4.3对数-【新教材】人教版（2019）高中数学必修第一册同步练习（word含答案）

4.3对数同步练习
一、单选题
1．已知函数false是定义在R上的奇函数，且当false时，false，则false（ ）
A．2 B．4 C．-2 D．-4
2．已知函数false
A．false B．false C．false D．false
3．若false,则false用含false的代数式可表示为（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．若false，则false（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．设函数false，false，则false与false的大小关系是（　　）
A．false B．false C．false D．false
6．已知函数false，则false（）
A．false B．false C．false D．5
7．若false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知false，false，false，false，则下列等式一定成立的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题
9．若函数false，则false______.
10．计算false_____．
11．等比数列false中，false，false，则数列false的前8项和等于________.
12．函数false的定义域为________．
解答题
13.已知正实数x，y满足等式 2x+5y=20 .
（1）求 u=lgx+lgy 的最大值；
（2）若不等式 10x+1y≥m2+4m 恒成立，求实数m的取值范围.
14.已知函数 f(x)=?x2+ax?14(a?1)2 ， a∈R ，函数 g(x)=lnx ．
（1）若 f(x) 的最大值为0，记 m=log2110?lga ，求 g(m) 的值；
（2）当 a=5 时，记不等式 f(x)>0 的解集为M，求函数 y=g(xe3)?g(ex) ， x∈M 的值域 (e 是自然对数的底数 ) ；
（3）当 a<1 时，讨论函数 h(x)=f(x)+g(x)+|f(x)?g(x)|2 的零点个数．
15.已知函数 f(x)=lg(ax+b) 的图象经过定点 (0,0) ， (3,1) .
（1）求a，b的值；
（2）设 f(23)=m ， f(2)=n ，求 log2163 （用m，n表示）.
16.已知函数 f(x)=(x+1)(x+a)x 为奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）记集合 A={y|y=f(x),x∈{?1,1,2}} ， t=lg22+lg2?lg5+lg5+12 ，判断t与集合A的关系；
（3）当 x∈[1m,1n](m>0,n>0) 时，若函数 f(x) 的值域为 [3?3m,3?3n] ，求 m,n 的值.
参考答案
C2．D3．A4．A5．B6．A7．D8．B9．false10．11．412．[2，+∞）
13.【答案】（1）解：因为 x>0 ， y>0 ，由基本不等式，得 2x+5y≥210xy .
又因为 2x+5y=20 ，所以 210xy≤20 ， xy≤10 ，
当且仅当 {2x+5y=202x=5y ，即 {x=5y=2 时，等号成立，
此时 xy 的最大值为10.
所以 u=lgx+lgy=lgxy≤1g10=1 .所以当 x=5 ， y=2 时，
u=lgx+lgy 的最大值为1；
（2）解：因为 x>0 ， y>0 ，
所以 10x+1y=(10x+1y)2x+5y20=120(25+50yx+2xy)
≥120(25+250yx?2xy)=94 ，
当且仅当 {2x+5y=2050yx=2xy ，即 {x=203y=43 时，等号成立，
所以 10x+1y 的最小值为 94 .
不等式 10x+1y≥m2+4m 恒成立，
只要 m2+4m≤94 ，解得 ?92≤m≤12 .
所以 m 的取值范围是 [?92,12] .
【解析】(1) 求 u=lgx+lgy 的最大值即求 xy 的最大值， 2x+5y=20≥210xy 即可求出(2)先求出 10x+1y 的最小值为 94 ，然后解不等式 m2+4m≤94 即可.
