2016-2017学年浙江省杭州十三中教育集团九年级下学期开学数学试卷
一、选择题
1．（2017九下·杭州开学考）抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1）
C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
2．（2017九下·杭州开学考）已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
3．（2017九下·杭州开学考）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2017九下·杭州开学考）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（ ）
A．msin35° B．mcos35° C． D．
5．（2017九下·杭州开学考）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ ）
A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm
6．（2017九下·杭州开学考）已知（1，y1）、（﹣2，y2）、（﹣4，y3）都是抛物线y=﹣2ax2﹣8ax+3（a＜0）图象上的点，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y2＜y3
7．（2017九下·杭州开学考）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）
A．175πcm2 B．350πcm2 C． πcm2 D．150πcm2
8．（2017九下·杭州开学考）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（ ）
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
9．（2017九下·杭州开学考）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2017九下·杭州开学考）如图，已知△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，作∠ABC的角平分线交AC于D，以D为圆心，DA为半径作圆，与射线交于点E、F．有下列结论：
①△ABC是直角三角形；②⊙D与直线BC相切；③点E是线段BF的黄金分割点；④tan∠CDF=2．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．（2017九下·杭州开学考）已知 = ，则 = ．
12．（2017九下·杭州开学考）已知扇形的圆心角为120°，弧长为4π，则它的半径为 ．
13．（2017九下·杭州开学考）已知圆的两条平行的弦长分别为6cm和8cm，圆的半径为5cm，则两条平行弦的距离为 ．
14．（2017九下·杭州开学考）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2
y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3
则当x=1时，y的值为 ．
15．（2017九下·杭州开学考）如图，已知点D是Rt△ABC的斜边BC上的一点，tanB= ，BC=3BD，CE⊥AD，则 = ．
16．（2017九下·杭州开学考）如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC=60°，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t= ．
三、解答题
17．（2017九下·杭州开学考）如图，甲、乙分别是4等分、3等分的两个圆转盘，指针固定，转盘转动停止后，指针指向某一数字．
（1）直接写出转动甲盘停止后指针指向数字“1”的概率；
（2）小华和小明利用这两个转盘做游戏，两人分别同时转动甲、乙两个转盘，停止后，指针各指向一个数字，若两数字之积为非负数则小华胜；否则，小明胜．你认为这个游戏公平吗？请你利用列举法说明理由．
18．（2017九下·杭州开学考）如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30°，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得旗杆顶端A的仰角为45°，请计算旗杆AB的高度（结果保留根号）
19．（2017九下·杭州开学考）有一个几何体的形状为直三棱柱，右图是它的主视图和左视图．
（1）请补画出它的俯视图，并标出相关数据；
（2）根据图中所标的尺寸（单位：厘米），计算这个几何体的全面积．
20．（2017九下·杭州开学考）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2 ，求BC的长．
21．（2017九下·杭州开学考）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
22．（2017九下·杭州开学考）已知点E在△ABC内，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB=∠EDB=60°，∠AEB=150°，∠BEC=90°．
（1）当α=60°时（如图1），
①判断△ABC的形状，并说明理由；
②求证：BD= AE；
（2）当α=90°时（如图2），求 的值．
