2021_2022学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式教案(5份打包)新人教A版必修第一册

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名称 2021_2022学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式教案(5份打包)新人教A版必修第一册
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文件大小 2.2MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2021-07-05 09:36:17

文档简介

第二章一元二次函数、方程和不等式
2.3二次函数与一元二次方程、不等式
2.3.2
二次函数与一元二次方程、不等式的应用
【目标】1.理解三个二次的关系,会解与一元二次不等式有关的恒成立问题;
2.能从实际问题中建立-元二次不等式的模型,并会应用其解决实际问题.
【重点】利用--元二次不等式解诀恒成立问题及实际问题.
【难点】从实际问题中建立一元二次不等式的模型.
要点整合夯基础...
知识点一简单的分式不等式的解法
【填一填】
若与是关于的多项式,则不等式(或,或,或)称为分式不等式.
解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解.
(1);
(2);
(3);
(4);
【答一答】
1.不等式的解集为.
答案:
解析:
原不等式可以化为,即,故原不等式的解集为.
2.不等式的解集是.
答案:

解析:
原不等式于,解得或,故不等式的解集是或.
【答一答】
3.不等式在上恒成立,你能写出成立的等价条件吗?
提示:.
知识点三
一元二次不等式的实际应用
【填一填】
对于一元二次不等式的应用题,其解题关键在于如何把
文字语言
换成
数学语言
从而把实际问题转换成
数学问题
.
同时注意问题答案的实际意义,还要增强解决问题的自信心,不要被问题的表面形式所迷惑.
【答一答】
4.解不等式应用题的解题步骤是什么?
提示:(1)阅读理解、认真审题,把握问题中的关键量、找准不等关系;
(2)引入数学符号,用不等式表示不等关系(或表示成函数关系);
(3)解不等式(或求函数最值);
(4)回扣实际问题.
典例讲练破题型...
类型一
简单的分式不等式的解法
【例1】解下列不等式.
(1);(2).
【分析】等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组.
【解】(1)∵,
或,或,
∴原不等式的解集为,或.
(2)方法一:原不等式可化为,或,
或.
∴原不等式的解集为.
方法二:原不等式可化为
.
∴原不等式的解集为.
通法提炼
(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解,但要注意分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
【变式训练1】(1)下列选项中,使不等式成立的的取值范围是(

A.
B.
C.
D.
答案:
A
(2)不等式:的解集为.
答案:
解析:(1)由可得,
即,解得,所以.
(2)因为,所以原不等式可化为,即,解得,所以原不等式的解集为.
类型二不等式恒成立问题
命题视角1:一元二次不等式在实数集上恒成立
问题
【例2】关于的不等式的解集为,求实数的取值范围.
【分析】
【解】(1)若,即时,
若,不等式变化为,解集为;
若,不等式变为,解集为.∴时满足条件.
(2)若,即时,原不等式解集为的条件是
.
解得,
综上所述,当时,圆不等式解集为.
通法提炼
不等式对任意恒成立,或;
不等式对任意恒成立,或.
【变式训练2】若不等式对一切恒成立,则的取值范围是.
答案:
解析:
当,即时,不等式为,恒成立,解集为,∴满足条件;
当时,则原不等式解集为时,满足,解得.
综上所述,的取值范围是.
命题视角2:一元二次不等式在某特定范围.上恒成立问题
【例3】己知,若,恒成立,求的取值范围.
【分析】
对于含参数的函数在某特定范围上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,通常利用函数最值转化.
【解】若,恒成立可转化为:

