2016-2017学年浙江省嘉兴市海宁市新仓中学九年级下学期开学数学试卷
一、填空题
1．（2016九下·长兴开学考）二次函数y=x2+2x﹣3的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，﹣3） B．（﹣3，0）
C．（1，0） D．（0，1）
2．（2017九下·海宁开学考）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2017九下·海宁开学考）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．3a﹣a=3 C．（a3）2=a5 D．a a2=a3
4．（2016九下·长兴开学考）一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担当组长，则女生当组长的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
6．（2016九下·长兴开学考）将抛物线y=（x﹣1）2+1向下平移1个单位，所得新抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2
C．y=（x﹣2）2+1 D．y=x2+1
7．（2017九下·海宁开学考）如图，已知点P在△ABC的边AC上，下列条件中，不能判断△ABP∽△ACB的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．AB2=AP AC D．
8．（2017九下·海宁开学考）若分式 的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2
9．（2017九下·海宁开学考）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（ ）
A．b2＞4ac
B．ax2+bx+c≥﹣6
C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
10．（2017九下·海宁开学考）如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点，作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连结MO、NO，以下四个结论：①△OMN是等腰三角形；②tan∠OMN= ；③BP=4PK；④PM PA=3PD2，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
11．（2017九下·海宁开学考）实数﹣27的立方根是 ．
12．因式分解：a2﹣3a= ．
13．（2017九下·海宁开学考）某小组6名同学的体育成绩（满分40分）分别为：36，40，38，38，32，35，这组数据的中位数是 分．
14．（2017九下·海宁开学考）二次函数y=x2+2x的顶点坐标为 ，对称轴是直线 ．
15．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是 ．
16．（2017九下·海宁开学考）下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，图案⑦需 根火柴棒．
17．（2017九下·海宁开学考）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）．
18．（2017九下·海宁开学考）如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为 ．
19．（2016九上·义马期中）在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（0，1），C（3，1），若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为 ．
20．如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C=90°，AC=4，BC=3．现小林将纸片折叠：使点A落在B处．这折叠的折痕长 ．
三、解答题
21．（2017九下·海宁开学考）计算。
（1）计算： +（﹣3）2﹣（ ﹣1）0．
（2）化简：（2+m）（2﹣m）+m（m﹣1）．
22．（2017九下·海宁开学考）为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图（部分信息未给出）：
根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次被调查的学生人数．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）若该校共有1600名学生，请估计全校选择体育类的学生人数．
23．（2017九下·海宁开学考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 ．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若 ，求 的值．
24．（2017九下·海宁开学考）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
25．（2017九下·海宁开学考）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC= ，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
26．（2017九下·海宁开学考）在线段AB的同侧作射线AM和BN，若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P．如图，点点同学发现当射线AM，BN交于点C；且∠ACB=60°时，有以下两个结论：
①∠APB=120°；②AF+BE=AB．
那么，当AM∥BN时：
（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出∠APB的度数，写出AF，BE，AB长度之间的等量关系，并给予证明；
（2）设点Q为线段AE上一点，QB=5，若AF+BE=16，四边形ABEF的面积为32 ，求AQ的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：当x=0时，y=x2+2x﹣3=﹣3，
所以二次函数y=x2+2x﹣3的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．
故选A．
【分析】计算自变量为0时的函数值即可得到抛物线与y轴的交点坐标．