23．（2017九下·杭州开学考）如图，抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7）且与直线y=kx﹣2k﹣3相交于点P（m，2m﹣7）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线y=kx﹣2k﹣3与抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的对称轴的交点Q的坐标；
（3）在y轴上是否存在点T，使△PQT的一边中线等于该边的一半？若存在，求出点T的坐标；若不存在请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由y=2（x﹣3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，1）．
故选：A．
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
2．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO=4，
又∵4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，
故选A．
【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
3．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项错误；
B、圆柱的主视图是矩形、俯视图是矩形，故本选项正确；
C、球的主视图、俯视图都是圆，故本选项错误；
D、三棱柱的主视图为矩形和俯视图为三角形，故本选项错误．
故选：B．
【分析】分别分析四个选项中圆锥、圆柱、球体、三棱柱的主视图、俯视图，从而得出都为矩形的几何体．
4．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：sin∠A= ，
∵AB=m，∠A=35°，
∴BC=msin35°，
故选：A．
【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．
5．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为20cm，
∴书的宽约为20×0.618=12.36cm．
故选：A．
【分析】根据黄金分割的比值约为0.618列式进行计算即可得解．
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线y=﹣2ax2﹣8ax+3（a＜0），
∴﹣2a＞0，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x=﹣ =﹣2，
∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，
∵x取1时所对应的点离对称轴最远，x取﹣2时所对应的点在对称轴上，
∴y2＜y3＜y1．
故选C．
【分析】此题可以先求得抛物线对称轴为直线x=﹣2，根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，由x取1、﹣2、﹣4时，x取1时所对应的点离对称轴最远，x取1时所对应的点在对称轴上，即可得到答案．
7．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AB=25，BD=15，
∴AD=10，
∴S贴纸=2×（ ﹣ ）
=2×175π
=350πcm2，
故选B．
【分析】贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为25cm和10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1，连接BD、CD，
，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD= ，
∵弦AD平分∠BAC，
∴CD=BD= ，
∴∠CBD=∠DAB，
在△ABD和△BED中，
∴△ABD∽△BED，
∴ ，即 = ，
解得DE= ，
∴AE=AD﹣DE=5﹣ =2.8．
故选：B
【分析】连接BD、CD，由勾股定理先求出BD的长，再利用△ABD∽△BED，得出 ，可解得DE的长，由AE=AD﹣DE求解即可得出答案．
9．【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：由题意可得BQ=x．
①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，
则△BPQ的面积= BP BQ，
解y= 3x x= x2；故A选项错误；②1＜x≤2时，P点在CD边上，
则△BPQ的面积= BQ BC，
解y= x 3= x；故B选项错误；③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，
则△BPQ的面积= AP BQ，
解y= （9﹣3x） x= x﹣ x2；故D选项错误．
故选：C．
【分析】首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．
10．【答案】A
【知识点】切线的判定；黄金分割
【解析】【解答】解：∵32+42=52，
∴AB2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，①正确；
作DM⊥BC于M，如图所示：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DM=DA，
∴⊙D与直线BC相切，
∴②正确；
∵∠BAC=∠DMC=90°，
在Rt△BDM和△BDA中，
，
∴Rt△BDM≌△BDA（HL），
∴MB=AB=3，
∴CM=BC﹣MB=2，