或或,
解得的取值范围为.
通法提炼
或型不等式是恒成立问题中最基本的类型,由在上恒成立,则(,存在最大值);在.上恒成立,则(,存在最小值).
【变式训练3】若,不等式恒成立,求实数的取值范围.
解:,不等式恒成立.
①当时,不等式为恒成立,此时;
②当时,.
∵,∴,
∴(当且仅当,即时取等号),∴.
综上,实数的取值范围为.
类型三
一元二次不等式的实际应用
【例4】某农贸公司按每担元的价格收购某农产品,并每元纳税元(又称征税率为个百分点),计划可收购万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低个百分点,预测收购量可增加个百分点.
(1)写出降税后税收(万元)与的函数关系式;
(2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的,试确定的取值范围.
【解】(1)降低税率后的税率为,农产品的收购量为万担,收购总金额为万元.
依题意得.
(2)原计划税收为(万元).
依题意得,
化简得,解得.
又因为,所以.
故的取值范围是.
通法提炼
解不等式应用题的步骤
【变式训练4】某商品每件的成本价为元,售价为元,每天售出件.若售价降低成(成),则售出商品的数量就增加成,要求售价不能低于成本价.
(1)设该商品一天的销售额为元,试求与之间的函数关系式,并写出的取值范围;
(2)若要求该商品一天的销售额至少为元,求的取值范围.
解:(1)若售价降低成,则降低后的商品售价为元,售出商品的数量为件,由题意,得与之间的函数关系式为
.
因为售价不能低于成本低,所以,解得,
所以,的取值范围为.
(2)由题意,的,化简得,解得,因为,所以的取值范围是.
课堂达标练经典
1.若集合,,则(

A.
B.
C.
D.
答案:
B
解析:
∵,,∴.
2.已知不等式的解集为空集,则的取值范围是(

A.
B.
C.

D.

答案:
A
解析:
依题意应有,解得,故选A.
3.不等式的解集为.
答案:

解析:且或.
4.已知函数,若对于任意的都有,则实数的取值范围为.
答案:
解析:
根据题意得,解得.
5.已知当时,不等式恒成立,求的取值范围.
答案:
见解析
解析:
∵当时,恒成立,
∴当时,恒成立.
令,
∵,且对称轴方程为,
∴,∴,
∴的取值范围为.
课堂小结
——本课须掌握的四大问题
1.对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解,但要注意分母不为零.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
2.对于有的恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法,这是因为将参数予以分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时,经常要用到下述简单结论:(1)恒成立;(2)恒成立台.
3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,选择其中起关键作用的未知量为,用来表示其他未知量,根据题意,列出不等关系再求解.
4.一元二次方程根的分布问题要注意数形结合,从开口方向,对称轴位置,判别式等方面考虑.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
【素养目标】
1.理解一元二次方程与二次函数的关系.(数学抽象)
2.掌握图象法解一元二次不等式.(直观想象)
3.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(数学抽象)
4.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.(数学运算)
5.会用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式.(逻辑推理)
6.会解一元二次不等式中的恒成立问题.(数学运算)
【学法解读】
在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的学习中,可以先以讨论具体的一元二次函数变化情况为情境,使学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系,引出一元二次不等式的概念;然后进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系,归纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序.
2.3.1
二次函数与一元二次方程、不等式
一、必备知识·探新知
基础知识
知识点1:一元二次不等式的概念
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为__________________.
一元二次不等式的一般形式是:
_________________________或_________________________.
知识点2:二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
?
?
思考2:如何用图解法解一元二次不等式?
提示:图解法解一元二次不等式的一般步骤:
(1)将原不等式化为标准形式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0);
(2)求Δ=b2-4ac;
(3)若Δ<0,根据二次函数的图象直接写出解集;
(4)若Δ≥0,求出对应方程的根,画出对应二次函数的图象,写出解集.
基础自测
1.判断正误(对的打“√”,错的打“×”)
(1)mx2-5x<0是一元二次不等式.(  )
(2)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.(  )
(3)设二次方程f(x)=0的两解为x1,x2,且x10的解集不可能为{x|x1(4)不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)或ax2+bx+c≥0(a≠0)的解集为空集,则方程ax2+bx+c=0无实根.(  )
[解析] 
(1)当m=0时,是一元一次不等式;当m≠0时,它是一元二次不等式.
(2)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实根.则不等式ax2+bx+c>0的解集为?.
(3)当二次项系数小于0时,不等式f(x)>0的解集为{x|x1(4)当Δ<0时,一元二次不等式的解集为空集,此时方程无实根.
2.不等式2x≤x2+1的解集为(  )
A.?       
B.R
C.{x|x≠1}
D.{x|x>1或x<-1}
[解析] 将不等式2x≤x2+1化为x2-2x+1≥0,
∴(x-1)2≥0,∴解集为R,故选B.
3.不等式(2x-5)(x+3)<0的解集为_____________________.
二、关键能力·攻重难
题型探究
题型一 解一元二次不等式
例题1:解下列不等式.
(1)2x2-3x-2>0;
(2)x2-4x+4>0;
(3)-x2+2x-3<0;
(4)-3x2+5x-2>0.
[分析] 根据三个二次之间的关系求解即可.
[归纳提升] 解一元二次不等式的步骤
(1)对不等式变形,使不等号一端二次项系数大于0,另一端为0,即化为ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)的形式.
(2)计算相应的判别式.
(3)当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根.
(4)根据对应的二次函数的图象,写出不等式的解集.
【对点练习】?
不等式6x2+x-2≤0的解集为______________________.
题型二 三个“二次”的关系
例题2:已知不等式ax2-bx+2<0的解集为{x|1[分析] 给出了一元二次不等式的解集,则可知a的符号和方程ax2-bx+2=0的两根,由根与系数的关系可求a,b的值.
【对点练习】?
若不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-3或x≥4},求不等式bx2+2ax-c-3b≥0的解集.
题型三 解含有参数的一元二次不等式
例题3:解关于x的不等式2x2+ax+2>0.
[分析] 二次项系数为2,Δ=a2-16不是一个完全平方式,故不能确定根的个数,因此需对判别式Δ的符号进行讨论,确定根的个数.
②当a=4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x1=x2=-1,
∴原不等式的解集为{x|x≠-1}.
③当a=-4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x1=x2=1,
∴原不等式的解集为{x|x≠1}.
④当-4[归纳提升] 在解答含有参数的一元二次不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到“不重不漏”,一般从如下三个方面进行考虑:
(1)关于不等式类型的讨论:二次项的系数a>0,a=0,a<0;
(2)关于不等式对应方程的根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0);
(3)关于不等式对应方程的根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1【对点练习】?
解关于x的不等式ax2-x>0.
PAGE2.2.2
基本不等式的应用
【学习目标】
1.
掌握利用基本不等式求参数范围
2.
在使用均值不等式过程中,要注意定理成立的条件,为能使用定理解题,要采用配凑法、换元法,创造条件应用均值不等式。
3.
通过运用基本不等式解决实际应用性问题,提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识。
4.
能应用均值不等式解决最值
【学习重点】
基本不等式求最值时,需满足“一正,二定,三相等”的条件
【学习难点】
基本不等式求参数的取值范围时,应注意的事项以及条件.
[自主学习]
1.基本不等式

