2016-2017学年江苏省盐城市盐都区西片九年级下学期开学数学试卷
一、选择题
1．（2017九上·建湖期末）抛物线y=2（x﹣3）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1）
C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
2．（2017九上·建湖期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2017九上·建湖期末）初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下表所示，有两个数据被遮盖，如下表：那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩
得分 38 34 ■ 37 40 ■ 37
A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，5
4．（2017九下·盐都开学考）如图，已知a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F，若 = ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．1
5．（2017·合肥模拟）如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（ ）
A． B． C．AC2=AD AB D．CD2=AD BD
6．（2017九上·建湖期末）在同一时刻太阳光线是平行的，如果高1.5米的测杆影长3米，那么此时影长36米的旗杆的高度为（ ）
A．18米 B．12米 C．15米 D．20米
7．（2017九下·盐都开学考）已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜4 B．x＜﹣1或x＞3
C．x＜﹣1或x＞4 D．﹣1＜x＜3
8．（2017九下·盐都开学考）如图，边长分别为2和4的两个全等三角形，开始它们在左边重叠，大△ABC固定不动，然后把小△A′B′C′自左向右平移，直至移到点B′到C重合时停止，设小三角形移动的距离为x，两个三角形的重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2017九上·建湖期末）如果 ，那么 = ．
10．（2017九上·建湖期末）抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=﹣2，则b的值为 ．
11．（2017九下·盐都开学考）一元二次方程x（x﹣2）=0的解是 ．
12．（2017九下·盐都开学考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，∠ABC=50°，则∠BDC的大小是 ．
13．（2017九上·建湖期末）已知两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为56cm，则较小的三角形的周长为 ．
14．（2017九上·建湖期末）如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC的长为 ．
15．（2017九上·建湖期末）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP= ．
16．（2017九上·建湖期末）一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣ x2+ x+ ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米．
17．（2017九下·盐都开学考）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）、B（﹣2，﹣4）、C（﹣6，﹣5），以原点位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，则点B的对应点的坐标为 ．
18．（2017九下·盐都开学考）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②b2=4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确的结论是 ．（写出正确命题的序号）
三、解答题
19．（2017九上·建湖期末）计算：﹣ tan60°+4sin30°×cos245°．
20．（2017九上·建湖期末）一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球．
（1）请用画树状图或列表的方法列出所有可能出现的结果；
（2）求两次摸到“一只白球、一只红球”的概率．
21．（2017九下·盐都开学考）△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长？
22．（2017九下·盐都开学考）已知二次函数y=x2+bx+c的图象与直线y=x+1相交于点A（﹣1，m）和点B（n，5）．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这两个函数的大致图象；
（3）结合图象直接写出x2+bx+c＞x+1时x的取值范围．
23．（2017九上·建湖期末）已知二次函数y=x2﹣（2m+1）+（ m2﹣1）．
（1）求证：不论m取什么实数，该二次函数图象与x轴总有两个交点；
（2）若该二次函数图象经过点（2m﹣2，﹣2m﹣1），求该二次函数的表达式．
24．（2017九下·盐都开学考）如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且 ．
（1）试问：∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？
（2）试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．
25．（2017九下·盐都开学考）如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度？
26．（2017九下·盐都开学考）某网店以每件40元的价格购进一款童装．由试销知，每星期的销售量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式为t=﹣30x+2100．
（1）求每星期销售这款童装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
（3）为了使每星期利润不少于6000元，求每件销售价x的取值范围．
27．（2017九下·盐都开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为半径作⊙B，交AB于点D，交AB的延长线于点E，连接CD、CE．
（1）求证：△ACD∽△AEC；
（2）当 = 时，求tanE；
（3）若AD=4，AC=4 ，求△ACE的面积．
28．（2017九上·建湖期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，且抛物线经过A（﹣1，0），C（0，﹣5）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线上的一个动点，连接PB、PC，若△BPC是以BC为直角边的直角三角形，求此时点P的坐标；
（3）在抛物线上BC段有另一个动点Q，以点Q为圆心作⊙Q，使得⊙Q与直线BC相切，在运动的过程中是否存在一个最大⊙Q？若存在，请直接写出最大⊙Q的半径；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线y=2（x﹣3）2﹣1的顶点坐标是（3，﹣1）．
故选B．
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
2．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；概率公式
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，a=4，b=3，
∴c==5，
∴cosA==，
故选：A．
【分析】首先根据勾股定理计算出斜边长，然后根据余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦可得答案．
3．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵平均数为37，
∴第一个被遮盖的数据为37×5﹣（38+34+37+40）=36，
第二个被遮盖的数据为 ×[（38﹣37）2+（34﹣37）2+（36﹣37）2+（37﹣37）2+（40﹣37）2]=4，
故选：B．
【分析】根据平均数可得第一个被遮盖的数，根据方差计算公式可得第二个被遮盖的数．
4．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴ = ，
∵a∥b∥c，
∴ = = ，
故选B．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵在△ACD和△ABC中，∠A=∠A，
∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是： = ，
∴AC2=AD AB．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定要得到△ACD和△ABC相似，有一个角对应边相等，再得夹两角对应边成比例即可得到结论.