∵∠C=∠C，
∴△CDM∽△CBA，
∴ ，即 ，
解得：DM= ，
∴DF=DE= ，
∴BD= = = ，
∴BE=BD﹣DE= ﹣ ，BF=BD+DF= + ，
∵EF2=9，BF BE=（ + ）（ ﹣ ）=9，
∴EF2=BF BE，
∴点E是线段BF的黄金分割点，③正确；
∵tan∠CDF=tan∠ADB= = =2，
∴④正确；
正确的有4个．
故选：A．
【分析】由勾股定理的逆定理得出①正确；由角平分线的性质定理得出②正确；由全等三角形的性质得出MB=AB=3，证明△CDM∽△CBA，得出对应边成比例求出DM，根据勾股定理得出BD，求出EF2=BF BE，得出③正确；由tan∠CDF=tan∠ADB= =2，得出④正确，即可得出结论．
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴ = = ．
故答案为： ．
【分析】根据比例的性质，结合 = ，求出 的值是多少即可．
12．【答案】6
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由扇形的弧长公式l= ，
得4π= ，
解得：r=6．
故答案为：6．
【分析】根据弧长的公式：l= 进行计算即可．
13．【答案】7cm或1cm
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，
过O点作OE⊥AB于E，交CD于F点，连OA、OC，
∴AE=BE= AB=3，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴CF=FD= CD=4，
在Rt△OAE中，OA=5cm
OE= =4，
同理可得OF=3，
当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE+OF=4+3=7cm，
当圆心O不在AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE﹣OF=4﹣3=1cm，
故答案为：7cm或1cm．
【分析】过O点作OE⊥AB于E，交CD于F点，连OA、OC，根据垂径定理和勾股定理分别求出OE、OF的长，根据当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE+OF；当圆心O不在AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE﹣OF计算即可．
14．【答案】-27
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c过点（﹣4，3）与（﹣2，3），
∴此抛物线的对称轴为：直线x= =﹣3，
∴横坐标为：x=1的点的对称点的横坐标为：x=﹣7，
∴当x=1时，y=﹣27．
故答案为：﹣27．
【分析】首先观察表格可得二次函数y=ax2+bx+c过点（﹣4，3）与（﹣2，3），则可求得此抛物线的对称轴，然后有对称性求得答案．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵∠CAB=90°，DF⊥AB，
∴AC∥DF，
∴ =
∵BC=3BD，
∴ = ，
∴AF=k BF
∵tanB= ，
∴ = ，
∴DF= FB，
∴ ，
∵CE⊥AD，
∴tan∠ACE= ，
∵∠CAE+∠ACE=90°，∠CAE+∠DAB=90°，
∴∠ACE=∠DAF，
∴tan∠ACE=tan∠DAF= ．
故答案为： ．
【分析】根据题意结合平行线的性质得出 的值，进而利用锐角三角函数关系得出tan∠ACE=tan∠DAF= 的值，问题得解．
16．【答案】4 ﹣1
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，
∴经过t秒后，
∴OA=1+t，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC=1+t，
当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，
∴OE=CE= OC，
∴OE= ，
在Rt△OPE中，
OE=OP cos30°=2 ，
∴ =2 ，
∴t=4 ﹣1，
故答案为：4 ﹣1．
【分析】先根据已知条件，求出经过t秒后，OC的长，当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，利用垂径定理和解直角三角形的有关知识即可求出t的值．
17．【答案】（1）解：甲盘停止后指针指向数字“1”的概率=
（2）解：列表得：
转盘A 两个数字之积 转盘B ﹣1 0 2 1
1 ﹣1 0 2 1
﹣2 2 0 ﹣4 ﹣2
﹣1 1 0 ﹣2 ﹣1
∵由两个转盘各转出一数字作积的所有可能情况有12种，每种情况出现的可能性相同，其中两个数字之积为非负数有7个，负数有5个，
∴P（小华获胜）= ，P（小明获胜）= ．
∴这个游戏对双方不公平
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）由题意可知转盘中共有四个数，其中“1”只有一种，进而求出其概率；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与小华、小明获胜的情况，继而求得小华、小明获胜的概率，比较概率大小，即可知这个游戏是否公平．
18．【答案】解：由题意可得，
CD=16米，
∵AB=CB tan30°，AB=BD tan45°，
∴CB tan30°=BD tan45°，
∴（CD+DB）× =BD×1，
解得BD=8 ，
∴AB=BD tan45°=（8 ）米，
