几何图形（2）
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
1、进一步认识点、线、面、体的概念，明确它们之间的关系；
2、通过对点、线、面、体的认识，经历用图形描述现实世界的过程，用它们来解释生活中的现象；
3、认识数学与现实生活的密切联系，培养学生与他人交流、合作的意识．
1．点、线、面、体
（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
（2）从运动的观点来看
点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
（3）从几何的观点来看
___是组成图形的基本元素，________都是点的集合．
（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．
（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．
2．几何体的表面积
（1）几何体的表面积=______
+______（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式
①圆柱体表面积：2πR2+2πRh
（R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
②圆锥体表面积：πr2+nπ（h2+r2）360（r为圆锥体低圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角）
③长方体表面积：2（ab+ah+bh）
（a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
④正方体表面积：6a2
（a为正方体棱长）
3．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．
②圆锥的侧面展开图是扇形．
③正方体的侧面展开图是长方形．
④三棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为_______问题解决．
4．展开图折叠成几何体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
5．截一个几何体
（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
6．圆柱的计算
（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的___，圆柱的底面周长等于矩形的___．
（2）圆柱的侧面积=底面圆的____×高
（3）圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积
（4）圆柱的体积=底面积×高．
1.
点、线、面、体．
【例1】如图所示，将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是（ ）
A．
B．
C．
D．
练1.
图中的几何体是由（ ）绕线旋转一周得到的．
A．
B．
C．
D．
2.
线段的性质.
【例2】如图所示，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店B，请你帮助他选择一条最近的路线（ ）
A．A→C→D→B
B．A→C→F→B
C．A→C→E→F→B
D．A→C→M→B
练2.
如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3．两点间的距离.
【例3】数轴上A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，且C在AB上．若|a|=|b|，AC：CB=1：3，则下列b、c的关系式，何者正确？（ ）
A．|c|=|b|
B．|c|=|b|
C．|c|=|b|
D．|c|=|b|
练3．对坐标平面内不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2），用|AB|表示A、B两点间的距离（即线段AB的长度），用‖AB‖表示A、B两点间的格距，定义A、B两点间的格距为‖AB‖=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则|AB|与‖AB‖的大小关系为（ ）
A．|AB|≥‖AB‖
B．|AB|＞‖AB‖
C．|AB|≤‖AB‖
D．|AB|＜‖AB‖
4．几何体的表面积．
【例4】附图的长方体与下列选项中的立体图形均是由边长为1公分的小正方体紧密堆砌而成．若下列有一立体图形的表面积与附图的表面积相同，则此图形为何？（ ）
A．
B．
C．
D．
练4.
从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积为 ．
5.
圆柱的计算．
【例5】一个圆柱的侧面展开图是两邻边长分别为6和8的矩形，则该圆柱的底面圆半径是（ ）
A．
B．
C．或
D．或
练5.
一个长方形长为4cm，宽为2cm，以它的长边为轴，把长方形转一周后，得到一个圆柱体体积为（ ）
A．8πcm3
B．4πcm3
C．16πcm3
D．12πcm3
1．如图，将一张边长为6cm的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成底面是正六边形的棱柱，则这个六棱柱的侧面积为 cm2．
2．一个圆柱的底面直径为6cm，高为10cm，则这个圆柱的侧面积是 cm2（结果保留π）．
3．棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积为（ ）
A．36cm2
B．33cm2
C．30cm2
D．27cm2
4．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为3，2，1，把它们叠放在一起组成一个新的长方体，在这些新长方体中，表面积最小值为（ ）
A．42
B．38
C．20
D．32
5．一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为1分米的正方体摆在课桌上成如图形式，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色，则被他涂上颜色部分的面积为（ ）
A．33分米2
B．24分米2
C．21分米2
D．42分米2
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
1．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，把它们叠放在一起组成一个新的长方体，在这些新的长方体中，表面积最大是 cm2．
