2016-2017学年江苏省南通市启东市九年级下学期开学数学试卷
一、选择题：
1．（2017九下·启东开学考）抛物线y=（x+1）2+2的顶点（ ）
A．（﹣1，2） B．（2，1）
C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）
2．（2017九下·启东开学考）如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是（ ）
A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm
3．（2017·历下模拟）如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（ ）
A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心
4．（2017·潮安模拟）如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（ ）
A．25° B．40° C．50° D．65°
5．（2017九下·启东开学考）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（ ）
A． B． C． D．
6．（2017九下·启东开学考）在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2017·启东模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2017九下·启东开学考）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|a﹣b+c|+|2a+b|=（ ）
A．a+b B．a﹣2b C．a﹣b D．3a
9．（2016九上·竞秀期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
10．（2017九下·启东开学考）如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC AD= AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个
二、填空题
11．（2017九下·启东开学考）“打开电视，正在播放《新闻联播》”是 事件．
12．如图，点A为反比例函数y=﹣ 图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为 ．
13．（2017九下·启东开学考）抛物线y=2x2﹣2 x+1与坐标轴的交点个数是 ．
14．（2017九下·启东开学考）如图，在⊙O中， ，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是 ．
15．（2017九下·启东开学考）如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为 ．
16．（2017九下·启东开学考）如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为 ．
17．（2017九下·启东开学考）有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2= ．
18．（2017·莒县模拟）如图，点A，B在反比例函数y= （k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是 ．
三、解答题
19．（2017九下·启东开学考）计算：（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0．
20．（2017·宁津模拟）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）
（参考数据：sin48°≈ ，tan48°≈ ，sin64°≈ ，tan64°≈2）
21．（2017九下·启东开学考）如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）并说明理由．
22．（2017八下·泰兴期末）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；
（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．
23．（2017·盘锦模拟）某校在践行“社会主义核心价值观”演讲比赛中，对名列前20名的选手的综合分数m进行分组统计，结果如表所示：
组号 分组 频数
一 6≤m＜7 2
二 7≤m＜8 7
三 8≤m＜9 a
四 9≤m≤10 2
（1）求a的值；
（2）若用扇形图来描述，求分数在8≤m＜9内所对应的扇形图的圆心角大小；
（3）将在第一组内的两名选手记为：A1、A2，在第四组内的两名选手记为：B1、B2，从第一组和第四组中随机选取2名选手进行调研座谈，求第一组至少有1名选手被选中的概率（用树状图或列表法列出所有可能结果）．
24．（2017九下·启东开学考）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan∠ACB= ，BC=2，求⊙O的半径．
25．（2017九下·启东开学考）如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．
（1）求m及k的值；
（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x+m≤ 的解集．
26．（2017九下·启东开学考）九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．
时间x（天） 1 30 60 90
每天销售量p（件） 198 140 80 20
（1）求出w与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．
27．（2017九下·启东开学考）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．
（1）已知BD= ，求正方形ABCD的边长；
（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．
28．（2017九下·启东开学考）如图，已知抛物线y= x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=（x+1）2+2，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，2），
故选A．
【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标．
2．【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面直径为60cm，
∴圆锥的底面周长为60πcm，
∴扇形的弧长为60πcm，
设扇形的半径为r，
则 =60π，
解得：r=40cm，
故选A．
【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可．
3．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：由图中可得：OA=OB=OC= ，
所以点O在△ABC的外心上，
故答案为：B
【分析】根据三角形的外接圆是外心，角形的内切圆是内心，由勾股定理求出OA=OB=OC的值，判断即可.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】连接OC，
∵圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，
∴AB是直径，
∵∠A=25°，
∴∠BOC=2∠A=50°，
∵CD是圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D=90°﹣∠BOC=40°．
故答案为：B．
【分析】连结OC，依据切线的性质可得到∠OCD=90°，然后依据圆周角定理可得到∠COD=50°，最后，依据直角三角形两锐角互余求解即可.