6．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴ = ，
解得旗杆的高度= ×36=18（m）．
故选：A．
【分析】根据同一时刻物高与影长成比例，列出比例式再代入数据计算即可．
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据图象可知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
则（﹣1，0）关于x=1对称的点为（3，0），
即抛物线与x轴另一个交点为（3，0），
所以y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．
故选D．
【分析】首先求出点（﹣1，0）关于对称轴x=1的对称点，进而结合图象可得当y＜0时x的取值范围．
8．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：①x≤2时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，
∴y= ×2× = ，
②当2＜x≤4时，重叠三角形的边长为4﹣x，高为 （4﹣x），
y= （4﹣x）× （4﹣x）= x2﹣2 x+4 ，
③当x=4时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0，
故选：C．
【分析】根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状．
9．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴a= b，
∴ = = ．
故答案为： ．
【分析】用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．
10．【答案】-8
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
∵y=2x2﹣bx+3，
∴对称轴为x=﹣ ，
∵抛物线的对称轴为x=﹣2，
∴﹣ =﹣2，解得b=﹣8
故答案为：﹣8．
【分析】利用对称轴公式可得到关于b的方程，可求得b的值．
11．【答案】x1=0，x2=2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x=0或x﹣2=0，
所以x1=0，x2=2．
故答案为：x1=0，x2=2．
【分析】利用因式分解法解方程．
12．【答案】40°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC=50°，
∴ 的度数为100°，
∵AB为直径，
∴ 的度数为80°，
∴∠BDC= ×80°=40°，
故答案为：40°．
【分析】根据∠ABC=50°求出 的度数为100°，求出 的度数为80°，即可求出答案．
13．【答案】24cm
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵相似三角形对应高的比为3：10，
∴相似三角形的相似比为3：10，
∴相似三角形周长的比为3：10，
设较小的三角形的周长为3x，则较大的三角形的周长为10x，
由题意得，10x﹣3x=56，
解得，x=8，
则3x=24，
故答案为24cm．
【分析】根据相似三角形的性质求出相似三角形周长的比，根据题意列出方程，解方程即可．
14．【答案】12
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，延长AG交BC于点D．
∵点G是△ABC的重心，AG=4，
∴点D为BC的中点，且AG=2DG=4，
∴DG=2，
∴AD=AG+DG=6，
∵△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边的中线，
∴BC=2AD=12．
故答案为12．
【分析】延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG=2DG=4，则AD=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
15．【答案】1或4或2.5
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①当△APD∽△PBC时， = ，
即 = ，
解得：PD=1，或PD=4；
②当△PAD∽△PBC时， = ，即 = ，
解得：DP=2.5．
综上所述，DP的长度是1或4或2.5．
故答案是：1或4或2.5．
【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．
16．【答案】3
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
y=﹣
=﹣ （x2﹣8x）+
=﹣ （x﹣4）2+3，
故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．
故答案为：3．
【分析】直接利用配方法求出二次函数最值即可．
17．【答案】（﹣1，﹣2）或（1，2）
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵以原点位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，
∴点B的对应点的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，2）．
故答案为（﹣1，﹣2）或（1，2）．
【分析】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，把B点的横纵坐标都乘以 或﹣ 即可得到点B的对应点的坐标．
