7.1.1角的推广 教案——2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册第七章
文档属性
| 名称 | 7.1.1角的推广 教案——2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册第七章 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 156.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-05 07:23:23 | ||
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文档简介
7.1.1角的推广
教案
教学课时：1课时
教学目标：
1、通过列举实际生活中角实例，在初中角的概念的基础上把角的概念进行推广到任意角，训练学生数学抽象的核心素养；
2、掌握正角、负角、零角的概念，理解角的加减运算的几何意义；
3、理解并记住象限角的定义，会用数学语言表达终边相同角并进行相关运算，训练学生数学抽象、数学运算的核心素养；
4、熟练掌握角的相关问题的代数方法和几何方法，训练学生直观想象、数学运算的核心素养.
教学重点：
将的角的概念推广到任意角.
教学难点：
角的概念的推广；终边相同的角的表示.
教学过程：
一、创设情境，引入新课
大家坐过摩天轮吗？你知道亚洲最大的摩天轮在哪里吗？
【学生活动】观看，集体回答.
【教师活动】播放天津永乐桥摩天轮的旋转视频，同时对它进行简单介绍：亚洲第一摩天轮是被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光
和交通功用，是中国十大城市地标建筑之一.这座摩天轮将成为世界上唯一建在桥上的摩天
轮，它的直径为110米，最高点距离地面的高度可达到120米左右，相当于40层楼的高度，能看到方圆40公里以内的景致.
【设计意图】介绍天津永乐桥摩天轮，激发学生的学习兴趣，为祖国的日益强大而自豪，同时为引出问题1做好铺垫.
?
问题1：天津永乐桥摩天轮在持续不断地转动时，
（1）摩天轮所转过的角度大小是否会超过？
（2）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？
【学生活动】思考，集体回答.
【教师活动】投影展示问题1，对学生的回答进行评价.
【设计意图】创设实际的生活情境，让学生在思考回答问题的过程中感受生活中任意角的存在.
问题2：初中学习过的角是如何定义的？角的范围是什么？
【学生活动】思考，单独回答.
【教师活动】和学生一起回顾初中角的概念，同时投影展示问题2的答案：
静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形称为角；
动态定义：角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形；
角的范围：，不超过一个周角（）.
【设计意图】结合生活中的摩天轮实例，复习回顾角的概念和范围，引发学生的认知冲突，初中学习的角的概念已经不能满足实际生活的需要了，需要对角的概念进行拓展，感受角的概念推广的必要性.
二、实例分析，角的推广
问题3：实际生活中，你能例举出和摩天轮一样的实例吗？
【学生活动】思考，单独回答，生补充.
【教师活动】投影展示问题3，把学生列举的实例写在投影上，和原来准备好的实例一起展示：
汽车车轮的前进与后退；汽车的方向盘顺时针和逆时针旋转；
拧螺丝时逆时针和顺时针方向分别越拧越松和越拧越紧；校准钟表的指针快与慢.
【设计意图】通过例举实例，认识到生活中存在大量的角，不仅大小超过，还存在方向不同的问题，感受数学与生活的紧密联系.
问题4：初中角的概念是否能准确地刻画上述生活中的这些角？如果不能，那刻画上述这些角的关键是什么？
【学生活动】思考，单独回答，生补充.
【教师活动】投影展示问题4
，根据学生的回答进行补充，或者进行启发引导.
【设计意图】通过生活中的具体实例，帮助学生直观地感知到要刻画生活中这些角，不仅要有旋转量，还需要旋转方向，感知推广角的概念是源于实际生活的需要，感知知识的来龙去脉，为抽象思维提供了形象支持，化抽象为直观，便于学生接收.
问题5：既要满足角的旋转量，又要满足角的旋转方向，你会选择在角的哪个定义的基础上进行推广？如何推广？
【学生活动】思考，单独回答，并说明选择的理由.
