四川省成都高新区2020-2021学年高一下学期期末考试数学文科试题 Word版含答案

成都高新区2020～2021学年度下期高2020级期末学业质量检测
数学试题（文科）
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若false，false，false，false，则下列不等式成立的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．设向量false，false，则下列结论中正确的是（ ）
A．false B．false C．false与false垂直 D．false
3．已知false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．长方体false中，异面直线false，false所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．已知变量false，false满足false求false的最大值和最小值分别为（ ）
A．12，3 B．12，2 C．8，2 D．8，3
6．在等差数列false中，若false，则false的值等于（ ）
A．45 B．75 C．180 D．300
7．下列推理错误的是（ ）
A．false，false，false，false B．false，false，false，false
C．false，false D．false，false
8．若把总长为false的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是（ ）false
A．5 B．10 C．20 D．25
9．如图所示，半圆的直径false，false为圆心，false是半圆上不同于false，false的任意一点，若false为半径false的中点，则false的值是（ ）
A．2 B．false C．false D．false
10．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．函数false，若对于任意的false，false恒成立，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．已知数列false为等差数列，公差false不为0，false中的部分项组成的数列false恰为等比数列，其中false，false，false，则数列false的前false项和为（ ）
A．false B．false C．false D．false
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）
13．false______．
14．设false为等比数列false的前false项和，若false，且false，false，false成等差数列，则false______．
15．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．该圆柱的体积与球的体积之比为______．
16．在正方体false中，false为false的中点，则直线false与false所成的角为______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知false，false为锐角，false，false．
（Ⅰ）求false的值；
（Ⅱ）求false的值．
18．（本小题满分12分）设函数false．
（Ⅰ）若对于一切实数false，false恒成立，求false的取值范围；
（Ⅱ）解不等式false．
19．（本小题满分12分）如图，false、false、false、false分别是正方体false的棱false、false、false、false的中点．求证：
（Ⅰ）false平面false；
（Ⅱ）平面false平面false．
20．（本小题满分12分）已知角false，false，false是false的内角，false，false，false分别是其所对边长，向量false，false，false．
（Ⅰ）求角false的大小；
（Ⅱ）若false，false，求false的长．
21．（本小题满分12分）
在海岸false处发现北偏东45°方向，距false处false海里的false处有一艘走私船．在false处北偏西75°方向，距false处2海里的false处的我方缉私船奉命以false海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从false处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．（取false）
22．（本小题满分12分）已知等差数列false的首项false，公差false，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．
（Ⅰ）求数列false的通项公式；
（Ⅱ）设false，false，是否存在false，使得对任意的false均有false总成立？若存在，求出最大的整数false；若不存在，请说明理由．
成都高新区2020～2021学年度下期高2020级期末学业质量检测
数学试题（文科）
（时间120分钟，满分150分）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．【答案】C
【解析】对A，若false，则false，false，此时false，∴A不成立；
对B，若false，false，则false，∴B不成立；
对C，∵false，且false，∴false恒成立，∴C成立；
对D，当false时，false，∴D不成立．
2．【答案】C
3．【答案】B
由题意可得：false，则：false，即false．
4．【答案】D
5．【答案】A
如图，阴影部分为不等式组所表示的可行域．
设false：false，false：false，则false的几何意义是直线false在false轴上的截距，显然，当直线越往上移动，对应在false轴上的截距越大，即false越大；当直线越往下移动，对应在false轴上的截距越小，即false越小．
作一族与false平等的直线系false，经上下平移，可得：当false移动到false，即过点false时，false；当false移动到false，即过点false时，false．
6．【答案】C
【解析】∵false，∴false．
∴false．
7．【答案】C
【解析】若直线false，显然有false，false，但false．
8．【答案】D
【解析】设矩形的一边为false，则另一边为false，
∴false，当且仅当false，即false时，false．
9．【答案】选D。
【解析】因为点false是false，false的中点，所以false，设false，则false．
所以false．
∴当false时，false取到最小值false．
10．【答案】D
【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：false．
故选：D．
11．解：选A。
对任意false，false恒成立，即false恒成立，即知false．
设false，false，则false，false．
∵false，∴false，
∴false，
∴false，故false的取值范围是false．
12．【答案】D
【解析】由题意，false，∴false，在等比数列false中，公比false，且false。
另一方面，false为等差数列false的第false项，则
false，∴false，∴false，
∴false
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）
13．【解析】：false。原式false
14．【解析】：由false，false，false成等差数列知，false，
可得false，所以公比false，
故等比数列通项false．
15．【解析】：false。设球的半径为false，则圆柱的底面半径为false，高为false，false，false，false
16．【答案】false
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（1）因为false，因此false。
（2）因为false，false为锐角，所以false．
又因为false，所以false，则false．
由false，得false，
所以false
18．解（1）要使false恒成立，
若false，显然false．
若false，false
∴false．
（2）由false得，
false，false，
false
当false时，解得false；
当false时，解得false；
当false时，解集为空集。
综上：
当false时，解集为false；
当false时，解集为false；
当false时，解集为空集。
19．证明（1）取false中点false，连接false，false，
易证false平行且等于false，false平行且等于false，
∴false平行且等于false，四边形false为平行四边形．
∴false．
∵false平面false，false平面false，
∴false平面false．
（2）由正方体性质得false，
∵false平面false，false平面false，
∴false平面false．
连接false，false，
易证false是平行四边形，
得false．
∵false平面false，false平面false，
∴false平面false．
∵false，
∴平面false平面false．
20．解（1）已知false，所以false，
即false，即false，
因为false，所以false．所以false，所以false．
（2）在false中，false，false，false，false．
由正弦定理知false，所以false．
21．解 如图，设缉私船应沿false方向行驶false小时，才能最快截获走私船（在false点），则false海里，false海里，在false中，由余弦定理，得
false，
解得false．
又false，∴false，
∴false，故false点在false点的正东方向上，
∴false，
在false中，由正弦定理，得false，
∴false．
∴false，
∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．
又在false中，false，false，
∴false，∴false，即false，
解得false小时false分钟．
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．
22．解（1）由题意得false，整理得false．∵false，∴false．
∵false．∴false
（2）false
∴false．
假设存在整数false满足false总成立，又false．
∴数列false是单调递增的．∴false为false的最小值，故false，即false．
又∵false，∴适合条件的false的最大值为8．