4.4对数函数-【新教材】人教版（2019）高中数学必修第一册同步练习（word含答案）

4.4对数函数同步练习
一、单选题
1．已知函数false, 若false在false上单调递增，则实数false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知false是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．false C．false D．false
3．已知false在false上是false的减函数，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．已知函数false是定义在R上的偶函数, 且在区间false单调递增. 若实数a满足false, 则a的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．已知函数f（x）=loga|x|在（0，+∞）上单调递增，则（　　）
A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）
C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）
6．false的图象恒过点（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知false且false函数false的图象恒过定点false，若点false在幂函数false的图象上，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．当false时，false，则a的取值范围是
A．(0，false) B．(false，1) C．(1，false) D．(false，2)
二、填空题
9．函数false且false的图象恒过定点的坐标为______．
10．函数false的单调减区间为______ ．
11．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到__________．
12．函数的图象恒过定点,点在指数函数的图象上，则_________________．
三、解答题
13.已知 loga3>loga2 （ a>0 且 a≠1 ），若函数 f(x)=logax 在区间 [a,3a] 上的最大值与最小值之差为1．
（1）求实数 a 的值；
（2）若 1≤x≤3 ，求函数 y=(logax)2?logax+2 的值域．
14.已知函数 h(x)=ln(a2x2?a2x+a?1) (a≠0) 的定义域为 D .
（1）若 2?D ，求实数 a 的取值范围；
（2）求函数 h(x) 的定义域 D .
15.已知二次函数 f(x) 满足 f(0)=2 ，且 f(x+1)?f(x)=2x+3 .
（1）求 f(x) 的解析式；
（2）设函数 h(x)=f(x)?2tx ，当 x∈[1,+∞) 时，求 h(x) 的最小值；
（3）设函数 g(x)=log12x+m ，若对任意 x1∈[1,4] ，总存在 x2∈[1,4] ，使得 f(x1)>g(x2) 成立，求m的取值范围.
16.定义在 (0,+∞) 上的函数 f(x) 满足下面三个条件：①对任意正数 a,b ，都有 f(ab)=f(a)+f(b) ； ②当 x>1 时， f(x)<0 ；③ f(2)=?1 .
（1）求 f(1) 和 f(14) 的值；
（2）试用单调性定义证明：函数 f(x) 在 (0,+∞) 上是减函数；
（3）求满足 f(log4x)>2 的 x 的取值集合.
参考答案
C2．C3．B4．C5．B6．D7．C8．B9．false10．false11．30012．
13.【答案】 （1）解：因为 loga3>loga2 ，所以 a>1 ，
所以 f(x)=logax 在 [a,3a] 上为增函数．
又 f(x) 在 [a,3a] 上的最大值与最小值之差为1，
所以 loga(3a)?logaa=1 ，即 loga3=1 ，所以 a=3
（2）解：函数 y=(log3x)2?log3x+2=(log3x)2?12log3x+2=(log3x?14)2+3116 ，
令 t=log3x ，因为 1≤x≤3 ，所以 0≤log3x≤1 ，即 0≤t≤1 ，
所以 y=(t?14)2+3116∈[3116,52] ，
所以所求函数的值域为 [3116,52]
【解析】1）根据不等式 loga3>loga2 可得 a>1 ，再根据函数的单调性可得其最值，利用最值之间的关系可求 a 的值．（2）令 t=log3x ，根据 x 的范围可求 t 的范围，再根据二次函数的性质可求原函数的值域．
14.【答案】 （1）解：函数 h(x)=ln(a2x2?a2x+a?1) 的定义域为 D ，
则 D={x|a2x2?a2x+a?1>0} ，
又 2?D ，所以 4a2?2a2+a?1?0 ，
解得： ?1?a?12 ，
所以 a 的取值范围是 [?1 ， 12] ；
（2）解： h(x) 的定义域满足 a2x2?a2x+a?1>0 ，
等价于不等式 (x?a?1a)(x?1a)>0 ，
因为 a?1a?1a=a?2a ，
所以当 a>2 时， a?1a>1a ，定义域 D=(?∞,1a)∪(a?1a,+∞) ，
当 a=2 时， a?1a=1a ，定义域 D=(?∞,12)∪(12,+∞) ，
当 1>a>0 时， a?1a<1a ，定义域 D=(?∞,a?1a)∪(1a,+∞) ，
当 a<0 时， a?1a>1a ，定义域 D=(?∞,1a)∪(a?1a,+∞) ．
【解析】（1）根据对数函数的定义列出不等式，结合题意求出 a 的取值范围；（2）根据 h(x) 的定义域满足 a2x2?a2x+a?1>0 ，解含有字母系数的不等式即可．
15.【答案】 （1）解：设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) .
①∵ f(0)=2 ,∴ f(0)=c=2 ,
又∵ f(x+1)?f(x)=x+1 ,
∴ a(x+1)2+b(x+1)+2?ax2?bx?2=2x+3 ,可得 2ax+a+b=2x+3 ,
∴ {2a=1,a+b=3, 解得 {a=1，b=2， 即 f(x)=x2+2x+2
（2）解：由题意知, h(x)=x2+2(1?t)x+2 , x∈[1,+∞) ,对称轴为 x=t?1 .
①当 t?1?1 ,即 t?2 时,函数h(x)在 [1,+∞) 上单调递增,
即 h(x)min=h(1)=5?2t ；
②当 t?1>1 ,即 t>2 时,函数h(x)在 [1,t?1) 上单调递减,在 [t?1,+∞) 上单调递增,
即 h(x)min=h(t?1)=?t2+2t+1 .
综上, h(x)min={5?2t,t?2,?t2+2t+1,t>2.
（3）解：由题意可知 f(x)min>g(x)min ,
∵函数 f(x) 在 [1,4] 上单调递增,故最小值为 f(x)min=f(1)=5 ,
函数 g(x) 在 [1,4] 上单调递减,故最小值为 g(x)min=g(4)=?2+m ,
∴ 5>?2+m ,解得 m<7
【解析】(1) 根据二次函数 f(x) ,则可设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ,再根据题中所给的条件列出对应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的 f(x) 求得 h(x)=x2+2(1?t)x+2 ,再分析对称轴与区间 [1,+∞) 的位置关系进行分类讨论求解 h(x) 的最小值即可.(3)根据题意可知需求 f(x) 与 g(x) 在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.
16.【答案】 （1）解：令 a=b=1 ，则有 f(1×1)=f(1)+f(1) ，故 f(1)=0 ，
令 a=2,b=12 ，则有 f(1)=f(2)+f(12) ，故 f(12)=1 ，
令 a=b=12 ，则有 f(14)=2f(12)=2 .
（2）解：设任意 x1,x2∈(0,+∞) ， x1所以 f(x2)?f(x1)=f(x2x1) ，
因为 01 ， ∴f(x2x1)<0,∴f(x2)? ∴f(x) 在 (0,+∞) 上是减函数.
（3）解：因为 f(log4x)> 2=f(14) ，由（2）得 f(x) 为 (0,+∞) 上是减函数，
所以 {log4x<14log4x>0 ，解得 1【解析】（1）利用赋值法可求 f(1) 和 f(14) 的值.（2）根据定义可证明 f(x) 在 (0,+∞) 上是减函数.（3）利用函数单调性可得 {log4x<14log4x>0 ，从而可得不等式的解集.