【教师活动】初中角的概念已经无法满足实际生活的需要，投影展示问题5，根据学生的回答进行补充，或者进行启发引导如下：如何推广？注意满足两个条件，旋转绝对量（超过）和旋转的方向（两个相反意义的量是用什么来表示的），可以联想以前学习过的自然数的扩充，（1）在原来的定义基础上添加，解决在原来定义下不能解决的问题；（2）保留原来的角的性质和运算法则.最终，投影展示推广后的角的概念：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边.射线的旋转有两个方向：顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角称为正角；按照顺时针方向旋转而成的角称为负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，称为零角.这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角.
并强调，这样定义的角的大小是任意的，可以刻画实际生活的任一角.
【设计意图】新知的学习一定要建构在原有的认知基础上，不但可以弄清楚知识的来龙去脉帮助记忆，更重要的是加深了对新知的理解、掌握和应用，培养了学生数学抽象的核心素养.
三、深入剖析，加深理解
问题6：为什么会规定逆时针方向旋转而成的角为正角，顺时针方向旋转而成的角为负角？
?
【学生活动】思考回答，生补充.
【教师活动】投影展示视频：北半球台风气旋、放水的漩涡.同时解说：正角和负角是用来表示具有相反意义的旋转量，其正负出于习惯，和正负数的规定相同（也就是说，我们也可以规定按照顺时针方向旋转所形成的角为正角，按逆时针方向旋转形成的角为负角，只要大家都遵循一个规定和原则即可，但不可两种规定同时使用，这与现实中的很多规则是一致的）.为什么会有这种规定，而不是反过来呢？那是因为人类的发源地在北半球，长期受地转偏向力的影响形成了这一习惯.在北半球，自然界中很多现象都受地转偏向力的影响，出现的逆时针旋转的现象要多于顺时针，例如台风气旋、放水时形成的漩涡等都是逆时针方向，人类在长期实践活动中，很自然而然的把逆时针旋转看成正的，而顺时针旋转看成负的.其实在实际生活中还有很多类似的问题，看似是规定，其实都是有原因的，例如因为北半球地转偏向力向右偏，为了平衡、交通安全、耐磨耐用，所以规定跑道上逆时针赛跑、车辆和行人靠右行、机械设备顺时针旋转等.
【设计意图】激发学生的学习兴趣，深刻感受数学知识是来源于生活，又应用于生活.
问题7：在初中表示角的基础上，推广后的角该如何表示？如表示，
【学生活动】思考回答，生补充.
【教师活动】根据学生的回答进行补充，或者进行启发引导：初中角的表示只有大小且还不超过，生活中的很多角不但大小超过，还多了旋转方向，那在原来角的表示的基
础上，增加怎样的符号才能表示推广后的任意角，即用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.
【设计意图】?通过思考回答推广后的角的表示，帮助学生加深对角的概念的理解，知道在解决任何一个与角有关的问题时，需要明确角的旋转方向和旋转的绝对量.
问题8：如何用图形来表示角的加减运算？如，
【学生活动】学生在学案中完成.
【教师活动】投影学生的答案，让学生点评，共同修改，并指明这就是角的加减法的几何意义.
【设计意图】角的旋转与角的加减法运算对应起来可以赋予角的加减运算一个几何意义，使数与形紧密结合起来，利用图形的直观感知加减运算中角的终边的位置关系，增加学生数形结合和运用几何直观思考问题的能力，培养学生直观想象的核心素养.
四、应用知识，把握本质
问题9：以同一条射线为始边作出下列角：
问题10：回答上述四个角，分别是第几象限角？
【学生活动】学生在学案中独立完成.
【教师活动】投影学生的答案，让学生点评，共同修改，并指明没有统一参考系时，角的表示的不方便.为了方便起见，通常将角放在平面直角坐标系中讨论，投影展示：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在轴的正半轴上，这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角，如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.
【设计意图】把角放到平面直角坐标系中讨论，是为了在同一参照系下，简化角的讨论，让学生感受数学知识的精炼.
问题11：角是否是象限角？
【学生活动】思考，集体回答.
【教师活动】投影展示角的分类：
象限角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角；
象限界角：角的终边落在坐标轴上.