5．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），
∴OD=3，OC=4，
∵∠COD=90°，
∴CD= =5，
连接CD，如图所示：
∵∠OBD=∠OCD，
∴sin∠OBD=sin∠OCD= = ．
故选：D．
【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．
6．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意可得：口袋里共有12只球，其中白球2只，红球6只，黑球4只，
故从袋中取出一个球是黑球的概率：P（黑球）= = ，
故选：C．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB= BC= x，
根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB= x，
作EM⊥AD于M，则AM= AD= x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD= = = ；
故选：B．
【分析】设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB= BC= x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB= x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM= AD= x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：观察函数图象，发现：
图象过原点，c=0；
抛物线开口向上，a＞0；
抛物线的对称轴0＜﹣ ＜1，﹣2a＜b＜0．
∴|a﹣b+c|=a﹣b，|2a+b|=2a+b，
∴|a﹣b+c|+|2a+b|=a﹣b+2a+b=3a．
故选D．
【分析】观察函数图象找出“a＞0，c=0，﹣2a＜b＜0”，由此即可得出|a﹣b+c|=a﹣b，|2a+b|=2a+b，根据整式的加减法运算即可得出结论．
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴ = ，
∵DE∥AC，
∴ = = ，
∴ = ，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故选：B．
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到 = ， = = ，结合图形得到 = ，得到答案．
10．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，
∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，
∵点F是AB的中点，
∴FD= AB，
∵∠ABE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE，
∵点F是AB的中点，
∴FE= AB，
∴FD=FE，①正确；
∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，
在△AEH和△BEC中， ，
∴△AEH≌△BEC（ASA），
∴AH=BC=2CD，②正确；
∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，
∴△ABD～△BCE，
∴ = ，即BC AD=AB BE，
∵ AE2=AB AE=AB BE，BC AD=AC BE=AB BE，
∴BC AD= AE2；③正确；
∵F是AB的中点，BD=CD，∴
S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；
故选：D．
【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD= AB，证明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，证出FE= AB，延长FD=FE，①正确；
证出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA证明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正确；
证明△ABD～△BCE，得出 = ，即BC AD=AB BE，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC AD= AE2；③正确；
由F是AB的中点，BD=CD，得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；即可得出结论．
11．【答案】随机
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：“打开电视，正在播放《新闻联播》”是 随机事件，
故答案为：随机．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
12．【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：△ABO的面积是： ×|﹣4|=2．
故答案是：2．
【分析】根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S= |k|．即可求解．
13．【答案】2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x=0时，y=1，
则与y轴的交点坐标为（0，1），
当y=0时，2x2﹣2 x+1=0，
△=（2 ）2﹣4×1×2=0，
所以，该方程有两个相等解，即抛物线y=2x2﹣2 x+1与x轴有一个点．
综上所述，抛物线y=2x2﹣2 x+1与坐标轴的交点个数是2个．
故答案为：2．
【分析】当x=0时，求出与y轴的纵坐标；当y=0时，求出关于x的一元二次方程2x2﹣2 x+1的根的判别式的符号，从而确定该方程的根的个数，即抛物线y=2x2﹣2 x+1与x轴的交点个数．
14．【答案】20°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接CO，如图：
∵在⊙O中， ，
∴∠AOC=∠AOB，
∵∠AOB=40°，
∴∠AOC=40°，
∴∠ADC= ∠AOC=20°，
故答案为：20°．
【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=40°，再由圆周角定理即可得出结论．
15．【答案】25：9
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，
∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，
∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，BC=2BD，B′C′=2B′D′，
∴AD=AB sinB，A′D′=A′B′ sinB′，BC=2BD=2AB cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′ cosB′，
∵∠B+∠B′=90°，
∴sinB=cosB′，sinB′=cosB，
∵S△BAC= AD BC= AB sinB 2AB cosB=25sinB cosB，
S△A′B′C′= A′D′ B′C′= A′B′ cosB′ 2A′B′ sinB′=9sinB′ cosB′，
∴S△BAC：S△A′B′C′=25：9，
故答案为：25：9．