2．一位画家把边长为1米的7个相同正方体摆成如图的形式，然后把露出的表面涂上颜色，则涂色面积为 平方米．
3．一个正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27个大小相等的小立方块，设其中仅有i个面（1，2，3）涂有颜色的小立方块的个数为xi，则x1、x2、x3之间的关系为（ ）
A．x1﹣x2+x3=1
B．x1+x2﹣x3=1
C．x1+x3﹣x2=2
D．x1﹣x3+x2=2
4．如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（ ）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．6cm
5．把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．两点之间线段最短
D．三角形两边之和大于第三边
6．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于（ ）
A．3
B．2
C．3或5
D．2或6
7．如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因 ．
8．如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B围成的正方体上的距离是（ ）
A．0
B．1
C．
D．
9．已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是（ ）
A．30cm2
B．30πcm2
C．15cm2
D．15πcm2
10．将图1的正四角锥ABCDE沿着其中的四个边剪开后，形成的展开图为图2．判断下列哪一个选项中的四个边可为此四个边？（ ）
A．AC、AD、BC、DE
B．AB、BE、DE、CD
C．AC、BC、AE、DE
D．AC、AD、AE、BC几何图形（2）
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
1、进一步认识点、线、面、体的概念，明确它们之间的关系；
2、通过对点、线、面、体的认识，经历用图形描述现实世界的过程，用它们来解释生活中的现象；
3、认识数学与现实生活的密切联系，培养学生与他人交流、合作的意识．
1．点、线、面、体
（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
（2）从运动的观点来看
点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
（3）从几何的观点来看
___是组成图形的基本元素，________都是点的集合．
（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．
（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．
2．几何体的表面积
（1）几何体的表面积=______
+______（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式
①圆柱体表面积：2πR2+2πRh
（R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
②圆锥体表面积：πr2+nπ（h2+r2）360（r为圆锥体低圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角）
③长方体表面积：2（ab+ah+bh）
（a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
④正方体表面积：6a2
（a为正方体棱长）
3．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．
②圆锥的侧面展开图是扇形．
③正方体的侧面展开图是长方形．
④三棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为_______问题解决．
4．展开图折叠成几何体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
5．截一个几何体
（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
6．圆柱的计算
（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的___，圆柱的底面周长等于矩形的___．
（2）圆柱的侧面积=底面圆的____×高
（3）圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积
（4）圆柱的体积=底面积×高．
参考答案：
1.（3）点
线
面
体
2.（1）侧面积
底面积
3.（3）平面图形
6.（1）宽
长；（2）周长
1.
点、线、面、体．
【例1】如图所示，将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据半圆绕它的直径旋转一周形成球即可得出答案．
【解答】解：半圆绕它的直径旋转一周形成球体．
故选：A．
练1.
图中的几何体是由（ ）绕线旋转一周得到的．
A．
B．
C．
D．
【分析】我们可以首先考虑物体的轴截面，旋转轴就是轴截面的对称轴，因而这个物体可以看成由轴截面一边的部分，沿着旋转轴旋转一周得到的图形．
【解答】解：根据平面图形旋转轴的定义及题目中的立体图形可知是第四个图形．故选D．
2.
线段的性质.
【例2】如图所示，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店B，请你帮助他选择一条最近的路线（ ）
A．A→C→D→B
B．A→C→F→B
C．A→C→E→F→B
D．A→C→M→B
【分析】根据线段的性质，可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B，据此解答即可．
【解答】解：根据两点之间的线段最短，
可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，
所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B．
故选：B．
练2.
如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．
【解答】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．
故选：A．
3．两点间的距离.