18．【答案】①④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数图象开口向上，得到a＞0；与y轴交于负半轴，得到c＜0，
∵对称轴在y轴右侧，且﹣ =1，即2a+b=0，
∴a与b异号，即b＜0，
∴abc＞0，选项①正确；
∵二次函数图象与x轴有两个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，选项②错误；
∵原点O与对称轴的对应点为（2，0），
∴x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，选项③错误；
∵x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
把b=﹣2a代入得：3a+c＞0，选项④正确，
故答案是：①④．
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数，以及x=﹣1，x=2对应y值的正负判断即可．
19．【答案】解：原式=﹣ × +4× × =﹣3+1=﹣2
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
20．【答案】（1）解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数
（2）解：“一只白球、一只红球”的结果数为4，
所以两次摸到“一只白球、一只红球”的概率=
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果数；（2）找出“一只白球、一只红球”的结果数，然后利用概率公式求解．
21．【答案】解：过点C作CD⊥AB于D点，
在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，
∴CD= AC= ×4=2，
∴AD= = =2 ，
在Rt△CDB中，∠B=45°，CD=2，
∴CD=DB=2，
∴AB=AD+DB=2 +2．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】首先过点C作CD⊥AB于D点，由在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，即可求得CD与AD的长，又由在Rt△CDB中，∠B=45°，即可求得BD的长，继而求得答案．
22．【答案】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象与直线y=x+1相交于点A（﹣1，m）和点B（n，5），
∴m﹣1+1=0，n=1=5，即n=4，
∴点A（﹣1，0），点B（4，5），
∴ 解得 ，
∴二次函数的吉祥物为y=x2﹣2x﹣3
（2）解：这两个函数图象如图所示，
（3）解：由图象可知，x2+bx+c＞x+1时，x＜﹣1或x＞4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）首先求出A、B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）根据图象二次函数的图象在一次函数的图象上方，即可写出自变量的取值范围．
23．【答案】（1）解：∵b2﹣4ac=（2m+1）2﹣4（ m2﹣1）
=（4m2+4m+1）﹣2m2+4
=2m2+4m+5
=2（m+1）2+3＞0，
∴不论m取什么实数，方程x2﹣（2m+1）+（ m2﹣1）=0都有两个不相等的实数根，
∴不论m取什么实数，该二次函数图象与x轴总有两个交点
（2）解：∵该二次函数图象经过点（2m﹣2，﹣2m﹣1），
∴（2m﹣2）2﹣（2m+1）（2m﹣2）+（ m2﹣1）=﹣2m﹣1，
解得：m1=2，m2=6，
当m=2时，该二次函数的表达式为：y=x2﹣5x+1，
当m=6时，该二次函数的表达式为：y=x2﹣13x+17
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）首先求出b2﹣4ac的表达式，进而利用配方法求出其符号，进而得出答案；（2）将已知点代入进而求出m的值得出答案．
24．【答案】（1）解：∠BAE与∠CAD相等．
理由：∵ ，
∴△ABC∽△AED，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAE=∠CAD
（2）解：△ABE与△ACD相似．
∵ = ，
∴ = ．
在△ABE与△ACD中，
∵ = ，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先根据题意得出△ABC∽△AED，由相似三角形的性质即可得出结论；（2）先根据题意得出 = ，再由∠BAE=∠CAD即可得出结论．
25．【答案】解：由题意知，设AH=x，BH=y，
△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，
∴ = ， = ，
∴3x=1.5×（y+3），5x=1.5×（y+30+5）
解得x=24m．
答：旗杆AH的高度为24m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据AH∥CB∥DE，可得△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，可得 = ， = ，即可求得AH的值，即可解题．
26．【答案】（1）解：根据题意得：y=（x﹣40）t=（x﹣40）（﹣30x+2100）=﹣30x2+3300x﹣84000
（2）解：y=﹣30x2+3300x﹣84000=﹣30（x﹣55）2+6750，
∵a=﹣30＜0，
∴当x=55时，y取最大值，最大值为6750．
∴当每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润为6750元
（3）解：根据题意得：﹣30x2+3300x﹣84000≥6000，