即旗杆AB的高度是（8 ）米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意可以得到BD的长度，从而可以求得AB的高度．
19．【答案】（1）解：如图：
（2）解：由勾股定理得：斜边长为10厘米，
S底= ×8×6=24（平方厘米），
S侧=（8+6+10）×3=72（平方厘米），
S全=72+24×2=120（平方厘米）．
答：这个几何体的全面积是120平方厘米
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【分析】（1）观察图形可知，俯视图是一个长8宽3的长方形，据此画出图形即可；（2）先根据勾股定理得到斜边长为10厘米，再根据表面积=3个长方形的面积+2个三角形的面积，列出算式计算即可求解．
20．【答案】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线
（2）解：∵⊙O的半径为2 ，
∴OB=2 ，AC=4 ，
∵OP∥BC，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴ ，
即 ，
∴BC=2
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．
21．【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），由所给函数图象可知，
，
解得 ．
故y与x的函数关系式为y=﹣x+180
（2）解：∵y=﹣x+180，
∴W=（x﹣100）y=（x﹣100）（﹣x+180）
=﹣x2+280x﹣18000
=﹣（x﹣140）2+1600，
∵a=﹣1＜0，
∴当x=140时，W最大=1600，
∴售价定为140元/件时，每天最大利润W=1600元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于kb的关系式，求出k、b的值即可；（2）把每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论．
22．【答案】（1）解：①判断：△ABC是等边三角形．
理由：∵∠ABC=∠ACB=60°
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等边三角形
②证明：同理△EBD也是等边三角形
连接DC，
则AB=BC，BE=BD，∠ABE=60°﹣∠EBC=∠CBD
∴△ABE≌△CBD
∴AE=CD，∠AEB=∠CDB=150°
∴∠EDC=150°﹣∠BDE=90°∠CED=∠BEC﹣∠BED=90°﹣60°=30°
在Rt△EDC中 ，
∴
（2）解：连接DC，
∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°
∴△ABC∽△EBD
∴
又∵∠ABE=90°﹣∠EBC=∠CBD
∴△ABE∽△CBD，∠AEB=∠CDB=150°，
∴∠EDC=150°﹣∠BDE=90°∠CED=∠BEC﹣∠BED=90°﹣（90°﹣∠BDE）=60°
设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，BE=
在Rt△EDC中CD=
∴ ，即
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三角形；②由△EBD也是等边三角形，连接DC，证得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易证得结论．（2）连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD=x在Rt△EBD中DE=2x由相似比即得到比值．
23．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y= x2﹣2x+1
（2）解：∵抛物线的图象经过点P（m，2m﹣7），
∴2m﹣7= m2﹣2m+1，
解得m1=m2=4，
∴点P的坐标为（4，1），
∵直线y=kx﹣2k﹣3经过点P，
∴4k﹣2k﹣3=1，
解得k=2，
∴直线的解析式为y=2x﹣7，
∵y= x2﹣2x+1= （x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∴在y=2x﹣7中，当x=2时，y=2×2﹣7=﹣3，
∴点Q的坐标为（2，﹣3）
（3）解：设点T的坐标为（0，t），M为PQ的中点，连结TM，根据题意得：
TM= PQ，即TM=PM=QM，
∴点T在以PQ为直径的圆上，
∴∠PTQ=90°，
∴△PQT为直角三角形，
同理，点M为PT或QT的中点时，△PQT仍为直角三角形，
作PA⊥y轴于A，交直线x=2于点C，QB⊥y轴于B，则AT=|1﹣t|，BT=|﹣3﹣t|，
∵PA=4，QB=2，PC=2，CQ=4，
∴PQ= = =2 ，
①当∠PTQ=90°时，
∵PQ2=TQ2+TP2=BT2+QB2+PA2+AT2
=|﹣3﹣t|2+22+|1﹣t|2+42=20，
∴2t2+4t+10=0，即（t+1）2=﹣4，
∵（t+1）2≥0，
∴此方程无解；
②当∠PQT=90°时，PQ2+QT2=PT2，
∴（2 ）2+22+|﹣3﹣t|2=42+|1﹣t|2，
解得t=﹣2；
③当∠QPT=90°时，TQ2=PT2+PQ2，
∴QB2+BT2=PA2+AT2+（2 ）2，
∴4+|﹣3﹣t|2=16+|1﹣t|2+20，
解得t=3，
