7.2.3同角三角函数的基本关系式 教案——2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册第七章

7.2.3同角三角函数的基本关系式
教案
教学课时：1课时
　　教学目标：
　　1、学生能通过三角函数的定义或三角函数线得出同角三角函数的基本关系式；
　　2、学生会利用平方关系和商数关系根据一个角的某一三角函数值求解其余三角函数值，发展逻辑推理、数学运算的学科素养；
　　3、学生能根据具体题目条件选择恰当的关系式化简三角函数式，培养逻辑推理的学科素养；
　　4、学生会利用同角三角函数的基本关系式或其变形证明三角恒等式，并归纳出证明恒等式的方法，发展逻辑推理、数学运算和数学抽象的学科素养.
　　教学重点：
　　同角三角函数的基本关系式及其应用.
　　教学难点：
　　利用同角三角函数的基本关系式或其变形证明三角恒等式.
　　教学过程：
　　一、温故知新，得出关系：
　　问题1：任意角的正弦、余弦、正切是如何定义的？
　　【教学活动】
　　学生思考并回答问题1；教师板书三角函数的定义.
　　问题2：观察定义的特点，回答同一个角的正弦、余弦、正切之间有什么关系呢？
　　【教学活动】
　　学生小组合作探究问题2，得出；
　　教师组织学生展示讨论结果，重点展示学生得出结论的过程与方法.
　　问题3：我们从“数”的角度，利用三角函数的定义证明了以上关系式的成立.在本章7.2.2的练习B（P22）第三题中，我们还利用三角函数线，对终边落在一、二、三、四象限的角，分别证明了这两个关系式“”是成立的.
这种证明方法直观、简洁，也给我们提供了探究这个问题的另一个角度——“形”.但是练习B第三题仅证明了对于象限角两个关系式是成立的，那么对于终边落在坐标轴上的角，上述两个关系式成立吗？
　　【教学活动】
　　借助单位圆观察三角函数线易得，当的终边在x轴上时，正弦线、正切线变为点，因此，所以，；当的终边在y轴上时，无意义，余弦线变为点，因此，所以，.
以上我们用“数”“形”两种方法证明了关系式的成立，数形结合是一种重要的数学思想，通过以数解形、以形助数，将抽象思维与形象思维结合，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的.
　　辨析：下列关系式正确的有（）
　　①②③
　　④⑤
　　答案：①②④
　　学生独立思考并回答辨析题，教师点评，进一步加深对同角三角函数基本关系式的认识.
　　【设计意图】
　　对于问题2，学生在初中是有基础的.在直角三角形中，学生已经学习，这两个结论.
高中阶段把角推广到任意角后，三角函数的定义和初中锐角三角函数的定义相比，发生了一些变化——不再用直角三角形中各边长的比值来定义三角函数，而是选择用角终边上任一点P的横坐标x、纵坐标y以及点P到原点的距离r，三者的比值来定义.因此只要把握这个关系，就可以根据三角函数的定义，从“数”的角度推导同角三角函数的两个关系式.问题1正是对任意角三角函数定义的复习回顾，为学生解决问题2提供思路.
问题3则从“形”的角度进一步证明了关系式的成立，对课后习题的补充证明，有助于培养学生善于思考、严谨求实的科学精神.
　　辨析题的设计，主要是为了加深对同角三角函数基本关系式的理解.
①②是基本关系式的变形，建议学生掌握.
基本关系式“，”的变形有：.
③④是为了突出同角三角函数的基本关系式中“同角”两字.
在使用时，一定要抓住本质，这两个关系式对任意角都成立，与角的具体形式无关.
还要注意这两个关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的（如中，要求）.
⑤则是为了强调是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是平方的正弦，两者是不同的，要正确书写.
　　二、联立方程，初用新知
　　例1（课本23页例1）
　　已知，且是第二象限角，求角的余弦和正切.
　　解：由，得
　　【教学活动】
　　学生独立思考解答，教师提问点评，突出方程思想.
　　例2（课本23页例2）
　　已知，且是第二象限角，求角的正弦和余弦.
　　解：由题意和同角三角函数的基本关系式，有
　　消去
　　因为是第二象限角，所以，
　　因此，
　　【教学活动】
　　学生独立思考并板演，教师点评，分析例2求解过程与例1的区别，总结应用基本关系式的基本思路.
　　思考：例2若改为“已知，求角的正弦和余弦.”如何求解？
　　解：因为，所以可能是第二、四象限角.
　　
　　
　　【设计意图】
　　例1、例2是同角三角函数基本关系式的简单应用，即已知角的某一个三角函数值，求其余两个三角函数值，简称“知一求二”.
