7.2.1三角函数的定义 教案——2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册第七章
文档属性
| 名称 | 7.2.1三角函数的定义 教案——2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册第七章 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 132.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-05 07:24:10 | ||
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文档简介
7.2.1三角函数的定义
教案
教学课时：1课时
教学目标：
1、通过分析问题情境中摩天轮离地面高度问题，体会用坐标定义任意角三角函数的必要性，体会由特殊到一般的归纳思想，发展数学抽象和逻辑推理的学科素养；
2、经历任意角三角函数定义的产生过程，理解任意角三角函数的定义，发展逻辑推理的学科素养；
3、会运用定义求任意角的三角函数值、会判定给定三角函数值的符号，发展数学运算的学科素养．
教学重点：
任意角三角函数的定义，依据定义求三角函数值、判定三角函数值的符号.
教学难点：
任意角三角函数定义的建构过程．
教学过程：
一、问题情境：
本章导语中提到“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，设其半径为rm，中心离地面高度为，从水平位置B点出发，设半径AB转过的角度为，
问题1：当时，B点离地面的高度h如何表示？当呢？猜想当角为任意角时，h与之间的关系式如何表示？
【学生活动】学生独立思考完成，展示答案：，，并作解释说明，进而猜想：．
【教师活动】随着摩天轮的转动，角从最初的锐角推广到任意角，对任意角，该如何定义呢？这就是本节要学习的内容，任意角三角函数的定义．上述问题的猜想是否合理呢？我们共同分析：
当点B在水平位置上方时，，当点当点B在水平位置下方时，，所以，结合猜想，得到，即．
问题2：上述式子中，我们能否找到一个量替代，使上述形式更简单？它的绝对值与相等，在水平位置上方为正，下方为负．
【学生活动】学生思考后回答，引入直角坐标系，用点B的纵坐标y替代，所以．
【设计意图】任意角三角函数定义的建构过程是本节课的难点，如何自然地引入坐标，使学生体会到用坐标定义的必要性和合理性是设置该问题情境的原因．
二、概念形成：
【教师活动】我们以圆心为原点，水平方向为x轴建系，设角终边上点B（x,y），利用我们刚才的分析，得到．
问题3：当为锐角时，此规定与初中定义是否吻合？请类比该定义，尝试给出任意角的余弦和正切的定义．
定义任意角的三角函数如下：
设点P（x,y）是角终边上一点，，
叫做角的余弦，记作，即；
叫做角的正弦，记作，即；
叫做角的正切，记作，即．
【设计意图】经历从情境中提炼出任意角的正弦的定义，类比任意角的正弦及初中锐角的余弦和正切的定义，得到任意角的余弦和正切的定义．意在锻炼学生类比推理的能力．
三、概念深化：
问题4：点P在终边上的位置是否会影响角的三角函数值？
问题5：依据函数的定义，这几个比值可以分别构成函数吗？若能构成，它们的自变量是什么？自变量的取值范围是什么？
【师生活动】学生思考回答，教师点拨．问题4学生基于初中相似三角形知识能够准确作答，问题5中“自变量是什么”是一个有难度的问题，教师要注意正确引导和必要的提示，可预备问题“因为，即y越大，越大，这种说法正确吗？”引导学生思考．三角函数以角为自变量，对于任意一个角，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当时，有唯一的正切与之对应，角的正弦、余弦和正切，都称为的三角函数．
【设计意图】本环节是对任意角三角函数概念的深化，一是分析终边上一点（除原点）选取的任意性，二是从函数的角度理解三角函数，明确函数的定义域，为后续研究三角函数做好铺垫．问题“因为，即y越大，越大，这种说法正确吗？”的设计，是为了启发学生想到的值并不是由y的值确定，进而分析出三角函数值的改变源于角的改变，这个问题的答案可由学生讨论交流得出．
四、概念应用（一）：
例1（课本15页例1）
已知角的终边经过点P（2，-3），求，和．
解：设x=2，y=-3，则于是
例2（课本15页例2）
求下列各角的正弦、余弦和正切：
（1）0；
（2）；
（3）；
（4）．
解：（1）角O的终边在x轴正半轴上，在x轴正半轴上取点P（1，0），
所以，因此
（2）角的终边在y轴正半轴上，在y轴正半轴上取点P（0，1），
所以，因此不存在．
（3）角的终边在x轴负半轴上，在x轴负半轴上取点P（-1，0），
所以，因此
（4）角的终边在y轴负半轴上，在y轴负半轴上取点P（0，-1），
所以，因此不存在．
例3（课本16页例3）
求的正弦、余弦和正切．
解：在角的终边上取点P，使得OP=2，作，则在中，
因此MP=1，，从而可知P的坐标为，因此
【设计意图】学生独立完成，展示交流，教师在学生解题思路和规范性方面进行指导．例1总结步骤：取点、求r、用定义计算．例2补充，要求学生熟记轴上角的三角函数值．例3是求的三角函数值，取点是解决本题的关键，学生的易错点为坐标的正负．例3教师也可依据学情引导学生借助与的对称关系求得．
五、课堂练习：
1．（课本P18页练习B第4题）
已知P（x,-1）在角的终边上，而且，求x和的值．
参考答案：当时x=0，；当时，．
2．（课本P18页练习B第5题）
已知角的终边在直线y=x上，求，和的值．
参考答案：当角的终边在第一象限时，?；
当角的终边在第三象限时，．
六、概念应用（二）：
问题6：探究任意角的正弦、余弦和正切符号的规律．.
