江苏省南京市“校际联合体”2020-2021学年高一下学期期末联考数学试题 Word版含答案

2020-2021学年南京市“校际联合体”高一下期末联考
（数学）试题
参考公式：如果台体的上、下底面的面积分别为false，false，高是false，则false
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数false，则false（ ）
A、false B、false C、false D、1
2．化简false，得（ ）
A、false B、false C、false D、false
3．已知一组数据false，false，false，false，false，false的方差是false，那么另一组数据false，false，false，false，false，false的方差是（ ）
A、false B、false C、false D、false
4．在false中，false，false，false，则此三角形（ ）
A、无解 B、一解 C、两解 D、解的个数不确定
5．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘微的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”。“幂”是截面积，“势”是几何体的高，即：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，上述原理称为“祖暅原理”。一个上底面边长为1，下底面边长为2，侧棱长为false的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）
A、false B、false C、false D、21
6．若false，则实数false的值为（ ）
A、3 B、false C、2 D、4
7．在棱长均相等的直三棱柱false中，已知false是棱false的中点，false是棱false的中点，则异面直线false与false所成角的正切值为（ ）
A、false B、1 C、false D、false
8．在false中，false，false，false，D是false内一点，且false设false，则（ ）
A、false B、false C、false D、false
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．欧拉公式false（其中false为虚数单位，false）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位。被誉为数学中的“天桥”。依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A、false B、false为纯虚数 C、false的共轭复数为false
D、已知复数false，false，则复数false，false在复平面内的对应点关于虚轴对称
10．己知false，false是两条不同的直线，false，false是两个不同的平面．且false，false，则（ ）
A、若false，则false B、若false，则false
C、若false，则false D、若false，则false
11．某校对200名考生的数学竞赛成绩进行统计，分成false，false，false，false，false五组，得到如图所示频率直方图，则根据频率直方图，下列说法正确的是（ ）
A、false
B、估计该校学生数学竞赛成绩的平均数在false内
C、该校学生数学竞赛成绩的中位数大于80
D、该校学生数学竞赛成绩不低于80分的有90人
12．已知菱形false的边长为2，false，现将false沿false折起形成四面体false．设false，则下列选项正确的是（ ）
A．当false时，二而角false的大小为false
B、当false时，平面false平面false
C、无论false为何值，直线false与false都不垂直
D、存在两个不同的false值，使得四面体false的体积为false
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
13．已知false，false，false．则向量false，false夹角的余弦值为 ▲ ．
14．一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为false的扇形，则该圆锥的表面积为 ▲ ．
15．已知正方体false的棱长为1．点P在正方体内部（含表面）且满足条件：P到正方体顶点A的距离为1．则所有满足条件的点P构成的空间图形的面积为 ▲ ．
16．在false中，false，false，false，D、E在边false所在直线上，且满足false，false．则false ▲ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系false中，已知点false，false，false
（1）以线段false，false为邻边作平行四边形false，求向量false的坐标和false；
（2）设实数false满足false，求false的值．
18．（本小题满分12分）如图，在三棱柱false中，侧面false是矩形，侧面false是菱形，M、N分别是false、false的中点，false
（1）求证：false平面false；
（2）求证：false；
（3）若false，false是边长为4的正三角形，求三棱锥false的体积．
19．（本小题满分12分）在①false，②false，③false这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答该题．
已知false的内角A，B，C所对的边分别是false，false，false，满足______．
（1）求角A；
（2）若false，且false外接圆的直径为2，求false的面积．
20．（本小题满分12分）已知函数false
（1）若false，设false且false，求false的值；