若a>b>0,m>0,则

若a,b同号且a>b则。
2.均值不等式:
两个正数的均值不等式:
变形,等。
3.最值定理:设
(1)如果x,y是正数,且积,则xy时,
(2)如果x,y是正数和,则x=y时,
运用最值定理求最值的三要素:一正二定三相等
[典型例析]
例1(1)设且恒成立,求的取值范围?
变式训练
(1)若对任意,恒成立,则的取值范围是多少?
例2
如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.
(1)现有可围36
m长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?
(2)要使每间虎笼面积为24
m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?
变式训练
(2)如图,要设计一张矩形广告牌,该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分),这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告牌面积最小?
例3
已知且,则的最小值为(

A.
B.
C.
D.
例4求函数的最大值
[当堂检测]
1.
已知,则的最小值是
.
2.若x,y是正数,则的最小值是
3.
函数的图象恒过定点,若点在直线上,则的最小值为

4.已知不等式对任意正实数恒成立,则正实数的最小值为
[学后反思]____________________________________________________
_______
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
PAGE第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2
基本不等式(共2课时)
2.2.1基本不等式(第1课时)
1.了解基本不等式的代数和几何背景.(数学抽象)
2.理解并掌握基本不等式及其变形.(逻辑推理)
3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(数学运算)
4.会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式.(逻辑推理)
5.会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题.(数学运算)
1.教学重点:从不同角度探索不等式的证明过程,会用此不等式求某些简单函数的最值;
2.教学难点:基本不等式等号成立条件;
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
(一)、情景导学
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。
弦图既标志着中国古代的数学成就,又象一只转动的风车,欢迎来自世界各地的数学家们。
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系.
思考1:这图案中含有怎样的几何图形?
思考2:你能发现图案中的相等关系或不等关系吗?
(二)、探索新知
1.探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图,在正方形中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边
长为,(),
那么正方形的边长为.
这样,4个直角三角形的面积的和是,正方形的面积为.
由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积,
我们就得到了一个不等式:.
当直角三角形变为等腰直角三角形,即时,
正方形缩为一个点,
这时有.(通过几何画板演示当时的图像)
2.得到结论(重要不等式):一般的,对于任意实数,,我们有,当且仅当时,等号成立。
3.思考证明:你能给出它的证明吗?(设计意图:证明:因为