【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠B′=∠C′，根据三角函数的定义得到AD=AB sinB，A′D′=A′B′ sinB′，BC=2BD=2AB cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′ cosB′，然后根据三角形面积公式即可得到结论．
16．【答案】25
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意 =CD+BC=10，
S扇形ADB= AB= ×10×5=25，
故答案为25．
【分析】根据扇形面积公式：S= L R（L是弧长，R是半径），求出弧长BD，根据题意 =CD+BC，由此即可解决问题．
17．【答案】4：9
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为x，根据图形可得：
∵ = ，
∴ = ，
∴ = ，
∴S1= S正方形ABCD，
∴S1= x2，
∵ = ，
∴ = ，
∴S2= S正方形ABCD，
∴S2= x2，
∴S1：S2= x2： x2=4：9．
故答案是：4：9．
【分析】设大正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．
18．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，如图所示．
∵△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，E是AB的中点，
∴S△ABC=2S△BCE，S△ABD=2S△ADE，
∴S△ABC=2S△ABD，且△ABC和△ABD的高均为BF，
∴AC=2BD，
∴OD=2OC．
∵CD=k，
∴点A的坐标为（ ，3），点B的坐标为（﹣ ，﹣ ），
∴AC=3，BD= ，
∴AB=2AC=6，AF=AC+BD= ，
∴CD=k= = = ．
故答案为： ．
【分析】过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，由△BCE的面积是△ADE的面积的2倍以及E是AB的中点即可得出S△ABC=2S△ABD，结合CD=k即可得出点A、B的坐标，再根据AB=2AC、AF=AC+BD即可求出AB、AF的长度，根据勾股定理即可算出k的值，此题得解．
19．【答案】解：（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0
=1+2× ﹣ +1
=1+ ﹣ +1
=2
【知识点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0的值是多少即可．
20．【答案】解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48°
在Rt△ADB中，tan64°= ，
则BD= ≈ AB，
在Rt△ACB中，tan48°= ，
则CB= ≈ AB，
∴CD=BC﹣BD
即6= AB﹣ AB
解得：AB= ≈14.7（米），
∴建筑物的高度约为14.7米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC，根据CD=BC﹣BD可得关于AB 的方程，解方程可得．
21．【答案】解：如图，AD为所作．
理由：∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAC，
又∵∠ADB=∠ADC，
∴△ABD∽△CAD．
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】直接利用过直线外一点作已知直线的垂线作法得出AD，再利用相似三角形的判定方法得出答案．
22．【答案】（1）解：如图所示: △A1B1C1,即为所求；
（2）解：如图所示△A2B2C2，即为所求
A2坐标(－2，－2)
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【分析】(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案;
(2)利用位似图形的性质得出对应点的位置进而得出.
23．【答案】（1）解：由题意可得，
a=20﹣2﹣7﹣2=9，
即a的值是9；
（2）解：由题意可得，
分数在8≤m＜9内所对应的扇形图的圆心角为：360°× =162°；
（3）解：由题意可得，所有的可能性如下图所示，
故第一组至少有1名选手被选中的概率是： = ，
即第一组至少有1名选手被选中的概率是 ．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）根据被调查人数为20和表格中的数据可以求得a的值；（2）根据表格中的数据可以得到分数在8≤m＜9内所对应的扇形图的圆心角大；（3）根据题意可以写出所有的可能性，从而可以得到第一组至少有1名选手被选中的概率．
24．【答案】（1）解：直线CE与⊙O相切．
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；
又∵∠ACB=∠DCE，
∴∠DAC=∠DCE；
连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE；
∵∠DCE+∠DEC=90°
∴∠AE0+∠DEC=90°
∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．
又OE是⊙O的半径，
∴直线CE与⊙O相切
（2）解：∵tan∠ACB= = ，BC=2，
∴AB=BC tan∠ACB= ，
∴AC= ；
又∵∠ACB=∠DCE，
∴tan∠DCE=tan∠ACB= ，
∴DE=DC tan∠DCE=1；
方法一：在Rt△CDE中，CE= = ，
连接OE，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2=OE2+CE2，即 =r2+3
解得：r=
方法二：AE=AD﹣DE=1，过点O作OM⊥AE于点M，则AM= AE=
在Rt△AMO中，OA= = ÷ =
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OE．欲证直线CE与⊙O相切，只需证明∠CEO=90°，即OE⊥CE即可；（2）在直角三角形ABC中，根据三角函数的定义可以求得AB= ，然后根据勾股定理求得AC= ，同理知DE=1；方法一、在Rt△COE中，利用勾股定理可以求得CO2=OE2+CE2，即 =r2+3，从而易得r的值；方法二、过点O作OM⊥AE于点M，在Rt△AMO中，根据三角函数的定义可以求得r的值．
25．【答案】（1）解：由题意可得：点A（2，1）在函数y=x+m的图象上，
∴2+m=1即m=﹣1，
∵A（2，1）在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴k=2
（2）解：∵一次函数解析式为y=x﹣1，令y=0，得x=1，
∴点C的坐标是（1，0），
由图象可知不等式组0＜x+m≤ 的解集为1＜x≤2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把点A坐标代入一次函数y=x+m与反比例函数y= ，分别求得m及k的值； （2）令直线解析式的函数值为0，即可得出x的值，从而得出点C坐标，根据图象即可得出不等式组0＜x+m≤ 的解集．
26．【答案】（1）解：当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数且k≠0），
∵y=kx+b经过点（0，40）、（50，90），
∴ ，解得： ，
∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；
当50≤x≤90时，y=90．
∴售价y与时间x的函数关系式为y= ．
由数据可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，
设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n（m、n为常数，且m≠0），