解得：50≤x≤60．
答：为了使每星期利润不少于6000元，每件销售价x的取值范围为50≤x≤60
【知识点】一元一次不等式的应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润=（每件售价﹣40）×销售数量即可得出y关于x的函数表达式；（2）利用配方法将（1）得出的函数表达式变形，再根据二次函数的性质即可解决最值问题；（3）根据（1）结合每星期利润不少于6000元，即可得出关于x的一元二次不等式，解之即可得出每件销售价x的取值范围．
27．【答案】（1）证明：∵DE为直径，
∴∠DCE=90°，即∠2+∠DCB=90°，
∵∠ACB=90°，即∠1+∠DCB=90°，
∴∠1=∠2，
而∠CAD=∠EAC，
∴△ACD∽△AEC
（2）解：由 = ，设AC=4k，则BC=3k，
∴BD=BE=3k，
∴AB= =5k，
∴AE=AB+BE=5k+3k=8k，
在Rt△CDE中，tanE= ，
∵△ACD∽△AEC，
∴ = = = ，
∴tanE=
（3）作CH⊥AE于H，如图，
∵△ACD∽△AEC，
∴ = = ，即 = = ，解得AE=12，CE= CD，
∴DE=AE﹣AC=8，
在Rt△CDE中，∵tanE= = = ，
∴∠E=30°，
∴CD= DE=4，CE=4 ，
在Rt△CHE中，CH= CE=2 ，
∴△ACE的面积= ×12×2 =12 ．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理得到∠DCE=90°，而∠ACB=90°，则∠1=∠2，加上公共角，则可判断△ACD∽△AEC；（2）利用由 = 设AC=4k，BC=3k，由勾股定理计算出AB=5k，则AE=8k，再由△ACD∽△AEC，利用相似比得到 = = ，然后根据正切的定义可得tanE的值；（3）作CH⊥AE于H，如图，由△ACD∽△AEC，利用相似比得到AE=12，CE= CD，则DE=AE﹣AC=8，在Rt△CDE中利用三角函数和特殊角的三角形函数值得到∠E=30°，则可计算出CD= DE=4，CE=4 ，接着计算出CH，然后根据三角形面积公式求解．
28．【答案】（1）解：∵对称轴为x=2，且抛物线经过A（﹣1，0），
∴B（5，0）．
把B（5，0），C（0，﹣5）分别代入y=mx+n得 ，解得： ，
∴直线BC的解析式为y=x﹣5．
设y=a（x﹣5）（x+1），把点C的坐标代入得：﹣5a=﹣5，解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x﹣5
（2）解：①过点C作CP1⊥BC，交抛物线于点P1，如图，
则直线CP1的解析式为y=﹣x﹣5，
由 ，解得： （舍去）， ，
∴P1（3，﹣8）；
②过点B作BP2⊥BC，交抛物线于P2，如图，
则BP2的解析式为y=﹣x+5，
由 ，解得： （舍去）， ，
∴P2（﹣2，7）
（3）解：由题意可知，Q点距离BC最远时，半径最大．平移直线BC，使其与抛物线只有一个公共点Q（即相切），设平移后的直线解析式为y=x+t，
由 ，消去y整理得x2﹣5x﹣5﹣t=0，
△=25+4（5+t）=0，解得t=﹣ ，
∴平移后与抛物线相切时的直线解析式为y=x﹣ ，且Q（ ，﹣ ），
连接QC、QB，作QE⊥BC于E，如图，
设直线y=x﹣ 与y轴的交点为H，连接HB，
则 ，
∵CH=﹣5﹣（﹣ ）= ，
∴ = ，
∴ ，
∵ ，BC= ，
∴QE= ，
即最大半径为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据对称轴及A点坐标得出B点坐标，从而得出直线BC解析式，再由A、B、C三点坐标得出抛物线解析式；（2）分别过B、C两点作BC的垂线，得出垂线的解析式，与抛物线解析式联立解出P点；（3）平移BC到与抛物线刚好相切之处，此时的切点即为Q点，此时Q点距BC的距离最大，也就是半径最大．由于初中阶估没学点到直线的距离公式，那么这里可以用等面积法进行处理．设切线与y轴的交点为H，则△HBC与△QBC的面积相等，算出面积，再以BC为底，算出BC边上的高即为答案．
1 / 12016-2017学年江苏省盐城市盐都区西片九年级下学期开学数学试卷
一、选择题
1．（2017九上·建湖期末）抛物线y=2（x﹣3）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1）
C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线y=2（x﹣3）2﹣1的顶点坐标是（3，﹣1）．
故选B．
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
2．（2017九上·建湖期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义；概率公式
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，a=4，b=3，
∴c==5，
∴cosA==，
故选：A．
【分析】首先根据勾股定理计算出斜边长，然后根据余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦可得答案．
3．（2017九上·建湖期末）初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下表所示，有两个数据被遮盖，如下表：那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩
得分 38 34 ■ 37 40 ■ 37
A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，5
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵平均数为37，