2．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，
∴tanA= = ．
故选B．
【分析】根据tanA是角A的对边比邻边，直接得出答案tanA的值．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a3+a3=2a3，错误；
B、3a﹣a=2a，错误；
C、（a3）2=a6，错误；
D、a a2=a3，正确；
故选D．
【分析】根据同类项合并、幂的乘方和同底数幂的乘法计算即可．
4．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，
∴女生当组长的概率是：
故选A．
【分析】由一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担当组长，直接利用概率公式求解即可求得答案．
5．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠B=180°，又∠ADC=140°，
∴∠B=40°，
∴∠AOC=2∠B=80°，
故选：D．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，根据圆周角定理得到答案．
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：依题意，得平移后抛物线顶点坐标为（1，0），
由平移不改变二次项系数，
∴得到的抛物线解析式为：y=（x﹣1）2．
故选：B．
【分析】原抛物线顶点坐标为（1，1），平移后抛物线顶点坐标为（1，0），平移不改变二次项系数，可根据顶点式求出平移后抛物线解析式．
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
B、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
C、∵∠A=∠A，AB2=AP AC，即，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
D、根据和∠A=∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项正确；
故选：D．
【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
8．【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式 的值为0，
∴x﹣2=0，
∴x=2．
故选：D．
【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而求出答案．
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0所以b2＞4ac，故A选项正确；
B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，故C选项错误；
D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确．
故选C．
【分析】由抛物线与x轴有两个交点则可对A进行判断；由于抛物线开口向上，有最小值则可对B进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对C进行判断；根据二次函数的对称性可对D进行判断．
10．【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：作PI∥CE交DE于I，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，
在△ADP和△ECP中，
，
∴△ADP≌△ECP，
∴AD=CE，
则 ，又点P是CD的中点，
∴ = ，
∵AD=CE，
∴ = ，
∴BP=3PK，
故③错误；
作OG⊥AE于G，
∵BM丄AE于M，KN丄AE于N，
∴BM∥OG∥KN，
∵点O是线段BK的中点，
∴MG=NG，又OG⊥MN，
∴OM=ON，
即△MON是等腰三角形，故①正确；
由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，
设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP= ，
则AP= ，
根据三角形面积公式，BM= ，
∵点O是线段BK的中点，
∴PB=3PO，
∴OG= BM= ，
MG= MP= ，
tan∠OMN= = ，故②正确；
∵∠ABP=90°，BM⊥AP，
∴PB2=PM PA，
∵∠BCD=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠PBC=30°，
∴∠BPC=90°，
∴PB= PC，
∵PD=PC，
∴PB2=3PD，
∴PM PA=3PD2，故④正确．
故选B．
【分析】根据菱形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP≌△ECP，由相似三角形的性质得到AD=CE，作PI∥CE交DE于I，根据点P是CD的中点证明CE=2PI，BE=4PI，根据相似三角形的性质得到 = ，得到BP=3PK，故③错误；作OG⊥AE于G，根据平行线等分线段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，证明△MON是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠OMN= ，故②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM PA=3PD2，故④正确．
11．【答案】-3
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵（﹣3）3=﹣27，
∴实数﹣27的立方根是﹣3．
故答案为：﹣3．
【分析】由立方根的定义和乘方的关系容易得出结果．
12．【答案】a（a﹣3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2﹣3a=a（a﹣3）．
故答案为：a（a﹣3）．
【分析】直接把公因式a提出来即可．
13．【答案】37
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：数据按从小到大排列为：32，35，36，38，38，40，
则这组数据的中位数是：（36+38）÷2=37．
故答案为：37．
【分析】直接利用中位数的定义分析得出答案．
14．【答案】（﹣1，﹣1）；x=﹣1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，