综上所述，在y轴上存在点T，其坐标分别为（0，3）和（0，﹣2），使△PQT的一边中线等于该边的一半．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7），求得a，b的值即可得到抛物线的解析式；（2）先根据抛物线的图象经过点P（m，2m﹣7），求得点P的坐标，再根据直线y=kx﹣2k﹣3经过点P，求得k的值，最后根据抛物线的对称轴为直线x=2，求得点Q的坐标；（3）设点T的坐标为（0，t），M为PQ的中点，连结TM，分三种情况讨论：∠PTQ=90°时，∠PQT=90°时，∠QPT=90°时，分别根据勾股定理列出关于t的方程进行求解即可．
1 / 12016-2017学年浙江省杭州十三中教育集团九年级下学期开学数学试卷
一、选择题
1．（2017九下·杭州开学考）抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1）
C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由y=2（x﹣3）2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，1）．
故选：A．
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
2．（2017九下·杭州开学考）已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO=4，
又∵4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，
故选A．
【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
3．（2017九下·杭州开学考）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项错误；
B、圆柱的主视图是矩形、俯视图是矩形，故本选项正确；
C、球的主视图、俯视图都是圆，故本选项错误；
D、三棱柱的主视图为矩形和俯视图为三角形，故本选项错误．
故选：B．
【分析】分别分析四个选项中圆锥、圆柱、球体、三棱柱的主视图、俯视图，从而得出都为矩形的几何体．
4．（2017九下·杭州开学考）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（ ）
A．msin35° B．mcos35° C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：sin∠A= ，
∵AB=m，∠A=35°，
∴BC=msin35°，
故选：A．
【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．
5．（2017九下·杭州开学考）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ ）
A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为20cm，
∴书的宽约为20×0.618=12.36cm．
故选：A．
【分析】根据黄金分割的比值约为0.618列式进行计算即可得解．
6．（2017九下·杭州开学考）已知（1，y1）、（﹣2，y2）、（﹣4，y3）都是抛物线y=﹣2ax2﹣8ax+3（a＜0）图象上的点，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y2＜y3
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线y=﹣2ax2﹣8ax+3（a＜0），
∴﹣2a＞0，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x=﹣ =﹣2，
∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，
∵x取1时所对应的点离对称轴最远，x取﹣2时所对应的点在对称轴上，
∴y2＜y3＜y1．
故选C．
【分析】此题可以先求得抛物线对称轴为直线x=﹣2，根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，由x取1、﹣2、﹣4时，x取1时所对应的点离对称轴最远，x取1时所对应的点在对称轴上，即可得到答案．
7．（2017九下·杭州开学考）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）
A．175πcm2 B．350πcm2 C． πcm2 D．150πcm2
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AB=25，BD=15，
∴AD=10，
∴S贴纸=2×（ ﹣ ）
=2×175π
=350πcm2，
故选B．
【分析】贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为25cm和10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．
8．（2017九下·杭州开学考）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（ ）
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1，连接BD、CD，
，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD= ，
∵弦AD平分∠BAC，
∴CD=BD= ，
∴∠CBD=∠DAB，
在△ABD和△BED中，
∴△ABD∽△BED，
∴ ，即 = ，
解得DE= ，
∴AE=AD﹣DE=5﹣ =2.8．
故选：B
【分析】连接BD、CD，由勾股定理先求出BD的长，再利用△ABD∽△BED，得出 ，可解得DE的长，由AE=AD﹣DE求解即可得出答案．