∴第一个被遮盖的数据为37×5﹣（38+34+37+40）=36，
第二个被遮盖的数据为 ×[（38﹣37）2+（34﹣37）2+（36﹣37）2+（37﹣37）2+（40﹣37）2]=4，
故选：B．
【分析】根据平均数可得第一个被遮盖的数，根据方差计算公式可得第二个被遮盖的数．
4．（2017九下·盐都开学考）如图，已知a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F，若 = ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴ = ，
∵a∥b∥c，
∴ = = ，
故选B．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
5．（2017·合肥模拟）如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（ ）
A． B． C．AC2=AD AB D．CD2=AD BD
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵在△ACD和△ABC中，∠A=∠A，
∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是： = ，
∴AC2=AD AB．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定要得到△ACD和△ABC相似，有一个角对应边相等，再得夹两角对应边成比例即可得到结论.
6．（2017九上·建湖期末）在同一时刻太阳光线是平行的，如果高1.5米的测杆影长3米，那么此时影长36米的旗杆的高度为（ ）
A．18米 B．12米 C．15米 D．20米
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴ = ，
解得旗杆的高度= ×36=18（m）．
故选：A．
【分析】根据同一时刻物高与影长成比例，列出比例式再代入数据计算即可．
7．（2017九下·盐都开学考）已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜4 B．x＜﹣1或x＞3
C．x＜﹣1或x＞4 D．﹣1＜x＜3
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据图象可知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
则（﹣1，0）关于x=1对称的点为（3，0），
即抛物线与x轴另一个交点为（3，0），
所以y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．
故选D．
【分析】首先求出点（﹣1，0）关于对称轴x=1的对称点，进而结合图象可得当y＜0时x的取值范围．
8．（2017九下·盐都开学考）如图，边长分别为2和4的两个全等三角形，开始它们在左边重叠，大△ABC固定不动，然后把小△A′B′C′自左向右平移，直至移到点B′到C重合时停止，设小三角形移动的距离为x，两个三角形的重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：①x≤2时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，
∴y= ×2× = ，
②当2＜x≤4时，重叠三角形的边长为4﹣x，高为 （4﹣x），
y= （4﹣x）× （4﹣x）= x2﹣2 x+4 ，
③当x=4时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0，
故选：C．
【分析】根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状．
二、填空题
9．（2017九上·建湖期末）如果 ，那么 = ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴a= b，
∴ = = ．
故答案为： ．
【分析】用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．
10．（2017九上·建湖期末）抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=﹣2，则b的值为 ．
【答案】-8
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
∵y=2x2﹣bx+3，
∴对称轴为x=﹣ ，
∵抛物线的对称轴为x=﹣2，
∴﹣ =﹣2，解得b=﹣8
故答案为：﹣8．
【分析】利用对称轴公式可得到关于b的方程，可求得b的值．
11．（2017九下·盐都开学考）一元二次方程x（x﹣2）=0的解是 ．
【答案】x1=0，x2=2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x=0或x﹣2=0，
所以x1=0，x2=2．
故答案为：x1=0，x2=2．
【分析】利用因式分解法解方程．
12．（2017九下·盐都开学考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，∠ABC=50°，则∠BDC的大小是 ．
【答案】40°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC=50°，
∴ 的度数为100°，
∵AB为直径，
∴ 的度数为80°，
∴∠BDC= ×80°=40°，
故答案为：40°．
【分析】根据∠ABC=50°求出 的度数为100°，求出 的度数为80°，即可求出答案．
13．（2017九上·建湖期末）已知两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为56cm，则较小的三角形的周长为 ．
【答案】24cm
