5.1任意角和弧度制-【新教材】人教版（2019）高中数学必修第一册同步练习（word含答案）

5.1任意角和弧度制同步练习
一、单选题
1．已知半径为1的扇形面积为false，则扇形的圆心角为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A．2 B．false C．false D．false
4．已知false是第一象限角，那么false是（）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
5．一扇形的中心角为false，对应的弧长为false，则此扇形的面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若false，则false与false的终边相同；④若false，false是第二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．与角false终边相同的角是（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．把false表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是(　　)
A．false B．false
C．false D．false
二、填空题
9．在圆中，false的长度等于圆内接正三角形ABC的边长，则false所对的圆心角弧度数为______________.
10．225°=______rad
11．已知false，则false的终边在第________象限
12．用长为false的铁丝围成半径为false的扇形，则扇形的中心角为__________弧度.
三、解答题
13.如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝ 2π3 ，半径为 42 ，若点C是 AB 上的一动点(不与点A，B重合).
（1）若弦 BC=4(3?1) ，求 BC 的长；
（2）求四边形OACB面积的最大值.
14.已知扇形的圆心角为 α ，所在圆的半径为 r .
（1）若 α=1200 ， r=6 ，求扇形的弧长；
（2）若扇形的周长为24，当 α 为多少弧度时，该扇形面积 S 最大？并求出最大面积.
15.已知 1|sinα|=?1sinα ，且 lg(cosα) 有意义.
（1）试判断角 α 是第几象限角；
（2）若角 α 的终边上一点是 M(35,m) ，且 |OM|=1 （ O 为坐标原点），求 m 的值及 sinα 的值.
16.已知一扇形的圆心角为 α ，所在圆的半径为R，若扇形的周长为40cm,当它的圆心角 α 为多少弧度时，该扇形的面积最大？最大面积为多少？
参考答案
C2．C3．B4．D5．D6．A7．D8．A9．false10．11．三12．1
13.【答案】 （1）解：在△OBC中，BC＝4( 3 －1)，OB＝OC＝ 42 ，
所以由余弦定理得cos∠BOC＝ OB2+OC2?BC22OB?OC=32 ，
所以∠BOC＝ π6 ，
于是 BC 的长为 π6 × 42 ＝ 223π .
（2）解：设∠AOC＝θ，θ∈ (0,2π3) ，则∠BOC＝ 2π3 －θ，
S四边形OACB＝S△AOC＋S△BOC＝ 12 × 42 × 42 sin θ＋ 12 × 42 × 42 ·sin (2π3?θ) ＝24sin θ＋ 83 cos θ＝ 163sin(θ+π6) ，由于θ∈ (0,2π3) ，所以 θ+π6∈(π6,5π6) ，当θ＝ π3 时，四边形OACB的面积取得最大值16 3
【解析】（1）在三角形 OBC 中，利用余弦定理求得 ∠BOC 的余弦值，进而求得 ∠BOC 的大小，再利用弧长公式计算出 BC 的长.（2）设 ∠AOC=θ ，利用三角形 AOC 和三角形 BOC 的面积表示出四边形 OACB 的面积，利用三角恒等变换进行化简，结合三角函数最值的求法，求得四边形 OACB 的面积的最大值.
14.【答案】 （1）解：∵ a=1200=120×π180=2π3 ， r=6 ,∴
（2）解：设扇形的弧长为 l ，则 l+2r=24 ，即 l=24?2r （ 0扇形的面积 ，
所以当且仅 r=6 时， S 有最大值36，???????
此时 l=24?2×6=12 ,∴ α=lr=126=2 rad.
【解析】（1）由已知利用弧长公式即可计算得解．解：因为 1|sinα|=?1sinα ，所以 sinα<0 ,由 lg(cosα) 有意义，可知 cosα>0 ，
所以角 α 是第四象限角.
（2）解：因为 |OM|=1 ，所以 (35)2+m2=1 ，得 m=±45 ，
又因为角 α 是第四象限角，
所以 m<0 ，所以 m=?45 ,所以 sinα=m|OM|=?451=?45 .
【解析】（1）根据 1|sinα|=?1sinα 得到 sinα<0 ，结合对数函数定义域求得 cosα>0 ，由此即可判断出 α 所在象限；
（2）由已知垂直关系列方程，求得 m 的值，再根据三角函数的定义，即可求得 sinα 的值.
16.【答案】 解：设扇形的弧长为 l cm,由题意知， l+2R=40
∴ l=40?2R
∴ S=12lR=12(40?2R)R=20R?R2=?(R?10)2+100
∴当 R=10cm 时，扇形的面积最大；这个最大值为 100cm2 .
此时， α=lR=40?2×1010=2rad
故当扇形的圆心角 α 为2弧度时，该扇形的面积最大，最大面积为 100cm2 .
【解析】 设扇形的弧长为 l cm,由题意知， l+2R=40 ,然后再利用 S=12lR=12(40?2R)R=20R?R2 ,得到S关于R的函数求解即可.