2021人教数学九年级上册课时培优训练：21.3 实际问题与一元二次方程（三）（Word版含答案）

一元二次方程运用（三）
1．在正方形铁片上，从一侧截去一个宽2 cm的长方形，余下的面积是48 cm2，则原来正方形铁片的面积为(　　)
A．8 cm2 B．64 cm2
C．16 cm2 D．36 cm2
2．要用一条长为30 cm的铁丝围成一个斜边长为13 cm的直角三角形，则两直角边长分别为(　　)
A．5 cm和10 cm B．5 cm和12 cm
C．8 cm和9 cm D．8.5 cm和8.5 cm
3．扬帆中学有一块长30 m，宽20 m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学的设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为(　　)
A．(30－x)(20－x)＝×20×30
B．(30－2x)(20－x)＝×20×30
C．30x＋2×20x＝×20×30
D．(30－2x)(20－x)＝×20×30

4．有一幅画的尺寸是12 cm×18 cm，要在它的四周镶上一样宽的银边．如果使银边的面积正好与画的面积相等，那么银边应当有多宽？设银边的宽为x cm，根据题意，下列四个方程中，错误的是(　　)
A．2(12x＋18x)＋4x2＝12×18
B．2x(18＋2x)＋2×12x＝12×18
C．2[(18＋x)＋(12＋x)]x＝12×18
D．(18＋x)(12＋x)＝18×12
5．如图，某工厂直角墙角处，用可建60米长围墙的建筑材料围成一个矩形堆货场地，中间用同样的材料分割成两间，则AB＝________米时，所围成的矩形ABCD的面积是450平方米．

6．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多________步．
7．如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的弯曲道路(小路的宽处处相等)，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551平方米，设修建的路宽为x米，可列方程为_____________________．

8．一个矩形的周长为56 cm.
(1)当矩形面积为180 cm2时，长、宽分别为多少厘米？
(2)能围成面积为200 cm2的矩形吗？请说明理由．
9．改善小区环境，争创文明家园．如图，某社区决定在一块长(AD)16 m，宽(AB)9 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112 m2，则小路的宽应为多少？

10．如图，有一矩形硬纸板，长30 cm，宽20 cm，在其四个角各剪去一个相同的小正方形，然后把四周的矩形折起，可做成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长为何值时，所得长方体盒子的底面积为200 cm2？

11．(2019·南京)某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50 m，宽40 m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用为每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖．铺设地砖费用为每平方米100元．如果计划总费用为642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？

12．(2020·自贡改编)如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF，EF.若∠EFD＝90°，求AE的长．

答案
B 2. B 3. (20－x)(30－x)＝551
4.(1)解：设矩形的一边长为x cm，则其邻边长为(28－x)cm，依题意有x(28－x)＝180，解得x1＝10，x2＝18.
当x＝10时，28－x＝18，当x＝18时，28－x＝28－18＝10.
故矩形的长为18 cm，宽为10 cm.
(2)解：不能．理由：设矩形的长为x cm，则宽为(28－x)cm，依题意有
x(28－x)＝200，即x2－28x＋200＝0.
Δ＝282－4×200＝784－800＜0，原方程无解，
故不能围成面积为200 cm2的矩形．
5.解：设小路的宽应为x m，由题意得(16－2x)(9－x)＝112，
解得x1＝1，x2＝16.
∵x＝16＞9，不合题意，舍去，
∴x＝1.
答：小路的宽应为1 m.
D 7. D 8. 15 9. 12
10.解：设剪去的小正方形的边长为x cm，
则根据题意有(30－2x)(20－2x)＝200，解得x1＝5，x2＝20，
当x＝20时，20－2x＜0，所以x＝5.
答：当剪去的小正方形的边长为5 cm时，长方体盒子的底面积为200 cm2.
11.解：设扩充后广场的长为3x m，则宽为2x m.
根据题意，得3x·2x·100＋30(3x·2x－50×40)＝642000.
解得x1＝30，x2＝－30(不合题意，舍去)．
所以3x＝90，2x＝60.
答：扩充后广场的长和宽应分别为90 m和60 m.
12.解：如答图，延长EF交DA的延长线于点Q，连接DE，设BE＝x.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DQ∥BC，∴∠Q＝∠BEF.∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，
∴△QFA≌△EFB(AAS)．∴QF＝EF，AQ＝BE＝x.
∵∠EFD＝90°，∴DF⊥QE.∴DQ＝DE＝x＋2.
∵AE⊥BC，BC∥AD，
∴AE⊥AD，∴∠AEB＝∠EAD＝90°，
∴AE2＝DE2－AD2＝AB2－BE2，
∴(x＋2)2－4＝6－x2，整理得2x2＋4x－6＝0，
解得x＝1或x＝－3(舍去)，
∴BE＝1，∴AE＝＝＝.