2.2基本不等式-【新教材】人教版（2019）高中数学必修第一册同步练习（word含答案）

2.2基本不等式同步练习
一、单选题
1．若false且false，则false的最小值为（ ）
A．18 B．15 C．14 D．1.3
2．已知正数false满足false，则false有（ ）
A．最小值false B．最大值false C．最小值false D．最大值false
3．已知false，false，当false时，不等式false恒成立，则false的取值范围是
A．false B．false C．false D．false
4．已知正数false满足false，则false（　　）
A．有最大值false B．有最小值false
C．有最大值10 D．有最小值10
5．已知集合false，则false=
A．false B．false C．false D．false
6．下列结论正确的是 ( )
A．当false，false时，false B．当false时，false的最小值为
C．当false时，false D．当false时，false的最小值为
7．在△ABC中，false ，则△ABC周长的取值范围是（　　）
A．false B．false C．false D．false
8．若函数false当且仅当false时取得最小值，则实数false的值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题
9．若false，则false的最大值为________.
10．已知两个正数false，false满足false，则使不等式false恒成立的实数false的范围是______.
11．已知false，则false的最小值为__________ ；
12．不等式false的解集为____________．
解答题
13.已知 a,b,c 均为正实数，求证: a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2(a+b+c) .
14.设函数 f(x)=|x+1|?|x| 的最大值是 m .
（1）求 m 的值；
（2）若正实数 a、b 满足 4a+3b=m, 求 12a+b+1a+b 最小值及此时 a、b 的值；
（3）若正实数 a、b 满足 a+b=2m ，求 a2+2a+b2b+1 的最小值及此时 a、b 的值.
15.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a，b，c∈R) 同时满足以下
①对任意实数 x ，都有 y≥x ；
②当 x∈(1，3) 时，有 y≤18(x+2)2 恒成立；
（1）求证:当 x=2 时， y=2；
（2）若函数经过点 (?2，0) ，求该二次函数的表达式；
（3）在（2）条件下，对任意 x∈[0，+∞) 都有 y>12mx+14 成立，求实数 m 的取值范围.
16.某公司欲将一批生鲜用冷藏汽车从甲地运往相距90千米的乙地，运费为每小时80元，装卸费为1000元，生鲜在运输途中的损耗费的大小(单位：元)是汽车速度( km/h )值的2倍.(注：运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费)
（1）若汽车的速度为每小时50千米，试求运输的总费用；
（2）为使运输的总费用不超过1260元，求汽车行驶速度的范围；
（3）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？
参考答案
A2．D3．B4．A5．C6．D7．B8．C9．false10．false11．3212．
13.【答案】 解：∵ a2+b2≥2ab ，当且仅当 a=b 时等号成立，
∴ 2(a2+b2)≥a2+2ab+b2=(a+b)2 ，
∴ a2+b2≥(a+b)22 ，
∴ a2+b2≥a+b2 ，①
同理 b2+c2≥b+c2 ，②
c2+a2≥c+a2 .③
①+②+③，得
a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2a+2b+2c2=2(a+b+c) ，当且仅当 a=b=c 的时等号成立.
【解析】由于 2(a2+b2)≥(a+b)2 可得 2a2+b2≥a+b ，同理可得 2a2+c2≥a+c ， 2b2+c2≥b+c ，三式相加即可证明.