14.【答案】 （1）解： ∵ 函数 f(x)=?x2+ax?14(a?1)2=?(x?a2)2+a2?14 的最大值为0，
∴a2?14=0 ，解得 a=12 ，
∴m=log2110?lga=log2110?lg12=log210?lg2=1lg2?lg2=1 ，
∴g(m)=g(1)=0 ．
（2）解：当 a=5 时， f(x)=?x2+5x?4>0 的解集 M=(1,4) ，
函数 y=g(xe3)?g(ex)=lnxe3?ln(ex)=(lnx?3)(lnx+1)=ln2x?2lnx?3 ，
当 x∈(1,4) 时，令 t=lnx ，则 y=t2?2t?3 ， t∈(0,2ln2) ，
∴y 的值域为 [?4,?3)
（3）解： h(x)=f(x)+g(x)+|f(x)?g(x)|2={f(x),f(x)≥g(x)g(x),f(x)①∵g(1)=0 ， ∴1 为 g(x) 的一个零点，
f(1)=a?1?14(a?1)2 ， ∵a<1 ， ∴f(1)<0 ，
∴h(1)=g(1)=0 ，即1为 h(x) 的零点．
② 当 x>1 时， g(x)>0 ， h(x)≥g(x)>0 ，
∴h(x) 在 (1,+∞) 上无零点．
③ 当 0∴h(x) 在 (0,1) 上的零点个数是 f(x) 在 (0,1) 上的零点个数，
∵f(0)=?14(a?1)2<0 ， f(1)=a?1?14(a?1)2<0 ， △=2a?1 ．
i) 当 2a?1<0 ，即 a<12 时，函数 f(x) 无零点，即 h(x) 在 (0,1) 上无零点．
ii) 当 2a?1=0 ，即 a=12 时，函数 f(x) 的零点为 14 ，
即 h(x) 在 (0,1) 上有零点 14 ．
iii) 当 2a?1>0 ，即 120 ，
函数 f(x) 在 (0,1) 上有两个零点，即函数 h(x) 在 (0,1) 上有两个零点．
综上所述，当 a<12 时， h(x) 有1个零点，
当 a=12 时， h(x) 有2个零点．
当 12【解析】（1）函数 f(x)=?x2+ax?14(a?1)2=?(x?a2)2+a2?14 的最大值为0，解得 a=12 ，从而 m=log2110?lga=log2110?lg12=1 ，由此能求出 g(m) ;（2）当 a=5 时， f(x)=?x2+5x?4>0 的解集 M=(1,4) ，函数 y=g(xe3)?g(ex)=ln2x?2lnx?3 ，当 x∈(1,4) 时，令 t=lnx ，则 y=t2?2t?3 ， t∈(0,2ln2) ，由此能求出y的值域;（3） h(x)=f(x)+g(x)+|f(x)?g(x)|2={f(x),f(x)≥g(x)g(x),f(x)15.【答案】 （1）解：因为函数 f(x)=lg(ax+b) 的图象经过定点 (0,0) ， (3,1) ，
所以 {lgb=0,lg(3a+b)=1,
解得 {b=1,a=3.
（2）解：由（1）得 f(x)=lg(3x+1) ，
则 f(23)=lg3=m ， f(2)=lg7=n ，
所以 log2163=lg63lg21=2lg3+lg7lg3+lg7=2m+nm+n
【解析】（1）由题意可得 {lgb=0,lg(3a+b)=1, ，解方程组即可求解.（2）由（1）可求出m,n，再利用换底公式即可求解.
16.【答案】 （1）解：∵ f(x) 为奇函数，∴ f(?x)=?f(x) ，
即 (?x+1)(?x+a)?x=?(x+1)(x+a)x
即： 2(a+1)x=0 ， x=R 且 x≠0 ，∴ a=?1
（2）解：由（1）可知： f(x)=x2?1x ，
当 x=±1 时， f(x)=0 ；当 x=2 时， f(x)=32
∴ A={0,32} ，
而 t=lg22+lg2?lg5+lg5+12=lg22+lg2(1?lg2)+1?lg2+12=32 ，
∴ t∈A .
（3）解：∵ f(x)=x2?1x=x?1x ， x∈[1m,1n] ，
∴ f(x) 在 [1m,1n] 上单调递增.
∴ {f(1m)=3?3m,f(1n)=3?3n ，∴ {1m?m=3?3m1n?n=3?3n ，即 {2m2?3m+1=02n2?3n+1=0 ，
∴ m,n 是方程 2x2?3x+1=0 的两个根，
又题意可知 1m<1n ，且 m>0 ， n>0 ，∴ m>n
∴ m=1 ， n=12
【解析】（1）由奇函数定义求得 a ；（2）求出集合A，再化简实数t，可得它们的关系；（3）先确定函数 f(x) 在 [1m,1n] 上单调递增.，题意说明 f(1m)=3?3m ， f(1n)=3?3n ， ?m,n 是方程 f(1x)=3?3x 的两个根，由此可得．