∵p=mx+n过点（60，80）、（30，140），
∴ ，解得： ，
∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x为整数），
当1≤x≤50时，w=（y﹣30） p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000；
当50≤x≤90时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．
综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=
（2）解：当1≤x≤50时，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，
∵a=﹣2＜0且1≤x≤50，
∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元．
当50≤x≤90时，w=﹣120x+12000，
∵k=﹣120＜0，w随x增大而减小，
∴当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．
∵6050＞6000，
∴当x=45时，w最大，最大值为6050元．
即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元
（3）解：当1≤x≤50时，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，
解得：30≤x≤50，
50﹣30+1=21（天）；
当50≤x≤90时，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，
解得：50≤x≤53 ，
∵x为整数，
∴50≤x≤53，
53﹣50+1=4（天）．
综上可知：21+4﹣1=24（天），
故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元
【知识点】一元一次不等式组的应用；分段函数；一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50≤x≤90时，y=90．再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式；（2）根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当1≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50≤x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；（3）令w≥5600，可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，由此即可得出结论．
27．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴2AB2=BD2，
∵BD= ，
∴AB=1，
∴正方形ABCD的边长为1
（2）解：CN=2EM
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OC
∵CF=CA，AF是∠ACF的平分线，
∴CE⊥AF，AE=FE
∴EO为△AFC的中位线
∴EO∥BC
∴
∴在Rt△AEN中，OA=OC
∴EO=OC= AC，
∴CM= EM
∵AF平分∠ACF，
∴∠OCM=∠BCN，
∵∠NBC=∠COM=90°，
∴△CBN∽△COM，
∴ ，
∴CN= CM，
即CN=2EM
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质和勾股定理计算即可；（2）先判断出EO为△AFC的中位线，再由EO∥BC得出 ，进而利用直角三角形得出CM= EM，再判断出△CBN∽△COM得出比例式，进而得出CN= CM，即可得出结论．
28．【答案】（1）解：∵点A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y= x2+2x+1
（2）解：∵AC∥x轴，A（0，1）
∴ x2+2x+1=1，
∴x1=﹣6，x2=0，
∴点C的坐标（﹣6，1），
∵点A（0，1）．B（﹣9，10），
∴直线AB的解析式为y=﹣x+1，
设点P（m， m2+2m+1）
∴E（m，﹣m+1）
∴PE=﹣m+1﹣（ m2+2m+1）=﹣ m2﹣3m，
∵AC⊥EP，AC=6，
∴S四边形AECP
=S△AEC+S△APC
= AC×EF+ AC×PF
= AC×（EF+PF）
= AC×PE
= ×6×（﹣ m2﹣3m）
=﹣m2﹣9m
=﹣（m+ ）2+ ，
∵﹣6＜m＜0
∴当m=﹣ 时，四边形AECP的面积的最大值是 ，
此时点P（﹣ ，﹣ ）
（3）解：∵y= x2+2x+1= （x+3）2﹣2，
∴P（﹣3，﹣2），
∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3，
∴PF=CF，
∴∠PCF=45°
同理可得：∠EAF=45°，
∴∠PCF=∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的Q，
设Q（t，1）且AB=9 ，AC=6，CP=3
∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
① 当△CPQ∽△ABC时，
∴ ，
∴ ，
∴t=﹣4，
∴Q（﹣4，1）
②当△CQP∽△ABC时，
∴ ，
∴ ，
∴t=3，
∴Q（3，1）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）设点P（m， m2+2m+1），表示出PE=﹣ m2﹣3m，再用S四边形AECP=S△AEC+S△APC= AC×PE，建立函数关系式，求出极值即可；（3）先判断出PF=CF，再得到∠PCF=∠EAF，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况计算即可．
1 / 12016-2017学年江苏省南通市启东市九年级下学期开学数学试卷
一、选择题：
1．（2017九下·启东开学考）抛物线y=（x+1）2+2的顶点（ ）
A．（﹣1，2） B．（2，1）
C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=（x+1）2+2，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，2），
故选A．
【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标．
2．（2017九下·启东开学考）如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是（ ）
A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm
【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面直径为60cm，
∴圆锥的底面周长为60πcm，
∴扇形的弧长为60πcm，
设扇形的半径为r，
则 =60π，
解得：r=40cm，
故选A．
【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可．
3．（2017·历下模拟）如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（ ）
A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：由图中可得：OA=OB=OC= ，
所以点O在△ABC的外心上，
故答案为：B
【分析】根据三角形的外接圆是外心，角形的内切圆是内心，由勾股定理求出OA=OB=OC的值，判断即可.