【设计意图】检验学生对象限角概念的理解和掌握，同时引出象限界角的概念.
问题12：
（1）在同一直角坐标系中，能不能再找到一个和角的终边分别相同的角？
（2）能找到几个角和角的终边分别相同？
（3）从旋转量和旋转方向思考每组终边相同的角有什么关系？
（4）如何表示与角终边相同的所有的角？与角终边相同的所有的角又该如何表示呢？
【学生活动】第（1）问在学案中独立完成，第（2）（3）（4）问思考后单独回答.
【教师活动】.投影展示问题，根据学生的回答继续进行下一个问题，在得出这一概念时，可以利用信息技术从逆时针和顺时针两个方向旋转，引导学生观察图形，
从特殊到一般，让学生自己归纳出与角的终边相同的角的集合：，将数、形联系起来，使角的几何表示和集合表示相结合，得出角的终边相同的表示后，强调三个问题：
（1）不可缺少，集合中的角是整数取遍所有整数得到的，它是数学语言刻画的周期现象，表明与终边相同的角都相差的整数倍，或者形成角的过程中，每当射线绕原点转一圈时，就会出现一个与终边相同的角，特别说明k取正整数时，角的终边逆时针方向转动的圈数是k，k取负整数时，角的终边顺时针方向转动圈，k=0时，角终边没有转动.对于整数的含义要在后面学习过程中不断进行强调，加深理解；
（2）角可以是任意角；
（3）与之间是“+”，如，应看成；
（4）终边相同的角和相等的角是两个不同的概念.两个角相等，这两个角的终边一定相同；两个终边相同的角不一定相等，二者之间相差的整数倍.
【设计意图】让学生独立思考，动手操作，亲自体验角的终边位置“周而复始”的现象，得出终边相同角的表示，为后面三角函数的学习做好准备.学生通过解决问题，得出终边相同的角的概念和写法的过程中，加深对终边相同的角相差的整数倍的直观感知.终边相同的角的概念十分重要，因旋转而来，具有周期性，这也是理解三角函数为周期函数的基础.
五、学以致用，检测反馈
例1（课本第6页例1）
已知角的终边为射线OA，分别作出角的终边.
变式：
如果角是第二象限角，那么角分别是第几象限角？
【学生活动】在学案中独立完成，生展示，生评价，生小结.
【教师活动】投影展示学生的答案，引导补充学生小结的判断象限角的方法.
几何法：
①在第二象限作出角；
②根据旋转方向和旋转的绝对量在图中分别作出角的终边；
③根据角的终边所在的象限判断为第几象限角.
代数法：
③根据所写的角的范围进行判断为第几象限角：第三象限角、第一象限角、第四象限角.
【设计意图】通过让学生在图中分别作出角的终边，再次强调逆时针旋转角越来越大（角的加法应逆时针旋转），顺时针旋转角越来越小（角的减法应顺时针旋转），不但加深对角的概念中两个关键要素（旋转方向和旋转的绝对量）的理解，还让学生不断体会图像解题的直观快捷.把两种方法进行对比，强调要善于借助几何图形思考问题.
例2（课本第6页例2）
分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式的元素写出来.（1）；（2）.
【学生活动】在学案中独立完成，生展示，生评价，生小结.
【教师活动】投影展示学生的答案，引导补充学生小结的解题方法.
解法1：教材中的解法，构造K的不等式求解，具体步骤如下：
①写出与已知角终边相同的所有角的集合；
②根据给定的角的范围构造K的不等式，解得K的取值范围；
③根据K的取值范围写出满足条件的所有角.
解法2：对K进行取特值，具体步骤如下：
①写出与已知角终边相同的所有角的集合；
②对整数K取特值0,1,-1,2,-2···检验，直到取遍给定范围内所有满足条件的角.
两种方法各有优缺点，如果给定范围非常大，结论只问满足条件的角的个数，解法1适合；如果给定范围在几圈之内，依次取值会更好，因为这样不但节省时间，还可以减少学生出错的机率.