【师生活动】学生自主完成课本第16页的“尝试与发现”，师生交流，最终结果以7-2-4形式呈现，注意补充轴上角，也可从象限的角度总结“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
例4（课本17页例4）
确定下列各角的符号：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解：（1）因为是第三象限角，所以
（2）因为是第四象限角，所以
（3）由，可知是第一象限角，所以
（4）由，可知是第三象限角，所以
例5（课本17页例5）
设且，确定是第几象限角．
解：因为，所以的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上；
又因为，所以的终边在第一、三象限．
因此满足且的是第三象限角．
【师生活动】学生自主完成，师生交流，例5中，学生容易漏掉轴上角．
【设计意图】本环节实质就是任意角三角函数定义的应用，因而采取探究、总结、应用的教学方式，锻炼学生学以致用的能力．
七、归纳总结：
1．对比初高中三角函数定义不同之处；
2．由任意角三角函数的定义，我们能得到哪些结论呢？
【设计意图】问题1使学生明确任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别：任意角的三角函数包含锐角三角函数，实质上锐角三角函数的定义与任意角三角函数的定义是一致的，锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例．所不同的是，锐角三角函数是以边之比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的．问题2设置为开放性问题，锻炼学生运用数学概念的能力，发展学生逻辑推理的学科素养．学生能够想到的结论有判断三角函数值正负；终边相同的角三角函数值相等；同角三角函数基本关系式等．
教案
教学课时：1课时
教学目标：
1、通过分析问题情境中摩天轮离地面高度问题，体会用坐标定义任意角三角函数的必要性，体会由特殊到一般的归纳思想，发展数学抽象和逻辑推理的学科素养；
2、经历任意角三角函数定义的产生过程，理解任意角三角函数的定义，发展逻辑推理的学科素养；
3、会运用定义求任意角的三角函数值、会判定给定三角函数值的符号，发展数学运算的学科素养．
教学重点：
任意角三角函数的定义，依据定义求三角函数值、判定三角函数值的符号.
教学难点：
任意角三角函数定义的建构过程．
教学过程：
一、问题情境：
本章导语中提到“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，设其半径为rm，中心离地面高度为，从水平位置B点出发，设半径AB转过的角度为，
问题1：当时，B点离地面的高度h如何表示？当呢？猜想当角为任意角时，h与之间的关系式如何表示？
【学生活动】学生独立思考完成，展示答案：，，并作解释说明，进而猜想：．
【教师活动】随着摩天轮的转动，角从最初的锐角推广到任意角，对任意角，该如何定义呢？这就是本节要学习的内容，任意角三角函数的定义．上述问题的猜想是否合理呢？我们共同分析：
当点B在水平位置上方时，，当点当点B在水平位置下方时，，所以，结合猜想，得到，即．
问题2：上述式子中，我们能否找到一个量替代，使上述形式更简单？它的绝对值与相等，在水平位置上方为正，下方为负．
【学生活动】学生思考后回答，引入直角坐标系，用点B的纵坐标y替代，所以．
【设计意图】任意角三角函数定义的建构过程是本节课的难点，如何自然地引入坐标，使学生体会到用坐标定义的必要性和合理性是设置该问题情境的原因．
二、概念形成：
【教师活动】我们以圆心为原点，水平方向为x轴建系，设角终边上点B（x,y），利用我们刚才的分析，得到．
问题3：当为锐角时，此规定与初中定义是否吻合？请类比该定义，尝试给出任意角的余弦和正切的定义．
定义任意角的三角函数如下：
设点P（x,y）是角终边上一点，，
叫做角的余弦，记作，即；
叫做角的正弦，记作，即；
叫做角的正切，记作，即．
【设计意图】经历从情境中提炼出任意角的正弦的定义，类比任意角的正弦及初中锐角的余弦和正切的定义，得到任意角的余弦和正切的定义．意在锻炼学生类比推理的能力．
三、概念深化：
问题4：点P在终边上的位置是否会影响角的三角函数值？
问题5：依据函数的定义，这几个比值可以分别构成函数吗？若能构成，它们的自变量是什么？自变量的取值范围是什么？
