从A到B所用的时间正好是半个周期，设椭圆运动的周期为T
根据开普勒第三定律有 （4分）
得 （4分）
所以所需时间 （1分）
16．（10分）解：设星球的质量为M1，半径为R1，表面的重力加速度为g ，地球的质量为M2，半径为R2，表面的重力加速度为g ，则
在星球表而的物体 （1分）
在地球表面的物体 （1分）
则重力加速度之比为 （2分）
平抛物体时s=vt ， ，所以 （2分）
则水平射程之比 （2分）
星球表面的水平射程， （2分）
17．（12分）解：设m1的轨道半径为R1，m2的轨道半径为R2。由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同．由向心力公式可得：
对m1， ① （2分）
对m2， ② （2分）
由①②式可得：m1R1=m2R2 又因为R1十R2=L,
所以 （2分）
（2分）
将，代入 ① 式可得：
（2分）
所以 （2分）
18．（12分）解: （1）设竖直上抛初速度为v0，则
（2分）
所以 g =g/5=2m/s （2分）
（2）设小球质量为m 则
（4分）
所以 （4分）
2,4,6
2,4,6
2,4,6