在“，”中，有两个方程，但有三个量，若再有关于这三个量的第三个方程，即可求解.
这两道例题需要针对不同的已知条件，选择恰当的运算路径，得出运算结果，在此过程中能够培养学生逻辑推理和数学运算的学科素养.
例1这类已知角的正弦值（或余弦值）的题目，要先选用只涉及，两个量的平方关系，再用商数关系；例2已知角的正切值，求角的其余两个三角函数值，则是通过构建关于和的两个方程，联立方程组求解.
　　思考题中例2的变式，主要强调解决这类问题时一定要注意角所在的象限.
若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限没有指定，应由已知三角函数值先确定角可能在的象限，然后再求解，一般有两组结果；若所给的三角函数值是由字母给出的，且没有指定角在哪个象限，那么就需要进行分类讨论.
　　例3
（课本23页例3）
　　已知的值.
　　解：由题意和同角三角函数的基本关系式，有
　　消去
　　解得
　　当
　　当
　　【教学活动】
　　学生独立思考并投影展示，教师点评.
　　【设计意图】
　　例3是例2的进一步深化，强调的是联立方程求解的通性通法.
例2是已知，即已知和的比值，求三角函数值；而例3是已知和的差（或和），求三角函数值.
因此可以选择与例2相同的解题思路，把和看作两个未知量，通过联立方程组求解.
对于利用求解的方法，可在习题课中探究，本节课主要讲授联立方程的通性通法.
　　三、化简证明，巩固深化
　　例4
（课本24页例4）
　　化简
　　解：原式
　　【教学活动】
　　学生独立思考并回答，教师点评.
　　【设计意图】
　　例4是三角函数式的化简.
三角函数式化简，实际上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的数学解题原则.
它不仅要求学生熟悉和灵活运用所学的三角公式，还要熟悉和灵活应用这些公式的等价变形形式.
通过例题可向学生介绍常用的三角函数式的化简技巧：
　　一、化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的；
　　二、对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的；
　　三、对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造，以降低次数，达到化简的目的.
　　例5
（课本24页例5）
　　求证：（1）
　　（3）
　　证明：（1）
　　因此，.
　　（2）
　　因此，.
　　（3）（方法一）因为
　　所以，
　　（方法二）由题知从而
　　原式左边右边，
　　因此，
　　思考：证明恒等式都有哪些方法？
　　【教学活动】
　　学生独立思考后小组合作探究，小组代表展示探究成果，教师点评.
　　证明三角恒等式常用下面的方法：
　　一、从等式的一边证起，得到另一边.
一般从比较复杂的一边化简到另一边，其依据是等量关系的传递性.
如例5（1）和（3）的方法二是从等式的左边证起的，例5（2）是从等式的右边证起的.
　　二、等式两边同时变形，证明等式两边都等于同一个式子.其依据是“等于同一个量的两个量相等”，即“a=c，b=c，则a=b”，它可由相等关系的传递性及对称性得出.
　　三、通过等价转化的方法进行证明.
例5（3）的方法一作差法其实就是等价转化的方法.即a=b与a-b=0等价.
将证明“a=b”的问题转化成证明“a-b=0”的问题.
　　四、分析法也是常见的证明恒等式的方法.
其实质是执果索因，寻找使结论成立的充分条件，并加以证明.
如例5（3）可用分析法证明如下：
　　证明：由题意,
　　所以，要使原等式成立，只需证明，
　　即证.
　　因为，因此上式成立，所以原等式成立.
　　【设计意图】
　　例5是用利用同角三角函数的基本关系式证明三角恒等式.证明三角恒等式的过程就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明方法较为灵活多样，有利于发展学生逻辑推理和数学运算的素养.例5既是对同角三角函数基本关系式的巩固，也是总结恒等式证明常用方法的载体.
通过对例题的探究，学生能够归纳总结恒等式证明的四种常用方法并了解每种方法的特点.
其中前三种证明方法都是综合法，在证明问题中较为常用；第四种方法分析法对证明过程的书写要求较为严格，对逻辑推理能力要求较高.
事实上，这两类方法并不是相互独立的.
在用分析法证明问题时，最后一步简单恒等式的证明多是用综合法证明的.
而在用综合法证明问题前，我们往往已经用分析法思考过.
学生在归纳总结证明恒等式方法的过程中，形成和发展数学抽象素养.
　　四、归纳总结，提升素养
　　1.同角三角函数的基本关系式；
　　2.已知一个角的某一三角函数值，求解其余三角函数值的方法；
　　3.化简三角函数式的技巧；
　　4.证明恒等式的方法.