9．（2017九下·杭州开学考）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：由题意可得BQ=x．
①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，
则△BPQ的面积= BP BQ，
解y= 3x x= x2；故A选项错误；②1＜x≤2时，P点在CD边上，
则△BPQ的面积= BQ BC，
解y= x 3= x；故B选项错误；③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，
则△BPQ的面积= AP BQ，
解y= （9﹣3x） x= x﹣ x2；故D选项错误．
故选：C．
【分析】首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．
10．（2017九下·杭州开学考）如图，已知△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，作∠ABC的角平分线交AC于D，以D为圆心，DA为半径作圆，与射线交于点E、F．有下列结论：
①△ABC是直角三角形；②⊙D与直线BC相切；③点E是线段BF的黄金分割点；④tan∠CDF=2．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】切线的判定；黄金分割
【解析】【解答】解：∵32+42=52，
∴AB2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，①正确；
作DM⊥BC于M，如图所示：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DM=DA，
∴⊙D与直线BC相切，
∴②正确；
∵∠BAC=∠DMC=90°，
在Rt△BDM和△BDA中，
，
∴Rt△BDM≌△BDA（HL），
∴MB=AB=3，
∴CM=BC﹣MB=2，
∵∠C=∠C，
∴△CDM∽△CBA，
∴ ，即 ，
解得：DM= ，
∴DF=DE= ，
∴BD= = = ，
∴BE=BD﹣DE= ﹣ ，BF=BD+DF= + ，
∵EF2=9，BF BE=（ + ）（ ﹣ ）=9，
∴EF2=BF BE，
∴点E是线段BF的黄金分割点，③正确；
∵tan∠CDF=tan∠ADB= = =2，
∴④正确；
正确的有4个．
故选：A．
【分析】由勾股定理的逆定理得出①正确；由角平分线的性质定理得出②正确；由全等三角形的性质得出MB=AB=3，证明△CDM∽△CBA，得出对应边成比例求出DM，根据勾股定理得出BD，求出EF2=BF BE，得出③正确；由tan∠CDF=tan∠ADB= =2，得出④正确，即可得出结论．
二、填空题
11．（2017九下·杭州开学考）已知 = ，则 = ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴ = = ．
故答案为： ．
【分析】根据比例的性质，结合 = ，求出 的值是多少即可．
12．（2017九下·杭州开学考）已知扇形的圆心角为120°，弧长为4π，则它的半径为 ．
【答案】6
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由扇形的弧长公式l= ，
得4π= ，
解得：r=6．
故答案为：6．
【分析】根据弧长的公式：l= 进行计算即可．
13．（2017九下·杭州开学考）已知圆的两条平行的弦长分别为6cm和8cm，圆的半径为5cm，则两条平行弦的距离为 ．
【答案】7cm或1cm
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，
过O点作OE⊥AB于E，交CD于F点，连OA、OC，
∴AE=BE= AB=3，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴CF=FD= CD=4，
在Rt△OAE中，OA=5cm
OE= =4，
同理可得OF=3，
当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE+OF=4+3=7cm，
当圆心O不在AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE﹣OF=4﹣3=1cm，
故答案为：7cm或1cm．
【分析】过O点作OE⊥AB于E，交CD于F点，连OA、OC，根据垂径定理和勾股定理分别求出OE、OF的长，根据当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE+OF；当圆心O不在AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE﹣OF计算即可．
14．（2017九下·杭州开学考）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2
y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3
则当x=1时，y的值为 ．
【答案】-27
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c过点（﹣4，3）与（﹣2，3），
∴此抛物线的对称轴为：直线x= =﹣3，
∴横坐标为：x=1的点的对称点的横坐标为：x=﹣7，
∴当x=1时，y=﹣27．
故答案为：﹣27．
【分析】首先观察表格可得二次函数y=ax2+bx+c过点（﹣4，3）与（﹣2，3），则可求得此抛物线的对称轴，然后有对称性求得答案．
15．（2017九下·杭州开学考）如图，已知点D是Rt△ABC的斜边BC上的一点，tanB= ，BC=3BD，CE⊥AD，则 = ．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵∠CAB=90°，DF⊥AB，