当且仅当时等号成立
4.(1)基本不等式:如果,,我们用、分别代替、,可得,通常我们把上式写作:基本不等式(,)(当且仅当时,取等号)
5.基本不等式:(1)在数学中,我们称为、的算术平均数,称为、的几何平均数.本节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.此不等式又叫均值不等式。
(2)从不等式的性质推导基本不等式
如果学生类比重要不等式的证明给出证明,再介绍书上的分析法。
用分析法证明:证明不等式
证明:要证
只要证
只要证
只要证显然,是成立的.
当且仅当时,(3)中的等号成立.
【归纳总结】
1、由图我们得到了重要不等式:
通过换元我们得到了基本不等式:
(2)两个不等式的区别和联系:区别:,范围不同;联系:等号成立的条件相同
(3)从形的角度来看,基本不等式具有特定的几何意义;
从数的角度来看,基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系
(三)典例解析
利用基本不等式求最值
解析:
解析:
基本不等式的使用条件
解析:
解:

,
当且仅当
2x=(1-2x),
即时,
取“=”号.
∴当时,
函数y=x(1-2x)的最大值是.
跟踪训练
通过介绍第24届国际数学家大会会标的背景,进行设问,引导学生观察分析,发现图形中蕴藏的基本不等式,培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养,同时渗透数学文化,和爱国主义教育。
通过图形得到了重要不等式的几何解释,为了更准确地感知和理解,再从数学的逻辑方面给出证明,不仅培养了学生严谨的数学态度,而且还可以从中学习到分析法证明的大体过程,培养和发展数学抽象和逻辑推理的核心素养,增强数形结合的思想意识。
从不同的侧面理解不等式,培养学生数形结合的思想意识。

通过典型例题的解析和跟踪练习,让学生明确运用基本不等式的三个关键步骤;一正、二定、三相等,发展严谨细致的思考习惯,训练思维的灵活性。
三、达标检测
1.下列不等式中,正确的是(  )
A.a+≥4      B.a2+b2≥4ab
C.≥D.x2+≥2
解析:选D.a<0,则a+≥4不成立,故A错;a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,a=4,b=16,则<,故C错;由基本不等式可知D项正确.
2.若,则的最小值是(  )
A.
B.C.D.
解析:选D.,所以,
所以. 
当且仅当即时取等号.
3.若,都是正数,则的最小值为(  )
A.
B.
C.
D.
解析:选C.因为a,b都是正数,所以