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵相似三角形对应高的比为3：10，
∴相似三角形的相似比为3：10，
∴相似三角形周长的比为3：10，
设较小的三角形的周长为3x，则较大的三角形的周长为10x，
由题意得，10x﹣3x=56，
解得，x=8，
则3x=24，
故答案为24cm．
【分析】根据相似三角形的性质求出相似三角形周长的比，根据题意列出方程，解方程即可．
14．（2017九上·建湖期末）如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC的长为 ．
【答案】12
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，延长AG交BC于点D．
∵点G是△ABC的重心，AG=4，
∴点D为BC的中点，且AG=2DG=4，
∴DG=2，
∴AD=AG+DG=6，
∵△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边的中线，
∴BC=2AD=12．
故答案为12．
【分析】延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG=2DG=4，则AD=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
15．（2017九上·建湖期末）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP= ．
【答案】1或4或2.5
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①当△APD∽△PBC时， = ，
即 = ，
解得：PD=1，或PD=4；
②当△PAD∽△PBC时， = ，即 = ，
解得：DP=2.5．
综上所述，DP的长度是1或4或2.5．
故答案是：1或4或2.5．
【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．
16．（2017九上·建湖期末）一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣ x2+ x+ ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米．
【答案】3
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
y=﹣
=﹣ （x2﹣8x）+
=﹣ （x﹣4）2+3，
故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．
故答案为：3．
【分析】直接利用配方法求出二次函数最值即可．
17．（2017九下·盐都开学考）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）、B（﹣2，﹣4）、C（﹣6，﹣5），以原点位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，则点B的对应点的坐标为 ．
【答案】（﹣1，﹣2）或（1，2）
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵以原点位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，
∴点B的对应点的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，2）．
故答案为（﹣1，﹣2）或（1，2）．
【分析】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，把B点的横纵坐标都乘以 或﹣ 即可得到点B的对应点的坐标．
18．（2017九下·盐都开学考）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②b2=4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确的结论是 ．（写出正确命题的序号）
【答案】①④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数图象开口向上，得到a＞0；与y轴交于负半轴，得到c＜0，
∵对称轴在y轴右侧，且﹣ =1，即2a+b=0，
∴a与b异号，即b＜0，
∴abc＞0，选项①正确；
∵二次函数图象与x轴有两个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，选项②错误；
∵原点O与对称轴的对应点为（2，0），
∴x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，选项③错误；
∵x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
把b=﹣2a代入得：3a+c＞0，选项④正确，
故答案是：①④．
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数，以及x=﹣1，x=2对应y值的正负判断即可．
三、解答题
19．（2017九上·建湖期末）计算：﹣ tan60°+4sin30°×cos245°．
【答案】解：原式=﹣ × +4× × =﹣3+1=﹣2
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
20．（2017九上·建湖期末）一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球．
（1）请用画树状图或列表的方法列出所有可能出现的结果；
（2）求两次摸到“一只白球、一只红球”的概率．