∴二次函数y=x2+4x的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．
故答案为：（﹣1，﹣1），x=﹣1．
【分析】先把该二次函数化为顶点式的形式，再根据其顶点式进行解答即可．
15．【答案】y=5﹣x
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设矩形的长为x，则宽为5﹣x，即P（x，5﹣x），
可得y=5﹣x，
故答案为：y=5﹣x
【分析】设出矩形的长与宽，表示出P坐标，即可确定出一次函数解析式．
16．【答案】50
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：∵图案①需火柴棒：8根；
图案②需火柴棒：8+7=15根；
图案③需火柴棒：8+7+7=22根；
…
∴图案n需火柴棒：8+7（n﹣1）=7n+1根；
当n=7时，7n+1=7×7+1=50，
∴图案⑦需50根火柴棒；
故答案为：50．
【分析】根据图案①、②、③中火柴棒的数量可知，第1个图形中火柴棒有8根，每多一个多边形就多7根火柴棒，由此可知第n个图案需火柴棒8+7（n﹣1）=7n+1根，令n=7可得答案．
17．【答案】10 +1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，
∵在Rt△BAE中，∠BAE=60°，
∴BE=AE tan60°=10 （m），
∴BC=CE+BE=10 +1（m）．
∴旗杆高BC为10 +1m．
故答案为：10 +1．
【分析】首先过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在Rt△BAE中，∠BAE=60°，然后由三角形函数的知识求得BE的长，继而求得答案．
18．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵弦CD∥AB，
∴S△ACD=S△OCD，
∴S阴影=S扇形COD= π = ×π× = ．
故答案为： ．
【分析】由CD∥AB可知，点A、O到直线CD的距离相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出S△ACD=S△OCD，进而得出S阴影=S扇形COD，根据扇形的面积公式即可得出结论．
19．【答案】（﹣5，﹣3）
【知识点】平行四边形的判定与性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图所示：∵A（2，3），B（0，1），C（3，1），线段AC与BD互相平分，
∴D点坐标为：（5，3），
∴点D关于坐标原点的对称点的坐标为：（﹣5，﹣3）．
故答案为：（﹣5，﹣3）．
【分析】直接利用平行四边形的性质得出D点坐标，进而利用关于原点对称点的性质得出答案．
20．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，折痕为GH，
由勾股定理得：AB= =5，
由折叠得：AG=BG= AB= ×5= ，GH⊥AB，
∴∠AGH=90°，
∵∠A=∠A，∠AGH=∠C=90°，
∴△ACB∽△AGH，
∴ ，
∴ = ，
∴GH= ，
故答案为 ．
【分析】根据折叠得：GH是线段AB的垂直平分线，得出AG的长，再利用两角对应相等证△ACB∽△AGH，利用比例式可求GH的长，即折痕的长．
21．【答案】（1）解：原式=2 +9﹣1
=2 +8
（2）解：（2+m）（2﹣m）+m（m﹣1）
=4﹣m2+m2﹣m
=4﹣m
【知识点】实数的运算；单项式乘多项式；平方差公式及应用；零指数幂
【解析】【分析】（1）直接利用二次根式的性质结合零指数幂的性质分别分析得出答案；（2）直接利用平方差公式计算，进而去括号得出答案．
22．【答案】（1）解：60÷30%=200（人），
即本次被调查的学生有200人
（2）解：选择文学的学生有：200×15%=30（人），
选择体育的学生有：200﹣24﹣60﹣30﹣16=70（人），
补全的条形统计图如下图所示，
（3）解：1600× （人）
即全校选择体育类的学生有560人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可知选择劳技的学生60人，占总体的30%，从而可以求得调查学生人数；（2）根据文学的百分比和（1）中求得的学生调查数可以求得文学的有多少人，从而可以求得体育的多少人，进而可以将条形统计图补充完整；（3）根据调查的选择体育的学生所占的百分比可以估算出全校选择体育类的学生人数．
23．【答案】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，
∴∠ADF=∠C，
∵ ，
∴△ADF∽△ACG
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴ = ，
又∵ ，
∴ = ，
∴ =1．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由 可知，只要证明∠ADF=∠C即可．（2）利用相似三角形的性质得到 = ，由此即可证明．
24．【答案】（1）解：把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，
解得：m=2，
∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为：（1，4）
（2）解：连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴ ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；线段的性质：两点之间线段最短；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．
25．【答案】（1）解：如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=40°，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线
（2）解：①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．
②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC= =66°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．
③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．
∴∠ACB=96°或114°．
（3）解：由已知AC=AD=2，
∵△BCD∽△BAC，