14.【答案】 （1）解：根据绝对值三角不等式： |x+1|?|x|?|x+1?x| 即可求出 f(x) 的最大值为1，即得出 m=1 ；
（2）解：由（1）可知 4a+3b=1 ，因为 a>0 ， b>0 ，
所以 12a+b+1a+b=(12a+b+1a+b)[(2a+b)+2(a+b)]
=1+2+2(a+b)2a+b+2a+ba+b
≥3+22(a+b)2a+b?2a+ba+b=3+22
当且仅当 2(a+b)2a+b=2a+ba+b ，即 2a+b=2(a+b) ，又 4a+3b=1 ，所以 a=32?42 ， b=3?22 时取等号；
所以 12a+b+1a+b 最小值为 3+22 ，此时 a=32?42 ， b=3?22 ；
（3）解：由（1）得 a+b=2 ， a>0 ， b>0 ，所以 a2+2a+b2b+1=a+2a+(b+1)2?2(b+1)+1b+1
=a+2a+(b+1)+1b+1?2=1+2a+1b+1
=1+a+b+13(2a+1b+1)=1+13[3+2(b+1)a+ab+1]
≥2+13×22(b+1)a?ab+1=2+223
当且仅当 2(b+1)a=ab+1 ，即 a=6?32,b=32?4 时取等号；
【解析】（1）根据绝对值三角不等式： |x+1|?|x|?|x+1?x| 即可求出 f(x) 的最大值为1，即得出 m=1 ；（2）由（1）可知 4a+3b=1 ，所以 12a+b+1a+b=(12a+b+1a+b)[(2a+b)+2(a+b)] 利用乘“1”法求出最小值；（3）由（1）得 a+b=2 ， a>0 ， b>0 ，所以 a2+2a+b2b+1=1+13[3+2(b+1)a+ab+1] ，再利用基本不等式计算可得；
15.【答案】 （1）证明：由题意得 2?f(2)?18(2+2)2=2 ，所以 f(2)=2 ．
（2）解：结合（1）知 f(2)=4a+2b+c=2 ，
由 f(x)?x 恒成立得 ax2+(b?1)x+c?0 恒成立，
故 {a>0……①(b?1)2?4ac?0……②4a+2b+c=2……③ ，将③代入②得 (2a?12c)2?0 ，
故 c=4a… ④．又 f(?2)=4a?2b+c=0… ⑤，
联立③④⑤解得 a=18,b=c=12 ．
所以 f(x)=18x2+12x+12 ．
（3）解：由 x∈[0 ， +∞) ，且 f(x)?m2x>14 恒成立可得：
mx2<18x2+12x+14,x?0 ，
(i)x=0 时， 0<14 恒成立，此时 m∈R ；
(ii)x>0 时，原式化为： m<14x+12x+1 恒成立，
因为 14x+12x+1?214x·12x+1=1+22 ，当且仅当 x=2 时取等号．
故此时 m<1+22 ．
综合 (i)(ii) 可知 m 的取值范围为 (?∞,1+22) ．
【解析】（1）根据题意可知： 2?f(2)?2 ，由此确定 f(2)=2 ；（2）根据 f(x)?x 恒成立，利用判别式 ?0 恒成立、结合 f(2)=2 可求出 a 的值，最后结合 f(?2)=0 ，即可求出系数 b ， c 的值；（3）根据 x?0 ，分离参数 m ，再利用基本不等式即可求出 m 的范围．
16.【答案】 （1）解：当汽车速度为50 km/h 时，运输总费用为：
9050×80+1000+2×50=1244 (元)
（2）解：设汽车行驶的速度为 x km/h
由题意可得： 90x×80+1000+2x≤1260
化简得 x2?130x+3600≤0 ，解得 40≤x≤90
∴汽车行驶速度的范围为 [40,90] .
（3）解：设汽车行驶的速度为 x km/h ，则运输的总费用为
90x×80+1000+2x=2x+7200x+1000
≥22x?7200x+1000=1240
当且仅当 2x=7200x ，即 x=60 时，等号成立
答：故若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时60千米的速度行驶.
【解析】（1）根据题中条件，直接计算运输总费用即可；（2）先设汽车行驶的速度为 x km/h ，由题意，得到 90x×80+1000+2x≤1260 ，求解即可得出结果；（3）设汽车行驶的速度为 x km/h ，得到运输的总费用为 2x+7200x+1000 ，利用基本不等式，即可求出结果.