4.5函数的运用（二）-【新教材】人教版（2019）高中数学必修第一册同步练习（word含答案）

4.5函数的运用（二）同步练习
一、单选题
1．函数false的零点一定位于区间（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
(1)如果不超过200元，则不给予优惠；
(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
某人单独购买A，B商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A，B两件商品，则应付款是
A．413.7元 B．513.7元 C．546.6元 D．548.7元
3．函数false的零点个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．设函数false，若互不相等的实数false满足false，则false的取值范围是（　　）
A．false B．false C．false D．false
5．方程false的解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．对于实数false，定义运算false设false.若false有三个不同的实数根false，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知函数false若方程false恰有三个不同的实根，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．设false与false是定义在同一区间false上的两个函数，若函数false（false为函数false的导函数），在false上有且只有两个不同的零点，则称false是false在false上的“关联函数”，若false，是false在false上的“关联函数”，则实数false的取值范围是（ ）．
A．false B．false C．false D．false
二、填空题
9．若x0是函数f（x）＝2x+3x的零点，且x0∈（a，a+1），a∈Z，则a＝_____．
10．已知函数false是定义在false上的周期为2的偶函数,当false时,false.若关于false的方程false有唯一解，则实数false的取值范围是____________.
11．已知：函数false，若方程的所有的解的和为false，则关于false不等式false的解集是__________．
12．已知函数false是定义域为false的偶函数，当false时，false，若关于false的方程false，false有且仅有false个不同实数根，则实数false的取值范围是__________.
解答题
13.已知一元二次方程 4x2?4mx+m+2=0(x∈R) 有两个不等实根 α,β .
（1）求实数 m 的取值范围；
（2）若 α>0 且 β>0 ，求实数 m 的取值范围.
14.已知函数 f(x)=ax2?(a+1)x+1 ， a∈R .
（1）若不等式 f(x)<0 的解集为 (m,n) ，且 m+n=32 ，求a的值；
（2）当 a∈R 时，求关于x的不等式 f(x)>0 的解集.
15.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c?(a,b,c∈R) ， f(?2)=f(0)=0 ， f(x) 的最小值为 ?1 ．
（1）求函数 f(x) 的解析式；
（2）设 g(x)=f(?x)?λf(x)+1 .
（i）若 g(x) 在 [?1,1] 上是减函数，求实数 λ 的取值范围；
（ii）若 g(x) 在 (?1,1) 内恰有一个零点，求实数 λ 的取值范围．
16.已知函数 y=f(x) 的定义域为 R ，且存在实常数 a ，使得对于定义域内任意 x ，都有 f(x+a)=f(?x) 成立，则称此函数 f(x) 具有“性质 P(a) ”
（1）判断函数 y=x2?4x+7 是否具有“ P(a) 性质”，若具有“ P(a) 性质”，则求出 a 的值；若不具有“ P(a) 性质”，请说明理由；
（2）已知函数 y=f(x) 具有“ P(2) 性质”且函数 f(x) 在 R 上的最小值为 2 ；当 x≤1 时， f(x)=m?x ，求函数 y=f(x) 在区间 [0,1] 上的值域；
（3）已知函数 y=g(x) 既具有“ P(0) 性质”，又具有“ P(2) 性质”，且当 ?1≤x≤1 时， g(x)=|x| ，若函数 y=g(x)?logbx ，在 x∈(0,3] 恰好存在 2 个零点，求 b 的取值范围.
参考答案
B2．C3．B4．B5．C6．B7．B8．D9．﹣110．false11．false(false)12．
13.【答案】 （1）解：由题意， Δ=16m2?16(m+2)>0 ，解得 m2 .
（2）解：由根与系数关系得， α+β=m ， αβ=m+24 ，
∵ {α>0β>0Δ>0? {α+β>0αβ>0Δ>0 ，
∴ {m>0m+24>0m2 ，解得 m>2 .
所以实数 m 的取值范围是 m>2 .
【解析】（1）由一元二次方程有两个不等实根，可得 Δ>0 ，进而可求出实数 m 的取值范围；（2）由 {α>0β>0Δ>0 ，可得 {α+β>0αβ>0Δ>0 ，计算即可.
14.【答案】 （1）解：因为 f(x)<0 的解集为 (m,n) ，
所以 m,n 为方程 f(x)=0 的两个根
由韦达定理得： m+n=a+1a=32 ，解得 a=2 .
（2）解：由 f(x)>0 得： ax2?(a+1)x+1>0 ，所以 (ax?1)(x?1)>0
⑴当 a=0 时，不等式的解集是 {x|x<1}
⑵当 a<0 时，不等式的解集是 {x|1a⑶当 a>0 时
当 01 ，不等式的解集是 {x|x<1 或 x>1a}
当 a=1 时，不等式可化为 (x?1)2>0 ，不等式的解集是 {x|x≠1}
当 a>1 时， 0<1a<1 ，不等式的解集是 {x|x<1a 或 x>1}
综上可得：
当 a<0 时，不等式的解集是 {x|1a当 a=0 时，不等式的解集是 {x|x<1} ；
当 01a} ；
当 a=1 时，不等式的解集是 {x|x≠1} ；
当 a>1 时，不等式的解集是 {x|x<1a 或 x>1}
【解析】（1） m,n 为方程 f(x)=0 的两个根，用韦达定理构建方程解出来即可.（2） (ax?1)(x?1)>0 ，分情况讨论即可.
