江西省新余市2020-2021学年高二下学期期末考试理科数学试题 Word版含答案

新余市2020—2021学年度下学期期末质量检测
高二数学试题卷（理科）
说明：
1. 本卷共有三个大题，22个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.
2. 本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分.
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合false，集合false，其中false为虚数单位，则集合false与集合false的关系是（ ）
A. false B.false C. false D. false
2. false是false的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知向量false，false，且false，则false（ ）
A. -8 B. -12 C. 8 D. 12
4. 若椭圆false和双曲线false的共同焦点为false，false，false是两曲线的一个交点，则false的值为（ ）
A. false B. false C. false D. false
5. 若函数false在false处取得极小值，则false的最小值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 已知点false是抛物线false：false上一点，点false为抛物线false的焦点，点false，则false的周长的最小值为（ ）
A. 3 B. 1 C. false D. false
7. 若函数false在false上单调递增，则实数false的取值范围是（ ）
A. false B. false C. false D. false
8. 如图，在正方体false中，false，false分别为false，false的中点，则下列说法错误的是（ ）

A. false
B. 直线false与平面false所成角为false
C. false平面false
D. 异面直线false与false所成角为false
9. 将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以下排列的规律，则第20行从左向右的第3个数为（ ）
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
……………………
A. 193 B. 192
C. 174 D. 173
10. 已知false，则false（ ）
A. 242 B. 243 C. 404 D. 405
11. 已知false，false，false，false为球false的球面上的四个点，false，false，球false的表面积为false，则三棱锥false的体积的最大值为（ ）
A. false B. false C. false D. false
12. 已知函数false是定义在false的可导函数，false为其导函数，当false且false时，false，若曲线false在false处的切线的斜率为-1，false（ ）
A. false B. 0 C. false D. 1
二、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. false__________.
14. 用数学归纳法证明false能被14整除的过程中，当false时，false应变形为__________.
15. 在正方体false中，点false是线段false的中点，则直线false与false所成角的余弦值是___________.

16. 若曲线false在点false处的切线与曲线false相切于点false，则false__________.
三、解答题（共6小题，第17题10分，第18题、第19题、第20题、第21题、第22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为false，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以false轴为对称轴、false为顶点的抛物线的实线部分，降落点为false.观测点false、false同时跟踪航天器.

（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在false轴上方时，观测点false、false测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
18. 已知false，设false：false，false恒成立，命题false：false，使得false.
（1）若false是真命题，求false的取值范围；
（2）若false为假，false为真，求false的取值范围.
19. 如图，在四棱柱false中，false底面false，false，false，false，false.

（1）求证：平面false平面false；
（2）求二面角false所成角的余弦值.
20. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量false（单位：千克）与销售价格false（单位：元/千克）满足关系式false，其中false，false为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
（1）求false的值；
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格false的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
21. 已知椭圆false：false的离心率为false，点false，false是椭圆false的左右焦点，点false是false上任意一点，若false面积的最大值为false.
（1）求椭圆false的标准方程；
（2）直线false：false与椭圆false在第一象限的交点为false，直线false：false与椭圆false交于false，false两点，连接false，false，与false轴分别交于false，false两点，求证：false始终为等腰三角形.
22. 已知函数false.
（1）若false恒成立，求实数false的取值范围；
（2）若false有两个极值点分别为false，求false的最小值.

新余市2020-2021学年度下学期期末质量检测
高二数学（理）参考答案
一、选择题（12×5=60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
A
A
B
D
D
D
A
D
B
C
二、填空题（5×4=20分）
13. false 14. false 15. false 16. 0
三、简答题（17题10分，18—22题每题12分，共70分）
17.【答案】（1）false；（2）观测点false、false测得离航天器的距离分别为false和4时，应向航天器发出变轨指令.
17.【解析】
（1）由题意，设抛物线的方程为false，
因为抛物线经过点false，所以false，解得false；
故航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程false.
（2）联立false可得false，
所以在观测点false处测得离航天器的距离为4时，应向航天器发出变轨指令；
因为false，所以在观测点false处测得离航天器的距离为false时，应向航天器发出变轨指令.
故观测点false、false测得离航天器的距离分别为false和4时，应向航天器发出变轨指令）
18.【解析】
（1）若false为真，即false：false，false恒成立，
可得false，解得false，
若false为真，即false：false，使得false，
则false，解得false或false，
若false是真命题，则false，false为真，可得false，所以false，
所以false的取值范围false.
（2）因为false为假，false为真，所以false，false一真一假，即false，false同真同假，
当false，false都真时，由（1）知false，
当false，false都假时，false，即false，
综上可得：false或false.
19.【解析】（1）证明：false，false，
所以false，false，
因为false，
所以false，所以false，即false，
因为false底面false，所以false底面false，所以false.
因为false，所以false平面false，
又false平面false，所以平面false平面false.
（2）如图，分别以false，false，false为false，false，false轴，建立空间直角坐标系false，
则false，false，false，false，false，
所以false，false，false，
设平面false的法向量为false，则false，
令false，得false，
设平面false的法向量为false，则false，
令false，得false，
所以false，
由图知二面角false为锐角，
所以二面角false所成角的余弦值为false.

20.【答案】（1）false （2）当销售价格为4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
【解析】
解析：（1）因为false时，false，
所以false，解得false.
（2）由（1）可知，该商品每日的销售量false，
所以商场每日销售该商品所获得的利润false，false.
从而false.
于是当false变化时，false，false的变化情况如下表：
false
false
4
false
false
+
0
-
false
false
极大值
false
由上表可得，false是函数false在区间false内的极大值点，也是最大值点.
所以当false时，函数false取得最大值，且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
21.【解析】（1）由false，false可得false，
由false面积的最大值为false知，false，
解得false，false，false，
∴椭圆false的方程为false.
（2）证明：联立false，解得false，
联立false得false，
∵直线false与椭圆false交于false，false两点，
∴false，∴false，且false，
设直线false，false的斜率分别为false，false，设false，false，则false，false.
又false，false，false，false，
则false
false，
∴false，从而false始终为等腰三角形.
22.【解析】
解析：（1）因为false，
所以false，
由false得false或false.
①当false时，因为false，不满足题意，
②当false时，false在false上单调递减，在false上单调递增，
于是false，解得false，
所以false的取值范围为false.
（2）函数false，定义域为false，false，
因为false，false是函数false的两个极值点，所以false，false是方程false的两个不等正根，
则有false，false，false，
得false，对称轴false，故false，false，
且有false，false，
false
false
false
false
false.
令false，则false，
false，false，
当false时，false单调递减，当false时，false单调递增，
所以false，
所以false的最小值为false.