4．（2017·潮安模拟）如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（ ）
A．25° B．40° C．50° D．65°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】连接OC，
∵圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，
∴AB是直径，
∵∠A=25°，
∴∠BOC=2∠A=50°，
∵CD是圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D=90°﹣∠BOC=40°．
故答案为：B．
【分析】连结OC，依据切线的性质可得到∠OCD=90°，然后依据圆周角定理可得到∠COD=50°，最后，依据直角三角形两锐角互余求解即可.
5．（2017九下·启东开学考）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），
∴OD=3，OC=4，
∵∠COD=90°，
∴CD= =5，
连接CD，如图所示：
∵∠OBD=∠OCD，
∴sin∠OBD=sin∠OCD= = ．
故选：D．
【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．
6．（2017九下·启东开学考）在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意可得：口袋里共有12只球，其中白球2只，红球6只，黑球4只，
故从袋中取出一个球是黑球的概率：P（黑球）= = ，
故选：C．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
7．（2017·启东模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB= BC= x，
根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB= x，
作EM⊥AD于M，则AM= AD= x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD= = = ；
故选：B．
【分析】设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB= BC= x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB= x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM= AD= x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．
8．（2017九下·启东开学考）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|a﹣b+c|+|2a+b|=（ ）
A．a+b B．a﹣2b C．a﹣b D．3a
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：观察函数图象，发现：
图象过原点，c=0；
抛物线开口向上，a＞0；
抛物线的对称轴0＜﹣ ＜1，﹣2a＜b＜0．
∴|a﹣b+c|=a﹣b，|2a+b|=2a+b，
∴|a﹣b+c|+|2a+b|=a﹣b+2a+b=3a．
故选D．
【分析】观察函数图象找出“a＞0，c=0，﹣2a＜b＜0”，由此即可得出|a﹣b+c|=a﹣b，|2a+b|=2a+b，根据整式的加减法运算即可得出结论．
9．（2016九上·竞秀期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴ = ，
∵DE∥AC，
∴ = = ，
∴ = ，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故选：B．
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到 = ， = = ，结合图形得到 = ，得到答案．
10．（2017九下·启东开学考）如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC AD= AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，
∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，
∵点F是AB的中点，
∴FD= AB，
∵∠ABE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE，
∵点F是AB的中点，
∴FE= AB，
∴FD=FE，①正确；
∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，
在△AEH和△BEC中， ，
∴△AEH≌△BEC（ASA），
∴AH=BC=2CD，②正确；
∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，
∴△ABD～△BCE，
∴ = ，即BC AD=AB BE，
∵ AE2=AB AE=AB BE，BC AD=AC BE=AB BE，
∴BC AD= AE2；③正确；
∵F是AB的中点，BD=CD，∴
S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；
故选：D．
【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD= AB，证明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，证出FE= AB，延长FD=FE，①正确；
证出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA证明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正确；
证明△ABD～△BCE，得出 = ，即BC AD=AB BE，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC AD= AE2；③正确；
由F是AB的中点，BD=CD，得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；即可得出结论．
二、填空题
11．（2017九下·启东开学考）“打开电视，正在播放《新闻联播》”是 事件．
【答案】随机
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：“打开电视，正在播放《新闻联播》”是 随机事件，
故答案为：随机．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
12．如图，点A为反比例函数y=﹣ 图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为 ．
【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：△ABO的面积是： ×|﹣4|=2．
故答案是：2．
【分析】根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S= |k|．即可求解．
13．（2017九下·启东开学考）抛物线y=2x2﹣2 x+1与坐标轴的交点个数是 ．
【答案】2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x=0时，y=1，
则与y轴的交点坐标为（0，1），
当y=0时，2x2﹣2 x+1=0，
△=（2 ）2﹣4×1×2=0，
所以，该方程有两个相等解，即抛物线y=2x2﹣2 x+1与x轴有一个点．