【设计意图】通过找到给定范围内与已知角终边相同的所有角，加深对终边相同的角的概念的理解和应用.不但要让学生理解，表示与角终边相同的所有角，有无穷多个，它们组成一个集合，给K以适当的整数值，可以从集合S中找到适合某条件的元素（角），K的值与集合S中的元素形成一一对应关系，还要让学生明白整数代表了角旋转的圈数，即周期的体现，弄清楚整数的含义是整个三角函数学习中至关重要的一点.
例3（课本第6页例3）
写出终边在第一象限内的角的集合.
变式：分别写出终边在第二象限、第三象限和第四象限角的集合.
【学生活动】在学案中独立完成，生展示，生评价，生小结.
【教师活动】投影学生的答案，再次强调K的意义.
终边在第一象限的角的集合：
终边在第二象限的角的集合：
终边在第三象限的角的集合：
终边在第四象限的角的集合：
终边在坐标轴上的角采取不同的表示，象限角的集合表示表面上不相同，但实质上是一致的，时刻关注强调整数的含义，取边所有整数对应的集合一样即为相等，而不是只看表面的写法.
表示角的集合的步骤：
①按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
②由小到大分别标出起始和终止边界对应的范围内的角和，写出最简区间，其中；
③起始、终止边界对应角、分别再加上的整数倍，即得区间角集合
【设计意图】让学生写出终边在第一象限角的集合，再次体会整数K的含义.通过完成变式练习，让学生熟练掌握终边相同的角的集合表示.
例4（课本第6页例4）
写出终边在X轴上的角的集合.
变式：写出终边在y轴上的角的集合.
【学生活动】在学案中独立完成，生展示，生评价，生小结.
【教师活动】根据学生的回答进行补充，或者进行启发引导：强调对概念的理解要深刻，对概念的应用要严密，角的概念中是两条射线，根据终边相同的角的概念只能分别写出终边在x轴正半轴和x轴负半轴的角的集合，那如何表示终边在x轴的角的集合呢？需要对这两个
集合进行并集运算.最终投影展示两种解法，第一种解法仍需强调整数k的含义，所有奇数和所有偶数的并集就是所有整数；第二种解法是直观感知，观察规律，得出答案；如果学生都不容易理解，教师也可以把两个集合中的角分别罗列出有限项，观察规律找到答案.
【设计意图】两种方法进行对比分析，加深对角的概念的理解和应用.
六、梳理构建，学有所成
基础知识：
方法小结：
核心本质：
【学生活动】思考后，单独回答，生补充.
【教师活动】根据学生的回答，进行补充，最后投影展示，强调核心本质.
【设计意图】引导学生对所学的基础知识、解决问题的方法、核心本质进行小结，培养学生的概括归纳的能力，只有抓住本节课的核心本质才能灵活解决所有问题.
七、分层作业，能力提升
基础巩固作业：课本第7页练习A和练习B.
能力提升作业：
（1）用集合表示终边在坐标轴以及直线y=x和y=-x上的角的集合
答案：.
（2）当角在第一象限时，的终边在第几象限？
解析：
代数法：当角的终边在第一象限时，，则，因为终边相同的角的概念，集合中应出现，才可以快速准确地判断角的终边的位置，所以对整数分类讨论（例4的逆向思考），
当k=2n,时：
??
当k=2n+1,时：
所以的终边在第一象限和第三象限.
几何法：因为.
又因为终边在x轴上的角的集合为，
所以可以看成x轴逆时针旋转形成的角的集合，及角的终边在第一象限和第三象限.
同理可知：
当角在第二象限角时，的终边在第一象限和第三象限；
当角在第三象限角时，的终边在第二象限和第四象限；
当角在第四象限角时，的终边在第二象限和第四象限.
在此方法的基础上，可以归纳得到通过等分坐标系判断角终边所在的象限的方法：比如角是第三象限角，则角的终边就会落在图中标号为3的区域中，得到为第二象限和第四象限角.