∴AC∥DF，
∴ =
∵BC=3BD，
∴ = ，
∴AF=k BF
∵tanB= ，
∴ = ，
∴DF= FB，
∴ ，
∵CE⊥AD，
∴tan∠ACE= ，
∵∠CAE+∠ACE=90°，∠CAE+∠DAB=90°，
∴∠ACE=∠DAF，
∴tan∠ACE=tan∠DAF= ．
故答案为： ．
【分析】根据题意结合平行线的性质得出 的值，进而利用锐角三角函数关系得出tan∠ACE=tan∠DAF= 的值，问题得解．
16．（2017九下·杭州开学考）如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC=60°，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t= ．
【答案】4 ﹣1
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，
∴经过t秒后，
∴OA=1+t，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC=1+t，
当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，
∴OE=CE= OC，
∴OE= ，
在Rt△OPE中，
OE=OP cos30°=2 ，
∴ =2 ，
∴t=4 ﹣1，
故答案为：4 ﹣1．
【分析】先根据已知条件，求出经过t秒后，OC的长，当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，利用垂径定理和解直角三角形的有关知识即可求出t的值．
三、解答题
17．（2017九下·杭州开学考）如图，甲、乙分别是4等分、3等分的两个圆转盘，指针固定，转盘转动停止后，指针指向某一数字．
（1）直接写出转动甲盘停止后指针指向数字“1”的概率；
（2）小华和小明利用这两个转盘做游戏，两人分别同时转动甲、乙两个转盘，停止后，指针各指向一个数字，若两数字之积为非负数则小华胜；否则，小明胜．你认为这个游戏公平吗？请你利用列举法说明理由．
【答案】（1）解：甲盘停止后指针指向数字“1”的概率=
（2）解：列表得：
转盘A 两个数字之积 转盘B ﹣1 0 2 1
1 ﹣1 0 2 1
﹣2 2 0 ﹣4 ﹣2
﹣1 1 0 ﹣2 ﹣1
∵由两个转盘各转出一数字作积的所有可能情况有12种，每种情况出现的可能性相同，其中两个数字之积为非负数有7个，负数有5个，
∴P（小华获胜）= ，P（小明获胜）= ．
∴这个游戏对双方不公平
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）由题意可知转盘中共有四个数，其中“1”只有一种，进而求出其概率；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与小华、小明获胜的情况，继而求得小华、小明获胜的概率，比较概率大小，即可知这个游戏是否公平．
18．（2017九下·杭州开学考）如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30°，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得旗杆顶端A的仰角为45°，请计算旗杆AB的高度（结果保留根号）
【答案】解：由题意可得，
CD=16米，
∵AB=CB tan30°，AB=BD tan45°，
∴CB tan30°=BD tan45°，
∴（CD+DB）× =BD×1，
解得BD=8 ，
∴AB=BD tan45°=（8 ）米，
即旗杆AB的高度是（8 ）米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意可以得到BD的长度，从而可以求得AB的高度．
19．（2017九下·杭州开学考）有一个几何体的形状为直三棱柱，右图是它的主视图和左视图．
（1）请补画出它的俯视图，并标出相关数据；
（2）根据图中所标的尺寸（单位：厘米），计算这个几何体的全面积．
【答案】（1）解：如图：
（2）解：由勾股定理得：斜边长为10厘米，
S底= ×8×6=24（平方厘米），
S侧=（8+6+10）×3=72（平方厘米），
S全=72+24×2=120（平方厘米）．
答：这个几何体的全面积是120平方厘米
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【分析】（1）观察图形可知，俯视图是一个长8宽3的长方形，据此画出图形即可；（2）先根据勾股定理得到斜边长为10厘米，再根据表面积=3个长方形的面积+2个三角形的面积，列出算式计算即可求解．
20．（2017九下·杭州开学考）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2 ，求BC的长．
【答案】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线
（2）解：∵⊙O的半径为2 ，
∴OB=2 ，AC=4 ，
∵OP∥BC，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴ ，
即 ，
∴BC=2
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．
21．（2017九下·杭州开学考）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），由所给函数图象可知，
，
解得 ．
故y与x的函数关系式为y=﹣x+180
（2）解：∵y=﹣x+180，