综上所述，抛物线y=2x2﹣2 x+1与坐标轴的交点个数是2个．
故答案为：2．
【分析】当x=0时，求出与y轴的纵坐标；当y=0时，求出关于x的一元二次方程2x2﹣2 x+1的根的判别式的符号，从而确定该方程的根的个数，即抛物线y=2x2﹣2 x+1与x轴的交点个数．
14．（2017九下·启东开学考）如图，在⊙O中， ，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是 ．
【答案】20°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接CO，如图：
∵在⊙O中， ，
∴∠AOC=∠AOB，
∵∠AOB=40°，
∴∠AOC=40°，
∴∠ADC= ∠AOC=20°，
故答案为：20°．
【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=40°，再由圆周角定理即可得出结论．
15．（2017九下·启东开学考）如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为 ．
【答案】25：9
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，
∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，
∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，BC=2BD，B′C′=2B′D′，
∴AD=AB sinB，A′D′=A′B′ sinB′，BC=2BD=2AB cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′ cosB′，
∵∠B+∠B′=90°，
∴sinB=cosB′，sinB′=cosB，
∵S△BAC= AD BC= AB sinB 2AB cosB=25sinB cosB，
S△A′B′C′= A′D′ B′C′= A′B′ cosB′ 2A′B′ sinB′=9sinB′ cosB′，
∴S△BAC：S△A′B′C′=25：9，
故答案为：25：9．
【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠B′=∠C′，根据三角函数的定义得到AD=AB sinB，A′D′=A′B′ sinB′，BC=2BD=2AB cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′ cosB′，然后根据三角形面积公式即可得到结论．
16．（2017九下·启东开学考）如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为 ．
【答案】25
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意 =CD+BC=10，
S扇形ADB= AB= ×10×5=25，
故答案为25．
【分析】根据扇形面积公式：S= L R（L是弧长，R是半径），求出弧长BD，根据题意 =CD+BC，由此即可解决问题．
17．（2017九下·启东开学考）有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2= ．
【答案】4：9
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为x，根据图形可得：
∵ = ，
∴ = ，
∴ = ，
∴S1= S正方形ABCD，
∴S1= x2，
∵ = ，
∴ = ，
∴S2= S正方形ABCD，
∴S2= x2，
∴S1：S2= x2： x2=4：9．
故答案是：4：9．
【分析】设大正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．
18．（2017·莒县模拟）如图，点A，B在反比例函数y= （k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，如图所示．
∵△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，E是AB的中点，
∴S△ABC=2S△BCE，S△ABD=2S△ADE，
∴S△ABC=2S△ABD，且△ABC和△ABD的高均为BF，
∴AC=2BD，
∴OD=2OC．
∵CD=k，
∴点A的坐标为（ ，3），点B的坐标为（﹣ ，﹣ ），
∴AC=3，BD= ，
∴AB=2AC=6，AF=AC+BD= ，
∴CD=k= = = ．
故答案为： ．
【分析】过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，由△BCE的面积是△ADE的面积的2倍以及E是AB的中点即可得出S△ABC=2S△ABD，结合CD=k即可得出点A、B的坐标，再根据AB=2AC、AF=AC+BD即可求出AB、AF的长度，根据勾股定理即可算出k的值，此题得解．
三、解答题
19．（2017九下·启东开学考）计算：（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0．
【答案】解：（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0
=1+2× ﹣ +1
=1+ ﹣ +1
=2
【知识点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式（﹣1）2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0的值是多少即可．
20．（2017·宁津模拟）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）
（参考数据：sin48°≈ ，tan48°≈ ，sin64°≈ ，tan64°≈2）
【答案】解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48°
在Rt△ADB中，tan64°= ，
则BD= ≈ AB，
在Rt△ACB中，tan48°= ，
则CB= ≈ AB，
∴CD=BC﹣BD
即6= AB﹣ AB
解得：AB= ≈14.7（米），
∴建筑物的高度约为14.7米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC，根据CD=BC﹣BD可得关于AB 的方程，解方程可得．
21．（2017九下·启东开学考）如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）并说明理由．
【答案】解：如图，AD为所作．
理由：∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAC，
又∵∠ADB=∠ADC，
∴△ABD∽△CAD．
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】直接利用过直线外一点作已知直线的垂线作法得出AD，再利用相似三角形的判定方法得出答案．
22．（2017八下·泰兴期末）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；
（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．
【答案】（1）解：如图所示: △A1B1C1,即为所求；
（2）解：如图所示△A2B2C2，即为所求
A2坐标(－2，－2)
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【分析】(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案;
(2)利用位似图形的性质得出对应点的位置进而得出.