15.【答案】 （1）解： ∵f(?2)=f(0)=0 ，且函数 y=f(x) 的最小值为 ?1 ．
设 f(x)=ax(x+2) ，则该函数图象的对称轴方程为 x=?1 ， ∴f(?1)=?a=?1 ， ∴a=1 ， ∴f(x)=x2+2x
（2）解： ∵g(x)=f(?x)?λf(x)+1=(1?λ)x2?2(1+λ)x+1 .
（i）①当 λ=1 时， g(x)=?4x+1 在 [?1,1] 上是减函数，满足要求；
②当 λ≠1 时，对称轴方程为： x=1+λ1?λ ．
i）当 λ<1 时， 1?λ>0 ，所以 1+λ1?λ≥1 ，解得 0≤λ<1 ；
ii）当 λ>1 时， 1?λ<0 ，所以 1+λ1?λ≤?1 ，解得 λ>1 ．
综上， λ≥0 ，因此，实数 λ 的取值范围是 [0,+∞) ；
（ii）①当 λ≥0 时，函数 g(x)=(1?λ)x2?2(1+λ)x+1 在 [?1,1] 上是减函数，
∴g(?1)=(1?λ)+2(1+λ)+1=4+λ>0 ，
g(1)=(1?λ)?2(1+λ)+1=?3λ≤0 ，
故 λ=0 时， g(?1)=4+λ>0 ， g(1)=?3λ=0 ，此时，函数 y=g(x) 在区间 (?1,1) 内无零点；
当 λ>0 时， g(?1)>0 ， g(1)<0 ， y=g(x) 在区间 (?1,1) 内有且只有一个零点；
②当 λ<0 时，对称轴方程为： x=1+λ1?λ=?1+21?λ∈(?1,1) ，
若函数 y=g(x) 在 (?1,1) 内恰有一个零点，则有 g(?1)?g(1)<0 ，
即 (λ+4)?(?3λ)<0 ，解得 λ0 ，又 λ<0 ，所以 λ综上有： λ0 .
因此，实数 λ 的取值范围是 (?∞,?4)∪(0,+∞)
【解析】（1）可设 f(x)=ax(x+2) ，可知该函数图象的对称轴方程为 x=?1 ，由题意得出 f(?1)=?1 ，可求出 a 的值，即可得出函数 y=f(x) 的解析式；（2）可得出 g(x)=(1?λ)x2?2(1+λ)x+1 .（i）分 1?λ=0 、 1?λ>0 、 1?λ<0 三种情况讨论，在 1?λ=0 时，将参数 λ=1 代入函数 y=g(x) 的解析式进行验证，在 1?λ>0 、 1?λ<0 两种情况下，结合单调性得出二次函数 y=g(x) 图象的对称轴与区间 [?1,1] 的位置关系，由此可得出关于 λ 的不等式，解出即可；（ii）对实数 λ 的值进行分类讨论，分析函数 y=g(x) 在区间 (?1,1) 上的单调性，结合零点存在定理，可得出关于实数 λ 的不等式组，解出即可得出实数 λ 的取值范围.
16.【答案】 （1）解：假设 y=x2?4x+7 具有“ P(a) 性质”，
则 (x+a)2?4(x+a)+7=(?x)2?4(?x)+7 恒成立，
等式两边平方整理得， 2(a?2)x+a2?4a=4x ，因为等式恒成立，
所以 {2(a?2)=4a2?4a=0 ，解得 a=4
（2）解： ∵ 函数 y=f(x) 具有“ P(2) 性质”则 f(x+2)=f(?x)
∴f(x)=f(2?x)
又 ∵ 当 x≤1 时， f(x)=m?x ，在 x∈(?∞,1] 单调递减
∴ 当 x≥1 时， 2?x≤1 得： f(2?x)=m?(2?x)=x+m?2 ，
又 f(x)=f(2?x) 得
当 x≥1 时， f(x)=x+m?2 ，在 x∈[1,+∞) 单调递增
∴ 函数 f(x) 的最小值 f(x)min=f(1)=m?1=2 ，得： m=3
∴ 当 x∈[0,1] 时， f(x)=3?x ，单调递减
此时 f(x) 的值域为： [2,3]
（3）解： ∵y=g(x) 既具有“ P(0) 性质”，即 g(x)=g(?x) ，则函数 y=g(x) 为偶函数，
又 y=g(x) 既具有“ P(2) 性质”，即 g(x+2)=g(?2)=g(x) ，
且当 ?1≤x≤1 时， g(x)=|x|
作出函数 y=g(x) 的图象如图所示：
∵ 函数 y=g(x)?logbx ，在 x∈(0,3] 恰好存在 2 个零点
∴g(x) 与 y=logbx 在 x∈(0,3] 恰好有 2 个交点
∴b>1 且 logb3≤1
∴b≥3 即 b 的取值范围为： [3,+∞)
【解析】（1）假设函数具备 P(a) 性质，代入即可求出 a 的值；（2）根据题意可知 f(x+2)=f(?x) ，再根据函数的最小值即可求出 f(x) 值域；（3）由题得 g(x)=g(?x) 且 g(x+2)=g(?x) ，作出图象，即可求出 b 的取值范围．