∴ ，设BD=x，
∴（ ）2=x（x+2），
∵x＞0，
∴x= ﹣1，
∵△BCD∽△BAC，
∴ = = ，
∴CD= ×2= ﹣
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．（3）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得 ，列出方程即可解决问题．
26．【答案】（1）解：解：点点的结论：①∵∠ACB=60°，
∴∠BAC+∠ABC=120°，
∵∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，
∴∠PAB+∠PBA= （∠PAB+∠PBA）=60°，
∴∠APB=120°，
②如图，在AB上取一点G，使AG=AF，
∵AE是∠BAM的角平分线，
∴∠PAG=∠PAF，
在△PAG和△PAF中， ，
∴△PAG≌△PAF（SAS），
∴∠AFP=∠AGP，
∵∠EPF=∠APB=120°，∠ACB=60°，
∴∠EPF+∠ACB=180°，
∴∠PFC+∠PEC=180°，
∵∠PFC+∠AFP=180°，
∴∠PEC=∠AFP，
∴∠PEC=∠AGP，
∵∠AGP+∠BGP=180°，
∴∠PEC+∠BGP=180°，
∵∠PEC+∠PEB=180°，
∴∠BGP=∠BEP，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠PBG=∠PBE，
在△BPG和△BPE中， ，
∴△BPG≌△BPE（AAS），
∴BG=BE，
∴AF+BE=AB．
原命题不成立，新结论为：∠APB=90°，AF+BE=2AB（或AF=BE=AB），
理由：∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠NBA=180°，
∵AE，BF分别平分∠MAB，NBA，
∴∠EAB= ∠MAB，∠FBA= ∠NBA，
∴∠EAB+∠FBA= （∠MAB+∠NBA）=90°，
∴∠APB=90°，
∵AE平分∠MAB，
∴∠MAE=∠BAE，
∵AM∥BN，
∴∠MAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
同理：AF=AB，
∴AF+BE=2AB（或AF=BE=AB）
（2）解：如图1，
过点F作FG⊥AB于G，
∵AF=BE，AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF+BE=16，
∴AB=AF=BE=8，
∵32 =8×FG，
∴FG=4 ，
在Rt△FAG中，AF=8，
∴∠FAG=60°，
当点G在线段AB上时，∠FAB=60°，
当点G在线段BA延长线时，∠FAB=120°，
①如图2，
当∠FAB=60°时，∠PAB=30°，
∴PB=4，PA=4 ，
∵BQ=5，∠BPA=90°，
∴PQ=3，
∴AQ=4 ﹣3或AQ=4 +3．
②如图3，
当∠FAB=120°时，∠PAB=60°，∠FBG=30°，
∴PB=4 ，
∵PB=4 ＞5，
∴线段AE上不存在符合条件的点Q，
∴当∠FAB=60°时，AQ=4 ﹣3或4 +3．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】点点的两个结论：①利用三角形的角平分线和三角形的内角和即可得出结论；②先判断出△PAG≌△PAF（SAS）得出∠AFP=∠AGP，结合同角的补角相等即可得出∠BGP=∠BEP，进而判断出△BPG≌△BPE（AAS），即可得出结论；（1）由角平分线和平行线整体求出∠MAB+∠NBA，从而得到∠APB=90°，最后用等边对等角，即可．（2）先根据条件求出AF，FG，求出∠FAG=60°，最后分两种情况讨论计算．
1 / 12016-2017学年浙江省嘉兴市海宁市新仓中学九年级下学期开学数学试卷
一、填空题
1．（2016九下·长兴开学考）二次函数y=x2+2x﹣3的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，﹣3） B．（﹣3，0）
C．（1，0） D．（0，1）
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：当x=0时，y=x2+2x﹣3=﹣3，
所以二次函数y=x2+2x﹣3的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．
故选A．
【分析】计算自变量为0时的函数值即可得到抛物线与y轴的交点坐标．
2．（2017九下·海宁开学考）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，
∴tanA= = ．
故选B．
【分析】根据tanA是角A的对边比邻边，直接得出答案tanA的值．
3．（2017九下·海宁开学考）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．3a﹣a=3 C．（a3）2=a5 D．a a2=a3
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a3+a3=2a3，错误；
B、3a﹣a=2a，错误；
C、（a3）2=a6，错误；
D、a a2=a3，正确；
故选D．
【分析】根据同类项合并、幂的乘方和同底数幂的乘法计算即可．
4．（2016九下·长兴开学考）一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担当组长，则女生当组长的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，
∴女生当组长的概率是：
故选A．
【分析】由一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担当组长，直接利用概率公式求解即可求得答案．
5．如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠B=180°，又∠ADC=140°，
∴∠B=40°，
∴∠AOC=2∠B=80°，
故选：D．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，根据圆周角定理得到答案．
6．（2016九下·长兴开学考）将抛物线y=（x﹣1）2+1向下平移1个单位，所得新抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2
C．y=（x﹣2）2+1 D．y=x2+1
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：依题意，得平移后抛物线顶点坐标为（1，0），
由平移不改变二次项系数，
∴得到的抛物线解析式为：y=（x﹣1）2．