23．（2017·盘锦模拟）某校在践行“社会主义核心价值观”演讲比赛中，对名列前20名的选手的综合分数m进行分组统计，结果如表所示：
组号 分组 频数
一 6≤m＜7 2
二 7≤m＜8 7
三 8≤m＜9 a
四 9≤m≤10 2
（1）求a的值；
（2）若用扇形图来描述，求分数在8≤m＜9内所对应的扇形图的圆心角大小；
（3）将在第一组内的两名选手记为：A1、A2，在第四组内的两名选手记为：B1、B2，从第一组和第四组中随机选取2名选手进行调研座谈，求第一组至少有1名选手被选中的概率（用树状图或列表法列出所有可能结果）．
【答案】（1）解：由题意可得，
a=20﹣2﹣7﹣2=9，
即a的值是9；
（2）解：由题意可得，
分数在8≤m＜9内所对应的扇形图的圆心角为：360°× =162°；
（3）解：由题意可得，所有的可能性如下图所示，
故第一组至少有1名选手被选中的概率是： = ，
即第一组至少有1名选手被选中的概率是 ．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）根据被调查人数为20和表格中的数据可以求得a的值；（2）根据表格中的数据可以得到分数在8≤m＜9内所对应的扇形图的圆心角大；（3）根据题意可以写出所有的可能性，从而可以得到第一组至少有1名选手被选中的概率．
24．（2017九下·启东开学考）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan∠ACB= ，BC=2，求⊙O的半径．
【答案】（1）解：直线CE与⊙O相切．
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；
又∵∠ACB=∠DCE，
∴∠DAC=∠DCE；
连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE；
∵∠DCE+∠DEC=90°
∴∠AE0+∠DEC=90°
∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．
又OE是⊙O的半径，
∴直线CE与⊙O相切
（2）解：∵tan∠ACB= = ，BC=2，
∴AB=BC tan∠ACB= ，
∴AC= ；
又∵∠ACB=∠DCE，
∴tan∠DCE=tan∠ACB= ，
∴DE=DC tan∠DCE=1；
方法一：在Rt△CDE中，CE= = ，
连接OE，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2=OE2+CE2，即 =r2+3
解得：r=
方法二：AE=AD﹣DE=1，过点O作OM⊥AE于点M，则AM= AE=
在Rt△AMO中，OA= = ÷ =
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OE．欲证直线CE与⊙O相切，只需证明∠CEO=90°，即OE⊥CE即可；（2）在直角三角形ABC中，根据三角函数的定义可以求得AB= ，然后根据勾股定理求得AC= ，同理知DE=1；方法一、在Rt△COE中，利用勾股定理可以求得CO2=OE2+CE2，即 =r2+3，从而易得r的值；方法二、过点O作OM⊥AE于点M，在Rt△AMO中，根据三角函数的定义可以求得r的值．
25．（2017九下·启东开学考）如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．
（1）求m及k的值；
（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x+m≤ 的解集．
【答案】（1）解：由题意可得：点A（2，1）在函数y=x+m的图象上，
∴2+m=1即m=﹣1，
∵A（2，1）在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴k=2
（2）解：∵一次函数解析式为y=x﹣1，令y=0，得x=1，
∴点C的坐标是（1，0），
由图象可知不等式组0＜x+m≤ 的解集为1＜x≤2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把点A坐标代入一次函数y=x+m与反比例函数y= ，分别求得m及k的值； （2）令直线解析式的函数值为0，即可得出x的值，从而得出点C坐标，根据图象即可得出不等式组0＜x+m≤ 的解集．
26．（2017九下·启东开学考）九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．
时间x（天） 1 30 60 90
每天销售量p（件） 198 140 80 20
（1）求出w与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．
【答案】（1）解：当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数且k≠0），
∵y=kx+b经过点（0，40）、（50，90），
∴ ，解得： ，
∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；
当50≤x≤90时，y=90．
∴售价y与时间x的函数关系式为y= ．
由数据可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，
设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n（m、n为常数，且m≠0），
∵p=mx+n过点（60，80）、（30，140），
∴ ，解得： ，
∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x为整数），
当1≤x≤50时，w=（y﹣30） p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000；
当50≤x≤90时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．