【师生活动】学生思考回答，教师点拨．问题4学生基于初中相似三角形知识能够准确作答，问题5中“自变量是什么”是一个有难度的问题，教师要注意正确引导和必要的提示，可预备问题“因为，即y越大，越大，这种说法正确吗？”引导学生思考．三角函数以角为自变量，对于任意一个角，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当时，有唯一的正切与之对应，角的正弦、余弦和正切，都称为的三角函数．
【设计意图】本环节是对任意角三角函数概念的深化，一是分析终边上一点（除原点）选取的任意性，二是从函数的角度理解三角函数，明确函数的定义域，为后续研究三角函数做好铺垫．问题“因为，即y越大，越大，这种说法正确吗？”的设计，是为了启发学生想到的值并不是由y的值确定，进而分析出三角函数值的改变源于角的改变，这个问题的答案可由学生讨论交流得出．
四、概念应用（一）：
例1（课本15页例1）
已知角的终边经过点P（2，-3），求，和．
解：设x=2，y=-3，则于是
例2（课本15页例2）
求下列各角的正弦、余弦和正切：
（1）0；
（2）；
（3）；
（4）．
解：（1）角O的终边在x轴正半轴上，在x轴正半轴上取点P（1，0），
所以，因此
（2）角的终边在y轴正半轴上，在y轴正半轴上取点P（0，1），
所以，因此不存在．
（3）角的终边在x轴负半轴上，在x轴负半轴上取点P（-1，0），
所以，因此
（4）角的终边在y轴负半轴上，在y轴负半轴上取点P（0，-1），
所以，因此不存在．
例3（课本16页例3）
求的正弦、余弦和正切．
解：在角的终边上取点P，使得OP=2，作，则在中，
因此MP=1，，从而可知P的坐标为，因此
【设计意图】学生独立完成，展示交流，教师在学生解题思路和规范性方面进行指导．例1总结步骤：取点、求r、用定义计算．例2补充，要求学生熟记轴上角的三角函数值．例3是求的三角函数值，取点是解决本题的关键，学生的易错点为坐标的正负．例3教师也可依据学情引导学生借助与的对称关系求得．
五、课堂练习：
1．（课本P18页练习B第4题）
已知P（x,-1）在角的终边上，而且，求x和的值．
参考答案：当时x=0，；当时，．
2．（课本P18页练习B第5题）
已知角的终边在直线y=x上，求，和的值．
参考答案：当角的终边在第一象限时，?；
当角的终边在第三象限时，．
六、概念应用（二）：
问题6：探究任意角的正弦、余弦和正切符号的规律．.
【师生活动】学生自主完成课本第16页的“尝试与发现”，师生交流，最终结果以7-2-4形式呈现，注意补充轴上角，也可从象限的角度总结“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
例4（课本17页例4）
确定下列各角的符号：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解：（1）因为是第三象限角，所以
（2）因为是第四象限角，所以
（3）由，可知是第一象限角，所以
（4）由，可知是第三象限角，所以
例5（课本17页例5）
设且，确定是第几象限角．
解：因为，所以的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上；
又因为，所以的终边在第一、三象限．
因此满足且的是第三象限角．
【师生活动】学生自主完成，师生交流，例5中，学生容易漏掉轴上角．
【设计意图】本环节实质就是任意角三角函数定义的应用，因而采取探究、总结、应用的教学方式，锻炼学生学以致用的能力．
七、归纳总结：
1．对比初高中三角函数定义不同之处；
2．由任意角三角函数的定义，我们能得到哪些结论呢？
【设计意图】问题1使学生明确任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别：任意角的三角函数包含锐角三角函数，实质上锐角三角函数的定义与任意角三角函数的定义是一致的，锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例．所不同的是，锐角三角函数是以边之比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的．问题2设置为开放性问题，锻炼学生运用数学概念的能力，发展学生逻辑推理的学科素养．学生能够想到的结论有判断三角函数值正负；终边相同的角三角函数值相等；同角三角函数基本关系式等．