江苏省南京市重点中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案

南京市重点中学11036300115951002020-2021学年度第二学期高二期末考试
数学试卷
一?单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.已知false为虚数单位false，则false（ ）
A.false B.1 C.false D.3
2.在等比数列false中，“false”是“false”的（ ）条件.
A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要
3.已知抛物线false上一点false到焦点的距离为false，则其焦点坐标为（ ）
A.false B.false C.false D.false
4.已知函数false的图象如图所示，则false的解析式可能是（ ）
A.false B.false
C.false D.false
5.在false的展开式中，记false项的系数为false，则false（ ）
A.24 B.80 C.56 D.120
6.设false，若随机变量false的分布列是
false
0
false
1
false
false
false
false
则当false在false内增大时（ ）
A.false增大 B.false先增大后减小 C.false减小 D.false先减小后增大
7.设精圆false，已知点false，点false为曲线false上的点，若false的最大值为2，则false的取值范围为（ ）
A.false B.false C.false D.false
8.已知false且false，若对任意的false均有false，则（ ）
A.false B.false C.false D.false
二?多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分.
9.若直线false与函数false，且false的图象有两个公共点，则false可以是（ ）
A.2 B.false C.false D.false
10.已知双曲线false的左?右焦点分别为false，一条渐近线方程为false为曲线false上一点，则以下说法正确的是（ ）
A.false的实轴长为false B.false的离心率为false
C.false D.false的焦距为10
11.为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件false为“第1次抽到选择题”，事件false为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A.false B.false C.false D.false
12.已知定义在false上的函数false满足false，函数false为偶函数，且当false，1]时，false，则下列结论正确的是（ ）
A.函数false是周期为4的周期函数
B.false
C.当false时，false
D.不等式false的解集为false
三?填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上.
13.若false，则false的值为__________.
14.已知false是公差为false的等差数列，false是公比为false的等比数列.若数列false的前false项和false，则false的值为__________.
15.设false，则false的最小值为__________.
16.已知函数false是定义在false上的奇函数，当false时，false若对任意的false，都有false，则实数false的取值范围为__________.
四?解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题共10分)
设数列false的前false项和为false已知false
（1）求数列false通项公式；
（2）求数列false的前false项和.
18.(本小题共12分)
在1，2，3，.，8这8个连续的自然数中，任取3个数.
（1）求这3个数中，恰有一个是奇数的概率；
（2）记false为这三个数中两数相邻的组数，(例如：若取出的数1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时false的值是2)，求随机变量false的分布列及其数学期望false.
19.(本小题共12分)
已知函数false，其中false为实数.
（1）若函数false的图像与false轴相切于点false，求false的值；
（2）若false，且false在区间false上取到最大值，求false的取值范围.
20.(本小题共12分)
如图所示，正方形false所在平面与梯形false所在平面垂直，false
（1）证明：false平面false；
（2）在线段false上是否存在一点false，使得二面角false的余弦值为false，若存在求出false的值，若不存在，请说明理由.
21.(本小题共12分)
设false为实数，且false，函数false，其中false为自然对数的底数.
（1）求函数false的单调区间；
（2）若对任意false，函数false有两个不同的零点，求false的取值范围.
22.(本小题共12分)
已知false的三个顶点在拋物线false上，false为抛物线false的焦点，点false为false的中点，false.
（1）若false，求点false的坐标；
（2）求false面积的最大值.
南京市重点中学2020-2021学年度第二学期高二期末考试
数学试卷
一?单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.【答案】C
【解析】false，展开得false
2.【答案】A
【解析】在等比数列中，设公比为false，因为false，即false，当false时，false，此时false，当false时，false，此时false，反之亦然，所以为充要条件.
3.【答案】A
【解析】设焦点为false，又false点在曲线上，所以false，所以false，消去false即
false，所以焦点坐标为false
4.【答案】D
【解析】由函数图像可知，当false时，false，排除false选项图像当false时，当false越小时，false的值越大，故选D.
5.【答案】C
【解析】false
false即为false的系数即为false，
false即为false的系数即为false，所以选false
6.【答案】C
【解析】false，选择false
7.【答案】A
【解析】当圆false与椭圆false只有一个交点时，false的最大值为2，则
false，关于false的二次函数的根的判别式false，即false，当false时不止一个交点，所以false
8.【答案】D
【解析】当false恒成立，因为false，所以false，当false，
则false时，false恒成立，因为false，所以false，当false，则
false即false时，false恒成立，因为false，矛盾，当false，
则false，与已知矛盾，当false，矛盾，综上，false
二?多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分.