∴W=（x﹣100）y=（x﹣100）（﹣x+180）
=﹣x2+280x﹣18000
=﹣（x﹣140）2+1600，
∵a=﹣1＜0，
∴当x=140时，W最大=1600，
∴售价定为140元/件时，每天最大利润W=1600元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于kb的关系式，求出k、b的值即可；（2）把每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论．
22．（2017九下·杭州开学考）已知点E在△ABC内，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB=∠EDB=60°，∠AEB=150°，∠BEC=90°．
（1）当α=60°时（如图1），
①判断△ABC的形状，并说明理由；
②求证：BD= AE；
（2）当α=90°时（如图2），求 的值．
【答案】（1）解：①判断：△ABC是等边三角形．
理由：∵∠ABC=∠ACB=60°
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等边三角形
②证明：同理△EBD也是等边三角形
连接DC，
则AB=BC，BE=BD，∠ABE=60°﹣∠EBC=∠CBD
∴△ABE≌△CBD
∴AE=CD，∠AEB=∠CDB=150°
∴∠EDC=150°﹣∠BDE=90°∠CED=∠BEC﹣∠BED=90°﹣60°=30°
在Rt△EDC中 ，
∴
（2）解：连接DC，
∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°
∴△ABC∽△EBD
∴
又∵∠ABE=90°﹣∠EBC=∠CBD
∴△ABE∽△CBD，∠AEB=∠CDB=150°，
∴∠EDC=150°﹣∠BDE=90°∠CED=∠BEC﹣∠BED=90°﹣（90°﹣∠BDE）=60°
设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，BE=
在Rt△EDC中CD=
∴ ，即
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三角形；②由△EBD也是等边三角形，连接DC，证得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易证得结论．（2）连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD=x在Rt△EBD中DE=2x由相似比即得到比值．
23．（2017九下·杭州开学考）如图，抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7）且与直线y=kx﹣2k﹣3相交于点P（m，2m﹣7）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线y=kx﹣2k﹣3与抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的对称轴的交点Q的坐标；
（3）在y轴上是否存在点T，使△PQT的一边中线等于该边的一半？若存在，求出点T的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y= x2﹣2x+1
（2）解：∵抛物线的图象经过点P（m，2m﹣7），
∴2m﹣7= m2﹣2m+1，
解得m1=m2=4，
∴点P的坐标为（4，1），
∵直线y=kx﹣2k﹣3经过点P，
∴4k﹣2k﹣3=1，
解得k=2，
∴直线的解析式为y=2x﹣7，
∵y= x2﹣2x+1= （x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∴在y=2x﹣7中，当x=2时，y=2×2﹣7=﹣3，
∴点Q的坐标为（2，﹣3）
（3）解：设点T的坐标为（0，t），M为PQ的中点，连结TM，根据题意得：
TM= PQ，即TM=PM=QM，
∴点T在以PQ为直径的圆上，
∴∠PTQ=90°，
∴△PQT为直角三角形，
同理，点M为PT或QT的中点时，△PQT仍为直角三角形，
作PA⊥y轴于A，交直线x=2于点C，QB⊥y轴于B，则AT=|1﹣t|，BT=|﹣3﹣t|，
∵PA=4，QB=2，PC=2，CQ=4，
∴PQ= = =2 ，
①当∠PTQ=90°时，
∵PQ2=TQ2+TP2=BT2+QB2+PA2+AT2
=|﹣3﹣t|2+22+|1﹣t|2+42=20，
∴2t2+4t+10=0，即（t+1）2=﹣4，
∵（t+1）2≥0，
∴此方程无解；
②当∠PQT=90°时，PQ2+QT2=PT2，
∴（2 ）2+22+|﹣3﹣t|2=42+|1﹣t|2，
解得t=﹣2；
③当∠QPT=90°时，TQ2=PT2+PQ2，
∴QB2+BT2=PA2+AT2+（2 ）2，
∴4+|﹣3﹣t|2=16+|1﹣t|2+20，
解得t=3，
综上所述，在y轴上存在点T，其坐标分别为（0，3）和（0，﹣2），使△PQT的一边中线等于该边的一半．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7），求得a，b的值即可得到抛物线的解析式；（2）先根据抛物线的图象经过点P（m，2m﹣7），求得点P的坐标，再根据直线y=kx﹣2k﹣3经过点P，求得k的值，最后根据抛物线的对称轴为直线x=2，求得点Q的坐标；（3）设点T的坐标为（0，t），M为PQ的中点，连结TM，分三种情况讨论：∠PTQ=90°时，∠PQT=90°时，∠QPT=90°时，分别根据勾股定理列出关于t的方程进行求解即可．
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