【例3】数轴上A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，且C在AB上．若|a|=|b|，AC：CB=1：3，则下列b、c的关系式，何者正确？（ ）
A．|c|=|b|
B．|c|=|b|
C．|c|=|b|
D．|c|=|b|
练3．对坐标平面内不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2），用|AB|表示A、B两点间的距离（即线段AB的长度），用‖AB‖表示A、B两点间的格距，定义A、B两点间的格距为‖AB‖=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则|AB|与‖AB‖的大小关系为（ ）
A．|AB|≥‖AB‖
B．|AB|＞‖AB‖
C．|AB|≤‖AB‖
D．|AB|＜‖AB‖
【分析】根据点的坐标的特征，|AB|、|x1﹣x2|、|y1﹣y2|三者正好构成直角三角形，然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】解：当两点不与坐标轴平行时，
∵|AB|、|x1﹣x2|、|y1﹣y2|的长度是以|AB|为斜边的直角三角形，
∴|AB|＜‖AB‖．
当两点与坐标轴平行时，
∴|AB|=‖AB‖．
故选：C．
4．几何体的表面积．
【例4】附图的长方体与下列选项中的立体图形均是由边长为1公分的小正方体紧密堆砌而成．若下列有一立体图形的表面积与附图的表面积相同，则此图形为何？（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据立体图形的面积求法，分别得出几何体的表面积即可．
【解答】解：∵立体图形均是由边长为1公分的小正方体紧密堆砌而成，
∴附图的表面积为：6×2+3×2+2×2=22，
只有选项B的表面积为：5×2+3+4+5=22．
故选：B．
练4.
从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积为 ．
【分析】根据几何体表面积的计算公式，从正方体毛坯一角挖去一个小正方体得到的零件的表面积等于原正方体表面积，即可得出答案．
【解答】解：挖去一个棱长为1的小正方体，得到的图形与原图形表面积相等，
则表面积是2×2×6=24．
故答案为：24．
5.
圆柱的计算．
【例5】一个圆柱的侧面展开图是两邻边长分别为6和8的矩形，则该圆柱的底面圆半径是（ ）
A．
B．
C．或
D．或
【分析】分8为底面周长与6为底面周长两种情况，求出底面半径即可．
【解答】解：若6为圆柱的高，8为底面周长，此时底面半径为=；
若8为圆柱的高，6为底面周长，此时底面半径为=，
故选C．
练5.
一个长方形长为4cm，宽为2cm，以它的长边为轴，把长方形转一周后，得到一个圆柱体体积为（ ）
A．8πcm3
B．4πcm3
C．16πcm3
D．12πcm3
【分析】根据面动成体可知旋转后的圆柱体的半径为2cm，根据圆柱体的面积计算公式即可解．
【解答】解：根据圆柱体的体积计算公式，体积=πr2×高=4π×4=16πcm3．故选C．
1．如图，将一张边长为6cm的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成底面是正六边形的棱柱，则这个六棱柱的侧面积为 cm2．
2．一个圆柱的底面直径为6cm，高为10cm，则这个圆柱的侧面积是 cm2（结果保留π）．
3．棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积为（ ）
A．36cm2
B．33cm2
C．30cm2
D．27cm2
4．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为3，2，1，把它们叠放在一起组成一个新的长方体，在这些新长方体中，表面积最小值为（ ）
A．42
B．38
C．20
D．32
5．一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为1分米的正方体摆在课桌上成如图形式，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色，则被他涂上颜色部分的面积为（ ）
A．33分米2
B．24分米2
C．21分米2
D．42分米2
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
1．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，把它们叠放在一起组成一个新的长方体，在这些新的长方体中，表面积最大是 cm2．
2．一位画家把边长为1米的7个相同正方体摆成如图的形式，然后把露出的表面涂上颜色，则涂色面积为 平方米．
3．一个正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27个大小相等的小立方块，设其中仅有i个面（1，2，3）涂有颜色的小立方块的个数为xi，则x1、x2、x3之间的关系为（ ）
A．x1﹣x2+x3=1
B．x1+x2﹣x3=1
C．x1+x3﹣x2=2
D．x1﹣x3+x2=2
4．如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（ ）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．6cm
5．把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．两点之间线段最短
D．三角形两边之和大于第三边
6．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于（ ）
A．3
B．2
C．3或5
D．2或6
7．如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因 ．
8．如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B围成的正方体上的距离是（ ）
A．0
B．1
C．
D．
9．已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是（ ）
A．30cm2
B．30πcm2
C．15cm2
D．15πcm2
10．将图1的正四角锥ABCDE沿着其中的四个边剪开后，形成的展开图为图2．判断下列哪一个选项中的四个边可为此四个边？（ ）
A．AC、AD、BC、DE
B．AB、BE、DE、CD
C．AC、BC、AE、DE
D．AC、AD、AE、BC
参考答案：
当堂检测
1.