当且仅当b=2a>0时取等号.
4.已知x>0,y>0,且+=1,则x+y的最小值为________.
解析:x+y=(x+y)·=10++
≥10+2=10+6=16.
即x=4,y=12时等号成立,所以x+y的最小值为16.
通过练习巩固本节所学知识,提高学生运用基本不等式解决问题的能力,感悟其中蕴含的数学思想,增强学生的逻辑推理和数学运算素养。
四、小结
本节课,我们学习了重要不等式a2+b2≥2ab;基本不等式;两正数a、b的算术平均数(),几何平均数()及它们的关系(≥).它们成立的条件不同,前者只要求a、b都是实数,而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).
五、作业
1.习题2.21,2,4,5题
2.
预习下节课内容
生学生根据课堂学习,自主总结知识要点,及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点;第二章一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
【素养目标】
1.了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系.(数学抽象)
2.了解不等式(组)的实际背景,会用不等式(组)表示不等关系.(数学建模)
3.掌握不等式的性质及应用.(逻辑推理)
4.会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小.(数学运算)
5.能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题.(逻辑推理)
【学法解读】
在相等关系与不等关系的学习中,学生通过类比学过的等式与不等式的性质,进一步探索等式与不等式的共性与差异.
第1课时不等关系与比较大小
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
不等式与不等关系
不等式的定义所含的两个要点.
(1)不等符号,,______,______或.
(2)所表示的关系是____________.
思考1:不等式“”的含义是什么?只有当“”与“”同时成立时,该不等式才成立,是吗?
提示:不等式应读作“小于或者等于”,其含义是指“或者”,等价于“不大于”,即若或之中有一个正确,则正确.
知识点2
比较两实数,大小的依据
思考2:(1)在比较两实数,大小的依据中,,两数是任意实数吗?
(2)若“”,则,的大小关系是怎样的?
提示:(1)是 (2)
基础自测
1.判断正误(对的打“√”,错的打“×”)
(1)不等式的含义是指不小于.(  )
(2)若,则.(  )
(3)若,则.(  )
(4)两个实数,之间,有且只有,,三种关系中的一种.(  )
[解析] (1)不等式表示或,即不小于.
(2)若,则,所以成立.
(3)若,则或者,即.
(4)任意两数之间,有且只有,,三种关系中的一种,没有其他大小关系.
2.大桥桥头立着的“限重吨”的警示牌,是提示司机要安全通过该桥,应使车和货物的总质量满足关系(  )
A.      
B.
C.
D.
3.已知,则与的大小关系为_____________.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 用不等式(组)表示不等关系
例1
某商人如果将进货单价为元的商品按每件元销售,每天可销售件,现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高元,销售量就相应减少件.若把提价后商品的售价设为元,怎样用不等式表示每天的利润不低于元?
[分析] 由“这种商品的售价每提高元,销售量就相应减少件”确定售价变化时相应每天的利润,由“每天的利润不低于元”确定不等关系,即可列出不等式.
[解析] 若提价后商品的售价为元,则销售量减少件,因此,每天的利润为元,则“每天的利润不低于元”可以用不等式表示为.
[归纳提升] 将不等关系表示成不等式的思路
(1)读懂题意,找准不等式所联系的量.
(2)用适当的不等号连接.
例2
某矿山车队有辆载重为的甲型卡车和辆载重为的乙型卡车,且有名驾驶员,此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返次,乙型卡车每辆每天可往返次,写出满足上述所有不等关系的不等式.
[分析] 首先用变量,分别表示甲型卡车和乙型卡车的车辆数,然后分析已知量和未知量间的不等关系:(1)卡车数量与驾驶员人数的关系;(2)车队每天运矿石的数量;(3)甲型卡车的数量;(4)乙型卡车的数量.再将不等关系用含未知数的不等式表示出来,要注意变量的取值范围.
[解析] 设每天派出甲型卡车辆,乙型卡车辆,则

[归纳提升] 用不等式组表示不等关系的方法
首先要先弄清题意,分清是常量与常量、变量与变量、函数与函数还是一组变量之间的不等关系;然后类比等式的建立过程找到不等词,选准不等号,将量与量之间用不等号连接;最后注意不等式与不等关系的对应,不重不漏,尤其要检验实际问题中变量的取值范围.
【对点练习】?用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长,要求菜园的面积不小于,靠墙的一边长为,试用不等式表示其中的不等关系.
[解析] 由于矩形菜园靠墙的一边长为,而墙长为,所以,
这时菜园的另一条边长为.
因此菜园面积,依题意有,
即,
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
题型二 比较实数的大小
例3
已知,为正实数,试比较与的大小.
[解析] 方法一(作差法):
.
∵,为正实数,∴,,,
∴,∴.
方法二(作商法):
.
∵,,∴.
方法三(平方后作差):∵,

∴.
∵,,∴.
又,,故.
[归纳提升] 比较大小的方法
1.作差法的依据:;;.
步骤:作差—变形—判断差的符号—得出结论.
注意:只需要判断差的符号,至于差的值究竟是多少无关紧要,通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式.
2.作商法的依据:时,;;.
步骤:作商——变形——判断商与的大小——得出结论.
注意:作商法的适用范围较小,且限制条件较多,用的较少.
3.介值比较法:(1)介值比较法的理论根据:若,,则,其中是与的中介值.(2)介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩,找出一个比较合适的中介值.
【对点练习】?当时,比较与的大小.
[解析] 