【设计意图】通过设置基础巩固作业和能力提升作业，不但进一步巩固本节课所学的知识，还使各个层次的学生都有所发展.
教案
教学课时：1课时
教学目标：
1、通过列举实际生活中角实例，在初中角的概念的基础上把角的概念进行推广到任意角，训练学生数学抽象的核心素养；
2、掌握正角、负角、零角的概念，理解角的加减运算的几何意义；
3、理解并记住象限角的定义，会用数学语言表达终边相同角并进行相关运算，训练学生数学抽象、数学运算的核心素养；
4、熟练掌握角的相关问题的代数方法和几何方法，训练学生直观想象、数学运算的核心素养.
教学重点：
将的角的概念推广到任意角.
教学难点：
角的概念的推广；终边相同的角的表示.
教学过程：
一、创设情境，引入新课
大家坐过摩天轮吗？你知道亚洲最大的摩天轮在哪里吗？
【学生活动】观看，集体回答.
【教师活动】播放天津永乐桥摩天轮的旋转视频，同时对它进行简单介绍：亚洲第一摩天轮是被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光
和交通功用，是中国十大城市地标建筑之一.这座摩天轮将成为世界上唯一建在桥上的摩天
轮，它的直径为110米，最高点距离地面的高度可达到120米左右，相当于40层楼的高度，能看到方圆40公里以内的景致.
【设计意图】介绍天津永乐桥摩天轮，激发学生的学习兴趣，为祖国的日益强大而自豪，同时为引出问题1做好铺垫.
?
问题1：天津永乐桥摩天轮在持续不断地转动时，
（1）摩天轮所转过的角度大小是否会超过？
（2）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？
【学生活动】思考，集体回答.
【教师活动】投影展示问题1，对学生的回答进行评价.
【设计意图】创设实际的生活情境，让学生在思考回答问题的过程中感受生活中任意角的存在.
问题2：初中学习过的角是如何定义的？角的范围是什么？
【学生活动】思考，单独回答.
【教师活动】和学生一起回顾初中角的概念，同时投影展示问题2的答案：
静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形称为角；
动态定义：角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形；
角的范围：，不超过一个周角（）.
【设计意图】结合生活中的摩天轮实例，复习回顾角的概念和范围，引发学生的认知冲突，初中学习的角的概念已经不能满足实际生活的需要了，需要对角的概念进行拓展，感受角的概念推广的必要性.
二、实例分析，角的推广
问题3：实际生活中，你能例举出和摩天轮一样的实例吗？
【学生活动】思考，单独回答，生补充.
【教师活动】投影展示问题3，把学生列举的实例写在投影上，和原来准备好的实例一起展示：
汽车车轮的前进与后退；汽车的方向盘顺时针和逆时针旋转；
拧螺丝时逆时针和顺时针方向分别越拧越松和越拧越紧；校准钟表的指针快与慢.
【设计意图】通过例举实例，认识到生活中存在大量的角，不仅大小超过，还存在方向不同的问题，感受数学与生活的紧密联系.
问题4：初中角的概念是否能准确地刻画上述生活中的这些角？如果不能，那刻画上述这些角的关键是什么？
【学生活动】思考，单独回答，生补充.
【教师活动】投影展示问题4
，根据学生的回答进行补充，或者进行启发引导.
【设计意图】通过生活中的具体实例，帮助学生直观地感知到要刻画生活中这些角，不仅要有旋转量，还需要旋转方向，感知推广角的概念是源于实际生活的需要，感知知识的来龙去脉，为抽象思维提供了形象支持，化抽象为直观，便于学生接收.
问题5：既要满足角的旋转量，又要满足角的旋转方向，你会选择在角的哪个定义的基础上进行推广？如何推广？
【学生活动】思考，单独回答，并说明选择的理由.