综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=
（2）解：当1≤x≤50时，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，
∵a=﹣2＜0且1≤x≤50，
∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元．
当50≤x≤90时，w=﹣120x+12000，
∵k=﹣120＜0，w随x增大而减小，
∴当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．
∵6050＞6000，
∴当x=45时，w最大，最大值为6050元．
即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元
（3）解：当1≤x≤50时，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，
解得：30≤x≤50，
50﹣30+1=21（天）；
当50≤x≤90时，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，
解得：50≤x≤53 ，
∵x为整数，
∴50≤x≤53，
53﹣50+1=4（天）．
综上可知：21+4﹣1=24（天），
故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元
【知识点】一元一次不等式组的应用；分段函数；一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50≤x≤90时，y=90．再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式；（2）根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当1≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50≤x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；（3）令w≥5600，可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，由此即可得出结论．
27．（2017九下·启东开学考）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．
（1）已知BD= ，求正方形ABCD的边长；
（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴2AB2=BD2，
∵BD= ，
∴AB=1，
∴正方形ABCD的边长为1
（2）解：CN=2EM
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OC
∵CF=CA，AF是∠ACF的平分线，
∴CE⊥AF，AE=FE
∴EO为△AFC的中位线
∴EO∥BC
∴
∴在Rt△AEN中，OA=OC
∴EO=OC= AC，
∴CM= EM
∵AF平分∠ACF，
∴∠OCM=∠BCN，
∵∠NBC=∠COM=90°，
∴△CBN∽△COM，
∴ ，
∴CN= CM，
即CN=2EM
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质和勾股定理计算即可；（2）先判断出EO为△AFC的中位线，再由EO∥BC得出 ，进而利用直角三角形得出CM= EM，再判断出△CBN∽△COM得出比例式，进而得出CN= CM，即可得出结论．
28．（2017九下·启东开学考）如图，已知抛物线y= x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为y= x2+2x+1
（2）解：∵AC∥x轴，A（0，1）
∴ x2+2x+1=1，
∴x1=﹣6，x2=0，
∴点C的坐标（﹣6，1），
∵点A（0，1）．B（﹣9，10），
∴直线AB的解析式为y=﹣x+1，
设点P（m， m2+2m+1）
∴E（m，﹣m+1）
∴PE=﹣m+1﹣（ m2+2m+1）=﹣ m2﹣3m，
∵AC⊥EP，AC=6，
∴S四边形AECP
=S△AEC+S△APC
= AC×EF+ AC×PF
= AC×（EF+PF）
= AC×PE
= ×6×（﹣ m2﹣3m）
=﹣m2﹣9m
=﹣（m+ ）2+ ，
∵﹣6＜m＜0
∴当m=﹣ 时，四边形AECP的面积的最大值是 ，
此时点P（﹣ ，﹣ ）
（3）解：∵y= x2+2x+1= （x+3）2﹣2，
∴P（﹣3，﹣2），
∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3，
∴PF=CF，
∴∠PCF=45°
同理可得：∠EAF=45°，
∴∠PCF=∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的Q，
设Q（t，1）且AB=9 ，AC=6，CP=3
∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
① 当△CPQ∽△ABC时，
∴ ，
∴ ，
∴t=﹣4，
∴Q（﹣4，1）
②当△CQP∽△ABC时，
∴ ，
∴ ，
∴t=3，
∴Q（3，1）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）设点P（m， m2+2m+1），表示出PE=﹣ m2﹣3m，再用S四边形AECP=S△AEC+S△APC= AC×PE，建立函数关系式，求出极值即可；（3）先判断出PF=CF，再得到∠PCF=∠EAF，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况计算即可．
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