故选：B．
【分析】原抛物线顶点坐标为（1，1），平移后抛物线顶点坐标为（1，0），平移不改变二次项系数，可根据顶点式求出平移后抛物线解析式．
7．（2017九下·海宁开学考）如图，已知点P在△ABC的边AC上，下列条件中，不能判断△ABP∽△ACB的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．AB2=AP AC D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
B、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
C、∵∠A=∠A，AB2=AP AC，即，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
D、根据和∠A=∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项正确；
故选：D．
【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
8．（2017九下·海宁开学考）若分式 的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2
【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式 的值为0，
∴x﹣2=0，
∴x=2．
故选：D．
【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而求出答案．
9．（2017九下·海宁开学考）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（ ）
A．b2＞4ac
B．ax2+bx+c≥﹣6
C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0所以b2＞4ac，故A选项正确；
B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，故C选项错误；
D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确．
故选C．
【分析】由抛物线与x轴有两个交点则可对A进行判断；由于抛物线开口向上，有最小值则可对B进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对C进行判断；根据二次函数的对称性可对D进行判断．
10．（2017九下·海宁开学考）如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点，作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连结MO、NO，以下四个结论：①△OMN是等腰三角形；②tan∠OMN= ；③BP=4PK；④PM PA=3PD2，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：作PI∥CE交DE于I，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，
在△ADP和△ECP中，
，
∴△ADP≌△ECP，
∴AD=CE，
则 ，又点P是CD的中点，
∴ = ，
∵AD=CE，
∴ = ，
∴BP=3PK，
故③错误；
作OG⊥AE于G，
∵BM丄AE于M，KN丄AE于N，
∴BM∥OG∥KN，
∵点O是线段BK的中点，
∴MG=NG，又OG⊥MN，
∴OM=ON，
即△MON是等腰三角形，故①正确；
由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，
设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP= ，
则AP= ，
根据三角形面积公式，BM= ，
∵点O是线段BK的中点，
∴PB=3PO，
∴OG= BM= ，
MG= MP= ，
tan∠OMN= = ，故②正确；
∵∠ABP=90°，BM⊥AP，
∴PB2=PM PA，
∵∠BCD=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠PBC=30°，
∴∠BPC=90°，
∴PB= PC，
∵PD=PC，
∴PB2=3PD，
∴PM PA=3PD2，故④正确．
故选B．
【分析】根据菱形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP≌△ECP，由相似三角形的性质得到AD=CE，作PI∥CE交DE于I，根据点P是CD的中点证明CE=2PI，BE=4PI，根据相似三角形的性质得到 = ，得到BP=3PK，故③错误；作OG⊥AE于G，根据平行线等分线段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，证明△MON是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠OMN= ，故②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM PA=3PD2，故④正确．
二、填空题
11．（2017九下·海宁开学考）实数﹣27的立方根是 ．
【答案】-3
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵（﹣3）3=﹣27，
∴实数﹣27的立方根是﹣3．
故答案为：﹣3．
【分析】由立方根的定义和乘方的关系容易得出结果．
12．因式分解：a2﹣3a= ．
【答案】a（a﹣3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2﹣3a=a（a﹣3）．
故答案为：a（a﹣3）．
【分析】直接把公因式a提出来即可．
13．（2017九下·海宁开学考）某小组6名同学的体育成绩（满分40分）分别为：36，40，38，38，32，35，这组数据的中位数是 分．
【答案】37
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：数据按从小到大排列为：32，35，36，38，38，40，
则这组数据的中位数是：（36+38）÷2=37．
故答案为：37．
【分析】直接利用中位数的定义分析得出答案．
14．（2017九下·海宁开学考）二次函数y=x2+2x的顶点坐标为 ，对称轴是直线 ．
【答案】（﹣1，﹣1）；x=﹣1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，