【教师活动】初中角的概念已经无法满足实际生活的需要，投影展示问题5，根据学生的回答进行补充，或者进行启发引导如下：如何推广？注意满足两个条件，旋转绝对量（超过）和旋转的方向（两个相反意义的量是用什么来表示的），可以联想以前学习过的自然数的扩充，（1）在原来的定义基础上添加，解决在原来定义下不能解决的问题；（2）保留原来的角的性质和运算法则.最终，投影展示推广后的角的概念：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边.射线的旋转有两个方向：顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角称为正角；按照顺时针方向旋转而成的角称为负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，称为零角.这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角.
并强调，这样定义的角的大小是任意的，可以刻画实际生活的任一角.
【设计意图】新知的学习一定要建构在原有的认知基础上，不但可以弄清楚知识的来龙去脉帮助记忆，更重要的是加深了对新知的理解、掌握和应用，培养了学生数学抽象的核心素养.
三、深入剖析，加深理解
问题6：为什么会规定逆时针方向旋转而成的角为正角，顺时针方向旋转而成的角为负角？
?
【学生活动】思考回答，生补充.
【教师活动】投影展示视频：北半球台风气旋、放水的漩涡.同时解说：正角和负角是用来表示具有相反意义的旋转量，其正负出于习惯，和正负数的规定相同（也就是说，我们也可以规定按照顺时针方向旋转所形成的角为正角，按逆时针方向旋转形成的角为负角，只要大家都遵循一个规定和原则即可，但不可两种规定同时使用，这与现实中的很多规则是一致的）.为什么会有这种规定，而不是反过来呢？那是因为人类的发源地在北半球，长期受地转偏向力的影响形成了这一习惯.在北半球，自然界中很多现象都受地转偏向力的影响，出现的逆时针旋转的现象要多于顺时针，例如台风气旋、放水时形成的漩涡等都是逆时针方向，人类在长期实践活动中，很自然而然的把逆时针旋转看成正的，而顺时针旋转看成负的.其实在实际生活中还有很多类似的问题，看似是规定，其实都是有原因的，例如因为北半球地转偏向力向右偏，为了平衡、交通安全、耐磨耐用，所以规定跑道上逆时针赛跑、车辆和行人靠右行、机械设备顺时针旋转等.
【设计意图】激发学生的学习兴趣，深刻感受数学知识是来源于生活，又应用于生活.
问题7：在初中表示角的基础上，推广后的角该如何表示？如表示，
【学生活动】思考回答，生补充.
【教师活动】根据学生的回答进行补充，或者进行启发引导：初中角的表示只有大小且还不超过，生活中的很多角不但大小超过，还多了旋转方向，那在原来角的表示的基
础上，增加怎样的符号才能表示推广后的任意角，即用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.
【设计意图】?通过思考回答推广后的角的表示，帮助学生加深对角的概念的理解，知道在解决任何一个与角有关的问题时，需要明确角的旋转方向和旋转的绝对量.
问题8：如何用图形来表示角的加减运算？如，
【学生活动】学生在学案中完成.
【教师活动】投影学生的答案，让学生点评，共同修改，并指明这就是角的加减法的几何意义.
【设计意图】角的旋转与角的加减法运算对应起来可以赋予角的加减运算一个几何意义，使数与形紧密结合起来，利用图形的直观感知加减运算中角的终边的位置关系，增加学生数形结合和运用几何直观思考问题的能力，培养学生直观想象的核心素养.
四、应用知识，把握本质
问题9：以同一条射线为始边作出下列角：
问题10：回答上述四个角，分别是第几象限角？
【学生活动】学生在学案中独立完成.
【教师活动】投影学生的答案，让学生点评，共同修改，并指明没有统一参考系时，角的表示的不方便.为了方便起见，通常将角放在平面直角坐标系中讨论，投影展示：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在轴的正半轴上，这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角，如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.
【设计意图】把角放到平面直角坐标系中讨论，是为了在同一参照系下，简化角的讨论，让学生感受数学知识的精炼.
问题11：角是否是象限角？
【学生活动】思考，集体回答.
【教师活动】投影展示角的分类：
象限角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角；
象限界角：角的终边落在坐标轴上.
【设计意图】检验学生对象限角概念的理解和掌握，同时引出象限界角的概念.