【答案】（1）解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数
（2）解：“一只白球、一只红球”的结果数为4，
所以两次摸到“一只白球、一只红球”的概率=
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果数；（2）找出“一只白球、一只红球”的结果数，然后利用概率公式求解．
21．（2017九下·盐都开学考）△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长？
【答案】解：过点C作CD⊥AB于D点，
在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，
∴CD= AC= ×4=2，
∴AD= = =2 ，
在Rt△CDB中，∠B=45°，CD=2，
∴CD=DB=2，
∴AB=AD+DB=2 +2．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】首先过点C作CD⊥AB于D点，由在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，即可求得CD与AD的长，又由在Rt△CDB中，∠B=45°，即可求得BD的长，继而求得答案．
22．（2017九下·盐都开学考）已知二次函数y=x2+bx+c的图象与直线y=x+1相交于点A（﹣1，m）和点B（n，5）．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这两个函数的大致图象；
（3）结合图象直接写出x2+bx+c＞x+1时x的取值范围．
【答案】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象与直线y=x+1相交于点A（﹣1，m）和点B（n，5），
∴m﹣1+1=0，n=1=5，即n=4，
∴点A（﹣1，0），点B（4，5），
∴ 解得 ，
∴二次函数的吉祥物为y=x2﹣2x﹣3
（2）解：这两个函数图象如图所示，
（3）解：由图象可知，x2+bx+c＞x+1时，x＜﹣1或x＞4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）首先求出A、B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）根据图象二次函数的图象在一次函数的图象上方，即可写出自变量的取值范围．
23．（2017九上·建湖期末）已知二次函数y=x2﹣（2m+1）+（ m2﹣1）．
（1）求证：不论m取什么实数，该二次函数图象与x轴总有两个交点；
（2）若该二次函数图象经过点（2m﹣2，﹣2m﹣1），求该二次函数的表达式．
【答案】（1）解：∵b2﹣4ac=（2m+1）2﹣4（ m2﹣1）
=（4m2+4m+1）﹣2m2+4
=2m2+4m+5
=2（m+1）2+3＞0，
∴不论m取什么实数，方程x2﹣（2m+1）+（ m2﹣1）=0都有两个不相等的实数根，
∴不论m取什么实数，该二次函数图象与x轴总有两个交点
（2）解：∵该二次函数图象经过点（2m﹣2，﹣2m﹣1），
∴（2m﹣2）2﹣（2m+1）（2m﹣2）+（ m2﹣1）=﹣2m﹣1，
解得：m1=2，m2=6，
当m=2时，该二次函数的表达式为：y=x2﹣5x+1，
当m=6时，该二次函数的表达式为：y=x2﹣13x+17
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）首先求出b2﹣4ac的表达式，进而利用配方法求出其符号，进而得出答案；（2）将已知点代入进而求出m的值得出答案．
24．（2017九下·盐都开学考）如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且 ．
（1）试问：∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？
（2）试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．
【答案】（1）解：∠BAE与∠CAD相等．
理由：∵ ，
∴△ABC∽△AED，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAE=∠CAD
（2）解：△ABE与△ACD相似．
∵ = ，
∴ = ．
在△ABE与△ACD中，
∵ = ，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先根据题意得出△ABC∽△AED，由相似三角形的性质即可得出结论；（2）先根据题意得出 = ，再由∠BAE=∠CAD即可得出结论．
25．（2017九下·盐都开学考）如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度？
【答案】解：由题意知，设AH=x，BH=y，
△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，
∴ = ， = ，
∴3x=1.5×（y+3），5x=1.5×（y+30+5）
解得x=24m．
答：旗杆AH的高度为24m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据AH∥CB∥DE，可得△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，可得 = ， = ，即可求得AH的值，即可解题．
26．（2017九下·盐都开学考）某网店以每件40元的价格购进一款童装．由试销知，每星期的销售量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式为t=﹣30x+2100．
（1）求每星期销售这款童装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
