四川省成都高新区2020-2021学年高一下学期期末考试数学理科试题 Word版含答案

1193800011315700成都高新区2020~2021学年度下期高2020级期末学业质量检测
数学试题（理科）
（时间120分钟，满分150分）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若false，false，false，false，则下列不等式成立的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．设向量false，false，则下列结论中正确的是（ ）
A．false B．false C．false与false垂直 D．false
3．已知false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．长方体false中，异面直线false，false所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60． D．90°
5．已知变量false，false满足false求false的最大值和最小值分别为（ ）
A．12，3． B．12，2 C．8，2 D．8，3
6．在等差数列false中，若false，则false的值等于（ ）
A．45 B．75 C．180 D．300
7．下列推理错误的是（ ）
A．false，false，false，false B．false，false，false，false
C．false，false D．false，false
8．若把总长为false的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是（ ）false．
A．5 B．10 C．20 D．25
9．如图所示，半圆的直径false，false为圆心，false是半圆上不同于false，false的任意一点，若false为半径false上的动点，则false的最小值是（ ）

A．2 B．false C．false D．false
10．如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）

A．4 B．6 C．8 D．12
11．已知函数false，若对于任意的false，false恒成立，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．已知数列false为等差数列，公差false不为0，false中的部分项组成的数列false，false，false，…，false，…恰为等比数列，其中false，false，false，则数列false的前false项和为（ ）
A．false B．false C．false D．false
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）
13．false______．
14．设false为等比数列false的前false项和，若false，且false，false，false成等差数列，则false______．
15．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的表面积与球的表面积之比为______．

16．如图，在false中，false是false的中点，false在边false上，false，false与false交于点false．若false，则false的值是______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知false，false为锐角，false，false．
（1）求false的值；
（2）求false的值．
18．（本小题满分12分）
设函数false．
（1）若对于一切实数false，false恒成立，求false的取值范围：
（2）解不等式false．
19．如图，false、false、false、false分别是正方体false的棱false、false、false、false的中点，

求证：（1）false平面false；
（2）平面false平面false．
20．（本小题满分12分）
已知角false，false，false是false的内角，false，false，false分别是其所对边长，向量false，false，false．
（1）求角false的大小；
（2）若false，false，求false的长．
21．（本小题满分12分）
在海岸false处发现北偏东45°方向，距false处（false）海里的false处有一艘走私船．在false处北偏西75°方向，距false处2海里的false处的我方缉私船奉命以false海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从false处向北偏东30防向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．（取false）

22．（本小题满分12分）
已知数列false的前false项和为false，false，且false．
（1）求数列false的通项；
（2）设数列false满足false，记false的前false项和为false．
①求false；
②若false对任意false恒成立，求实数false的取值范围．

成都高新区2020~2021学年度下期高2020级期末学业质量检测
数学试题（理科）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．【答案】 C
解析 对A，若false，则false，false，此时false，∴A不成立；
对B，若false，false，则false，∴B不成立；
对C，：false，且false，∴false恒成立，∴C成立；
对D，当false时，false，∴D不成立．
2．【答案】C
3．【答案】B由题意可得：false，
则：false，即false．
4．【答案】D
5．解：A．如图，阴影部分为不等式组所表示的可行域．

设false：false，false：false，则false的几何意义是直线false在false轴上的截距，显然，当直线越往上移动，对应在false轴上的截距越大，即false越大；当直线越往下移动，对应在false轴上的截距越小，即false越小．
作一族与false平等的直线系false，经上下平移，可得：当false移动到false，即过点false时，false；当false移动到false，即过点false时，false．
6．【答案】C
解：∵false，
∴false．∴false．
7．【答案】C
解析 若直线false，显然有false，false，但false．
8．【答案】D
解析 设矩形的一边为false，则另一边为false，
∴false，当且仅当false，即false时，false．
9．【答案】选D．
解析 因为点false是false，false的中点，所以false，设false，则false．
所以false．
∴当false时，false取到最小值false．
10．【答案】A解析由三视图得几何体为四棱锥，

如图记作false，其中false面false，false，false，false，false，且false为直角梯形，
false．∴false，故选A．
11．解：选A．
对任意false，false恒成立，即false恒成立，即知false．
设false，false，则false，false．
∵false，∴false，
∴false，
∴false，故false的取值范围是false．
12．【解析】D．
由题意，false，∴false，在等比数列false，false，false，…，false，…中，公比false，且false．
另一方面，false为等差数列false的第false项，则
false，∴false，∴false，
∴false．
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）
13．解析：false
原式false．
14．解析：由false，false，false成等差数列知，false，
可得false，所以公比false，
故等比数列通项false．
15．解析：false
设球的半径为false，则圆柱的底面半径为false，高为false，false，false．所以false．
16．【答案】false
如图，过点false作false，交false于点false，由false，false为false中点，知false，false．

得false
false
false，
得false，即false，故false．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（1）因为false，因此，
false．
（2）因为false，false为锐角，所以false．
又因为false，所以false，则false．
由false，得false，
所以false．
18．解（1）要使false恒成立，
若false，显然false．
若false，false．
∴false．
（2）由false得false，false，false
当false时，原不等式为false，false
当false时，解得false或false；
当false时，false，解得false；
当false时，解集为空集：
当false时，false，解得false．
综上：
当false时，不等式解集为false；
当false时，不等式解集为false；
当false时，不等式解集为false；
当false时，不等式解集为空集；
当false时，，不等式解集为false．
19．证明（1）取false中点false，连接false，false，

易证false平行且等于false，false平行且等于false，
∴false平行且等于false，四边形false为平行四边形．
∴false．
∵false平面false，
false平面false，
∴false平面false．
（2）由正方体性质得false，
∵false平面false，false平面false，
∴false平面false．
连接false，false，
易证false是平行四边形，
得false．
∵false平面false，false平面false，
∴false平面false．
∵false，
∴平面false平面false．
20．解 （1）已知false，所以false，
即false，即false，
因为false，所以false．所以false，所以false．
（2）在false中，false，false，false，false．
由正弦定理知false，所以false．
21．解 如图，设缉私船应沿false方向行驶false小时，才能最快截获走私船（在false点），
则false海里，false海里，在false中，由余弦定理，得
false，
解得false，
又false，∴false，
∴false，故false点在false点的正东方向上，
∴false，
在false中，由正弦定理，得false，
∴false．
∴false，
∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．
又在false中，false，false，
∴false，false，即false，
解得false小时false分钟．
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．
22．（1）当false时，false，false，∴false，
当false时，由false①，得false②，①false②得false，
false，∴false，∴false，
又false，∴false是首项为false，公比为false的等比数列，
∴false；
（2）由false，得false
①false，
false，
两式相减得false
false
false，
所以false．
②由false，得false恒成立，即false恒成立，
分三种情况讨论：
false时不等式恒成立；
false时，false，得false；
false时，false，得false；
所以false．