【分析】这个棱柱的侧面展开正好是一个长方形，长为6，宽为6减去两个六边形的高，再用长方形的面积公式计算即可求得答案．
【解答】解：∵将一张边长为6的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正六边形的棱柱，
∴这个正六边形的底面边长为1，高为，
∴侧面积为长为6，宽为6﹣2的长方形，
∴面积为：6×（6﹣2）=36﹣12．
故答案为：36﹣12．
2．
【分析】直接利用圆柱体侧面积公式求出即可．
【解答】解：∵一个圆柱的底面直径为6cm，高为10cm，
∴这个圆柱的侧面积是：πd×10=60π（cm2）．
故答案为：60π．
3．
【分析】几何体的表面积是几何体正视图，左视图，俯视图三个图形中，正方形的个数的和的2倍．
【解答】解：正视图中正方形有6个；
左视图中正方形有6个；
俯视图中正方形有6个．
则这个几何体中正方形的个数是：2×（6+6+6）=36个．
则几何体的表面积为36cm2．
故选：A．
4．
【分析】把长、宽、高分别为3，2，1的两个面叠放在一起组成一个新的长方体的表面积最小，就要求把两个面积最大的面组合在一起．
【解答】解：根据以上分析：其最小值是：4×（3×1+2×1）+2×3×2=32．
故选D．
5．
【分析】解本类题要从各角度去观察露出的正方形个数，然后计算其表面积．
【解答】解：从正面、后面，左面，右面看都有6个正方形，从上面看有9个正方形，则共有33个正方形，因为每个正方形的面积为1分米2，则涂上涂料部分的总面积为33分米2．
故选A．
家庭作业
1.
【分析】把长、宽、高分别为5，4，3cm的两个面叠放在一起组成一个新的长方体的表面积最大，就要求把两个面积最小的面组合在一起．
【解答】解：根据以上分析：表面积最大的是2×（4×3）+4×（5×4+5×3）=164cm2．
故答案为：164cm2．
2．
【分析】依据图形，从上面，前后面，左右面5个方向看．
【解答】解：根据分析，涂色面积=5+4×2+5×2=23．
故答案为：23平方米．
3．
【分析】根据图示：在原正方体的8个顶点处的8个小正方体上，有3个面涂有颜色；2个面涂有颜色的小正方体有12个，1个面涂有颜色的小正方体有6个．
【解答】解：根据以上分析可知x1+x3﹣x2=2．
故选C．
4．
【分析】由AB=10cm，BC=4cm，可求出AC=AB﹣BC=6cm，再由点D是AC的中点，则可求得AD的长．
【解答】解：∵AB=10cm，BC=4cm，
∴AC=AB﹣BC=6cm，
又点D是AC的中点，
∴AD=AC=3cm，
答：AD的长为3cm．
故选：B．
5．
【分析】此题为数学知识的应用，由题意把一条弯曲的公路改成直道，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．
【解答】解：要想缩短两地之间的里程，就尽量是两地在一条直线上，因为两点间线段最短．
故选：C．
6．
【分析】要求学生分情况讨论A，B，C三点的位置关系，即点C在线段AB内，点C在线段AB外．
【解答】解：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．
点A、B表示的数分别为﹣3、1，
AB=4．
第一种情况：在AB外，
AC=4+2=6；
第二种情况：在AB内，
AC=4﹣2=2．
故选：D．
7．
【分析】根据线段的性质解答即可．
【解答】解：为抄近路践踏草坪原因是：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
8．
【分析】根据展开图折叠成几何体，可得正方体，A，B是同一棱的两个顶点，可得答案．
【解答】解；AB是正方体的边长，
AB=1，
故选：B．
9．
【分析】圆柱侧面积=底面周长×高．
【解答】解：根据圆柱的侧面积公式，可得该圆柱的侧面积为：2π×3×5=30πcm2．
故选B．
10．
【分析】由平面图形的折叠及正四角锥的展开图解题．
【解答】解：将图1的正四角锥ABCDE沿着其中的四个边剪开后，形成的展开图为图2．
四个边可为AC、AD、BC、DE．
故选：A．