9.【答案】CD
【解析】直线false与函数false，且false的图象有两个公共点则①当false时，由图象只false，故false，②当false时，false，找不到这样的false，所以选择C，D.
10.【答案】AD
【解析】由近线方程为false，所以false正确，又false错误，
false错误，焦距false正确.
11.【答案】ABC
【解析】false正确false正确false正确falseD错误.
12.【答案】ABD
【解析】因为false为偶函数，所以false为false的一条对称轴，又false，所
以false为false的一个对称中心，所以false为周期为4的周期函数，false正确，又当false，1]时，false，所以false，又false且false为周期为4的周期函数，
所以false，所以false正确，显然，false，2]时，false错误，当false时，false，即false，由对称性，
false时，解为false时无解，因为false为周期函数，所以false正确.
三?填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13.【答案】false
【解析】false，所以false
14.【答案】6
【解析】false，所以代入计算的=得到false，所以false
15.【答案】4
【解析】false，当仅当false且false时，即false时等号成立.
16.【答案】false
【解析】false
当false时，false，所以false，对任意的false，都有false，即false的图像向右平移false个单位，得到图像false在false图像下面，即false，所以false
四?解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题共10分)
【解析】（1）由题意得false解得false又当false时，由false
false
得false所以false，即数列false是首项为1，公比为3的等比数列.
所以，数列false的通项公式为false
（2）设false，
false
18.(本小题共12分)
【解析】
（1）记”取3个数，恰有一个是奇数”为事件false，则false.
答恰有一个是奇数的概率为立.
（2）false可以取0，1，2.false
false(或false)
false
0
1
2
false
false
false
false
false答：随机变量false的数学期望为false
19.(本小题共12分)
（1）false，因为函数false的图像与false轴相切于点false，于是false，即false，解得false
（2）当false时，false在false上单调递增，在false上单调递减，
则false为false在false上的最大值；当false时，false恒成立，故false在false上单调递增，故false在false上没有最大值；当false时，false在false上单调递增，在falsea)上单调递减，在false上单调递增，若false在false上取到最大值，则必有false，即false，又false，于是false综上，false的取值范围false.
20.(本小题共12分)
（1）正方形false中，false，
因为平面false平面false，平面false平面falsefalse平
面ABCD，所以false平面ABMN，所以false，且false，false，
所以false，又因为false，所以false，
所以false，又因为AN//BM，所以false，false，所以false平面ABCD.
（2）由（1）知，false平面false，
以false为坐标原点，false所在直线分别为false轴建立空间直角坐标系.
false
设点false则false，
所以false，所以false，
所以false，
设平面false的法向量为false，
false令false，所以false，所以false，
显然，平面false的法向量为false，
所以false，即false
即false，即false，解得false或false(舍)，
则存在一点false，且false
21.(本小题共12分)
（1）false，
①若false，则false在false上单调递增；
②若false，当false时，false单调递减，
当false时，false单调递增.综上可得，false时，false单调增区间为false
false时，函数的单调减区间为false，单调增区间为false
（2）false由（1）知函数的单调减区间为false，单调增区间为false因为函数false有两个不同的零点，所以false，
所以false，即false对任意的false都成立.
令false，则false，
所以false在false上单调递增，在false上单调递减.
若false，则false，矛盾.
若false，则false在false上单调递减，则false，
即false，整理得false，
又false在false上单调递增，所以false，即false，
所以false.
又当false时，false；
且false，
所以存在false使得false时，false，
(其中false是因为false在false上单调递增，在false上单调递减，
所以false由函数的单调性及零点存在性定理可知false时，false有两个零点.所以false的取值范围为false
22.【解析】
（1）false.设false，则false，
所以false或false，
因为false，则false或false.
（2）由题意知，直线false斜率一定存在.设直线false设false
联立拋物线方程
false消去false得，false则判别式false，...①
false所以线段false中点false坐标为false，
由false得false，
又点false在抛物线上，所以false，整理得false...②
由①②得一falseAfalse，
点false到直线false的距离false，所以false面积false.
令false，
当false时，false，当false时，false
所以false在false上单调递增，在false上单调递减，在false上单调递增.
又false，所以false，所以false面积false的最大值为false.