问题12：
（1）在同一直角坐标系中，能不能再找到一个和角的终边分别相同的角？
（2）能找到几个角和角的终边分别相同？
（3）从旋转量和旋转方向思考每组终边相同的角有什么关系？
（4）如何表示与角终边相同的所有的角？与角终边相同的所有的角又该如何表示呢？
【学生活动】第（1）问在学案中独立完成，第（2）（3）（4）问思考后单独回答.
【教师活动】.投影展示问题，根据学生的回答继续进行下一个问题，在得出这一概念时，可以利用信息技术从逆时针和顺时针两个方向旋转，引导学生观察图形，
从特殊到一般，让学生自己归纳出与角的终边相同的角的集合：，将数、形联系起来，使角的几何表示和集合表示相结合，得出角的终边相同的表示后，强调三个问题：
（1）不可缺少，集合中的角是整数取遍所有整数得到的，它是数学语言刻画的周期现象，表明与终边相同的角都相差的整数倍，或者形成角的过程中，每当射线绕原点转一圈时，就会出现一个与终边相同的角，特别说明k取正整数时，角的终边逆时针方向转动的圈数是k，k取负整数时，角的终边顺时针方向转动圈，k=0时，角终边没有转动.对于整数的含义要在后面学习过程中不断进行强调，加深理解；
（2）角可以是任意角；
（3）与之间是“+”，如，应看成；
（4）终边相同的角和相等的角是两个不同的概念.两个角相等，这两个角的终边一定相同；两个终边相同的角不一定相等，二者之间相差的整数倍.
【设计意图】让学生独立思考，动手操作，亲自体验角的终边位置“周而复始”的现象，得出终边相同角的表示，为后面三角函数的学习做好准备.学生通过解决问题，得出终边相同的角的概念和写法的过程中，加深对终边相同的角相差的整数倍的直观感知.终边相同的角的概念十分重要，因旋转而来，具有周期性，这也是理解三角函数为周期函数的基础.
五、学以致用，检测反馈
例1（课本第6页例1）
已知角的终边为射线OA，分别作出角的终边.
变式：
如果角是第二象限角，那么角分别是第几象限角？
【学生活动】在学案中独立完成，生展示，生评价，生小结.
【教师活动】投影展示学生的答案，引导补充学生小结的判断象限角的方法.
几何法：
①在第二象限作出角；
②根据旋转方向和旋转的绝对量在图中分别作出角的终边；
③根据角的终边所在的象限判断为第几象限角.
代数法：
③根据所写的角的范围进行判断为第几象限角：第三象限角、第一象限角、第四象限角.
【设计意图】通过让学生在图中分别作出角的终边，再次强调逆时针旋转角越来越大（角的加法应逆时针旋转），顺时针旋转角越来越小（角的减法应顺时针旋转），不但加深对角的概念中两个关键要素（旋转方向和旋转的绝对量）的理解，还让学生不断体会图像解题的直观快捷.把两种方法进行对比，强调要善于借助几何图形思考问题.
例2（课本第6页例2）
分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式的元素写出来.（1）；（2）.
【学生活动】在学案中独立完成，生展示，生评价，生小结.
【教师活动】投影展示学生的答案，引导补充学生小结的解题方法.
解法1：教材中的解法，构造K的不等式求解，具体步骤如下：
①写出与已知角终边相同的所有角的集合；
②根据给定的角的范围构造K的不等式，解得K的取值范围；
③根据K的取值范围写出满足条件的所有角.
解法2：对K进行取特值，具体步骤如下：
①写出与已知角终边相同的所有角的集合；
②对整数K取特值0,1,-1,2,-2···检验，直到取遍给定范围内所有满足条件的角.
两种方法各有优缺点，如果给定范围非常大，结论只问满足条件的角的个数，解法1适合；如果给定范围在几圈之内，依次取值会更好，因为这样不但节省时间，还可以减少学生出错的机率.