∴二次函数y=x2+4x的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=﹣1．
故答案为：（﹣1，﹣1），x=﹣1．
【分析】先把该二次函数化为顶点式的形式，再根据其顶点式进行解答即可．
15．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是 ．
【答案】y=5﹣x
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设矩形的长为x，则宽为5﹣x，即P（x，5﹣x），
可得y=5﹣x，
故答案为：y=5﹣x
【分析】设出矩形的长与宽，表示出P坐标，即可确定出一次函数解析式．
16．（2017九下·海宁开学考）下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，图案⑦需 根火柴棒．
【答案】50
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：∵图案①需火柴棒：8根；
图案②需火柴棒：8+7=15根；
图案③需火柴棒：8+7+7=22根；
…
∴图案n需火柴棒：8+7（n﹣1）=7n+1根；
当n=7时，7n+1=7×7+1=50，
∴图案⑦需50根火柴棒；
故答案为：50．
【分析】根据图案①、②、③中火柴棒的数量可知，第1个图形中火柴棒有8根，每多一个多边形就多7根火柴棒，由此可知第n个图案需火柴棒8+7（n﹣1）=7n+1根，令n=7可得答案．
17．（2017九下·海宁开学考）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）．
【答案】10 +1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，
∵在Rt△BAE中，∠BAE=60°，
∴BE=AE tan60°=10 （m），
∴BC=CE+BE=10 +1（m）．
∴旗杆高BC为10 +1m．
故答案为：10 +1．
【分析】首先过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在Rt△BAE中，∠BAE=60°，然后由三角形函数的知识求得BE的长，继而求得答案．
18．（2017九下·海宁开学考）如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵弦CD∥AB，
∴S△ACD=S△OCD，
∴S阴影=S扇形COD= π = ×π× = ．
故答案为： ．
【分析】由CD∥AB可知，点A、O到直线CD的距离相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出S△ACD=S△OCD，进而得出S阴影=S扇形COD，根据扇形的面积公式即可得出结论．
19．（2016九上·义马期中）在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（0，1），C（3，1），若线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为 ．
【答案】（﹣5，﹣3）
【知识点】平行四边形的判定与性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图所示：∵A（2，3），B（0，1），C（3，1），线段AC与BD互相平分，
∴D点坐标为：（5，3），
∴点D关于坐标原点的对称点的坐标为：（﹣5，﹣3）．
故答案为：（﹣5，﹣3）．
【分析】直接利用平行四边形的性质得出D点坐标，进而利用关于原点对称点的性质得出答案．
20．如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C=90°，AC=4，BC=3．现小林将纸片折叠：使点A落在B处．这折叠的折痕长 ．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，折痕为GH，
由勾股定理得：AB= =5，
由折叠得：AG=BG= AB= ×5= ，GH⊥AB，
∴∠AGH=90°，
∵∠A=∠A，∠AGH=∠C=90°，
∴△ACB∽△AGH，
∴ ，
∴ = ，
∴GH= ，
故答案为 ．
【分析】根据折叠得：GH是线段AB的垂直平分线，得出AG的长，再利用两角对应相等证△ACB∽△AGH，利用比例式可求GH的长，即折痕的长．
三、解答题
21．（2017九下·海宁开学考）计算。
（1）计算： +（﹣3）2﹣（ ﹣1）0．
（2）化简：（2+m）（2﹣m）+m（m﹣1）．
【答案】（1）解：原式=2 +9﹣1
=2 +8
（2）解：（2+m）（2﹣m）+m（m﹣1）
=4﹣m2+m2﹣m
=4﹣m
【知识点】实数的运算；单项式乘多项式；平方差公式及应用；零指数幂
【解析】【分析】（1）直接利用二次根式的性质结合零指数幂的性质分别分析得出答案；（2）直接利用平方差公式计算，进而去括号得出答案．
22．（2017九下·海宁开学考）为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图（部分信息未给出）：
根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次被调查的学生人数．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）若该校共有1600名学生，请估计全校选择体育类的学生人数．
【答案】（1）解：60÷30%=200（人），
即本次被调查的学生有200人
（2）解：选择文学的学生有：200×15%=30（人），
选择体育的学生有：200﹣24﹣60﹣30﹣16=70（人），
补全的条形统计图如下图所示，
（3）解：1600× （人）
即全校选择体育类的学生有560人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可知选择劳技的学生60人，占总体的30%，从而可以求得调查学生人数；（2）根据文学的百分比和（1）中求得的学生调查数可以求得文学的有多少人，从而可以求得体育的多少人，进而可以将条形统计图补充完整；（3）根据调查的选择体育的学生所占的百分比可以估算出全校选择体育类的学生人数．
23．（2017九下·海宁开学考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 ．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，
∴∠ADF=∠C，
∵ ，
∴△ADF∽△ACG
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴ = ，
又∵ ，
∴ = ，