（3）为了使每星期利润不少于6000元，求每件销售价x的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意得：y=（x﹣40）t=（x﹣40）（﹣30x+2100）=﹣30x2+3300x﹣84000
（2）解：y=﹣30x2+3300x﹣84000=﹣30（x﹣55）2+6750，
∵a=﹣30＜0，
∴当x=55时，y取最大值，最大值为6750．
∴当每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润为6750元
（3）解：根据题意得：﹣30x2+3300x﹣84000≥6000，
解得：50≤x≤60．
答：为了使每星期利润不少于6000元，每件销售价x的取值范围为50≤x≤60
【知识点】一元一次不等式的应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润=（每件售价﹣40）×销售数量即可得出y关于x的函数表达式；（2）利用配方法将（1）得出的函数表达式变形，再根据二次函数的性质即可解决最值问题；（3）根据（1）结合每星期利润不少于6000元，即可得出关于x的一元二次不等式，解之即可得出每件销售价x的取值范围．
27．（2017九下·盐都开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为半径作⊙B，交AB于点D，交AB的延长线于点E，连接CD、CE．
（1）求证：△ACD∽△AEC；
（2）当 = 时，求tanE；
（3）若AD=4，AC=4 ，求△ACE的面积．
【答案】（1）证明：∵DE为直径，
∴∠DCE=90°，即∠2+∠DCB=90°，
∵∠ACB=90°，即∠1+∠DCB=90°，
∴∠1=∠2，
而∠CAD=∠EAC，
∴△ACD∽△AEC
（2）解：由 = ，设AC=4k，则BC=3k，
∴BD=BE=3k，
∴AB= =5k，
∴AE=AB+BE=5k+3k=8k，
在Rt△CDE中，tanE= ，
∵△ACD∽△AEC，
∴ = = = ，
∴tanE=
（3）作CH⊥AE于H，如图，
∵△ACD∽△AEC，
∴ = = ，即 = = ，解得AE=12，CE= CD，
∴DE=AE﹣AC=8，
在Rt△CDE中，∵tanE= = = ，
∴∠E=30°，
∴CD= DE=4，CE=4 ，
在Rt△CHE中，CH= CE=2 ，
∴△ACE的面积= ×12×2 =12 ．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理得到∠DCE=90°，而∠ACB=90°，则∠1=∠2，加上公共角，则可判断△ACD∽△AEC；（2）利用由 = 设AC=4k，BC=3k，由勾股定理计算出AB=5k，则AE=8k，再由△ACD∽△AEC，利用相似比得到 = = ，然后根据正切的定义可得tanE的值；（3）作CH⊥AE于H，如图，由△ACD∽△AEC，利用相似比得到AE=12，CE= CD，则DE=AE﹣AC=8，在Rt△CDE中利用三角函数和特殊角的三角形函数值得到∠E=30°，则可计算出CD= DE=4，CE=4 ，接着计算出CH，然后根据三角形面积公式求解．
28．（2017九上·建湖期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，且抛物线经过A（﹣1，0），C（0，﹣5）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线上的一个动点，连接PB、PC，若△BPC是以BC为直角边的直角三角形，求此时点P的坐标；
（3）在抛物线上BC段有另一个动点Q，以点Q为圆心作⊙Q，使得⊙Q与直线BC相切，在运动的过程中是否存在一个最大⊙Q？若存在，请直接写出最大⊙Q的半径；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵对称轴为x=2，且抛物线经过A（﹣1，0），
∴B（5，0）．
把B（5，0），C（0，﹣5）分别代入y=mx+n得 ，解得： ，
∴直线BC的解析式为y=x﹣5．
设y=a（x﹣5）（x+1），把点C的坐标代入得：﹣5a=﹣5，解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x﹣5
（2）解：①过点C作CP1⊥BC，交抛物线于点P1，如图，
则直线CP1的解析式为y=﹣x﹣5，
由 ，解得： （舍去）， ，
∴P1（3，﹣8）；
②过点B作BP2⊥BC，交抛物线于P2，如图，
则BP2的解析式为y=﹣x+5，
由 ，解得： （舍去）， ，
∴P2（﹣2，7）
（3）解：由题意可知，Q点距离BC最远时，半径最大．平移直线BC，使其与抛物线只有一个公共点Q（即相切），设平移后的直线解析式为y=x+t，
由 ，消去y整理得x2﹣5x﹣5﹣t=0，
△=25+4（5+t）=0，解得t=﹣ ，
∴平移后与抛物线相切时的直线解析式为y=x﹣ ，且Q（ ，﹣ ），
连接QC、QB，作QE⊥BC于E，如图，
设直线y=x﹣ 与y轴的交点为H，连接HB，
则 ，
∵CH=﹣5﹣（﹣ ）= ，
∴ = ，
∴ ，
∵ ，BC= ，
∴QE= ，
即最大半径为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据对称轴及A点坐标得出B点坐标，从而得出直线BC解析式，再由A、B、C三点坐标得出抛物线解析式；（2）分别过B、C两点作BC的垂线，得出垂线的解析式，与抛物线解析式联立解出P点；（3）平移BC到与抛物线刚好相切之处，此时的切点即为Q点，此时Q点距BC的距离最大，也就是半径最大．由于初中阶估没学点到直线的距离公式，那么这里可以用等面积法进行处理．设切线与y轴的交点为H，则△HBC与△QBC的面积相等，算出面积，再以BC为底，算出BC边上的高即为答案．
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