【设计意图】通过找到给定范围内与已知角终边相同的所有角，加深对终边相同的角的概念的理解和应用.不但要让学生理解，表示与角终边相同的所有角，有无穷多个，它们组成一个集合，给K以适当的整数值，可以从集合S中找到适合某条件的元素（角），K的值与集合S中的元素形成一一对应关系，还要让学生明白整数代表了角旋转的圈数，即周期的体现，弄清楚整数的含义是整个三角函数学习中至关重要的一点.
例3（课本第6页例3）
写出终边在第一象限内的角的集合.
变式：分别写出终边在第二象限、第三象限和第四象限角的集合.
【学生活动】在学案中独立完成，生展示，生评价，生小结.
【教师活动】投影学生的答案，再次强调K的意义.
终边在第一象限的角的集合：
终边在第二象限的角的集合：
终边在第三象限的角的集合：
终边在第四象限的角的集合：
终边在坐标轴上的角采取不同的表示，象限角的集合表示表面上不相同，但实质上是一致的，时刻关注强调整数的含义，取边所有整数对应的集合一样即为相等，而不是只看表面的写法.
表示角的集合的步骤：
①按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
②由小到大分别标出起始和终止边界对应的范围内的角和，写出最简区间，其中；
③起始、终止边界对应角、分别再加上的整数倍，即得区间角集合
【设计意图】让学生写出终边在第一象限角的集合，再次体会整数K的含义.通过完成变式练习，让学生熟练掌握终边相同的角的集合表示.
例4（课本第6页例4）
写出终边在X轴上的角的集合.
变式：写出终边在y轴上的角的集合.
【学生活动】在学案中独立完成，生展示，生评价，生小结.
【教师活动】根据学生的回答进行补充，或者进行启发引导：强调对概念的理解要深刻，对概念的应用要严密，角的概念中是两条射线，根据终边相同的角的概念只能分别写出终边在x轴正半轴和x轴负半轴的角的集合，那如何表示终边在x轴的角的集合呢？需要对这两个
集合进行并集运算.最终投影展示两种解法，第一种解法仍需强调整数k的含义，所有奇数和所有偶数的并集就是所有整数；第二种解法是直观感知，观察规律，得出答案；如果学生都不容易理解，教师也可以把两个集合中的角分别罗列出有限项，观察规律找到答案.
【设计意图】两种方法进行对比分析，加深对角的概念的理解和应用.
六、梳理构建，学有所成
基础知识：
方法小结：
核心本质：
【学生活动】思考后，单独回答，生补充.
【教师活动】根据学生的回答，进行补充，最后投影展示，强调核心本质.
【设计意图】引导学生对所学的基础知识、解决问题的方法、核心本质进行小结，培养学生的概括归纳的能力，只有抓住本节课的核心本质才能灵活解决所有问题.
七、分层作业，能力提升
基础巩固作业：课本第7页练习A和练习B.
能力提升作业：
（1）用集合表示终边在坐标轴以及直线y=x和y=-x上的角的集合
答案：.
（2）当角在第一象限时，的终边在第几象限？
解析：
代数法：当角的终边在第一象限时，，则，因为终边相同的角的概念，集合中应出现，才可以快速准确地判断角的终边的位置，所以对整数分类讨论（例4的逆向思考），
当k=2n,时：
??
当k=2n+1,时：
所以的终边在第一象限和第三象限.
几何法：因为.
又因为终边在x轴上的角的集合为，
所以可以看成x轴逆时针旋转形成的角的集合，及角的终边在第一象限和第三象限.
同理可知：
当角在第二象限角时，的终边在第一象限和第三象限；
当角在第三象限角时，的终边在第二象限和第四象限；
当角在第四象限角时，的终边在第二象限和第四象限.
在此方法的基础上，可以归纳得到通过等分坐标系判断角终边所在的象限的方法：比如角是第三象限角，则角的终边就会落在图中标号为3的区域中，得到为第二象限和第四象限角.
【设计意图】通过设置基础巩固作业和能力提升作业，不但进一步巩固本节课所学的知识，还使各个层次的学生都有所发展.