∴ =1．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由 可知，只要证明∠ADF=∠C即可．（2）利用相似三角形的性质得到 = ，由此即可证明．
24．（2017九下·海宁开学考）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
【答案】（1）解：把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，
解得：m=2，
∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为：（1，4）
（2）解：连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴ ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；线段的性质：两点之间线段最短；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．
25．（2017九下·海宁开学考）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC= ，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
【答案】（1）解：如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=40°，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线
（2）解：①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．
②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC= =66°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．
③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．
∴∠ACB=96°或114°．
（3）解：由已知AC=AD=2，
∵△BCD∽△BAC，
∴ ，设BD=x，
∴（ ）2=x（x+2），
∵x＞0，
∴x= ﹣1，
∵△BCD∽△BAC，
∴ = = ，
∴CD= ×2= ﹣
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．（3）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得 ，列出方程即可解决问题．
26．（2017九下·海宁开学考）在线段AB的同侧作射线AM和BN，若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P．如图，点点同学发现当射线AM，BN交于点C；且∠ACB=60°时，有以下两个结论：
①∠APB=120°；②AF+BE=AB．
那么，当AM∥BN时：
（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出∠APB的度数，写出AF，BE，AB长度之间的等量关系，并给予证明；
（2）设点Q为线段AE上一点，QB=5，若AF+BE=16，四边形ABEF的面积为32 ，求AQ的长．
【答案】（1）解：解：点点的结论：①∵∠ACB=60°，
∴∠BAC+∠ABC=120°，
∵∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，
∴∠PAB+∠PBA= （∠PAB+∠PBA）=60°，
∴∠APB=120°，
②如图，在AB上取一点G，使AG=AF，
∵AE是∠BAM的角平分线，
∴∠PAG=∠PAF，
在△PAG和△PAF中， ，
∴△PAG≌△PAF（SAS），
∴∠AFP=∠AGP，
∵∠EPF=∠APB=120°，∠ACB=60°，
∴∠EPF+∠ACB=180°，
∴∠PFC+∠PEC=180°，
∵∠PFC+∠AFP=180°，
∴∠PEC=∠AFP，
∴∠PEC=∠AGP，
∵∠AGP+∠BGP=180°，
∴∠PEC+∠BGP=180°，
∵∠PEC+∠PEB=180°，
∴∠BGP=∠BEP，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠PBG=∠PBE，
在△BPG和△BPE中， ，
∴△BPG≌△BPE（AAS），
∴BG=BE，
∴AF+BE=AB．
原命题不成立，新结论为：∠APB=90°，AF+BE=2AB（或AF=BE=AB），
理由：∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠NBA=180°，
∵AE，BF分别平分∠MAB，NBA，
∴∠EAB= ∠MAB，∠FBA= ∠NBA，
∴∠EAB+∠FBA= （∠MAB+∠NBA）=90°，
∴∠APB=90°，
∵AE平分∠MAB，
∴∠MAE=∠BAE，
∵AM∥BN，
∴∠MAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
同理：AF=AB，
∴AF+BE=2AB（或AF=BE=AB）
（2）解：如图1，
过点F作FG⊥AB于G，
∵AF=BE，AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF+BE=16，
∴AB=AF=BE=8，
∵32 =8×FG，
∴FG=4 ，
在Rt△FAG中，AF=8，
∴∠FAG=60°，
当点G在线段AB上时，∠FAB=60°，
当点G在线段BA延长线时，∠FAB=120°，
①如图2，
当∠FAB=60°时，∠PAB=30°，
∴PB=4，PA=4 ，
∵BQ=5，∠BPA=90°，
∴PQ=3，
∴AQ=4 ﹣3或AQ=4 +3．
②如图3，
当∠FAB=120°时，∠PAB=60°，∠FBG=30°，
∴PB=4 ，
∵PB=4 ＞5，
∴线段AE上不存在符合条件的点Q，
∴当∠FAB=60°时，AQ=4 ﹣3或4 +3．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】点点的两个结论：①利用三角形的角平分线和三角形的内角和即可得出结论；②先判断出△PAG≌△PAF（SAS）得出∠AFP=∠AGP，结合同角的补角相等即可得出∠BGP=∠BEP，进而判断出△BPG≌△BPE（AAS），即可得出结论；（1）由角平分线和平行线整体求出∠MAB+∠NBA，从而得到∠APB=90°，最后用等边对等角，即可．（2）先根据条件求出AF，FG，求出∠FAG=60°，最后分两种情况讨论计算．
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