因为,所以,
而.
所以,
所以.
第2课时 不等式性质
必备知识·探新知
基础知识
知识点不等式的性质
性质 
________;(对称性)
性质 ,
________;(传递性)
性质 
______________;(同加保序性)
推论:___________;(移项法则)
性质 ,
__________,(乘正保序性),;(乘负反序性)
性质 ,
______________;(同向相加保序性)
性质 ,
__________;(正数同向相乘保序性)
性质 
__________.(非负乘方保序性)
思考:(1)性质的推论实际就是解不等式中的什么法则?
(2)性质就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数,不改变不等号的方向,对吗?为什么?
(3)使用性质,时,要注意什么条件?
提示:(1)移项法则.
(2)不对.要看两边同乘以的数的符号,同乘以正数,不改变不等号的方向,但是同乘以负数时,要改变不等号的方向.
(3)各个数均为正数.
基础自测
1.判断正误(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若,则.(  )
(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(  )
(3)设,,且,则.(  )
(4)若,则,.(  )
[解析] (1)由不等式的性质,;反之,时,.
(2)相乘需要看是否,而相加与正、负和零均无关系.
(3)符合不等式的可乘方性.
(4)取,,,,满足,但不满足,故此说法错误.
2.设,,则下列不等式中一定成立的是(  )
A.    
B.
C.
D.
3.已知,,那么下列不等式成立的是(  )
A.
B.
C.
D.
[解析] 由,可得,
又,∴,故选D.
4.用不等号“>”或“<”填空:
(1)如果,,那么______;
(2)如果,,那么______;
(3)如果,那么______;
(4)如果,那么______.
[解析] (1)∵,∴,∵,∴.
(2)∵,∴.∵,∴,∴.
(3)∵,∴,,∴,
∴,∴,即.
(4)∵,所以,.于是,即,即.∵,∴.
关键能力·攻重难
题型探究
例1
若,则下列结论正确的是(  )
A.   
B.
C.
D.
[分析] 通过赋值可以排除A,D,根据不等式的性质可判断B,C正误.
[解析] 若,对于A选项,当,时,不成立;对于B选项,等价于,故不成立;对于C选项,,故选项正确;对于D选项,当时,不正确.
[归纳提升] 判断关于不等式的命题真假的两种方法
(1)直接运用不等式的性质:把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,然后进行推理判断.
(2)特殊值验证法:给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值,然后进行比较、判断.
【对点练习】?设,是非零实数,若,则下列不等式成立的是(  )
A.
B.
C.
D.
[解析] 当,时,不一定成立,故A错.因为,,符号不确定,故B错.,所以,故C正确.D中与的大小不能确定.
题型二 利用不等式的性质证明不等式
例2设,求证:.
[分析] 不等式证明,就是利用不等式性质或已知条件,推出不等式成立.
[证明] 因为,所以.
所以,所以.
所以.又,
所以.所以.
[归纳提升] 利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.
【对点练习】?若,,,求证:.
[证明] 因为,所以.
又因为,所以.
所以.所以.
又因为,所以.
题型三 利用不等式的性质求范围
例3
已知,.
(1)求的取值范围.
(2)求的取值范围.
[解析] (1)因为,,
所以,
所以.
(2)由,,得,,
所以.
[归纳提升] 利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.
【对点练习】?已知,,求与的取值范围.
[解析] 因为,所以,所以
,即.
因为,所以,所以,又,
所以,即.
所以.
误区警示
错用同向不等式性质
例4
已知,,的取值范围是_____________.
[错解] ∵,,∴,
∴.故填.
[错因分析] 把不等式的同向不等式(正项)相乘的性质用到了除法,从而导致错误.
[正解] ∵,∴,又,∴,∴
,故填.
[方法点拨] 若题目中指定代数式的取值范围,必须依据不等式的性质进行求解,同向不等式具有可加性与可乘性,但是不能相减或相除,解题时必须利用性质,步步有据,避免改变代数式的取值范围.
学科素养
不等关系的实际应用
不等关系是数学中最基本的部分关系之一,在实际问题中有广泛应用,也是高考考查的重点内容.
例5
有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:)分别为,,,且,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/)分别为,,,且.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是(  )
A.
B.
C.
D.
[分析] 本题考查实际问题中不等关系的建立及利用不等式的性质比较大小.
[解析] 方法一:因为,,
所以,
故;
同理,,
故.
又,
故.
综上可得,最低的总费用为.
方法二:采用特殊值法进行求解验证即可,若,,,,,,则,,,
.由此可知最低的总费用是.
[归纳提升] 对于不等关系判断问题的求解,一般需要通过作差进行推理论证,对运算能力要求较高,但对于具有明确不等关系的式子进行判断时,特殊值法是一种非常值得推广的简便方法.