（2）若false恒成立，且false，false，求false的最小值．
21．（本小题满分12分）如图，在false中，已知false，false，false
（1）求false的长度；
（2）若点D是false上一点且满足false，点E是边上false上一点且满足false．
①当false时，求false；
②是否存在非零实数false，false，使得false？若存在，求出false的值；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）当false时，将false，false，false……称为一组连续正整数
（1）是否存在这样的三角形，其三边为一组连续正整数，且最大角是最小角的两倍？若存在，求出所有符合条件的三角形，若不存在，请说明理由；
（2）若一个凸四边形的四条边依次为连续正整数5，6，7，8，求该四边形面积的最大值．
2020-2021学年南京市“校际联合体”高一下期末联考
数学答案与评分标准
一、单项选择题
1、B 2、A 3、C 4、C 5、D 6、C 7、C 8、B
二、多项选择题
9、ABD 10、AC 11、AB 12、ABD
三、填空题
13、-14、2x 15、买16、V2i
四、解答题
17、解析：（1）由向量加法的平行四边形法则知：false
…………………………………2分
从而false …………………………………4分
（2）false …………………………………6分
false ………………………8分
从而由false，得：false，解得：false ………………10分
18、解析：（1）连接false，由N是菱形false的对角线false的交点，知：点N为false的中点且M是false的中点，由三角形的中位线定理知：false ……………………………………1分
矩形false的对边false，得：false
false，false平面false，false平面false，故false平面false ……3分
（注：线面平行的判定定理的使用中缺条件扣1分）
（2）由菱形false的对角线互相垂直，得：false，false，false平面false，false平面false，false，故false平面false，false平面false，
故有false ………………7分
（3）由侧面false是矩形，知false。又由false，false，false平面false，false平面false，得：false平面false，即false平面false
………………9分
由false是边长为4的正三角形，知：false ………………10分
故false ………………12分
（注：线面垂直的判定定理的使用缺条件扣1分）
或者：false
19、解析：（1）选①，则由正弦定理知：false，即false，
…………………2分
由辅助角公式，整理得：false …………………4分
由false，故false，即角false …………………6分
（注：选②或③都得到false，得分步骤同选①）
（2）由false，平方知：false …………………8分
由正弦定理知：false，
由余弦定理知：false …………………10分
从而有false，解得：false，故false的面积false
…………………12分
20、解析：函数false
（1）由false，知：false，故：false，
…………………2分
即false且false，从而false
…………………4分
false …………………6分
（2）由false，知：false，得：false且false，故false，即false …………………8分
由false，知：false，故false，即false…………………10分
从而false且false，故false的最小值为2 …………………12分
21、解析：（1）在false中，由余弦定理知：falsefalse，即false的长度为false。 …………………3分
（2）由（1）知：false，故false是以A为直角的直角三角形。
①选择false，false作为平面内一组基底，则由false，
知：false，false， …………………5分
从而压：false
false …………………7分
②假设存在非零实数false，false，使得false，即false。
选择false，false作为平面内一组基底，则false，
false， …………………9分
故由false，
…………………11分
两边同时除以false，得：false …………………12分
方法二：（2）（坐标法）以A为坐标原点，false所在的直线为false轴，false所在的直线为false轴，建立平面直角坐标系，则false，false，false
①当false时，则false，false，从而由false，false。
…………………5分
知：false …………………7分
②假设存在非零实数false，false，使得false，即false。由false，知：
false，false，…………………9分
从而由false，得：false，即false， …………………11分
两边同时除以false，得：false。 …………………12分
（注：选择false，false作为平面内一组基底解决的，参照给分）
22、解析：（1）不妨设false的三个内角A，B，C的对边分别为false，false，false，则由大边对大角，知：false。记false，则false，从而由正弦定理知：false，
…………………2分
即false …………………4分
在false中，由余弦定值知：false
故有：false，即false，解得：false，
综上，符合条件的三角形有且只有一个，其三边分别为4，5，6 …………………6分
（2）记四边形false的四条边分别为false，false，false，false，
记false，false，在false中，false
在false中，false
从而有：false …………………8分
false，
…………………10分
平方相加得：false，
化简得：false，
当且仅当false时，false有最大值为false …………………12分